Calculo I - Lista de Exercícios Nº 06 - COM GABARITO

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Cálculo I - Lista de Exerćıcios no¯ 6 - 1
o
¯ semestre/2016
1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo, pelo cálculo direto do limite da razão incre-
mental lim
h→0 f(x+ h) − f(x)h .
(a) f(x) = 7x− 5 (b) f(x) = 4x2 − 3x (c) f(x) =
3√
x
− 2 (d) f(x) = cos x
2. Calcule a derivada f ′(x0) em cada caso.
(a) f(x) = 3x2 − 5x+ 1 e x0 = 2 (b) f(x) = e
2x−3 e x0 = −1
3. Calcule as derivadas das funções dadas abaixo:
(i) y =
3
5
x
5
3 (ii) y = 3x7 − 4x3 + 12 (iii) y =
1
x
√
x
(iv) y =
x2 − 3x+ 1
x2 + x+ 5
(v) y =
1
ln x
(vi) y =
x2
4
+
4
x2
(vii) y = (x3 − 2)(4x2 + 7x+ 2) (viii) y = x ln x− x (ix) y = x2ex
(x) y = 2ex(1+ ln x) (xi) y =
ex
x2 + 1
(xii) y = sen x cos x
(xiii) y = (x2 − 1)sen x (xiv) y = ex cos x (xv) y = sec x+ tg x
(xvi) y =
x
cosec x
(xvii) y = (x3 + cos x)(3− sen x) (xviii) y =
x+ 1
x ln x
(xix) y = (4+ tg x)(sen x) (xx) y = sen x+ (x2 + 1) cos x (xxi) y = ex(2+ tg x)
(xxii) y =
sen x
cos2 x
(xxiii) y =
x+ 1
x sen x
(xxiv) y =
ln x
x
(xxv) y = 4 sec x+ cotg x (xxvi) y = log3 x (xxvii) y = logπ x
(xxviii) y = x cos x+ tg x (xxix) y = x ex cos x (xxx) y = x2 cos x(1+ ln x)
4. Para cada função f a seguir
f(x) =
{
x+ 2, se x < 1
2, se x ≥ 1 f(x) =
{
x2 − 2x+ 1, se x ≤ 1
−x2 + 2x− 1, se x > 1
f(x) =
{
−x− 1, se x ≤ 1
x2 − 3, se x > 1
Verifique,
(i) f é cont́ınua em p = 1? Por quê? (ii) f é derivável em p = 1? Por quê?
(iii) Se f for derivável, calcule f ′(1). (iv) Esboce o gráfico de f.
5. Em cada caso, calcule
dy
dx
,
d2y
dx2
e
d3y
dx3
.
(a) y = x ln x (b) y = x | x | (c) f(x) =
{
x2 + 3x, se x ≤ 1
5x− 1, se x > 1
6. Em cada caso, encontre a derivada de ordem n: (a) f(x) = xn (b) f(x) = ln x.
7. Se f(x) = cos x, encontre f(27)(x).
8. Em cada caso, determine a equação da reta tangente à curva y = f(x) em x = a e faça um gráfico.
(a) f(x) = x2 + 2x− 3, a = 0 (b) f(x) =
1
x2 + 1
, a = 2
(c) f(x) = ex+4, a = −4 (d) f(x) = xe−x, a = 0 e a = 2
9. Determine as equações das retas tangente e normal à curva y = x2 − 1 em x = 2.
10. Seja f(x) = x2 +
1
x
. Determine o ponto do gráfico de f em que a reta tangente, neste ponto, seja
paralela ao eixo x.
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11. Calcule as derivadas das funções dadas abaixo:
(i) y = (2x3 − 3x+ 7)4 (ii) y =
√
1+ 4x2 (iii) y = (2x4 − 1)5(5x3 + 6x)
(iv) y =
(x2 − 5)3
(x2 + 4)2
(v) y = (5− 3x)2/3 (vi) y = (x2 − 1)3/2(x2 − 4)1/2
(vii) y =
1√
25− x2
(viii) y = (5− x)1/2 + (x3 + 1)1/4 (ix) y =
√
2x3 − 5x2 + x
(x) y =
√
x− 2
3− x
(xi) y =
√
x2 +
√
x (xii) y = ln(3x− 4)
(xiii) y = ln x2 (xiv) y = ln(4− x2) (xv) y = ln
√
5− x2
(xvi) y = ln |x2 − 4| (xvii) y = ln ln x (xviii) y = ln[
√
x(1+ x2)]
(xix) y =
√
2+ ln
x− 2
3− x
(xx) y = ln ln | x | (xxi) y =
et − e−t
et + e−t
(xxii) y = e5x (xxiii) y = ex
2
(xxiv) y = 2e
√
x
(xxv) y = x2e−x (xxvi) y =
ex
3−3x
3
(xxvii) y = (x2 − e−2x)3
(xxviii) y =
e2x
sen 3x
(xxix) y = cos ex (xxx) y = sen cos x
(xxxi) y = sen x2 (xxxii) y = sen 2x (xxxiii) y = e−x sen x
(xxxiv) y = esen t (xxxv) y = tg sen (1− 3x2) (xxxvi) y = sec
1
x2 − 1
(xxxvii) y = tg
√
x
x+ 1
(xxxviii) y = (x+ 1)2 sen
1
x+ 1
(xxxix) y = cos sen
√
x2 + 1
(xl) y = sen (1+ et
2
) (xli) y = x sec(x2 + 1) (xlii) ln(sec x+ tg x)
(xliii) y = tg 3x (xliv) y = sec x3 (xlv) y = cotg x2
(xlvi) y =
e−x cos x
x2 + x
(xlvii) y =
te2t
ln(1+ 3t)
(xlviii) y = (sen 3x+ cos 2x)4
(xlix) y = e−x sec x2 (l) y = cos3 x3 (li) y = x3tg 4x
(lii) y = x2 ln(3x+ 5) (liii) y = (x2 + cotg x2)3 (liv) y = xsen 3x
(lv) y = 5x + log2 x (lvi) y = 2
x2 + 32x (lvii) y = xx sen x
(lviii) y =
(
1+
1
x
)x
(lix) y = ln(1+ xx) (lx) y = xπ + πx
12. Calcule as derivadas das funções dadas abaixo por derivação logaŕıtmica.
(a) y = (2x+ 1)(x2 + 3)(x3 − 1) (b) y =
x(x− 1)(x+ 2)
x+ 1
(c) y =
√
x2 − 1
x2 + 1
(d) y = xx
x
(e) y = 2x
x
(f) y = (x2 + 1)cos x
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1. (a) 7 (b) f(x) = 8x− 3 (c) f(x) =
−3
2x
√
x
(d) f(x) = −sen x
2. (a) 7 (b)
2
e5
3. (i) y
′
= x
2
3 (ii) y
′
= 21x6 − 12x2
(iii) y
′
=
−3
x
5
2
(iv) y
′
= 4
x2 + 2x− 4
(x2 + x+ 5)2
(v) y
′
=
−1
x ln2 x
(vi) y
′
=
x
2
+
−8
x3
(vii) y
′
= 2(10x4 + 14x3 + 3x2 − 8x− 7) (viii) y
′
= ln x
(ix) y
′
= 2xex + x2ex (x) y
′
= 2e
x(x+x lnx+1)
x
(xi) y
′
=
ex(x− 1)2
(x2 + 1)2
(xii) y
′
= −sen 2x+ cos2 x
(xiii) y
′
= 2xsen x+ cos x(x2 − 1) (xiv) y
′
= ex cos x − exsen x
(xv) y
′
= sec x tg x+ sec2 x (xvi) y
′
= sen x+ x cos x
(xvii) y
′
= − cos x(x3 + cos x) + (−3+ sen x)(−3x2 + sen x) (xviii) y
′
=
x+ ln(x) + 1
x2 ln2 x
(xix) y
′
= 4 cos x+ sen x+ sec xtg x (xxi) y
′
= ex(2+ sec2 x+ tg x)
(xx) y
′
= cos x+ 2x cos x− (1+ x2)sen x (xxii) y
′
= sec x(sec2 x+ tg 2x)
(xxiii) y
′
= −((1+x(1+x)cotgx)cosecx)
x2
(xxiv) y
′
=
1− ln x
x2
(xxv) y
′
= −cosec 2x+ 4 sec xtg x (xxvi) y
′
= 1
x ln 3
(xxvii) y
′
= 1
x lnπ (xxviii) y
′
= cos x+ sec2 x− xsen x
(xxix) y
′
= ex((1+ x) cos x− xsen x) (xxx) y
′
= x(cos x(3+ 2 ln x) − x(1+ ln x)sen x)
4. Para f(x) =
{
x+ 2, se x < 1
2, se x ≥ 1
, temos:
(i) Não, o limite da f quando x tende a 1 não existe.
(ii) Não, pois se a derivada existisse f seria cont́ınua.
(iii) Não é derivável.
(iv)
1.
2.
3.
0
f
Para f(x) =
{
x2 − 2x+ 1, se x ≤ 1
−x2 + 2x− 1, se x > 1
, temos:
(i) Sim, pois 1 ∈ D(f) e lim
x→1 f(x) = 0 = f(1).
(ii) Sim, as derivadas laterais coincidem.
(iii) 0.
(iv)
1.0
f
Para f(x) =
{
−x− 1, se x ≤ 1
x2 − 3, se x > 1
, temos:
(i) Sim, p = 1 está no domı́nio da função e o limite de f(x)
quando x tende a 1 existe e é igual a f(1).
(ii) Não, as derivadas laterais não coincidem.
(iii) Não é derivável.
(iv)
1.0
f
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5. (a) y
′
= lnx+ 1 se x > 0; y
′′
= 1
x
se x > 0; y
′′′
= −1
x2
se x > 0.
(b) y
′
= 2x
2
|x|
se x 6= 0; y ′′ = 2x
3
|x|3
se x 6= 0; y ′′′ = 0 se x 6= 0
(c) f
′
(x) =
{
2x+ 3, se x ≤ 1
5, se x > 1
; f
′′
(x) =
{
2, se x < 1
0, se x > 1
; f
′′′
(x) =
{
0, se x < 1
0, se x > 1
6. (a) fn(x) = n! (b) fn(x) = (−1)
n+1(n−1)!
xn
.
7. f(27)(x) = −sen x
8. (a) y = 2x− 3
3/2.
−3.
0
f
g
(b) y = −4
25
x+ 13
25
13/4.
13/25.
0
f
a
(c) y = x+ 5
−5.
5.
0
f
g
A
(d) y = x; y = −1
e2
x+ 4
e2
;
4.
4/e2.
0
fa
b
A
B
9. y = 4x− 5; y = −x
4
+ 7
2
10. 13√
2
11. (i) y
′
= 4(−3+ 6x2)(7− 3x+ 2x3)3 (ii) y
′
= 4x√
(1+4x2)
(iii) y
′
= (1− 2x4)4(−6− 15x2 + 252x4 + 230x6) (iv) y
′
= (2x(−5+x
2)2(22+x2))
(4+x2)3
(v) y
′
= −2
(5−3x)(1/3)
(vi) y
′
= (x(−13+4x
2))√
(−4+x2)
(−1+x2)
)
(vii) y
′
= x
(25−x2)( 3
2
)
(viii) y
′
= −1
2
√
(5−x)
+ 3x
2
4(1+x3)(3/4)
(ix) y
′
= 1−10x+6x
2
2
√
(x(1−5x+2x2))
(x) y
′
= 1
2
√
( 2−x−3+x )(−3+x)
2
(xi) y
′
=
1
2
√
(x)
+2x
2
√
(
√
(x)+x2)
(xii) y
′
= 3
3x+4
(xiii) y
′
= 2
x
(xiv) y
′
= −2x
4−x2
(xv) y
′
= x
x2−5
(xvi) y
′
= 2x
−4+x2
(xvii) y
′
=
1
x
lnx (xviii) y
′
= 1+5x
2
2(x+x3)
(xix) y
′
= −1
2(6−5x+x2)
√
2+ln x−2
3−x
(xx) y
′
= 1
x ln|x|
(xxi) y
′
= 4e
(2t)
(1+e(2t))2
(xxii) y
′
= 5e5x
(xxiii) y
′
= 2xex
2
(xxiv) y
′
= 1√
x
e
√
x
(xxv) y
′
= −e−x(−2+ x)x (xxvi) y
′
= e−3x+x
3
(−1+ x2)
(xxvii) y
′
= 6(e−2x + x)(e−2x − x2)2 (xxviii) y
′
= −e2x(−2+ 3cotg (3x))cosec (3x)
(xxix) y
′
= −exsen (ex) (xxx) y
′
= −(cos cos x)sen x
(xxxi) y
′
= 2x cos(x2) (xxxii) y
′
= sen (2x)
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(xxxiii) y ′ = e−x(cos(x) − sen (x)) (xxxiv) y ′ = esen (t) cos(t)
(xxxv) y ′ = −6x cos(1− 3x2) sec2(sen (1− 3x2)) (xxxvi) y ′ =
−2x sec 1
−1+x2
tg 1
−1+x2
(−1+ x2)2
(xxxvii) y ′ =
−((−1+x) sec2(
√
(x
(1+x)
))
2
√
(x)(1+x)2
(xxxviii) y ′ = − cos( 1
1+x ) + 2(1+ x)sen (
1
1+x )
(xxxix) y ′ =
−(x cos(
√
(1+x2))sen (sen (
√
(1+x2))))√
(1+x2)
(xl) y ′ = 2et
2
t cos(1+ et
2
)
(xli) y ′ = sec(1+ x2)(1+ 2x2tg (1+ x2)) (xlii) y ′ = sec x
(xliii) y ′ = 3 sec2(3x) (xliv)y ′ = 3x2 sec(x3)tg (x3)
(xlv) y ′ = −2xcosec 2(x2) (xlvi) y
′
=
(e−x(−(1+ 3x+ x2) cos(x) − x(1+ x)sen (x)))
(x2(1+ x)2)
(xlvii) y ′ = (e
2t(−3t+(1+5t+6t2) ln(1+3t)))
((1+3t) ln2(1+3t))
(xlviii) y ′ = (4(3 cos(3x) − 2sen (2x))(cos(2x) + sen (3x))3
(xlix) y ′ = e−x sec(x2)(−1+ 2xtg (x2)) (l) y ′ = −9x2 cos2(x3)sen (x3)
(li) y ′ = x2(4x sec2(4x) + 3tg (4x)) (lii) y ′ = x( (3x)(5+3x) + 2 log(5+ 3x))
(liii) y ′ = −6xcotg 2(x2)(x2 + cotg (x2))2 (liv) y ′ = x−1+sen (3x)(3x cos(3x) ln(x) + sen (3x))
(lv) y ′ = 1
x log(2) + 5
x log(5) (lvi) y ′ = 21+x
2
x ln(2) + 9x ln(9)
(lvii) y ′ = xx(cos(x) + (1+ ln(x))sen (x)) (lviii) y ′ =
((1+ 1
x
)x(−1+ (1+ x) ln(1+ 1
x
)))
(1+ x)
(lix) y ′ = (x
x(1+ln(x)))
(1+xx) (lx) y
′ = πx−1+π + πx ln(π)
12. (a) y ′ = ( 2
2x+1 +
2x
x2+3
+ 3x
2
x3−1
)(2x+ 1)(x2 + 3)(x3 − 1) (b) y ′ = (1
x
+ 1
x−1 +
1
x+2 −
1
x+1 )
x(x− 1)(x+ 2)
x+ 1
(c) y ′ = 1
2
( 2x
x2−1
− 2x
x2+1
)
√
x2 − 1
x2 + 1
(d) y
′
= xxxx
x
(ln2 x+ ln x+ 1
x
)
(e) y ′ = (ln x+ 1)xx2x
x
ln 2 (f) y ′ = (x2 + 1)cosx
[
−sen x ln(x2 + 1) +
2x cos x
x2 + 1
]
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