Apostila_Teoria de medidas e erros

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TEORIA DE MEDIDAS E ERROS 
TEORIA DE MEDIDAS E ERROS 
 
INTRODUÇÃO 
 
O ato de medir é, em essência, um ato de comparar, e essa comparação envolve erros de 
diversas origens (dos instrumentos, do operador, do processo de medida etc.). Pretende-
se aqui estudar esses erros e suas conseqüências, de modo a expressar os resultados de 
dados experimentais em termos que sejam compreensíveis a outras pessoas. 
Quando se pretende medir o valor de uma grandeza, pode-se realizar apenas uma ou várias 
medidas repetidas, dependendo das condições experimentais particulares ou ainda da 
postura adotada frente ao experimento. Em cada caso, deve-se extrair do processo de 
medida um valor adotado como melhor na representação da grandeza e ainda um limite 
de erro dentro do qual deve estar compreendido o valor real. 
 
MEDIDAS FÍSICAS 
 
As medidas físicas podem ser classificadas em dois tipos, diretas e indiretas suas 
definições são especificadas a seguir. 
Medidas diretas. São aquelas obtidas diretamente do instrumento de medida. Como 
exemplos podem ser citados: comprimento e tempo, sendo realizadas diretamente de 
trenas e cronômetros, respectivamente. Nesta categoria ainda temos: 
 
- Medida direta de uma única medida: Quando somente uma leitura é suficiente. 
Ex. Medida da largura de uma mesa. Basta medirmos uma única vez. 
 
- Medida direta de várias medidas: Quando é necessário medirmos várias vezes a mesma 
grandeza para minimizar a imprecisão na medida. 
Ex. tempo de queda de um corpo. Medimos várias vezes e tiramos à média. 
 
Medidas indiretas. São aquelas obtidas a partir das medidas diretas, com o auxílio de 
equações. 
Ex. a área de uma superfície, o volume de um corpo ou a vazão de um rio ou canal. 
 
ERRO EXPERIMENTAL 
 
Conceitualmente, o erro experimental é a diferença entre o real valor de uma grandeza 
física (peso, área, velocidade...) e o respectivo valor dessa grandeza obtido através de 
medições experimentais. 
Mesmo que o experimento seja realizado com o máximo de cuidado, há sempre fontes de 
erro que podem afetá-la. Os erros experimentais podem ser de três tipos: erros grosseiros, 
erros sistemáticos e erros aleatórios. 
 
Erros Grosseiros. Ocorrem devido á falta de prática (imperícia) ou distração do operador. 
Como exemplos, podemos citar a escolha errada de escalas, erros de cálculo, etc. Devem 
ser evitados pela repetição cuidadosa das medições. 
 
Erros Sistemáticos São causados por fontes identificáveis, e em princípio podem ser 
eliminados ou compensados. Estes erros fazem com que as medidas feitas estejam 
consistentemente acima ou abaixo do valor real, prejudicando a exatidão da medida. 
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TEORIA DE MEDIDAS E ERROS 
Decorre de uma imperfeição no equipamento de medição ou no procedimento de 
medição, pode ser devido a um equipamento não calibrado. 
Por exemplo, se utilizarmos uma régua graduada para trabalhar a 10° C e trabalharmos 
com ela a 30° C, a dilatação, sofrida por sua escala, acarretará um erro sistemático por 
toda a experiência. 
Um outro exemplo muito comum é a utilização de instrumentos com escalas não 
zeradas, como mostra a figura 1. 
Erros aleatórios Estes erros decorrem de fatores imprevisíveis. São flutuações, para cima 
ou para baixo, que fazem com que aproximadamente a metade das medidas realizadas 
esteja desviada para mais, e a outra metade esteja desviada para menos, afetando a 
precisão da medida. Decorre da limitação do equipamento ou do procedimento de 
medição, que impede que medidas exatas sejam tomadas. Nem sempre é possível 
identificar as fontes de erros aleatórios. 
 
A precisão de um conjunto de valores obtidos de repetidas medidas experimentais 
caracteriza o quanto os valores do conjunto estão próximos uns dos outros, ou seja, em 
termos da dispersão dos valores em teorno de um valor médio (quanto maior a dispersão, 
menor a precisão). 
A acurácia, ou exatidão, caracteriza o quanto o valor médio do conjunto do valor está 
próximo do valor real. 
Portanto, quando o conjunto de medidas realizadas se afasta muito da média, a medida é 
pouco precisa e o conjunto de valores medidos tem alta dispersão (Figura 1 (a, b)). 
Quando as mesmas estão mais concentradas em torno da média diz-se que a precisão da 
medida é alta (Figura 1 (c, d)), e os valores medidos tem uma distribuição de baixa 
dispersão. 
 
 
a) Baixa precisão e 
baixa exatidão 
 
b) Baixa precisão e 
alta exatidão 
 
c) Alta precisão e 
baixa exatidão 
 
d) Alta precisão e 
alta exatidão 
Figura 1: Representação da precisão e exatidão em medidas experimentais 
 
 
TRATAMENTO ESTATÍSTICO DE MEDIDAS COM ERROS ALEATÓRIOS 
 
Quando forem efetuadas diversas medidas de uma mesma grandeza, a melhor maneira de 
expressar o valor dessa grandeza será através do valor médio dos valores obtidos e a 
incerteza associada será determinada através de um tratamento estatístico elementar. 
Como os erros aleatórios tendem a desviar aleatoriamente as medidas feitas, se forem 
realizadas muitas medições aproximadamente a metade das medidas feitas estará acima e 
metade estará abaixo do valor correto. Portanto, uma boa estimativa para o valor correto 
da grandeza será a média aritmética dos valores medidos: 
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�̅� = 
1
𝑁
∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1
 
 
Ao serem realizadas várias medições da mesma grandeza nas mesmas condições, a 
incidência de erros aleatórios faz com que os valores medidos estejam distribuídos em 
torno da média. A dispersão do conjunto de medidas realizadas pode ser caracterizada 
através do desvio padrão, definido como: 
𝑆 = √
1
𝑁 − 1
 ∑(𝑥𝑖 − �̅�)2
𝑁
𝑖=1
 
 
Conjuntos de medidas com desvio padrão baixo são mais precisas do que quando o desvio 
padrão é alto. 
Quanto maior o número de medidas realizadas maior será a precisão, devido a 
compensação dos erros aleatórios. O erro padrão da média é definido como: 
∆�̅� = 𝑆𝑚 = 
𝑆
√𝑁
 
 
Observa-se através da equação que o erro padrão da média diminui com a raiz quadrada 
do número N de medições realizadas. Portanto, quanto maior o número de medições 
melhor é a determinação do valor médio. 
O erro percentual ou relativo ao qual está submetida a medida, expresso em 
porcentagem, é obtido através da expressão: 
∆𝑥𝑝̅̅ ̅ = 
∆�̅�
�̅�
 × 100 
 
PROPAGAÇÃO DE ERROS EM CÁLCULOS 
Como anteriormente mencionado, algumas medidas são obtidas através de equações 
(medidas indiretas), com base em medições realizadas diretamente de equipamentos 
(medidas diretas). Portanto, junto com as medidas são carregados também os erros, 
tornando necessário o conhecimento de como o erro da medida original pode afetar a 
grandeza final. 
Consideremos que a grandeza a V ser determinada esteja relacionada com outras duas ou 
mais, através da relação: 
𝑉 = 𝑓(�̄� ± 𝛥𝑥, �̄� ± 𝛥𝑦, . . . ) 
 
onde f é uma relação conhecida de �̄� ± 𝛥𝑥, �̄� ± 𝛥𝑦, . ... 
 
Um método usualmente aplicado e que nos dá o valor de DV imediatamente em termos 
de Dx ,Dy,... é baseado na aplicação de resultados do cálculo diferencial. 
 
𝑑𝑉(𝑥, 𝑦, . . . ) =
𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑉
𝜕𝑦
𝑑𝑦+. .. 
 
Para uma função, o erro total, devido a diferentes variáveis, é sempre ADITIVO, ou seja, 
 
𝛥𝑉(𝑥, 𝑦, . . . ) =∣
𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝛥𝑥 ∣ +∣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
𝛥𝑦 ∣ +. .. 
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TEORIA DE MEDIDAS E ERROS 
Na verdade, usando a análise estatística, a expressão correta para DV é: 
 
(𝛥𝑉)2 = (𝛥𝑉𝑥)
2 + (𝛥𝑉𝑦)
2 + (𝛥𝑉𝑧)
2+. .. (1) 
onde 𝛥𝑉𝑥 =
𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝛥𝑥; 𝛥𝑉𝑦 =
𝜕𝑉
𝜕𝑦
𝛥𝑦;etc. 
 
Apresentaremos aqui os resultados mais utilizados neste curso. 
 
Adição: 
𝑉 = (�̄� ± 𝛥𝑥) + (�̄� ± 𝛥𝑦), 
𝑉 ± 𝛥𝑉 = (�̄� + �̄�) ± √(𝛥𝑥)2 + (𝛥𝑦)2 (2) 
 
Subtração: 
𝑉 = (�̄� ± 𝛥𝑥) − (�̄� ± 𝛥𝑦) 
𝑉 ± 𝛥𝑉 = (�̄� − �̄�) ± (√(𝛥𝑥)2 + (𝛥𝑦)2) (3) 
 
Multiplicação: 
𝑉 ± 𝛥𝑉 = (�̄� ± 𝛥𝑥). (�̄� ± 𝛥𝑦) = (�̄�. �̄�) ± (√(𝑦. 𝛥𝑥)2 + (𝑥. 𝛥𝑦)2) 
ou seja 𝛥𝑉 = √(𝛥𝑥)2 + (𝛥𝑦)2; 
𝛥𝑉
𝑉= √(
𝛥𝑥
𝑥
)2 + (
𝛥𝑦
𝑦
)2. (4) 
 
Divisão: 
𝑉 ± 𝛥𝑉 =
(�̄� ± 𝛥𝑥)
(�̄� ± 𝛥𝑦)
= (�̄�. �̄�) ± √(�̄�𝛥𝑥)² + (𝑥.̄ 𝛥𝑦)² �̄�2⁄ 
ou seja, 𝛥𝑉 = √(�̄�𝛥𝑥)² + (𝑥.̄ 𝛥𝑦)² �̄�2⁄ ; 
 
𝛥𝑉
𝑉
= √(
𝛥𝑥
𝑥
)2 + (
𝛥𝑦
𝑦
)2. (5) 
 
Combinação linear: 
 
𝑉 ± 𝛥𝑉 = 𝑎(�̄� ± 𝛥𝑥) + 𝑏(�̄� ± 𝛥𝑦) = (𝑎�̄� + 𝑏�̄�) ± (√(𝑎𝛥𝑥)2 + (𝑏𝛥𝑦)2). (6) 
 
 
Potências: 
 
𝑉 = 𝑎𝑥𝛼 . 𝑦𝛽: 𝛥𝑉 = 𝑉. √(𝛼
𝛥𝑥
�̄�
)2 + (𝛽
𝛥𝑦
�̄�
)2. (7) 
 
Obs: Quando o erro aleatório calculado for nulo (seja em medidas diretas ou indiretas), 
o resultado da medida deve ser seu valor médio juntamente com o erro do aparelho, que 
serão menor erro possível cometido na medida. 
 
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais capaz que seja o 
operador e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Para representarmos uma 
medida usamos algarismos. Além de utilizarmos algarismos que temos certeza de estarem 
corretos, admite-se o uso de apenas um algarismo duvidoso. O número de algarismos 
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TEORIA DE MEDIDAS E ERROS 
significativos está diretamente ligado à precisão da medida, ou seja, quanto mais 
precisa a medida maior é o numero de algarismos significativos. 
Exemplo: Se o resultado de uma medida é 3,24 cm, os algarismos 3 e 2 são corretos e o 
algarismo 4 é o duvidoso não tendo sentido físico escrever qualquer algarismo após o 4. 
Observações importantes em relação aos algarismos significativos: 
1. A presença de vírgula (casas decimais) no valor de uma medida não é considerada ao 
se tratar da identificação de algarismos significativos. Por exemplo, uma medida de 
7,45 cm possui duas casas decimais, mas três algarismos significativos. 
2. Não é algarismo significativo o zero a esquerda do primeiro algarismo significativo 
diferente de zero. 
3. Zero a direita de algarismo significativo também é algarismo significativo. 
4. É significativo o zero situado entre algarismos significativos. 
5. Quando tratamos apenas com matemática, podemos dizer por exemplo, que 5; 5,0; 
5,00 e 5,000 são iguais. Entretanto, ao lidarmos com resultados de medidas devemos 
sempre lembrar que 5 cm; 5,0 cm; 5,00 cm e 5,000 cm são diferentes, pois a precisão 
de cada uma delas é diferente. 
6. Arredondamento: Quando for necessário fazer arredondamento de algum número, 
utiliza-se a seguinte regra: 
- quando o algarismo a direita do último algarismo significativo for menor que 5, este é 
abandonado; 
Exemplo: queremos arredondar o número 3,442672 para 3 algarismos significativos. 
3,442672 → 3,44. 
- quando o algarismo a direita do último algarismo significativo for maior que 5, somamos 
1 unidade ao algarismo significativo anterior. 
Exemplo: queremos arredondar o número 3,447672 para 3 algarismos significativos. 
3,447672 → 3,45. 
- quando o algarismo a direita do último algarismo significativo for igual a 5, 
Exemplo: queremos arredondar o número 3,447672 para 3 algarismos significativos. 
3,447672 → 3,45. 
7. Operações com algarismos significativos: 
- Soma e subtração: Primeiro devemos reduzir todos os termos à mesma unidade. Após 
deve-se observar qual o termo que possui o menor número de casas decimais. Este deve 
ser mantido e os demais devem ser arredondados para o mesmo número de casas 
decimais. Após deve ser realizada a soma. 
- Produto e divisão: A regra é dar ao resultado da operação o mesmo número de 
algarismos significativos do fator que tiver o menor número dos mesmos. Portanto, a 
operação deve ser realizada da forma em que são apresentados e o arredondamento é 
realizado no resultado. 
8. Algarismos significativos em medidas de erro: se o erro da medida esta na casa dos 
décimos, por exemplo, não faz sentido fornecer os algarismos correspondentes aos 
centésimos e milésimos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TEORIA DE MEDIDAS E ERROS 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1) Determinar o desvio avaliado nos seguintes casos: 
 a) régua milimetrada: 0,5 mm 
 b) régua com escala graduada em centímetros: 0,5 cm 
 c) balança com precisão de 0,1 g: 0,05 g 
 d) cronômetro com precisão de 0,2 s: 0,1 s 
 e) amperímetro com escala graduada em 0, 2, 4, 6, 8, 10 ampères ( A ): 1 A 
 f) dinamômetro com escala graduada de 5 em 5 newtons ( N ): 3N 
 g) voltímetro com fundo de escala de 10 volts dividida em 20 partes: 0,3 V 
2) Dadas as medidas e seus respectivos desvios, escrever os resultados corretamente, em 
termos de algarismos significativos. 
 
 (a) (b) (c) (d) (e) 
m 32,75 g 72,19 cm 4,189 g 12314 m 82372 h 
∆m 0,25 g 2,3 cm 0,0219 g 276 m 28 h 
 
(a) (32,8 ± 0,3) g (b) (72 ± 2) cm (c) (4,19 ± 0,02) g 
(d) (123×102 ± 3×102) m (e) (8237×101 ± 3×101) h 
 
3) Numa experiência, a medida do comprimento de uma barra, repetida 5 vezes (N = 5), 
forneceu a tabela: 
 
n 1 2 3 4 5 
Ln (m) 2,21 2,26 2,24 2,22 2,27 
 
 
�̅� = ∑
𝐿𝑛
𝑁
= 2,24𝑚a) Encontrar o valor médio: 
 
 
b) Encontrar o desvio médio: 
n 1 2 3 4 5 
Ln (m) 2,21 2,26 2,24 2,22 2,27 
𝐿𝑛 − �̄�(m) -0,03 0,02 0,00 -0,02 0,03 
(𝐿𝑛 − �̄�)²(m
2) 9.10-4 4.10-4 0 4.10-4 9.10-4 
 
com 𝛥𝐿 = √
∑(𝐿𝑛−�̄�)2
𝑁−1
= 0,02m. 
 
c) Escrever o resultado final em termos de algarismos significativos: 
𝐿 = (�̄� ± 𝛥𝐿) = (2,24 ± 0,02)m. 
 
4) Efetuar as seguintes operações: 
 
a) (231,03 ± 0,02) – (12,8 ± 0,5) = 
 
 Seja x = (231,03 ± 0,02) , y = (12,8 ± 0,5) 
 s = s(x,y) = x – y=�̄�±𝛥𝑠 
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TEORIA DE MEDIDAS E ERROS 
Δ𝑠 = √(Δ𝑥)2 + (Δ𝑦)2 = √0,022 + 0,52 = 0,50 Logo �̄� = 231,03 – 12,8 = 218,23 
 
 
 s = (218,2 ± 0,5) 
 (resultado com mesmo número de casas decimais que o fator com o 
menor número delas, ou seja y, com uma casa decimal) 
 
b) [(2,14 ± 0,03) kg/(1,4 ± 0,1) m3] = 
 
 Seja x = (2,14 ± 0,03) kg, y = (1,4 ± 0,1) m3 
 f = f(x,y) = x/y =𝑓±𝛥𝑓 
 
 Logo 𝑓 =
2,14
1,4
= 1,52857Δ𝑓 = √(�̅� ⋅ Δ𝑥)2 + (�̅� ⋅ Δ𝑦)2 =
√(1,4 ⋅ 0,03)2 + (2,14 ⋅ 0,1)2 = 0,2181 
 
 
 f = (1,5 ± 0,2) kg/m3 
 
(resultado com mesmo número de algarismos significativos que o fator com o menor 
número deles, ou seja y, com dois algarismos significativos) 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1- Verifique quantos algarismos significativos apresentam os números abaixo: 
a) 0,003055 b) 1,0003436 c) 0,0069000 d) 162,32×106 
 
2- Aproxime os números acima para 3 algarismos significativos. 
 
3- Efetue as seguintes operações, levando em conta os algarismos significativos: 
a) 2,3462 cm + 1,4 mm + 0,05 m 
b) 0,052 cm /1,112 s 
c) 10,56 m - 36 cm 
 
4- Efetue as seguintes operações, levando em conta os algarismos significativos: 
a) (2,5±0,6)cm + (7,06 ± 0,07)cm 
b) (0,42±0,04)g / (0,7 ± 0,3)cm 
c) (0,7381±0,0004)cm × (1,82 ± 0,07)cm 
d) (4,450±0,003)m - (0,456 ± 0,006)m 
 
5- As medidas da massa, comprimento e largura de uma folha foram obtidas 8 vezes e os 
resultados estão colocados na tabela abaixo. Usando estes dados e levando em conta os 
algarismos significativos, determine: 
a) os valores médios da massa, comprimento e largura da folha. 
b) os erros absolutos das medidas da massa, comprimento e largura da folha. 
c) o desvio padrão das medidas da massa, comprimento e largura da folha. 
d) o erro relativo das medidas da massa, comprimento e largura da folha. 
 
 
 
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TEORIA DE MEDIDAS E ERROS 
massa (g) largura (cm) comprimento (cm) 
4,51 4,43 21,0 21,1 30,2 29,8 
4,46 4,41 21,2 20,9 29,8 30,1 
4,56 4,56 20,8 20,8 29,9 29,9 
4,61 4,61 21,1 20,7 30,1 29,9 
 
 
6-Utilizando os resultados do exercício 5 e a teoria de propagação de erros, determine: 
(a) a área da folha e seu respectivo erro. 
(b) densidade superficial da folha e seu respectivo erro. 
 
7- Compare o valor obtido no item 6(b) com a densidade superficial escrita no pacote de 
papel. (75 g/m2). 
 
8- Usando a relação (1), encontre as expressões (2)-(7) para o erro e o erro relativo de 
funções básicas de x e y.