Sinais e Sistemas Lineares

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616 SINAIS E SISTEMAS LINEARES
Obviamente, X(jω) ≠ X(ω) neste caso.
Para compreender essa complicação, considere o fato de termos obtido X(jω) fazendo s = jω na Eq.
(7.31a). Isso implica que a integral do lado direito da Eq. (7.31a) convirja para s = jω, significando que s = jω
(o eixo imaginário) esteja na RDC para X(s). A regra geral é que quando a RDC de X(s) inclui o eixo jω, po-
demos obter a transformada de Fourier X(ω) substituindo s = jω em X(s), ou seja, X(jω) = X(ω). Esse é o ca-
so de x(t) absolutamente integrável. Se a RDC de X(s) exclui o eixo jω, então X(jω) ≠ X(ω). Esse é o caso de
x(t) exponencialmente crescente ou constante ou oscilatório com amplitude constante.
A razão para esse comportamento peculiar tem algo a ver com a natureza da convergência tas integrais de La-
place e Fourier quando x(t) não é absolutamente integrável.†
Esta discussão mostra que, apesar da transformada de Fourier poder ser considerada um caso especial da
transformada de Fourier, precisamos limitar esse ponto de vista. Esse fato também pode ser visto da análise de
que um sinal periódico possui transformada de Fourier, mas a transformada de Laplace dele não existe.
7.3 ALGUMAS PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER
Iremos estudar, agora, algumas propriedades importantes da transformada de Fourier e suas implicações e aplicações.
Já encontramos duas importantes propriedades, linearidade [Eq (7.16)] e propriedade do conjugado [Eq. (7.10)].
Antes de começarmos em nosso estudo, iremos explicar um aspecto importante e permissivo da transforma-
da de Fourier: a dualidade tempo-freqüência.
Figura 7.18 Uma quase simetria entre as transformadas direta e inversa de Fourier.
† Para explicar esse ponto, considere a função degrau unitário e suas transformadas. Tanto a transformada de Laplace quanto a transfor-
mada de Fourier sintetizam x(t) usando exponenciais de duração infinita na forma est. A freqüência s pode estar em qualquer lugar no
plano complexo para a transformada de Laplace, mas ela deve ser restrita ao eixo jω na transformada de Fourier. A função degrau uni-
tário é facilmente sintetizada na transformada de Fourier por um espectro X(s) = 1/s relativamente simples, no qual as freqüências s são
escolhidas no SPD [a região de convergência para u(t) é Re s > 0]. Na transformada de Fourier, entretanto, estamos restritos aos valo-
res de s apenas sobre o eixo jω. A função u(t) ainda pode ser sintetizada por freqüência ao longo do eixo jω, mas o espectro é mais com-
plicado do que quando estamos livres para escolher freqüências no SPD. Por outro lado, quando x(t) é absolutamente integrável, a re-
gião de convergência da transformada de Laplace inclui o eixo jω e podemos sintetizar x(t) usando freqüências ao longo do eixo jω nas
duas transformadas. Isso resulta em X(jω) = X(ω).
Podemos explicar esse conceito pelo exemplo de dois países, X e Y. Suponha que esses países queiram construir represas similares
em seus respectivos territórios. O país X possui os recursos financeiros, mas não possui muito recurso humano. Por outro lado, Y pos-
sui um considerável recurso humano, mas pouco recurso financeiro. As represas ainda serão construídas em seus países, apesar dos mé-
todos utilizados serem diferentes. O país X irá utilizar um maquinário muito eficiente, mas muito caro para compensar a falta de recur-
so humano, enquanto que Y irá utilizar os equipamentos mais baratos possíveis em uma abordagem de trabalho humano intensivo em
seu projeto. Similarmente, tanto a integral de Fourier quanto Laplace convergem para u(t), mas a matéria prima dos componentes uti-
lizados para sintetizar u(t) serão muito diferentes nos dois casos, devido às restrições da transformada de Fourier, as quais não estão
presentes na transformada de Laplace.
CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO: A TRANSFORMADA DE FOURIER 619
Como um interessante exercício, o leitor deve gerar o dual de cada par da Tabela 7.1 aplicando a proprie-
dade da dualidade.
630 SINAIS E SISTEMAS LINEARES
A aplicação repetida dessa propriedade leva a
(7.48)
A propriedade de integração no tempo [Eq. (7.47)] já foi provada no Exemplo 7.16.
As propriedades da transformada de Fourier estão resumidas na Tabela 7.2.
Utilize a propriedade de diferenciação no tempo para obter a transformada de Fourier do pulso triangular
Δ(t/τ) apresentado na Fig. 7.27a.
Para determinarmos a transformada de Fourier desse pulso, iremos diferenciar o pulso sucessivamente, co-
mo mostrado na Fig. 7.27b e 7.27c. Como dx/dt é uma constante, sua derivada, d2x/dt2, é zero. Mas dx/dt
possui descontinuidades com um salto positivo de 2/τ em t = ±τ/2 e um salto negativo de 4/τ em t = 0. Lem-
bre que a derivada de um sinal em um salto de descontinuidade é um impulso naquele ponto de força igual
ao total do salto. Logo, d2x/dt2, a derivada de dx/dt, é constituída por uma seqüência de impulsos, como mos-
trado na Fig. 7.27c, ou seja,
(7.49)
Usando a propriedade de diferenciação no tempo [Eq. (7.46)],
(7.50a)
EXEMPLO 7.17
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Realce