Apostila Circuitos Elétricos III

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1
 
 
 
UNIVERSIDADE 
 
FEEVALE 
 
ICET / ENG. ELETRÔNICA 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS 
III 
 
 
Prof. Moisés de Mattos Dias 
 
 
 2
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO 
 
CRONOGRAMA 
 
OBSERVAÇÕES 
 
1. TRANSFOMADA DE LAPLACE 
1.1. Funções Complexas 
1.2. Plano S - Diagramas de Pólos e Zeros 
1.3. Propriedades e Exemplos da Transformada de Laplace 
1.4. Aplicações na Solução de Circuitos 
1.5. Frações Parciais e Determinação da Transformada Inversa 
1.6. Sistemas de segunda ordem e Primeiro Critério de Estabilidade 
1.7. Circuitos com Cargas no Indutor e Capacitor 
1.8. Teorema do Valor Inicial e Final 
 
2. ANÁLISE NO DOMÍNIO FREQUÊNCIA 
 
2.1. ANÁLISE SENOIDAL DE FREQUÊNCIA 
2.1.1. Introdução a Análise de Frequência 
2.1.2. Diagrama de Resposta em Frequência 
2.1.3. Diagrama de Bode 
 
2.2. SÉRIE E TRANSFORMADA DE FOURIER 
 
2.2.1. SÉRIE DE FOURIER 
2.2.1.1. Introdução 
2.2.1.2. Teorema de Fourier 
2.2.1.3. As Séries de Fourier 
2.2.1.4. Os Coeficientes de Fourier 
2.2.1.5. Simetria da Série de Fourier 
2.2.1.6. Série Exponencial de Fourier 
 
2.2.2. TRANSFORMADA DE FOURIER 
2.2.2.1. Introdução a Transformada de Fourier 
2.2.2.2. Par de Transformada de Fourier 
2.2.2.3. Transformada de Fourier a Partir de Laplace 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
 
INTRODUÇÃO A CIRCUITOS ELÉTRICOS III 
 
Em alguns programas de engenharia elétrica ou eletrônica, a disciplina de CIRCUITOS 
ELÉTRICOS, é o início de uma seqüência, muitas vezes agrupadas num conjunto de 
disciplinas denominadas de CIRCUITOS ELÉTRICOS LINEARES. Com algumas 
variações de denominações, a seqüência das disciplinas, está relacionada da seguinte 
forma: 
 
• CIRCUITOS ELÉTRICOS I, II e III 
• TEORIA DE REDES 
• ANÁLISE DE SISTEMAS 
• SISTEMAS DE CONTROLE 
 
O objetivo das disciplinas de CIRCUITOS ELÉTRICOS I. II e III, é a compreensão do 
funcionamento básico de circuitos constituídos por Resistores, Indutores, Capacitores e 
Fontes de Tensão e Corrente e sua resolução, mas também o entendimento de como as 
grandezas elétricas de tensão, correntes, resistência e potência se relacionam nestes 
componentes e circuitos. 
 
Importante salientar que, circuitos compostos por resistores, indutores e capacitores, 
podem representar a simplificação de circuitos mais complexos, ou circuitos equivalentes 
de dispositivos e equipamentos como motores, transformadores e amplificadores. Por 
exemplo, uma lâmpada de filamento tem circuito equivalente um resistor ou resistência. 
Um motor elétrico tem como circuito equivalente um resistor e um indutor, ou seja, a 
rede (CEEE) ¨enxerga¨ um motor como um circuito RL. Entretanto para uma análise mais 
profunda de certos tipos de motores, talvez seja conveniente tomar como equivalente, um 
circuito RLC. A resolução destes circuitos básicos constituídos pro Resistores, Indutores, 
Capacitores e Fontes, se dá a partir de sistemas de equações lineares, equações 
diferenciais, fasores e números complexos, transformadas de Laplace e Fourier, o que 
implica num razoável conhecimento de cálculo. 
 
Importante salientar também que, outras áreas da engenharia utilizam o conceito de 
circuitos equivalentes para solucionar outros problemas de engenharia, como sistemas 
mecânicos, térmicos e magnéticos. Por exemplo, o sistema mecânico massa-mola-
amortecedor, tem como equivalente elétrico, um circuito RLC. Neste caso, a massa é 
equivalente a capacitância, a mola ao indutor, e o amortecimento por atrito viscoso ou o 
atrito é equivalente a resistência. Para resolução deste sistema mecânico, monta-se o 
sistema, encontra-se o equivalente elétrico, resolve-se como um circuito elétrico e após, 
retorna-se por analogia ao sistema mecânico. A disciplina de Circuitos Elétricos III é 
dividida em duas partes: 
 
• ÁREA I – Aplicação da Transformada de Laplace em Circuitos Elétricos 
• ÁREA II – Análise no Domínio Freqüência – Resposta em Freqüência (Módulo, 
Fase e Gdb), Série e Transformada de Fourier 
 
 4
 
CRONOGRAMA 
 
Aula Data Conteúdo 
01 30/07 Introdução da Disciplina 
Cap.1 – Transformada de Laplace – Exemplo 1 
02 06/08 Cap.1 – Transformada de Laplace – Exemplo 2 
03 13/08 Cap.1 – Transformada de Laplace – Exemplo 3 
04 20/08 Cap.1 – Transformada de Laplace – Exemplo 4 
05 27/08 Cap.1 – Transformada de Laplace – Exemplo 5 
06 03/09 Cap.1 – Transformada de Laplace – Exemplo 6 
07 10/09 Cap.1 – Transformada de Laplace – Exemplo 7 
08 17/09 Laboratório I 
09 24/09 Semana Acadêmica 
10 01/10 Prova I 
11 08/10 Cap. 2.1 – Circuitos no Domínio Freqüência – Exemplos 1 – 2 
12 15/10 Cap. 2.1 – Circuitos no Domínio Freqüência – Exemplos 3 – 4 
13 22/10 Cap. 2.1 – Circuitos no Domínio Freqüência – Exemplos 5 – 6 
14 29/10 Cap. 2.1 – Circuitos no Domínio Freqüência – Exemplos 7 – 8 
15 05/11 Cap. 2.2 (I) – Série de Fourier – Exemplos 1 – 2 – 3 
16 12/11 Cap. 2.2 (II) – Transformada de Fourier – Exemplos 
17 19/11 Laboratório II 
18 26/11 Prova II 
Entrega da Lista de Exercícios 
19 03/12 Prova III – Para quem perdeu ou substituição Provas I e II 
Devolução da Lista 
20 10/12 Avaliação Complementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
 
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES 
 
O Conteúdo foi dividido em Duas Áreas (1) e (2), e cada Área pode estar subdividida em 
outras duas áreas. Todo o conteúdo da disciplina está postado no Black Board em dois 
Arquivos: 
 
Apo + Exemplos – Apostila com conteúdos teóricos e Exercícios Resolvidos 
Exercício – Exercícios a Serem feitos pelos Alunos Semelhantes aos Exemplos – A 
serem entregues conforme datas do Calendário 
Laboratório – A serem entregues conforme datas do Calendário 
 
Obs: O fato de todo o conteúdo estas disponível na Apostila não impede o aluno de 
consultar outras referências bibliográficas indicadas no Programa da Disciplina. 
 
As aulas estarão disponibilizadas via Black Board. Contudo, haverá Atividades 
Adicionais via Black Board, a ser postadas durante o semestre, no qual o aluno terá 
postado trabalhos complementares. 
 
A Nota Final será Composta de Três Notas de Igual Proporção, conforme demonstrativo 
a seguir: 
- Prova 1 – 33,33% 
- Prova 2 – 33,33% 
- Nota 3 – 33,33% 
 
A Nota 3 será Composta da seguinte forma: 
- Lista de Exercícios 90 % 
- Laboratórios 10% 
 
Haverá Uma Prova de Recuperação de Conteúdos ou Prova III, antes da Avaliação 
Complementar, para quem por qualquer motivo não pode comparecer a uma das duas 
provas realizadas durante o semestre. Portanto quem perder as duas provas terá que 
comprovar a ausência, seja por atestado médico ou comprovante da empresa devido a 
compromissos no trabalho. Também será possível refazer uma das duas provas, contudo a 
nota final será a média das duas provas, ou seja, a prova realizada na data e a 
Recuperação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6
1. TRANSFOMADA DE LAPLACE 
 
1.1. Funções Complexas 
 
Seja f(t) uma função tempo que é diferente de zero para t ≥ 0. Então, a transformada 
direta de Laplace de f(t), indicada por L [f(t)], é definida por: 
 
dtetfSFtfL
tα−∞
∫ +== 0 )()()]([ [1] 
 
Assim, a operação L[ ] transforma f(t), que está no domínio do tempo, em F(S), que está 
no domínio da frequência complexa, ou simplesmente no domínio S, onde S é a variável 
complexa σσσσ + jωωωω. Embora pareça que a integração possa ser difícil, logo ficará claro que 
a aplicação do método da T.L. (Transformada de Laplace) utiliza tabelas que abrangem 
todas as funções possíveis de serem encontradas em teoria elementar de circuitos. 
 
Existe uma unicidade nos pares de transformada; ou seja, se f1(t) e f2(t) tiverem a mesma 
imagem no domínio S, F(S), então f1(t) = f2(t). Isso permite retornar em outra direção, do 
domínio s para o domínio no tempo, um processo chamado Transformada Inversa de 
Laplace, L-1[F(S)] = f(t). A transformada inversa de Laplace pode também ser expressa 
como uma integral, a integral de inversão complexa: 
 
∫
∞+
∞−
− ==
j
j
stdseSF
j
tfSFL
0
0
)(
2
1
)()]([1
σ
σπ
 [2] 
 
Basicamente, a T.L. é uma ferramenta matemática, utilizada, por exemplo, para resolver 
equações diferenciais (ousistemas de equações diferenciais). Portanto, pode ser utilizada 
para resolução de circuitos elétricos. A T.L. transforma equações íntegro-diferenciais (no 
domínio tempo) em equações algébricas simples em s (no domínio frequência), que 
podem então ser resolvidas a partir de métodos de resolução de sistemas de equações. 
Após a resolução do sistema de equações, aplica-se a anti-transformada (ou transformada 
inversa), retornando ao domínio tempo. Esta solução, é a mesma solução que seria obtida, 
se a equação íntegro-diferencial fosse resolvida diretamente por algum outro método. 
 
1.2. Plano S - Diagramas de Pólos e Zeros 
 
Seja uma equação diferencial no domínio tempo f(t), obtido a partir de um circuito 
elétrico qualquer. Passando esta equação para o domínio S (aplicando a transformada), 
resulta numa outra equação em S. Alguns termos desta equação em S podem ser na forma 
de frações. Neste caso, pode-se encontrar o mínimo múltiplo comum, resultando então 
numa única equação na forma de fração, ou seja: 
 
)(
)(
)()()()(
SD
SN
SISFLtitf ==→→= [3] 
 
 7
onde N(S) é o numerador e D(S) o denominador e ambos são polinomiais. 
 
• As raízes de N(S) também são conhecidas como Zeros do sistema, e os valores 
das raízes, são aqueles valores que tornam a função nula. Os valores destas raízes 
são representados por círculos no plano complexo S = σσσσ + jωωωω. 
 
• As raízes de D(S) também são conhecidas como Pólos do sistema, e os valores 
das raízes, são aqueles valores que tornam a função infinita. Os valores destas 
raízes são representados por cruzes (ou xis) no plano complexo S = σσσσ + jωωωω. 
 
Salienta-se que uma função F(S), pode dar algumas características do circuito que esta 
função representa, sem a necessidade de se encontrar a Transformada Inversa. 
 
1.3. Propriedades e Exemplos da Transformada de Laplace 
 
A tabela 1 mostra a Transformada de Laplace para algumas funções. 
 
Tabela 1 - Transformada de Laplace para algumas funções 
 
f(t) F(S) 
 
Kµo K 
K 
S
K
 
K.t 
2S
K
 
tK .. αε − 
α+S
K
 
ttK ... αε − 
( )2α+S
K
 
).(. tsenK ω 
22 ω
ω
+S
K 
).cos(. tK ω 
22 ω+S
S
K 
ttsenK .)..(. αεω − 
( ) 22 ωα
ω
++S
K 
ttK .)..cos(. αεω − 
( ) 22 ωα ++S
S
K 
dt
tdf
K
)(
. ( )
+− 0()(. fSFSK 
∫ dttfK ).(. 
S
SF
K
)(
 
 8
 
1.4. Aplicações na Solução de Circuitos 
 
Para resolver um circuito elétrico qualquer a partir da T.L., não é necessário montar as 
equações no domínio tempo a partir da leis de Kirchoff e encontrar a transformada a 
partir deste equações. Antes, pode representar os componentes, como impedâncias e 
fontes já em s (domínio frequência), e montar as equações a partir das leis de Kirchoff 
diretamente no domínio frequência. A tabela 2 mostra alguns componentes e a sua 
Transformada de Laplace. 
 
Tabela 2 - Transformada de Laplace para alguns componentes 
 
Domínio do Tempo Domínio S Termo da Tensão no 
Domínio S 
 
)(. SIR 
 
 
)0(.)(. +− iLSISL 
 
 
S
v
SC
SI )0()(
.
+
+ 
 
EXEMPLO 1. Determine os pólos e zeros para os circuitos a seguir: 
 
a) Circuito RL com alimentação CC com a chave fechada no tempo = 0. 
 
Inicialmente, representa-se o circuito no Domínio Freqüência Complexa S, ou a T.L.do 
circuito. 
 9
 
onde, as T.L. de cada componente estão relacionadas a seguir: 
 
• Fonte vi (t) = VCC → Vi(S) = VCC / S 
• Resistor R → ZR(S) = R 
• Indutor L → ZL(S) = SL 
 
Dos circuito anteriores, observa-se que: 
 
• No Domínio do Tempo, as grandezas elétricas são representadas por letras 
Minúsculas. 
• No Domínio da Freqüência Complexa S. as grandezas elétricas são representadas 
por letras Maiúsculas. 
 
I. Determinação dos Pólos e Zeros da Corrente 
 
)(
)(
)(
)67,1(
7
5,1
1
5,1
1
5,25,1
5,10
5,15,2
15,10
)(
1
).(
)(
)(
)(
2
SF
SD
SN
SSSSSSSZ
SV
SZ
SV
SI i
i ==
+
=










+
=





+
===
 
)67,1(
7
)(
+
=
SS
SI 
 
A representação de uma grandeza elétrica como tensão ou corrente por T.L., deve ser da 
forma final da equação anterior, ou seja: 
 
• O Coeficiente em S de maior grau deve ser igual a 1 (UM) 
• É conveniente, para fácil determinação dos pólos, deixar o polinômio D(S) na 
forma fatorada, ou seja, na forma da variável de frequência complexa S e suas 
raízes. 
 
Zeros → Raízes de N(S) → Não Existem 
Pólos → Raízes de D(S) → S1 = 0 
 S2 = - 1,67 
 
 10 
Este Sistema é definido por um Pólo na Origem e um Pólo em – 1,67. 
 
Como: 
S = σσσσ + jϖϖϖϖ 
Onde: 
 
σσσσ → Parte Real das raízes → Eixo das abcissas ou vulgarmente eixo X 
jϖϖϖϖ → Parte Imaginária das raízes → Eixo das ordenadas ou vulgarmente eixo Y 
 
A representação no plano complexo S = σ + jϖ, resulta 
 
 
 
II. Determinação dos Pólos e Zeros da Tensão no Resistor 
 
)(
)(
)(
)67,1(
5,17
5,2
)67,1(
7
).()().()( SF
SD
SN
SS
x
SS
RSISZSISV RR ==
+
=
+
=== 
 
)67,1(
5,17
)(
+
=
SS
SVR 
 
Zeros → Raízes de N(S) → Não Existem 
Pólos → Raízes de D(S) → S1 = 0 
 S2 = - 1,67 
 
A representação no plano complexo S = σ + jϖ, resulta 
 
 
 
 11 
III. Determinação dos Pólos e Zeros da Tensão no Indutor 
 
)(
)(
)(
67,1
5,10
)67,1(
5,10
5,1
)67,1(
7
).()().()( SF
SD
SN
SSS
S
Sx
SS
SLSISZSISV LL ==
+
=
+
=
+
===
 
67,1
5,10
)(
+
=
S
SVL 
 
Zeros → Raízes de N(S) → Não Existem 
Pólos → Raízes de D(S) → S1 = - 1,67 
 
A representação no plano complexo S = σ + jϖ, resulta: 
 
 
 
b) Circuito RC com alimentação em rampa unitária [10,5 u-2(t)] 
 
Obs: Função Rampa Unitária : 10.u-2(t) 
 
 
 
 
 12 
As T.L. de cada componente estão relacionadas a seguir: 
 
• Fonte vi (t) = K.u-2(t) → Vi(S) = K / S
2 
• Resistor R → ZR(S) = R 
• Capacitor C → ZC(S) = 1 / SC 
 
Representação do circuito no Domínio Freqüência Complexa S, ou a T.L.do circuito. 
 
I. Determinação dos Pólos e Zeros da Corrente: 
 
)4,05,1(
5,10
4,0
5,1
15,10
5,2
1
5,1
15,10
)(
1
).(
)(
)(
)(
222 +
=

















+
=












+
===
SS
S
S
S
x
S
S
S
SSZ
SV
SZ
SV
SI i
i 
 
)(
)(
)(
)267,0(
7
5,1/1
5,1/1
)4,05,1(
5,10
)( SF
SD
SN
SS
x
SS
SI ==
+
=





+
= 
 
)267,0(
7
)(
+
=
SS
SI 
 
Zeros → Raízes de N(S) → Não Existem 
Pólos → Raízes de D(S) → S1 = 0 
 S2 = - 0,267 
 
A representação no plano complexo S = σ + jϖ, resulta: 
 
 
 13 
II. Determinação dos Pólos e Zeros da Tensão no Resistor: 
 
)(
)(
)(
)267,0(
5,10
5,1
)267,0(
7
).()().()( SF
SD
SN
SS
x
SS
RSISZSISV RR ==
+
=
+
=== 
 
)267,0(
5,10
)(
+
=
SS
SVR 
 
Zeros → Raízes de N(S) → Não Existem 
Pólos → Raízes de D(S) → S1 = 0 
 S2 = - 0,267 
 
A representação no plano complexo S = σ + jϖ, resulta: 
 
 
 
III. Determinação dos Pólos e Zeros da Tensão no Capacitor. 
 
)(
)(
)(
)267,0(
80,2
5,2
1
)267,0(
71
).()().()(
2
SF
SD
SN
SSS
x
SSSC
SISZSISV CC ==
+
=
+
=== 
 
)267,0(
80,2
)(
2 +
=
SS
SVC 
 
Zeros → Raízes de N(S) → Não Existem 
Pólos → Raízes de D(S) → S1 = 0 
 S2 = 0 
 S3 = - 0,267 
 
Este Sistema é definido por um Pólo Duplo na Origem e um Pólo em – 0,267. 
 
A representação no plano complexo S = σ + jϖ, resulta: 
 
 14 
 
 
c) Circuito RLC com alimentação de tensão alternada senoidal [100.cos(ϖt)] ϖ = 1.000 
rad/s: 
 
 
A T.L. de tensão alternada senoidal ou mais precisamente cossenoidal resulta: 
 
22
)().cos(.)(
ϖ
ϖ
+
=⇒=
S
S
KSVtKtv ii 
 
Representação do circuito no Domínio Freqüência Complexa S, ou a T.L.do circuito. 
 
 
 15 
 
I. Determinação dos Pólos e Zeros da Corrente 
 
)67,666.266400)((
40
5,2
5,2
5,1
10
5,210
1100
)(
)(
)( 222
2
6
3
22 +++
=






















++
+
==
SSS
S
S
S
S
S
S
S
SZ
SV
SI i
ϖϖ
 
 
)(
)(
)(
1027,11041027,1400
40
)67,666.266400)(10(
40
)(
1182634
2
262
2
SF
SD
SN
xSxSxSS
S
SSS
S
SI ==
++++
=
+++
=
 
Analisando a expressão acima, observa-se que, D(S) podeser representado de duas 
formas, ou seja, dois polinômios, separados por parênteses, ou um único polinômio. 
Neste caso, é mais conveniente que D(S) seja representado por dois polinômios, o que 
simplifica a determinação dos pólos do sistema [raízes de D(S)] uma vez que, um único 
polinômio de grau quatro foi reduzido a dois polinômios de segundo grau. 
 
Zeros → Raízes de N(S) → S1 = 0 
S2 = 0 
Pólos → Raízes de D(S) → S3 = + j1000 
 S4 = - j1000 
 S5 = - 200 + j476,1 
 S6 = - 200 – j476,1 
 
Obs: Quando um polinômio do segundo grau resulta em raízes complexas, este polinômio 
não deve ser desmembrado. Como exemplo, considere um polinômio D(S) do segundo 
grau com raízes: 
SX = σa + jϖa 
SY = σa - jϖa 
 
O polinômio D(S) deve ser representado da seguinte forma 
 
D(S) = (S - SX).(S - SY) = (S - σa)
2 + ϖa
2 
 
Esta forma de representação para polinômios de raízes complexas é fundamental para a 
determinação da transformada inversa. Assim, I(S) deve ser representado como: 
 
]1,476)200)[(10(
40
)67,666.266400)(10(
40
)(
2262
2
262
2
+++
=
+++
=
SS
S
SSS
S
SI 
 
A representação no plano complexo S = σ + jϖ, resulta: 
 
 16 
 
 
1.5. Frações Parciais e Determinação da Transformada Inversa 
 
Para encontrar a função no domínio tempo, parte-se da função no domínio S, e aplica-se a 
antitransformada. Entretanto, não é usual partir-se da integral representada na equação 2. 
O mais prático, é separar o polinômio fracionário que representa F(S) em frações 
parciais, de tal forma que cada parcela, já possua tabelado a sua antitransformada. 
 
Considere F(S), uma função no domínio S. A primeira etapa, consiste em encontrar as 
raízes do denominador, e representá-lo fatorado. A seguir, analisa-se as raízes de acordo 
com o que segue: 
 
• Raizes não repetidas reais 
 
)()())((
)(
)(
)(
)(
bS
B
aS
A
bSaS
SQ
SD
SN
SF
−
+
−
=
−−
== [4] 
 
aplicando-se a antitransformada a partir da tabela 1 resulta: 
 
btat BeAetf −− +=)( [5] 
 
• Raizes repetidas 
 
)()()(
)(
)( 1
2
2
2 aS
A
aS
A
aS
SQ
SF
−
+
−
=
−
= [6] 
 
aplicando-se a antitransformada a partir da tabela 1 resulta: 
 
)()( 12 AtAetf
at −= − [7] 
 
 
 
 
 17 
• Raizes repetidas e não repetidas 
 
)()()()()(
)(
)( 1
2
2
2 bS
B
aS
A
aS
A
bSaS
SQ
SF
−
+
−
+
−
=
−−
= [8] 
 
aplicando-se a antitransformada a partir da tabela 1 resulta 
 
btat BeAtAetf −− +−= )()( 12 [9] 
 
• Raizes complexas 
 
Conservar o polinômio parcial destas raízes na ordem 2. Se D(S) de F(S) for representado 
por somente um polinômio de ordem 2, aplicar direto a tabela 1, e cuidar que F(S) deve 
ser representado da mesma forma da tabela. 
 
Supondo uma função F(S) representada como 
 
222 )()())((
)(
)(
ωσ +−
+
−
=
++−
=
S
B
aS
A
dcSSaS
SQ
SF [10] 
 
onde a é uma raiz real e S = σσσσ + jωωωω é a raiz complexo conjugado do polinômio de ordem 
2. Entretanto, para aplicar a antitransformada de tabela para o segundo termo da fração 
parcial, esta deve ser representada como: 
 
2222 )()( ωσ
ω
ωσ +−
=
+− S
K
S
B
 [11] 
 
aplicando-se a antitransformada a partir da tabela 1 resulta 
 
)()( . tsenKeAetf tat ωσ−− += [12] 
 
Se os termos das frações parciais da equação 10 não for solução, refazer como: 
 
222 )()())((
)(
)(
ωσ +−
+
+
−
=
++−
=
S
CBs
aS
A
dcSSaS
SQ
SF [13] 
 
Para aplicar a antitransformada de tabela para o segundo termo da fração parcial, esta 
deve ser representada como: 
 
2222 )(
)(
)( ωσ
σ
ωσ +−
−
=
+−
+
S
S
K
S
CBS
 [14] 
 
aplicando-se a antitransformada a partir da tabela 1 resulta 
 18 
 
)cos()( tKeAetf tat ωσ−− += [15] 
 
EXEMPLO 2. Considere as correntes I(S) e determine i(t) 
 
a) 
1011
10
)( 2 ++
=
SS
SI Raízes de D(S) = S1= -1 e S2= -10 
 
Como as raízes são Reais, Negativas e Diferentes, trata-se de um Circuito 
Hiperamortecido. 
 
)10)(1(
)1()10(
)10()1()10)(1(
10
))((
10
)(
21 ++
+++
=
+
+
+
=
++
=
−−
=
SS
BSAS
S
B
S
A
SSSSSS
SI 
 
oxSBAxSBAxSxSBASBABSAS )10()(10010)()1()10(10 101 +++=+⇒+++=+++=
 
Por Semelhança: 
 
1010
0
=+
=+
BA
BA
 
11,1
11,1
−=
+=
B
A
 
)10(
11,1
)1(
11,1
)(
+
−
+
+
=
SS
SI Tabela 
t
K
S
K .. αε
α
−=
+
 
 
ttti 101 .11,1.11,1)( −− −= εε 
 
b) 
10020
10
)( 2 ++
=
SS
S
SI Raízes de D(S) = S1= -10 e S2= -10 
 
Como as raízes são Reais, Negativas e Iguais, trata-se de um Circuito Criticamente 
Amortecido 
 
222
21 )10(
)10(
)10()10()10(
10
))((
10
)(
+
++
=
+
+
+
=
+
=
−−
=
S
BSA
S
B
S
A
S
S
SSSS
S
SI 
 
oxSBABxSxSxSBABSBSAS )10(01010)10(10 101 ++=+⇒++=++= 
 
Por Semelhança: 
 
010
10
=+
=
BA
B
 
10
100
=
−=
B
A
 
)10(
10
)10(
100
)(
2 +
+
+
−
=
SS
SI Tabela 
( )
t
tK
S
K .
2 ..
αε
α
−=
+
 
 
ttt ttti 101010 ).10.100(.10..100)( −−− +−=+−= εεε 
 
 19 
c) 
32
10
)( 2 ++
=
SS
SI Raízes de D(S) = S1= -1 + j1,41 e S2= -1 - j1,41 
 
Como as raízes são Complexo Conjugado com parte Real Negativa, trata-se de um 
Circuito Hipoamortecido. Neste caso as raízes não são fatorados, mas são 
manipuladas como segue: 
 
41,1141,11 =⇒−=⇒+−=+= ωσωσ jjS 
 
22222 41,1)1()(32)( ++=+−=++= SSSSSD ωσ 
 
222 41,1)1(
10
32
10
)(
++
=
++
=
SSS
SI Tabela 
( )
t
tsenK
S
K
.
22
)..(. αεω
ωα
ω −=
++
 
 
Como os valores da Transformada e a Transformada Inversa não fecham, deve-se fazer 
uma manipulação algébrica: 
 
2222 41,1)1(
41,1
41,1)1(
10
)(
++
=
++
=
S
K
S
SI 
 
Fazendo K x 1,41 = 10 resulta em K = 10 / 1,41 = 7,09 
 
ttsenti
S
SI .1
22
)..41,1(.09,7)(
41,1)1(
41,1
09,7)( −=⇒
++
= ε 
 
d) 
233
)1(10
)( 23 +++
+
=
SSS
S
SI Raízes de D(S) = S1= -0,5 + j0,87 : S2= -0,5 - j0,87 : S3= -2 
 
Como há raízes que são Complexo Conjugado com parte Real Negativa, esta parte 
não pode se fatorada, embora haja outra raiz: 
 
]87,0)5,0)[(2(
)1(10
)11)(2(
)1(10
)(
222 +++
+
=
+++
+
=
SS
S
SSS
S
SI 
 
)11)(2(
)2)(()11(
)11()2()11)(2(
)1(10
)( 2
2
22 +++
+++++
=
++
+
+
+
=
+++
+
=
SSS
SCBSSSA
SS
CBS
S
A
SSS
S
SI 
 
)2)(()11()1(10 2 +++++=+ SCBSSSAS 
 
012012 )2()2()(10100 xSCAxSCBAxSBAxSxSxS ++++++=++ 
 
 20 
102
102
0
=+
=++
=+
CA
CBA
BA
 
67,6
33,3
33,3
+=
+=
−=
C
B
A
 
 
222 87,0)5,0(
)2(
33,3
)2(
33,3
)11(
67,633,3
)2(
33,3
)(
++
+
+
+
−
=
++
+
+
+
−
=
S
S
SSS
S
S
SI 
 
Tabela 
( )
( )
ttK
S
S
K .
22
)..cos(. αεω
ωα
α −=
++
+
 
 
22222222 87,0)5,0(
5,1
3,3
87,0)5,0(
)5,0(
33,3
87,0)5,0(
5,1)5,0(
33,3
87,0)5,0(
)2(
33,3
++
+
++
+
=
++
++
=
++
+
SS
S
S
S
S
S
 
t
t
S
S .5,0
22 )..87,0cos(.33,387,0)5,0(
)5,0(
33,3 −=
++
+
ε 
 
2222 87,0)5,0(
87,0
87,0)5,0(
5,1
33,3
++
+
=
++ S
K
S
 
 
Fazendo K x 0,87 = 3,33 x 1,5 resulta em K = 3,33 x 1,5 / 0,87 = 5,74 
 
2222 87,0)5,0(
87,0
74,5
87,0)5,0(
)5,0(
33,3
)2(
33,3
)(
++
+
++
+
+
+
−
=
SS
S
S
SI 
 
ttt tsentti .5,0.5,0.2 )..87,0(.74,5)..87,0cos(.33,3.33,3)( −−− ++−= εεε 
 
EXEMPLO 3. Determine i(t), vR(t), vL(t), vC(t) no domínio do tempo aplicando a T.L. 
 
Representação do circuito no Domínio Freqüência Complexa S, ou a T.L.do circuito. 
 
 21 
 
a) Determinação de i(t): 
15
5
2
2
1022
110
)(
)(
)(
2 ++
=
















++
==
SSS
S
S
S
SSZ
SV
SI i 
 
Raízes de D(S) : S1 = - 0,21 
 S2 = - 4,79 
 
)79,4)(21,0(
)21,0()79,4(
)79,4()21,0()79,4)(21,0(
5
)(
++
+++
=
+
+
+
=
++
=
SS
SBSA
S
B
S
A
SS
SI 
 
Por Semelhança: 
 
5 = A(S + 4,79) + B(S + 0,21) = AS + 4,79A + BS + 0,21B 
 
S1.0 + S0.5 = S1.(A + B) + S0.(4,79A + 0,21B) 
 
S1 → 1,00 A + 1,00 B = 0 A = +1,09 
S0 → 4,79 A + 0,21 B = 5 B = - 1,09 
 
)79,4(
09,1
)21,0(
09,1
)(
+
−
+
=
SS
SI 
 
De Tabela 
at
Ktf
aS
K
SF
−=⇒
+
= ε)()( 
 
ttti 79,421,009,109,1)( −− −= εε 
 22 
 
b) Determinação de vR(t): 
 
tt
RR tvxtixRtitv
79,421,0 9,109,10)(10)()()( −− −=⇒== εε 
 
c) Determinação de vL(t): 
( )
15
10
2.
15
5
)()()(
22 ++
=





++
==
SS
S
S
SS
SxZSISV LL 
 
Raízes de D(S) : S1 = - 0,21 
 S2 = - 4,79 
 
)79,4)(21,0(
)21,0()79,4(
)79,4()21,0()79,4)(21,0(
10
)(
++
+++
=
+
+
+
=
++
=
SS
SBSA
S
B
S
A
SS
S
SVL 
 
Por Semelhança: 
 
10S = A(S + 4,79) + B(S + 0,21) = AS + 4,79A + BS + 0,21B 
 
S1.10 + S0.0 = S1.(A + B) + S0.(4,79A + 0,21B) 
 23 
 
S1 → 1,00 A + 1,00 B = 10 A = - 0,45 
S0 → 4,79 A + 0,21 B = 0 B = 10,45 
 
)79,4(
45,10
)21,0(
45,0
)(
+
+
+
−
=
SS
SVL 
 
tt
L tv
79,421,0 459,1045,0)( −− +−= εε 
 
 
d) Determinação de vC(t): 
)15(
102
.
15
5
)()()(
22 ++
=











++
==
SSSSSS
SxZSISV CC 
 
Raízes de D(S) : S1 = 0 
S2 = - 0,21 
 S3 = - 4,79 
 
)79,4()21,0()79,4)(21,0(
10
)(
+
+
+
+=
++
=
S
C
S
B
S
A
SSS
SVC 
 
)79,4)(21,0(
)21,0()79,4()21,0)(79,4(
)(
++
++++++
=
SSS
SCSSBSSSA
SVC 
 
Por Semelhança: 
 
10 = AS2 + 0,21AS + 4,79AS + 1,006A + BS2 + 4,79BS + CS2 + 0,21CS 
 
S2.0 + S1.0 + S0.10 = S2.(A + B + C) + S1.(5A – 4,79B + 0,21C) + S0.(1,006A) 
 
 
 24 
S2 → 1,00 A + 1,00 B + 1,00 C = 0 A = 10,00 
S1 → 5,00 A + 4,79 B + 0,21 C = 0 B = -10,46 
S0 → 1,006 A + 0,00 B + 0,00 C = 10 C = 0,46 
 
)79,4(
46,0
)21,0(
46,1010
)(
+
+
+
−=
SSS
SVC 
 
tt
C tv
79,421,0 46,046,1010)( −− +−= εε 
 
 
 
Os gráficos foram gerados a partir do excel como: 
 
 
tempo i(t) 
0 0 
0,1 0,3922 
0,2 0,626979 
... ... 
9,5 0,148255 
 
 
 
tempo vR(t) 
0 0 
0,1 3,922 
0,2 6,269793 
... ... 
9,5 1,482549 
 
 
 
tempo vL(t) 
0 10 
0,1 6,032107 
0,2 3,577749 
... ... 
9,5 -0,061206 
 
 
 
tempo vC(t) 
0 0 
0,1 0,045892 
0,2 0,152457 
... ... 
19,4 9,822253 
 
 
 
i(t) = 1,09*EXP(-0,21*A1)-1,09*EXP(-4,79*A1) 
vR(t) = 10,9*EXP(-0,21*A1)-10,9*EXP(-4,79*A1) 
vL(t) = 10,45*EXP(-4,79*A1)-0,45*EXP(-0,21*A1) 
vC(t) = 10-10,45*EXP(-0,21*A1)+0,45*EXP(-4,79*A1) 
 
 
 
 
 
 
 25 
EXEMPLO 4. Determine i(t), vR(t), vL(t), vC(t) no domínio do tempo aplicando a T.L. 
 
Representação do circuito no Domínio Freqüência Complexa S, ou a T.L.do circuito. 
 
a) Determinação de i(t): 
 
222 97,0)25,0(
5
15,0
5
2
2
122
110
)(
)(
)(
++
=
++
=
















++
==
SSSS
S
S
S
SSZ
SV
SI i 
 
Raízes de D(S) : S1 = - 0,25 + j0,97 
 S2 = - 0,25 - j0,97 
 
Onde S = σσσσ + jϖϖϖϖ : σσσσ = - 0,25 : ϖϖϖϖ = 0,97 
 
Obs: Quando as raízes são um complexo conjugado, devem ser representadas como: 
 
D(S) = S2 + 0,5S +1 = (S - σ)2 + ϖ2 = (S + 0,25)2 + 0,97 2 
De Tabela 
attsenKtf
aS
KSF −=⇒
++
= εϖ
ϖ
ϖ
)..(.)(
)(
)(
22
 
 
Reestruturando I(S) para a forma da Tabela, resulta 
 
222222 97,0)25,0(
97,0
15,5
97,0)25,0(
97,0
97,0)25,0(
5
)(
++
=
++
=
++
=
SS
K
S
SI 
 
 26 
22 97,0)25,0(
97,0
15,5)(
++
=
S
SI 
 
onde K x 0,97 = 5 → K = 5,15 
 
ttsenti 25,0).97,0(.15,5)( −= ε 
 
Observa-se que i(t) pode ser representado como o produto de duas funções, ou seja 
 
tt tftsentftxftftsenti 25,02121
25,0 .1)()97,0(.15,5)()()().97,0(.15,5)( −− =⇒=⇒== εε 
 
Os gráficos das duas funções e de i(t) estão representados a seguir. 
 
 
 
 
b) Determinação de vR(t): 
 
tt
R tsenxtsenxRtitv
25,025,0 ).97,0(.15,51]).97,0(.15,5[)()( −− === εε 
 
Observa-se que i(t) pode ser representado como o produto de duas funções, ou seja 
 
tt tftsentftftftsenti 25,02121
25,0 .1)()97,0(.15,5)()(*)().97,0(.15,5)( −− =⇒=⇒== εε 
 
Os gráficos de vR(t) são idênticos a i(t). 
 27 
c) Determinação de vC(t): 
( )15,0
102
15,0
5
)()()(
22 ++
=











++
==
SSSSSS
SxZSISV CC 
 
Raízes de D(S) : S1 = 0 
S2 = - 0,25 + j0,97 
 S3 = - 0,25 - j0,97 
 
Por Frações Parciais 
( )15,0
10
15,0
)(
22 ++
=
++
+=
SSSSS
B
S
A
SVC 
 
o sistema acima resulta: A = 0 e A = 10 ??? 
 
Ocorre que, a transformada inversa do segundo termo da fração parcial acima resultará 
num cosseno e uma exponencial decrescente. Porém das Tabelas observa-se que, esta 
função, deve conter um termo em S no Numerador. Assim, refazer como: 
 
( ) ( )15,0
)15,0(
15,0
10
15,0
)(
2
22
22 ++
++++
=
++
=
++
+
+=
SSS
CSBSSSA
SSSSS
CBS
S
A
SVC 
 
S2 → 1,00 A + 1,00 B + 0,00 C = 0 A = 10,00 
S1 → 0,50 A + 0,00 B + 1,00 C = 0 B = -10,00 
S0 → 1,00 A + 0,00 B + 0,00 C = 10 C = -5,00 
 
222 97,0)25,0(
)5,0(1010
15,0
51010
)(
++
+
−=
++
+
−=
S
S
SSS
S
S
SVC 
De Tabela 
attKtf
aS
aS
KSF −=⇒
++
+
= εϖ
ϖ
)..cos(.)(
)(
)(
)(
22
 
 
Observa-se acima que, o segundo termo de VC(S) não está na forma da tabela. Assim, 
utiliza-se um artifício, ou seja 
 
222222 97,0)25,0(
5,2
97,0)25,0(
)25,0(1010
97,0)25,0(
)25,025,0(1010
)(
++
−
++
+
−=
++
++
−=
SS
S
SS
S
S
SVC 
 
Observa-se agora que o terceiro termo de VC(S) não está na forma da tabela, assim: 
 
222222 97,0)25,0(
97,0
57,2
97,0)25,0(
97,0
97,0)25,0(
5,2
++
=
++
=
++ SS
K
S
 
 
onde K x 0,97 = 2,5 → K = 2,57 
 28 
2222 97,0)25,0(
97,0
57,2
97,0)25,0(
)25,0(
10
10
)(
++
−
++
+
−=
SS
S
S
SVC 
 
tt
C tsenttv
25,025,0 ).97,0(.57,2).97,0cos(.1010)( −− −−= εε 
 
 
d) Determinação de vL(t): 
( )
2222 97,0)25,0(
)25,025,0(10
15,0
10
2
15,0
5
)()()(
++
−+
=
++
=





++
==
S
S
SS
S
S
SS
SxZSISV LL 
 
2222 97,0)25,0(
97,0
57,2
97,0)25,0(
)25,0(
10)(
++
−
++
+
=
SS
S
SVL 
 
tt
L tsenttv
25,025,0 ).97,0(.57,2).97,0cos(.10)( −− −= εε 
 
 
Os gráficos foram gerados a partir do excel como: 
 
 
 29 
Tempo i(t) 
0 0 
0,2 0,94442 
0,4 1,76302 
... ... 
19 -0,01815 
 
tempo vR(t) 
0 0 
0,2 0,944423 
0,4 1,763021 
... ... 
19 -0,01815 
 
tempo vL(t) 
0 10 
0,2 8,862558 
0,4 7,495988 
... ... 
19 0,088071 
 
tempo vC(t) 
0 0 
0,2 0,194852 
0,4 0,744414 
... 0 
19 9,930044 
 
i(t) = vR(t) = 5,15*SEN(0,97*A1)*EXP(-0,25*A1) 
vL(t) = 10*COS(0,97*A1)*EXP(-0,25*A1)-2,57*SEN(0,97*A1)*EXP(-0,25*A1) 
vC(t) = 10-10*COS(0,97*A1)*EXP(-0,25*A1)-2,57*SEN(0,97*A1)*EXP(-0,25*A1) 
 
1.6. Sistemas de segunda ordem e Primeiro Critério de Estabilidade 
 
A corrente que circula num circuito elétrico RLC é representa por uma equação 
diferencial de segunda ordem elétrico, representada no domínio tempo como: 
 
)()(
)(
2
)(
)(
1)()( 2
002
2
2
2
tvti
dt
tdi
dt
tid
ti
LCdt
tdi
L
R
dt
tid
=++=++ ωδω [16] 
 
A solução para a equação diferencial acima, é uma expressão i(t) que satisfaz esta 
equação. Esta solução possui duas partes, a resposta homogênea, que depende do circuito 
e representa os transitórios do sistema, e uma resposta particular, que depende da fonte de 
alimentação e representa o regime permanente do sistema. Entretanto, partindo-se de uma 
expressão F(S), no domínio frequência (transformada de Laplace), pode-se analisar os 
transitórios do sistema, sem a necessidade de antitransformar a função. Isto é possível, 
analisando-se os pólos e zeros da função. Uma equação semelhante a equação 16, está 
representada a seguir 
 
2
00
2
0
2)(
)(
)(
ωδω
ω
++
==
SSSD
SN
SF [17] 
onde ωωωω0 é a frequência natural de oscilação, calculada como: 
 
LC
1
0 =ω [18] 
 
αααα = σσσσ = δδδδ ωωωω0 é o coeficiente de amortecimento, calculado como: 
 
)(
2
serie
L
R
=α )(
2
1
paralelo
RC
=α [19] 
 
ωωωωd é a frequência natural do sistema amortecido, calculado como: 
 
22
0 αωω −=d [20] 
 
 30 
ξξξξ = δδδδ é a razão de amorcimento. 
 
As raizes de S podem ser calculadas, a partir destes termos, como: 
 
1)( 200
2
0
22
0
2
00 −±−=−±−=−±−= δωδωωααωδωδωS [21] 
 
A figura 1 mostra a representação destas grandezas no plano complexo S. O 
comportamento do circuito pode ser analisado a partir da equação características, assim: 
 
• Se δδδδ > 1 ambos os pólos são reais e negativos - hiperamortecido 
 
•Se δδδδ = 1 ambos os pólos são reais, negativos e iguais - criticamente amortecido 
 
• Se 0 < δδδδ < 1 os pólos são complexos conjugados com partes reais negativas - 
hipoamortecido 
 
• Se δδδδ = 0 os pólos são puramente imaginários - oscilação constante 
 
• Se δδδδ < 0 os pólos estão no semi-plano direito - sistema instável, oscilação crescente 
 
 
Figura 1 – Pólos representados no plano complexo S 
 
EXEMPLO 5. Para o circuito abaixo, determine os pólos variando R = - ∞ a + ∞. 
 
 31 
 
15,0
5
2
2
22
110
)(
)(
)(
2 ++
=
















++
==
RSSS
S
RS
S
SSZ
SV
SI i 
 
15,0
5
)(
2 ++
=
RSS
SI 
 
 R Raízes D(S) = S2 + 0,5RS + 1 
 ∞ S1 = 0
– S2 = – ∞ 
 100 S1 = – 0,02 S2 = – 50 
( I ) 10 S1 = – 0,21 S2 = – 4,79 
(II) 4 S1 = – 1 S2 = – 1 
(III) 1 S1 = – 0,25 + j0,97 S2 = – 0,25 – j0,97 
(IV) 0 S1 = + J S2 = – j 
(V) – 1 S1 = + 0,25 + j0,97 S2 = + 0,25 – j0,97 
(VI) – 4 S1 = + 1 S2 = + 1 
(VII) – 10 S1 = + 0,21 S2 = + 4,79 
 – 100 S1 = + 0,02 S2 = + 50 
 – ∞ S1 = 0
+ S2 = + ∞ 
 
O gráfico a seguir, ilustra a representação do Lugar Geométrico das Raízes ou Root 
Locus no plano complexo S = σ + jϖ 
 
 32 
( I ) – Hiperamortecido – Raízes Reais, Negativas e Diferentes 
 
(II) – Criticamente Amortecido – Raízes Reais, Negativas e Iguais 
 
Gráfico muito semelhante ao ( I ) porém com decaimento mais acentuado 
 
(III) – Hipoamortecido – Raízes Complexo Conjugado, com parte Real Negativa 
 
 
(IV) – Oscilação Constante – Raízes Complexo Conjugado puramente imaginária 
 
(V) – Oscilação Crescente (Sistema Instável) – Raízes Complexo Conjugado com parte 
Real Positiva 
(VI) e (VII) – Exponenciais Crescente (Sistema Instável) – Raízes Reais e Positivas 
 33 
Observações: 
 
• As respostas ( I ) – (II) e (III) representam circuitos estáveis, ou seja, a corrente 
tende a um valor real quando o tempo tende a infinito. Neste caso, observa-se que 
as raízes sempre tem parte Real Negativa e encontram-se no Semi-Plano 
Esquerdo do Plano Complexo S. 
 
• As respostas (V) – (VI) e (VII) representam circuitos instáveis, ou seja, a corrente 
tende a um valor infinito quando o tempo tende a infinito. Neste caso, observa-se 
que as raízes sempre tem parte Real Positiva e encontram-se no Semi-Plano 
Direito do Plano Complexo S. 
 
Das considerações anteriores, observa-se que o eixo jϖϖϖϖ é a fronteira entre circuitos 
instáveis e estáveis. De fato, o critério do Lugar Geométrico das Raízes ou Root Locus é 
utilizado para identificar se um circuito é estável ou instável. Maiores considerações 
podem ser encontradas no estudo de Análise de Sistemas ou Sistemas de Controle. 
 
1.7. Circuitos com Cargas no Indutor e Capacitor 
 
Um indutor ou capacitor, sem carga no tempo 0+ são representado apenas por sua 
impedância, ou seja, ZL(S) = SL e ZC(S) = 1 / SC. Entretanto, se este possuem carga no 
tempo 0+ estes são representados em série com Fontes, conforme mostra a figura 2. 
 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 2 – Representação com carga no tempo 0+ – (a) Indutores – (b) Capacitores 
 
EXEMPLO 6. Determine i(t), considerando o circuito a seguir, no qual o indutor e o 
capacitor possuem carga em t = 0+. 
 
 
 
 34 
Representação do circuito no Domínio Freqüência Complexa S, ou a T.L.do circuito. 
 
 
O circuito acima foi representado genericamente. Isto possibilita uma análise e cálculo 
para qualquer circuito RLC série com carga no capacitor e indutor. 
 
Por malha 
0)(.
1
)(.)(.
.
22
=++−++
+
−
S
V
SI
SC
LISISLSIR
S
SVp o
o
ϖ
 
 
( ) ( )
22
2222
22
][..1
)(
ϖ
ϖϖ
ϖ +
+−++
=−+
+
=



++
S
S
V
xSSLISVp
S
V
LI
S
SVp
SC
SLRSI
o
o
o
o
 
 
( ) ( )










++
+
+−++
=
S
S
SC
SLR
S
S
V
xSSLISVp
SI
o
o
1
][.
)(
22
2222
ϖ
ϖϖ
 
 




++
+
−−++
=
C
LSSR
S
VSVSLISLISVp
SI
oooo
1
.
)(
2
22
22232
ϖ
ϖϖ
 
 
( )














+++
−+−+
=
L
L
C
RSLSS
VSLISVVpSLI
SI oooo
1
1
1
).(
)(
222
2223
ϖ
ϖϖ
 
 
 
 
 
 35 
( ) 





+++
−+
−
+
=
LC
S
L
R
SS
L
V
SIS
L
VVp
SI
SI
o
o
o
o
1
).(
)(
222
2
223
ϖ
ϖ
ϖ
 
 
Caso a carga no capacitor esteja com polaridade invertida o termo - Voϖ
2 / L terá sinal 
positivo. 
 
Caso a corrente no indutor esteja na direção oposta o termo + Ioϖ
2 S terá sinal negativo. 
 
Atribuindo os valores do exemplo proposto resulta 
 
( )( )6262
9523
1093,829,714.5.10
1014,7105.71,285.645,0
)(
xSSS
xSxSS
SI
+++
−++
= 
 
Raízes de D(S): S1 = + j1000 
 S2 = - j1000 
 S3 = - 2.857,14 + j874,53 
 S4 = - 2.857,14 - j874,53 
 
Por Frações Parciais 
 
( )( ) 62626262
9523
1093,829,714.5101093,829,714.5.10
1014,7105.71,285.645,0
)(
xSS
DCS
S
BAS
xSSS
xSxSS
SI
++
+
+
+
+
=
+++
−++
=
 
( )( ) ( )( )
( )( )6262
6262
1093,829,714.5.10
10.1093,829,714.5.
)(
xSSS
SDCSxSSBAS
SI
+++
++++++
= 
 
Fazendo as devidas multiplicações de N(S) da equação acima resulta: 
 
++++++++ )1028,714.543.571.928.8()28,714.5()( 6123 CBASDBASCAS 
0912360 1014,7000.50071,285.645,0)1043.571.928.8( SxSSSDBS −++=++ 
 
Por Semelhança: 
 
S3 → 1,00 A + 0,00 B + 1,00 C + 0,00 D = 0,50 A = 4,27 
S2 → 5.714,28 A + 1,00 B + 0,00 C + 1,00 D = 64.285,71 B = - 5.929,17 
S1 → 8.928.571,43 A + 5.714,28 B + 106 C + 0,00 D = 500.000,00 C = - 3,77 
S0 → 0,00 A +8.928.571,43
B 
+ 0,00 C + 106 D = -7,14 x 109 D = 45.796,20 
 
)()(
83,874)14,857.2(
20,796.4577,3
10
17,929.527,4
)(
2262
SISI
S
S
S
S
SI HP +=
++
+−
+
+
−
= 
 36 
 
Observa-se da expressão acima que a Solução Geral é composta por duas frações, 
detalhadas a seguir: 
 
IP → Solução Particular → Resposta em Regime Permanente → Resposta Forçada → 
Depende da Fonte que alimenta o circuito 
 
IH → Solução Homogênea → Resposta Transitória → Resposta Natural → Depende dos 
Componentes RLC 
 
62
3
6262 10
10
93,5
10
27,4
10
17,929.527,4
)(
+
−
+
=
+
−
=
SS
S
S
S
SI P 
 
2222 83,874)14,857.2(
)14,857.214,857.2
77,3
20,796.45
(77,3
83,874)14,857.2(
20,796.4577,3
)(
++
−+−−
=
++
+−
=
S
S
S
S
SI H 
 
2222 83,874)14,857.2(
)14,857.253,147.12(77,3
83,874)14,857.2(
)14,857.2(77,3
)(
++
−−
−
++
+
−=
SS
S
SIH 
 
O último termo de IH(S) deve ser reescrito como: 
 
2222 83,874)14,857.2(
83,874
83,874)14,857.2(
)14,857.253,147.12(77,3
++
=
++
+
S
K
S
 
 
66,64
83.874
)14,857.253,147.12(77,3
)14,857.253,147.12(77,383.874 =
+
=⇒+= KKx 
 
222262
3
62 83,874)14,857.2(
83,874
66,64
83,874)14,857.2(
)14,857.2(
77,3
10
10
93,5
10
27,4)(
++
+
++
+
−
+
−
+
=
SS
S
SS
S
SI
 
 
tt tsenttsentti 14,285714,2857 ).83,874(.66,64).83,874cos(.77,3)1000.(.93,5)1000cos(.27,4)( −− +−−= εε 
 
Os gráficos a seguir mostram as soluções Homogênea, Particular e Geral 
respectivamente. 
 37 
 
 
Os gráficos foram gerados a partir do excel como: 
 
 
Tempo iH(t) 
0 -3,77000 
0,0001 -7,06766 
0,0002 -8,45276 
... ... 
0,0094 -1,2E-10 
 
 
tempo iP(t) 
0 4,270000 
0,0001 3,656656 
0,0002 3,006775 
... ... 
0,0094 -4,41561 
 
 
tempo iG(t) 
0 0,50000 
0,0001 -3,41101 
0,0002 -5,44599 
... ... 
0,0094 -4,41561 
 
iH(t) = =-3,77*COS(874,83*A1)*EXP(-2857,14*A1)+64,66*SEN(874,83*A1)*EXP(-2857,14*A1) 
iP(t) = =4,27*COS(1000*A1)-5,93*SEN(1000*A1) 
iG(t) = iH(t) + iP(t) 
 
1.8. Teorema do Valor Inicial e Final 
 
Tomando o limite de s →→→→ ∞∞∞∞ (por valores reais) da transformada direta de Laplace da 
derivada df(t)/dt. 
 
)}0()({
)()(
0limlim
+
∞
−
→∞→∞
−==



∫ fssFdtedt
tdf
dt
tdf
L
St
SS
 [22] 
 
Mas e-st integrando se aproxima de zero, à medida que s →→→→ ∞∞∞∞. Assim: 
 
0)}0()({lim =− +
→∞
fssF
S
 [23] 
 
 38 
Uma vez que f(0+) é uma constante, pode-se escrever: 
 
)}({)0( lim ssFf
S→∞
+ = [24] 
 
que é a expressão do teorema do valor inicial. Da mesma forma o teorema do valor finalresulta em: 
)}({)( lim
0
ssFf
S→
=∞ [25] 
 
EXEMPLO 7. Considere o Circuito Misto a seguir: 
 
 
a) Utilizando os teoremas do valor inicial e final, determine i1(t), i2(t), i3(t), vR1(t), vR2(t), 
vC(t) e vL(t), considerando: 
 
• t = 0+ 
• t → ∞ 
 
Representação do circuito no Domínio Freqüência Complexa S, ou a T.L.do circuito. 
 
 
)(
110
)(
1
)(
)(
)(
)(1
SZ
x
SSZ
xSV
SZ
SV
SI i
i === 
 
A determinação de Z(S) foi realizada como 
 
 39 
1
2
22
2
22
12//
22
12//
2
2)( +












+




 +





 +
=+










 +
=+











+=
S
S
S
Sx
S
S
S
S
S
S
S
SZ 
 
( )
1
133
111
)111(22
1
111
22
1
2)22(
2)22(
)(
2
2
2
22
2
2
2 ++
++
=
++
++++
=+





++
+
=+












++
+
=
SS
SS
SS
SSSS
SS
SS
S
SS
S
SxS
SZ
 
Algebricamente: 
1
2
2
1
2
12 1
1
//
1
//
1
)( R
SL
SC
SCR
xSL
SC
SCR
RSL
SC
SCR
RSL
SC
RSZ +












+




 +





 +
=+










 +
=+











+= 
 
1
2
2
2
2
12
2
2
1)1(
)1(
)( R
SCRLCS
SLLCRS
R
SC
LCSSCR
SC
xSLSCR
SZ +





++
+
=+












++
+
= 
 
( ) ( )
1
)(
1
)1(
)(
2
2
12112
2
2
2
2
2
12
2
++
++++
=
++
++++
=
SCRLCS
RRCRLSLCRLCRS
SCRLCS
SCRLCSRSLLCRS
SZ 
 
Atribuindo os respectivos valores: 
 
111
133
)(
2
2
++
++
=
SS
SS
SZ 
 
a) Determinação de i1(t): 
 
I1(S) pode ser determinado de duas maneiras: 
 
a.1.) Diretamente a partir de Z(S) já determinado em valores 
 
( )33,0.
33,333,333,3
3/1
3/1
133
110
1
133
110
)(
1
)()(
2
2
2
2
2
21 ++
++
=











++
++
=






++
++
==
SSS
SS
x
SS
SS
S
SS
SS
x
SSZ
xSVSI i
 
 
 
 40 
a.2) Por desenvolvimento algébrico: 
 
( )
( )
( )









+
+












+





+++
+





+
==
21
21
121
12
2
22
1 1
1
1
1
)(
)(
)(
RR
RR
x
LC
R
L
RR
C
SRRS
LCL
R
SS
x
S
V
SZ
SV
SI ii 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )













+
+











+






++
+
+





+
+
+
=
21
1
21
212
2121
2
21
2
1
.
11
1
.
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRLCRRL
R
S
RR
S
x
S
V
SI i 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )







+
+











+






++
+
+





+
+
+
=
21
1
21
212
2121
2
21
2
1
.
11
.
..
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SSS
RRLC
V
RRL
RV
S
RR
SV
SI
iii
 
 
Atribuindo os valores resulta: 
 
( )33,0.
33,333,333,3
)(
2
2
1
++
++
=
SSS
SS
SI 
 
Observe que as duas maneiras resultam na mesma expressão. 
 
I. Teorema do Valor Inicial: Cálculo de i1(0
+) 
 
∞→= = St SFStf |)(.|)( 0 
 
( )
→∞→∞
→∞
+
=
++
++
=
++
++
===
SS
St
SS
SS
SSS
SS
SSISiti
33,0
33,333,333,3
33,0.
33,333,333,3
.|)(.)0(|)( 2
2
2
2
1101 
 
Para resolução da equação acima, deve-ser aplicar L´Hospital, ou seja 
 
3
1
43
21
)]([
)]([
)(
)(
|)(
K
K
dX
XDd
dX
XNd
KXK
KXK
XD
XN
XF X ==
+
+
==∞→ 
Assim 
→∞→∞
+
+
+
==
++
++
==
SS
S
S
dS
SDd
dS
SNd
SS
SS
SD
SN
i
12
33,366,6
)]([
)]([
33,0
33,333,333,3
)(
)(
)0(
2
2
1 
 
 41 
A
dS
SDd
dS
SNd
i 33,3
2
66,6
)]([
)]([
)0(1 ===
+ 
 
II. Teorema do Valor Final. Cálculo de i1(∞∞∞∞) 
 
0|)(.|)( =∞→ = St SFStf 
 
( ) ASSS
SS
SSISiti
S
St 1033,0
33,3
33,000
33,30.33,30.33,3
33,0.
33,333,333,3
.|)(.)(|)(
2
2
0
2
2
0111 ==
++
++
=
++
++
==∞=
=
=→∞
 
b) Determinação de vR1(t): 
 
I. Cálculo de vR1(0
+) 
 
VxxRivtv RtR 33,3133,3)0()0(|)( 11101 ====
++
= 
 
II. Cálculo de vR1(∞∞∞∞) 
 
VxxRivtv RtR 10110)()(|)( 1111 ==∞=∞=∞→ 
 
c) Determinação de vL(t): 
 
Analisando a malha (1), observa-se: 
 






++
++−++
=





++
++
−=−=
133
)1()133(10
133
11010
)()()( 2
22
2
2
1
SS
SSSS
SSS
SS
SS
SVSVSV RiL 
 
33,0
67,667,6
3/1
3/1
133
2020
133
2210
)(
222
2
++
+
=











++
+
=





++
+
=
SS
S
x
SS
S
SS
SS
S
SVL 
 
Onde VR1(S) = I1(S) x R1 = I1(S) x 1 = I1(S) 
 
VL(S) também pode ser desenvolvido algebricamente, ou seja: 
 
111 )()()()()( xRSISVSVSVSV iRiL −=−= 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )













+
+











+






++
+
+





+
+
+
−=
21
1
21
212
2121
2
21
2
1
.
11
1
..
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRLCRRL
R
S
RR
S
x
S
VR
S
V
SV iiL
 
 42 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )













+
+











+






++
+
+





+
+
+
−=
21
1
21
212
2121
2
21
2
1
.
11
1
.
.1)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRLCRRL
R
S
RR
S
xRx
S
V
SV iL
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 













+
+











+






++






+
+





+
+
+
−








+
+











+






++
21
1
21
212
21
1
21
21
21
2
1
21
1
21
212
.
11
.
..
.
11
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRLC
R
RRL
RR
S
RR
SR
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 













+
+











+






++














+
−











+






++





+
−
=
21
1
21
212
21
21
21
21
21
12
.
11
.
.11
1
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRL
RR
RR
x
L
RR
C
S
RR
R
S
x
S
V
SV iL 
 
( ) ( )
( ) ( )













+
+











+






++






+
+





+
−
=
21
1
21
212
2121
12
.
11
.
1
1
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRC
S
RR
R
S
x
S
V
SV iL 
 
( ) ( )
( ) ( )
33,0
67,667,6
.
11
.
1
.1..
)(
2
21
1
21
212
2121
1
++
+
=
+
+











+






++






+
+





+
−
=
SS
S
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRC
V
RR
R
VS
SV
ii
L
 
 
Atribuindo os valores resultou na mesma expressão desenvolvida anteriormente. 
 
I. Teorema do Valor Inicial: Cálculo de vL(0
+) 
 
→∞→∞
→∞
+
=
++
+
=
++
+
===
SS
SLLtL
SS
SS
SS
S
SSVSvtv
33,0
67,667,6
33,0
67,667,6
|)(.)0(|)(
2
2
20
 
 
Aplicando L´Hospital duas vezes, ou derivando duas vezes: 
 
 43 
V
dS
SDd
dS
SNd
SS
SS
v
S
L 67,62
34,13
)]([
)]([
33,0
67,667,6
)0(
2
2
2
2
2
2
===
++
+
=
→∞
+ 
 
II. Teorema do Valor Final. Cálculo de vL(∞∞∞∞) 
 
V
SS
SS
SVSvtv
S
SLLtL 033,000
0.67,60.67,6
33,0
67,667,6
|)(.)(|)(
2
2
0
2
2
0 =
++
+
=
++
+
==∞=
=
=→∞ 
 
d) Determinação de i2(t): 
 
)33,0(
33,333,3
2
1
33,0
67,667,6
)(
)(
)(
222 ++
+
=











++
+
==
SSS
S
SSS
S
SZ
SV
SI
L
L 
 
Observa-se que, I2(S) também pode ser desenvolvido algebricamente, ou seja: 
 
( ) ( )
( ) ( )
LS
x
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRC
V
RR
R
VS
SZ
SV
SI
ii
L
L
.
1
.
11
.
1
.1..
)(
)(
)(
21
1
21
212
2121
1
2














+
+











+






++






+
+





+
−
== 
 
( ) ( )
( ) ( )
)33,0(
33,333,3
.
11
.
.
1
.1..
)(
2
21
1
21
212
2121
1
2
++
+
=








+
+











+






++






+
+





+
−
=
SSS
S
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SSS
RRCL
V
RR
R
L
V
S
SI
ii
 
 
I. Teorema do Valor Inicial: Cálculo de i2(0
+) 
 
→∞→∞
→∞
+
=
++
+
=
++
+
===
SS
St
SS
S
SSS
S
SSISiti
33,0
33,333,3
)33,0(
33,333,3
.|)(.)0(|)( 222202 
 
Aplicando L´Hospital, ou derivando: 
 
A
S
dS
SDd
dS
SNd
SS
S
i
SS
0
1.2
33,3
12
33,3
)]([
)]([
33,0
33,333,3
)0(
22
=
+∞
=
+
==
++
+
=
→∞→∞
+ 
 
II. Teorema doValor Final. Cálculo de i2(∞∞∞∞) 
 
 44 
A
SS
S
SISiti
S
St 1033,000
33,30.33,3
33,0
33,333,3
|)(.)(|)(
2
0
20222
=
++
+
=
++
+
==∞=
=
=→∞ 
 
e) Determinação de i3(t): 
 
Analisando o nó na parte central do circuito, observa-se 
 
( ) 




++
+
−





++
++
=−=
)33,0(
33,333,3
33,0.
33,333,333,3
)()()( 22
2
213
SSS
S
SSS
SS
SISISI 
 
( )33,0.
33,333,333,333,333,3
)(
2
2
3
++
−−++
=
SSS
SSS
SI 
 
33,0
33,3
)33,0(
33,3
)(
22
2
3
++
=
++
=
SS
S
SSS
S
SI 
 
Observa-se que, I3(S) também pode ser desenvolvido algebricamente, ou seja: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )













+
+











+






++
+
+





+
+
+
=
21
1
21
212
2121
2
21
2
1
.
11
1
.
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRLCRRL
R
S
RR
S
x
S
V
SI i 
 
( ) ( )
( ) ( )







+
+











+






++






+
+





+
−
=
21
1
21
212
2121
1
2
.
11
.
.
1
.1..
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SSS
RRCL
V
RR
R
L
V
S
SI
ii
 
 
)()()( 213 SISISI −= 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
−














+
+











+






++
+
+





+
+
+
=
21
1
21
212
2121
2
21
2
3
.
11
1
.
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRLCRRL
R
S
RR
S
x
S
V
SI i 
 
 45 
( ) ( )
( ) ( )













+
+











+






++






+
+





+
−
−
21
1
21
212
2121
1
.
11
.
11
1
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RRC
x
LRR
R
x
L
S
S
Vi 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )













+
+











+






++






−
+
+
+
+
+
=
21
1
21
212
21
1
21
2
21
2
3
.
11
1
..
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
LRRL
R
RRL
R
S
RR
S
x
S
V
SI i 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )21
1
21
212
21
1
21
2
21
3
.
11
1
..
.
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
LRRL
R
RRL
R
xV
RR
SV
SI
i
i
+
+











+






++






−
+
+
+
+
+
= 
 
( ) ( )
( ) ( )21
1
21
212
21
12
21
3
.
11
1
.
.
)(
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
LRRL
RR
xV
RR
SV
SI
i
i
+
+











+






++






−
+
+
+
+
= 
 
( )
( ) ( )
33,0
33,3
.
11
.
)( 2
21
1
21
212
21
3
++
=
+
+











+






++
+
=
SS
S
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RR
SV
SI
i
 
 
I. Teorema do Valor Inicial: Cálculo de i3(0
+) 
 
→∞→∞
→∞
+
=
++
=
++
===
SS
St
SS
S
SS
S
SSISiti
33,0
33,3
33,0
33,3
|)(.)0(|)( 2
2
23303 
 
Aplicando L´Hospital duas vezes, ou derivando duas vezes: 
 
A
dS
SDd
dS
SNd
SS
S
i
S
33,3
2
66,6
)]([
)]([
17,067,0
33,3
)0(
2
2
2
2
2
2
3 ===
++
=
→∞
+ 
 
 
 
 46 
II. Teorema do Valor Final. Cálculo de i3(∞∞∞∞) 
 
A
SS
S
SISiti
S
St 033,000
0.33,3
33,0
33,3
|)(.)(|)( 2
2
0
2
2
0333 =
++
=
++
==∞=
=
=→∞ 
 
g) Determinação de vC(t): 
 
33,0
66,62
33,0
33,3
)()()(
223 ++
=











++
==
SSSSS
S
SxZSISV CC 
 
Observa-se que, VC(S) também pode ser desenvolvido algebricamente, ou seja: 
 
( )
( ) ( )






+
+











+






++
+
==
SC
x
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
RR
SV
SxZSISV
i
CC
1
.
11
.
)()()(
21
1
21
212
21
3 
 
( )
( ) ( )
6
.
11
.
)( 2
21
1
21
212
21
+
=
+
+











+






++
+
=
S
RRLC
R
RR
x
L
RR
C
SS
CRR
V
SV
i
C
 
 
 
I. Teorema do Valor Inicial: Cálculo de vC(0
+) 
 
→∞→∞
→∞
+
=
++
=
++
===
SS
SCCtC
SS
S
SS
SSVSvtv
33,0
66,6
33,0
66,6
|)(.)0(|)(
220
 
 
Aplicando L´Hospital, ou derivando: 
 
V
S
dS
SDd
dS
SNd
SS
S
v
SS
c 01.2
66,6
67,02
66,6
)]([
)]([
33,0
66,6
)0(
2
=
+∞
=
+
===
++
=
→∞→∞
+ 
 
II. Teorema do Valor Final. Cálculo de vC(∞∞∞∞) 
 
V
SS
S
SVSvtv
S
SCCtC 033,000
0.66,6
33,0
66,6
|)(.)(|)(
2
0
20
=
++
=
++
==∞=
=
=→∞ 
 
 
 47 
g) Determinação de vR2 (t): 
 
I. Cálculo de vR2 (0
+) 
 
VxxRivtv RtR 66,6233,3)0()0(|)( 23202 ====
++
= 
 
II. Cálculo de vR2(∞∞∞∞) 
 
VxxRivtv RtR 020)()(|)( 2322 ==∞=∞=∞→ 
 
h) Confirmando os valores encontrados 
 
I. Condições Iniciais: t = 0+. 
 
 
A
RR
v
ii i 33,3
21
10)0(
)0()0(
21
31 =
+
=
+
==
+
++ Ai 0)0(2 =
+ VvC 0)0( =
+ 
 
VxxRivR 33,3133,3)0()0( 111 ===
++ 
VxxRivv RL 66,6233,3)0()0()0( 232 ====
+++ 
 
II. Condições de Regime Permanente: t → ∞ . 
 
A
R
v
ii i 10
1
10)(
)()(
1
21 ==
∞
=∞=∞ Ai 0)(3 =∞ 
 
 48 
VxxRivR 10110)()( 111 ==∞=∞ Vvvv RCL 0)()()( 2 =∞=∞=∞ 
 
7b) Determine a resposta completa no domínio do tempo para todas as tensões e correntes 
indicadas. 
 
Representação do circuito no Domínio Freqüência Complexa S, ou a T.L.do circuito. 
 
Obs: As expressões das tensões e correntes no Domínio da Frequência Complexa S já 
foram determinadas na parte 7ª. Assim, iniciaremos já destas expressões para encontrar as 
expressões de tensões e correntes no Domínio do Tempo. 
 
a) Determinação de i1(t): 
 
)33,0(
33,333,333,3
)(
2
2
1
++
++
=
SSS
SS
SI 
 
Raízes de D(S): S1 = 0 
 S2 = - 0,5 + j0,28 
 S3 = - 0,5 - j0,28 
 
)33,0(
33,0
33,0
)(
2
22
21 ++
++++
=
++
+
+=
SSS
CSBSAASAS
SS
CBS
S
A
SI 
 
Por Semelhança: 
 
S2 → 1,00 A + 1,00 B + 0,00 C = 3,33 A = 10,00 
S1 → 1,00 A + 0,00 B + 1,00 C = 3,33 B = - 20/3 = - 6,66 
S0 → 0,33 A + 0,00 B + 0,00 C = 3,33 C = - 20/3 = - 6,66 
 49 
 






++
++
−=





++
+
−=
22221 28,0)5,0(
5,0)5,0(
66,6
10
28,0)5,0(
1
66,6
10
)(
S
S
SS
S
S
SI 
 






++
−





++
+
−=
22221 28,0)5,0(
5,0
66,6
28,0)5,0(
5,0
66,6
10
)(
SS
S
S
SI 
 
O último termo de I1(S) deve ser reescrito como: 
 
89,1128,05,066,6
28,0)5,0(
28,0
28,0)5,0(
5,0
66,6
2222
−=⇒=−⇒





++
=





++
− KKxx
S
K
S
 
 
tt tsentti 5,05,01 ).28,0(.89,11).28,0cos(.66,610)(
−− −−= εε 
 
b) Determinação de vR1(t): 
 
Como R1 = 1Ω → vR1(t) ≡ i1(t) 
 
tt
R tsenttv
5,05,0
1 ).28,0(.89,11).28,0cos(.66,610)(
−− −−= εε 
 
 50 
c) Determinação de vL(t) 
 






++
+





++
+
+=
++
+
= 22222 28,0)5,0(
28,0
89,11
28,0)5,0(
)5,0(
66,6
33,0
67,667,6
)(
SS
S
SS
S
SVL 
 
Observe que, a segunda parte da expressão acima foi tirada do desenvolvimento em 7A. 
 
tt
L tsenttv
5,05,0 ).28,0(.89,11).28,0cos(.66,6)( −− ++= εε 
 
d) Determinação de i2(t): 
 
)33,0(
33,333,3
)(
22 ++
+
=
SSS
S
SI 
 
)33,0(
33,0
33,0)33,0(
33,333,3
)(
2
22
222 ++
++++
=
++
+
+=
++
+
=
SSS
CSBSAASAS
SS
CBS
S
A
SSS
S
SI 
 
Por Semelhança: 
 
S2 → 1,00 A + 1,00 B + 0,00 C = 0,00 A = 10,00 
S1 → 1,00 A + 0,00 B + 1,00 C = 3,33 B = - 10,00 
S0 → 0,33 A + 0,00 B + 0,00 C = 3,33 C = - 20/3 = - 6,66 
 
222222 28,0)5,0(
66,6
28,0)5,0(
1010
33,0
66,61010
)(
++
−
++
−=
++
−−
+=
SS
S
SSS
S
S
SI 
 
22222 28,0)5,0(
66,6
28,0)5,0(
)5,05,0(1010
)(
++
−
++
−+
−=
SS
S
S
SI 
 
2222222 28,0)5,0(
66,6
28,0)5,0(
)5,0(10
28,0)5,0(
)5,0(1010
)(
++
−
++
−
−
++
+
−=
SSS
S
S
SI 
 51 
 
222222222 28,0)5,0(
66,1
28,0)5,0(
)5,0(1010
28,0)5,0(
566,6
28,0)5,0(
)5,0(1010
)(
++
−
++
+
−=
++
−
−
++
+
−=
SS
S
SSS
S
S
SI
 
O último termo de I2(S) deve ser reescrito como: 
 
93,528,066,1
28,0)5,0(
28,0
28,0)5,0(
66,1
2222
−=⇒=−⇒





++
=





++
−
KKx
S
K
S
 
 
22222 28,0)5,0(
28,0
93,5
28,0)5,0(
)5,0(
10
10
)(
++
−
++
+
−=
SS
S
S
SI 
 
tt tsentti 5,05,02 ).28,0(.93,5).28,0cos(1010)(
−− −−= εε 
 
 
e) Determinação de i3(t): 
 
33,0
33,3
)(
23 ++
=
SS
S
SI 
 
2222223 28,0)5,0(
)5,0(33,3
28,0)5,0(
)5,0(33,3
28,0)5,0(
)5,05,0(33,3
)(
++
−
+
++
+
=
++
−+
=
SS
SS
S
SI 
 
O último termo de I3(S) deve ser reescrito como: 
 
93,528,0)5,0(33,3
28,0)5,0(
28,0
28,0)5,0(
)5,0(33,3
2222
−=⇒=−⇒





++
=





++
−
KKxx
S
K
S
x 
 
222 (
93,5
28,0)5,0(
)5,0(
33,3
33,0
33,3
)( −
++
+
=
++
=
S
S
SS
S
SI
 
 
 52 
tt
tsentti
5,05,0
3 ).28,0(.93,5).28,0cos(33,3)(
−− −= εε 
 
f) Determinação de vC(t): 
 
33,0
66,6
)(
2 ++
=
SS
SVC 
 
79,2328,066,6
28,0)5,0(
28,0
28,0)5,0(
66,6
)( 2222 =⇒=⇒++
=
++
= KKx
S
K
S
SVC 
 
222 28,0)5,0(
28,0
79,23
33,0
66,6
)(
++
=
++
=
SSS
SVC 
 
t
C tsentv
5,0).28,0(.79,23)( −= ε 
 
g) Determinação de vR2(t) 
 
Como R2 = 2Ω → vR2(t) ≡ 2.i3(t) 
 
 53 
tt
R tsenttv
5,05,0
2 ).28,0(.89,11).28,0cos(.66,6)(
−− −= εε 
 
 
 
Os gráficos foram gerados a partir do excel como: 
 
 
tempo i1(t) 
0 3,340000 
0,2 3,381067 
0,4 3,493407 
... ... 
19 10,00044 
 
 
tempo i2(t) 
0 0 
0,2 0,665488 
0,4 1,321357 
... ... 
19 9,999937 
 
 
tempo i3(t) 
0 3,330000 
0,2 2,708063 
0,4 2,166659 
... ... 
19 0,000506 
 
 
tempo vR2(t) 
0 6,660000 
0,2 5,414608 
0,4 4,330573 
... ... 
19 0,001015 
 
 
tempo vL(t) 
0 6,660000 
0,2 6,618932 
0,4 6,506592 
... ... 
19 -0,00044 
 
 
tempo vC(t) 
0 0 
0,2 1,204830 
0,4 2,176933 
... ... 
19 -0,001462 
 
 
i1(t) = vR1(t) = 10 - 6,66*COS(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1)-11,89*SEN(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1) 
i2(t) = 10-10*COS(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1)-5,93*SEN(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1) 
i3(t) = 3,33*COS(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1)-5,93*SEN(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1) 
 
vR2(t) = 6,66*COS(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1)-11,89*SEN(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1) 
vL(t) = + 6,66*COS(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1)+11,89*SEN(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1) 
vC(t) = 23,79*SEN(0,28*A1)*EXP(-0,5*A1) 
 
 
 
 
 
 
 54 
2. ANÁLISE NO DOMÍNIO FREQUÊNCIA 
 
2.1. ANÁLISE SENOIDAL DE FREQUÊNCIA 
 
2.1.1. Introdução a Análise de Frequência 
 
Quando um circuito é alimentado com corrente alternada uma análise no domínio tempo 
resulta no comportamento do circuito, tanto nos transitórios, como em regime 
permanente. Entretanto, muitas vezes não é necessário uma análise dos transitórios dos 
circuitos, mas somente uma análise em regime permanente. Como exemplo, cita-se os 
dispositivos de potência onde, muitas vezes, não é necessário conhecer o comportamento 
dos transitórios. Da mesma forma, quando são analisados os filtros, também não é 
necessário conhecer o comportamento dos transitórios. Assim, este capítulo tem como 
objetivo a análise de circuitos no domínio frequência e as respostas destes, quando a 
frequência da fonte de alimentação é variada. 
 
2.1.2. Diagrama de Resposta em Frequência 
 
A resposta no domínio frequência de um circuito elétrico, pode ser realizada a partir de 
fasores, análise através de números complexos, ou a partir da transformada de Fourier. 
Quando a impedância de um indutor é representada por +jωωωωL ou de um capacitor como 1 
/ jωωωωC , estas grandezas são a transformada de Fourier destas impedâncias. 
 
A transformada de Fourier de um função pode ser obtida, fazendo σσσσ = 0 na expressão S = 
σσσσ + jωωωω, resultando S = jωωωω. Contudo, da transformada de Laplace, sabe-se que o σσσσ é 
responsável pelo comportamento nos transitórios enquanto que o jω está relacionado com 
o regime permanente. Uma vez que, no domínio frequência, analisa-se somente o regime 
permanente, é possível analisar estes circuitos, partindo-se da transformada de Laplace, 
fazendo S = jωωωω. 
 
Uma vez que, uma análise no domínio frequência, resulta em expressão de números 
complexo na forma polar de módulo e ângulo, é possível fazer uma analogia destas 
grandezas com amplitude e a desafagem. Assim, uma análise em regime permanente 
resulta em expressões de Módulo e Fase, sempre referenciados a fonte de alimentação. 
 
Por exemplo, seja uma função de transferência G(s) representada por: 
 
)100)(10(
)1(10
)(
)(
)(
++
+
=
SS
S
SV
SV
SG
i
o [1] 
 
 Fazendo S = jωωωω a função de transferência resulta: 
 
)100)(10(
)1(10
)(
++
+
=
ωω
ω
ω
jj
j
jG [2] 
 
 55 
O módulo de G(jωωωω) |G(ωωωω)| resulta: 
 
2222
2
10010
)110
|)(|
++
+
=
ωω
ω
ωG [3] 
 
A fase de G(jωωωω) ∠∠∠∠G(ωωωω) resulta: 
 






−





−





=∠ −−−
001011
)( 111
ωωω
ω tgtgtgG [4] 
 
Variando-se a frequência ωωωω nas equações 3 e 4 pode-se traçar os gráficos de módulo e 
fase da função de transferência da equação 1. 
 
EXEMPLO 1. Determine |G(ϖϖϖϖ)| , ∠G(ϖϖϖϖ) e GdB . 
 
 
 
1)(
)(
)(
1
1
1
)(
)(
1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
+
==⇒





+
=⇒
+
=⇒=
S
S
SV
SV
SG
S
S
S
SV
SV
x
S
SV
SV
SVi
SV
SG
i
o
i
oi
o
o 
 
1
)(
+
=
S
S
SG 
ϖ
ϖ
ϖϖ
j
j
GSG jS
+
=== 1
)(|)( 
 
21
|)(|
ϖ
ϖ
ϖ
+
=G 
21
log20|)(|log20
ϖ
ϖ
ϖ
+
== GGdB 
 
( )ϖϖϖϖ 111 90
10
)( −−− −=





−





=∠ tgtgtgG o 
 
Atribuindo valores para ϖϖϖϖ e calculando |G(ϖϖϖϖ)| , ∠G(ϖϖϖϖ) e GdB: 
 
 
 
 
 56 
ϖϖϖϖ [rad/seg] ∠G(ϖϖϖϖ) |G(ϖϖϖϖ)| GdB(ϖϖϖϖ) 
0 90,00o 0,00 - ∞ 
0,001 89,94o 0,0010 -60,00 
0,01 89,43o 0,0099 -40,00 
0,1 84,29o 0,0995 -20,0432 
1 45,00o 0,7071 -3,0103 
10 5,71o 0,9950 -0,0432 
100 0,57o 0,9999 -0,0004 
1.000 0,055o 0,9999 0,00 
10.000 0,0055o 1,00 0,00 
100.000 0,00055o 1,00 0,00 
1.000.000 0,000055o 1,00 0,00 
∞ 0,00o 1,00 0,00
 
 
Os gráficos de |G(ϖϖϖϖ)| , ∠G(ϖϖϖϖ) e GdB resultam: 
 
 
 57 
EXEMPLO 2. Determine |G(ϖϖϖϖ)| , ∠G(ϖϖϖϖ) e GdB . 
 
 
 
 
1
1
)(
)(
)(1
1
)(
)(
)(
)(
)(
+
==⇒
+
=⇒=
SSV
SV
SGx
S
SV
SV
SVi
SV
SG
i
oi
o
o 
 
1
1
)(
+
=
S
SG 
ϖ
ϖϖ
j
GSG jS
+
=== 1
1
)(|)( 
 
21
1
|)(|
ϖ
ϖ
+
=G 
21
1
log20|)(|log20
ϖ
ϖ
+
== GGdB 
 
( )ϖϖϖ 11
1
)( −− −=





−=∠ tgtgG 
 
Atribuindo valores para ϖϖϖϖ e calculando |G(ϖϖϖϖ)| , ∠G(ϖϖϖϖ) e GdB . 
 
ϖϖϖϖ [rad/seg] ∠G(ϖϖϖϖ) 
 
|G(ϖϖϖϖ)| GdB(ϖϖϖϖ) 
0 0,00o 1,00 0.00 
0,001 -0,057o 0,9999 0,00 
0,01 -0,572o 0,9999 -0,0004 
0,1 -5,7107o 0,9950 -0,0432 
1 -45,0000 0,7071 -3,0103 
10 -84,2910 0,0995 -20,0432 
100 -89,4290 0,0099 -40,0004 
1.000 -89,9450 0,0010 -60 
10.000 -89,9960 0,0001 -80 
 58 
100.000 -89,9990 0,00001 -100 
1.000.000 -89,99990 0,000001 -120 
∞ -90,00o 0,00 - ∞ 
 
Os gráficos de |G(ϖϖϖϖ)| , ∠G(ϖϖϖϖ) e GdB resultam 
 
 
 
 
 
 
 59 
EXEMPLO 3. Determine |G(ϖϖϖϖ)| , ∠G(ϖϖϖϖ) e GdB . 
 
 
 
1)(
)(
)(1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
2 ++
==⇒
++
=⇒=
SS
S
SV
SV
SGx
S
S
SV
SV
SVi
SV
SG
i
oi
o
o 
1
)(
2 ++
=
SS
S
SG 
 
Raízes de D(S) = S2 + S + 1 ⇒ S1 = -0,5 + j0,87 
 S2 = -0,5 - j0,87 
 
)87,0.5,0)(87,0.5,0())((
)(
21 jSjS
S
SSSS
S
SG
−+++
=
−−
= 
 
)]87,0(5,0)].[87,0(5,0[)87,05,0)(87,05,0(
)(|)(
−+++
=
−+++
===
ϖϖ
ϖ
ϖϖ
ϖ
ϖϖ
jj
j
jjjj
j
GSG jS
 
2222 )87,0(5,0.)87,0(5,0
|)(|
−+++
=
ϖϖ
ϖ
ϖG 
 
2222 )87,0(5,0.)87,0(5,0
log20|)(|log20
−+++
==
ϖϖ
ϖ
ϖGGdB 
 
 60 





 −
−




 +
−





=∠ −−−
5,0
87,0
5,0
87,0
0
)( 111
ϖϖϖ
ϖ tgtgtgG 
 
Os gráficos de |G(ϖϖϖϖ)| , ∠G(ϖϖϖϖ) e GdB resultam 
 
 
 
 
 
 
 
 61 
Atribuindo valores para ϖϖϖϖ e calculando |G(ϖϖϖϖ)| , ∠G(ϖϖϖϖ) e GdB . 
 
ϖϖϖϖ [rad/seg] ∠G(ϖϖϖϖ) 
 
|G(ϖϖϖϖ)| GdB(ϖϖϖϖ) 
0 90o 0,0 - ∞ 
0,001 89,94o 0,0010 -60,00 
0,01 89,43o 0,0100 -40,00 
0,1 84,27o 0,1000 -20,00 
1 0,0o 1 0,00 
10 -84,23o 0,1000 -20,00 
100 -89,43o 0,0100 -40,00 
1.000 -89,94o 0,0010 -60,00 
10.000 -89,99o 0,0001 -80,00 
100.000 -90o 0,0 -100,00 
1.000.000 -90o 0,0 -120,00 
∞ -90o 0,0 - ∞ 
 
EXEMPLO 4. Determine |G(ϖϖϖϖ)| , ∠G(ϖϖϖϖ) e GdB . 
 
 
 
 
 
1
1
)(
)(
)(1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
2
2
2
++
+
==⇒
+
+
=⇒=
SS
S
SV
SV
SGx
S
S
SV
SV
SVi
SV
SG
i
oi
o
o 
1
1
)(
2
2
++
+
=
SS
S
SG 
 
 
 62 
Raízes de D(S) = S2 + S + 1 ⇒ S1 = -0,5 + j0,87 
 S2 = -0,5 - j0,87 
 
Raízes de N(S) = S2 +1 ⇒ S3 = + j 
 S4 = - j 
 
)87,0.5,0)(87,0.5,0(
)1)(1(
))((
))((
)(
21
43
jSjS
jSjSSSSS
SSSS
SG
−+++
−+
=
−−
−−
= 
 
)]87,0(5,0)].[87,0(5,0[
)]1()].[1([
)87,05,0)(87,05,0(
)1).(1(
)(|)(
−+++
−+
=
−+++
−+
===
ϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
jj
jj
jjjj
jjjj
GSG jS
 
2222 )87,0(5,0.)87,0(5,0
)1).(1(
|)(|
−+++
−+
=
ϖϖ
ϖϖ
ϖG 
 
2222 )87,0(5,0.)87,0(5,0
)1).(1(
log20|)(|log20
−+++
−+
==
ϖϖ
ϖϖ
ϖGGdB 
 





 −
−




 +
−




 −
+




 +
=∠ −−−−
5,0
87,0
5,0
87,0
0
1
0
1
)( 1111
ϖϖϖϖ
ϖ tgtgtgtgG 
 
Os gráficos de |G(ϖϖϖϖ)| , ∠G(ϖϖϖϖ) e GdB resultam 
 
Obs: A tabela com os valores não foi colocada uma vez que, muitos valores foram 
plotados, porque ocorre uma descontinuidade da função na freqüência de ressonância. 
 
 63 
 
5. Determine |G(ϖϖϖϖ)| , ∠G(ϖϖϖϖ) e GdB . 
 
 
 64 
 
 
33,0
67,0
)()()(
)(
)(
2
2
12112
2
2
2
++
=
++++
==
SS
S
RCRRLSLCRLCRS
LCRS
SV
SV
SG
i
o 
 
33,0
67,0)(
2
2
++
=
SS
S
SG 
 
Raízes de D(S) = S2 + S + 0,33 ⇒ S1 = -0,5 + j0,28 
 S2 = -0,5 - j0,28 
 
)28,0.5,0)(28,0.5,0(
.
67,0
))((
67,0)(
21
2
jSjS
SS
SSSS
S
SG
−+++
=
−−
= 
 
)28,05,0)(28,05,0(
))((
67,0)(|)(
jjjj
jj
GSG jS
−+++
===
ϖϖ
ϖϖ
ϖϖ 
 
)]28,0(5,0)].[28,0(5,0[
))((
67,0)(
−+++
=
ϖϖ
ϖϖ
ϖ
jj
jj
G 
 
2222
2
)28,0(5,0.)28,0(5,0
67,0|)(|
−+++
=
ϖϖ
ϖ
ϖG 
 
2222
2
)28,0(5,0.)28,0(5,0
67,0log20|)(|log20
−+++
==
ϖϖ
ϖ
ϖGGdB 
 





 −
−




 +
−





+





=∠ −−−−
5,0
28,0
5,0
28,0
00
)( 1111
ϖϖϖϖ
ϖ tgtgtgtgG 
 
 
 
 
 
 65 
Os gráficos de |G(ϖϖϖϖ)| , ∠G(ϖϖϖϖ) e GdB resultam 
 
 
 
2.1.3. Diagrama de Bode 
 
Considere as potências P1 e P2 sobre um resistor de mesmo valor R. O logaritmo da 
relação destas potências na base 10 pode ser escrita como: 
 
Belln
P
P
Bell
n
P
P
)(log10
10
log
1
2
1
2 =





→=





 [5] 
 66 
 
Uma vez que a potência é proporcional ao quadrado da tensão, a relação de tensões, ou 
módulo do ganho também chamada de Ganho em dB GdB fica: 
 
|)(|log20log20
1
2 ωG
V
V
GdB =





= [6] 
 
Seja a seguinte função escrita na forma da Transformada de Laplace 
 
))((
)(
)(
cSbS
aSK
SF
++
+
= [7] 
 
Na forma de Bode fica 
 
)1)(1(
)1(
)1)(1(
)1(
)(
++
+
=
++
+
=
c
s
b
s
a
s
K
c
s
b
s
a
s
bc
Ka
SG X [8] 
 
Assim, a partir da expressão da Eq. 08 é possível traçar os gráficos de módulo e fase, 
considerando somente as frequências de corte dos pólos e zeros. 
 
Ganho KdB: 
 
O ganho da constante é calculado como 
 
XdB KK log20= [9] 
 
A constante não introduz fase 
 
Polos em s = 0 
 
• Introduz uma assíntota que decresce 20 dB / dec desde ωωωω = 0 até ωωωω = ∝∝∝∝ passando 
por ωωωω = 1 no ganho de 0 dB. Para n raizes de s = 0 a assíntota decresce n x 20 dB 
/ dec. 
 
• Introduz uma fase negativa de 90o em toda a faixa de ωωωω = 0 até ωωωω = ∝∝∝∝. Para n 
raizes a fase é n x 90o. 
 
Zero em s = 0 
 
• Introduz uma assíntota que cresce 20 dB / dec desde ωωωω = 0 até ωωωω = ∝∝∝∝ passando por 
ωωωω = 1 no ganho de 0 dB. Para n raizes de s = 0 a assíntota cresce n x 20 dB / dec. 
 
 67 
• Introduz uma fase positiva de 90o em toda a faixa de ωωωω = 0 até ωωωω = ∝∝∝∝. Para n raizes 
a fase é n x 90o. 
 
Polos em s = ωωωωc (frequência de corte) 
 
• Introduz uma assíntota que decresce 20 dB / dec a partir de ωωωω = ωωωωc até ωωωω = ∝∝∝∝. Na 
ωωωωc o GdB é igual - 3 dB, na ωωωωc / 2 o GdB é igual a -1 dB, e na 2xωωωωc o GdB difere de 
-1 dB da assíntota, conforme mostra a figura 1 (acima). Para n raizes de s = ωωωωc a 
assíntota decresce n x 20 dB / dec. 
 
• Introduz uma fase negativa de 90o quando ωωωω = ∝∝∝∝. Na ωωωωc a fase é - 45
o, na ωωωωc / 2 a 
fase é - 26o, e na 2 x ωωωωc a fase é - 63
o , conforme mostra a figura 1(abaixo). Para n 
raizes a fase é n x 90o. 
 
 
Figura 1 - Curvas de ganho em dB com assíntotas e de ângulo de fase para um Pólo 
em s = ωωωωc 
 
Zeros em s = ωωωωc (frequência de corte) 
 
• Introduz uma assíntota que cresce 20 dB / dec a partir de ωωωω = ωωωωc até ωωωω = ∝∝∝∝. Na ωωωωc o 
GdB é igual + 3 dB, na ωωωωc / 2 o GdB é igual a +1 dB, e na 2xωωωωc o GdB difere de +1 
dB da assíntota, conforme mostra a figura 2 (acima). Para n raizes de s = ωωωωc a 
assíntota cresce n x 20 dB / dec. 
 
• Introduz uma fase positiva de 90o quando ωωωω = ∝∝∝∝. Na ωωωωc a fase é + 45
o, na ωωωωc / 2 a 
fase é + 26o, e na 2 x ωωωωc a fase é + 63
o , conforme mostra a figura 2 (abaixo) Para 
n raizes a fase é n x 90o. 
 
 68 
 
Figura 2 - Curvas de ganho em dB com assíntotas e de ângulo de fase para um Zero 
em s = ωωωωc 
 
Polos de raízes complexas: (0 <<<< δδδδ <<<< 1) 
 
Dada uma raiz complexa, representada em Laplace como: 
 
22 2
)(
ooSs
K
SF
ωδω ++
= [10] 
 
Em Bode será representada como: 
 
12
)( 2
2
++





=
S
S
K
SG
nn
n
ω
ξ
ω
ω
 [11] 
onde ωωωωn = ωωωωo 
 ξξξξ = δδδδ 
 
• Introduz uma assíntota que decresce 40 dB / dec a partir de ωωωω = ωωωωn até ωωωω = ∝∝∝∝. Na 
ωωωωn o GdB é igual a X2 dB, na ωωωωn / 2 o GdB é igual a X1 dB, e na 2xωωωωn o GdB difere 
de X1 dB da assíntota, conforme mostra a figura 3 (acima). 
 
 69 
• Introduz uma fase negativa de 180o quando ωωωω = ∝∝∝∝. Na ωωωωn a fase é - 90
o, na ωωωωn / 2 a 
fase é - θθθθ1, e na 2 x ωωωωn a fase é - 180
o + θθθθ2, conforme mostra a figura 3 (abaixo). 
 
 
Figura 3 – Curvas de Ganho em dB com assíntotas e de ângulo de fase relativas à 
função de transferencia quadrática de Pólos Complexo Conjugado 
 
Para zeros complexos os gráficos de GdB e de Fase são invertidos e positivos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70 
EXEMPLO 6. Determine |G(ϖϖϖϖ)| , ∠G(ϖϖϖϖ) e GdB . A seguir traçar o Diagrama de Bode, a 
partir do conceito das assíntotas. 
 
)100).(10(
)1(
10)(
++
+
=
SS
S
SG 
)100).(10(
)1(
10)(
++
+
=
ϖϖ
ϖ
ϖ
jj
j
G 
 
)100).(10(
)1
10|)(|
2222
2
++
+
=
ϖϖ
ϖ
ϖG 
 





−





−





=∠ −−−
100101
)( 111
ϖϖϖ
ϖ tgtgtgG 
 
Na forma de Bode (As expressões apresentam sempre o número 1) 
 
)1
100
).(1
10
(
)1
1
(
)(
++
+
=
SS
S
KSG X 
 
onde a Constante Linear de Bode KX é calculada como 
 
01,0
10010
110
==
x
x
K X 
 
O Ganho de K de Bode Kb: 
 
40)01,0log(20log20 −=== Xb KK 
 
O gráfico a partir das assíntotas resulta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 71 
 
 
 
 
 
 72 
EXEMPLO 7. Determine |G(ϖϖϖϖ)| , ∠G(ϖϖϖϖ) e GdB . A seguir traçar o Diagrama de Bode, a 
partir do conceito das assíntotas. 
 
2)100.(
)10(
10)(
+
+
=
SS
S
SG 
)100).(100).((
)10(
10)(
++
+
=
ϖϖϖ
ϖ
ϖ
jjj
j
G 
 
)100).(100(
)10
10|)(|
2222
22
++
+
=
ϖϖϖ
ϖ
ϖG 
 






−





−





−





=∠ −−−−
100100010
)( 1111
ϖϖϖϖ
ϖ tgtgtgtgG 
 
Na forma de Bode (As expressões apresentam sempre o número 1) 
 
)1
100
).(1
100
.(
)1
10
(
)(
++
+
=
SS
S
S
KSG X 
 
onde a Constante Linear de Bode KX é calculada como 
 
01,0
100100
1010
==
x
x
K X 
 
O Ganho de K de Bode Kb: 
 
40)01,0log(20log20 −=== Xb KK 
 
O gráfico a partir das assíntotas resulta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 73 
 
 
 
 74 
EXEMPLO 8. Determine |G(ϖϖϖϖ)| , ∠G(ϖϖϖϖ) e GdB . A seguir traçar o Diagrama de Bode, a 
partir do conceito das assíntotas. 
 
)1005).(1005.(
)10(
10
)1010.(
)10(
10)(
42 jSjSS
S
SSS
S
SG
−+++
+
=
++
+
= 
 
)1005).(1005).((
)10(
10)(
jjjjj
j
G
−+++
+
=
ϖϖϖ
ϖ
ϖ 
 
)]100(5)].[100(5).[(
)10(
10)(
−+++
+
=
ϖϖϖ
ϖ
ϖ
jjj
j
G 
 
)5)100().(5)100((
)10
10|)(|
2222
22
+−++
+
=
ϖϖϖ
ϖ
ϖG 
 





 −
−




 +
−





−





=∠ −−−−
5
100
5
100
010
)( 1111
ϖϖϖϖ
ϖ tgtgtgtgG 
 
Na forma de Bode (As expressões apresentam sempre o número 1) 
 
)2.(
)(
)1010.(
)10(
10)(
2242
oo
C
SSS
S
K
SSS
S
SG
ϖδϖ
ϖ
++
+
=
++
+
= 
 






++
+
=
4
4
42 10/10/
10/10/
)1010.(
)10(
10)(
SSS
S
SG)110
10
.(
)1
10
(
)(
3
4
2
++
+
=
−
S
S
S
S
KSG X 
 
onde a Constante linear de Bode KX e o Ganho de Bode são calculados como 
 
01,0
10
1010
4
==
x
K X
 
40)01,0log(20log20 −=== Xb KK 
 
A partir da F.T. calcula-se 
 
K = 10 
ϖC =10 
2δϖo = 10 
δ = 0,05 
ϖo = ϖn = 100 
 
O gráfico a partir das assíntotas resulta muito semelhante ao exemplo anterior. 
 75 
 
EXEMPLO 9. Para a figura a seguir, considere que os operacionais desacoplam os 
estágios, ou seja, não interferem entre si, e os componentes com os seguintes valores: 
 
R1 = 10kΩ R2 = 10 Ω R3 = 1 Ω 
C1 = 1 µF C2 = 1F 
L1 = 1 H L2 = 10 H 
 
 
 
a) Determine as Funções de Transferências, de Módulo e de Fase para cada estágio 
 
G(S) |G(ϖϖϖϖ)| ∠∠∠∠G(ϖϖϖϖ) 
(I) 
)(
)(1
)(
sVi
sVo
sG = 
 
000.000.1000.10
000.10
)( 2 ++
=
SS
S
sG 
 
Zeros: S1 = 0 
Polos: S2 = -100, S3 = - 10.000 
)000.10).(100(
000.10
)(
++
=
SS
S
sG 
 
)000.10).(100(
.000.10
)(
++
=
ωω
ω
ω
jj
j
G 
 
2222 000.10.100
.000.10
)(
++
=
ωω
ω
ωG 
 
oG 90)( =∠ ϖ 
 






−





− −−
000.10100
11 ϖϖ
tgtg 
(II) 
1)(1
)(2
)(
+
==
S
S
sVo
sVo
sG 
 
Zeros: Não Existem 
Polos: S1 = -1 
 
22 1
)(
+
=
ω
ω
ωG 
 
( )ϖϖ 190)( −−=∠ tgG o 
 
 
(III) 
1
1
)(2
)(3
)(
+
==
SsVo
sVo
sG 
 
Zeros: Não Existem 
Polos: S1 = -1 
 
22 1
1
)(
+
=
ω
ωG 
 
( )ϖϖ 1)( −−=∠ tgG 
 
 
(IV) 
SsVo
sVo
sG
1
)(3
)(4
)( == 
 
Zeros: Não Existem 
Polos: S1 = 0 
 
ω
ω
1
)( =G 
 
oG 90)( −=∠ ϖ 
 
 
 76 
(V) 
S
sVo
sVo
sG 10
)(4
)(
)( == 
 
Zeros: S1 = 0 
Polos: S1 = Não Existem 
 
ωω =)(G 
 
oG 90)( +=∠ ϖ 
 
 
 
b) Represente os gráficos em função da frequência para cada estágio 
 
|G(ϖϖϖϖ)| GdB(ϖϖϖϖ) ∠∠∠∠G(ϖϖϖϖ) 
(I) 
 
 
 
 
 
 
 
(II) 
 
 
 
 
 
 
 
(III) 
 
 
 
 
 
 
 
(IV) 
 
 
 
 
 
 
 
(V) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 77 
c) Determine G(S) total ou G(S) = Vo(S) / Vi (S) 
 
Na Forma de Laplace 
 
)000.10).(100.()1(
000.100
)(
2
2
+++
=
SSS
S
sG 
 
Kx = 0,1 
Na Forma de Bode 
 






+





+





+
=
1
000.10
.1
100
.1
1
1,0)( 2
2
SSS
S
sG 
 
 
 
( ) 2222222
2
000.10.1001
.000.100
)(
+++
=
ωωω
ω
ωG
 
 
( ) ( )ϖϖϖ 119090)( −− −−++=∠ tgtgG oo
 
 






−





− −−
000.10100
11 ϖϖ tgtg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 78 
2.2. SÉRIE E TRANSFORMADA DE FOURIER 
 
2.2.1. SÉRIE DE FOURIER 
 
2.2.1.1. Introdução 
 
As fontes de alimentação de circuitos elétricos, pode não ser um sinal de tensão contínua 
ou senoidal, como por exemplo uma onda quadrada ou triangular. Sabe-se que todas as 
formas de ondas repetitivas podem ser consideradas como compostas por uma 
combinação de formas de ondas senoidais de várias frequências e amplitudes. Esta é a 
base do que é chamado de Teorema de Fourier. Assim, a forma de onda quadrada pode 
ser considerada como composta de uma combinação de formas de ondas senoidais. Esta 
técnica de considerações de uma forma de onda repetitiva, como composta por número de 
formas de ondas senoidais, permite que seja realizada a análise do circuito. 
 
2.2.1.2. Teorema de Fourier 
 
Um sinal periódico é aquele que se repete em intervalos regulares, sendo o tempo entre as 
repetições sucessivas chamado período T. Um sinal senoidal (figura 1-a) pode ser 
representado por: 
)(1 tsenAv oω= [1] 
 
onde A1 é a amplitude do sinal e ωωωωo , a frequência angular, que é 2ππππ / T. O sinal com o 
dobro da frequência e uma amplitude A2, diferente (figura 1-b), pode ser representado por 
 
)2(2 tsenAv oω= [2] 
 
 
Figura 1 - Sinais senoidais - (a) amplitude A1 e frequência ωωωωo - (b) amplitude A2 e 
frequência 2ωωωωo 
 
Um sinal com o triplo da frequência e uma amplitude A3 , diferente, pode ser 
representado por: 
)3(3 tsenAv oω= [3] 
 
Todas as equações acima descrevem sinais senoidais que se iniciaram com v = 0 e t = 0. 
Quando isto não ocorre, os sinais são representados por: 
 
 79 
)( 11 φω += tsenAv o [4] 
 
)2( 22 φω += tsenAv o [5] 
 
)3( 33 φω += tsenAv o [6] 
 
onde φφφφ1 , φφφφ2 , φφφφ3 são os ângulos de fase em relação a t = 0. 
 
De acordo com o Teorema de Fourier, pode-se considerar que qualquer sinal periódico é 
composto de uma combinação de ondas senoidais. Assim, pode-se considerar um sinal 
periódico como representado por: 
 
)(...)3()2()( 332211 nonoooo tnsenAtsenAtsenAtsenAAv φωφωφωφω +++++++++= 
[07] 
 
onde Ao - componente cc 
 ωωωωo = 2ππππ / T - frequência fundamental ou primeira harmônica 
 2ωωωωo - segunda harmônica 
 3ωωωωo - terceira harmônica 
 nωωωωo - enésima harmônica 
A1 ... An - amplitude dos vários harmônicos. 
 
A figura 2 mostra como uma forma de onda quase quadrada pode ser construída com o 
harmônico fundamental e o terceiro, sendo a amplitude do terceiro harmônico igual a um 
terço da amplitude do harmônico fundamental. Para esta onda pode-se escrever: 
 
)3()3/1()( 11 tsenAtsenAv oo ωω += [8] 
 
 
Figura 2 - Aproximação de uma onda quadrada de um senoide fundamental e 
terceiro harmônico 
 
Uma melhor aproximação para uma forma de onda quadrada é dada pela adição de 
harmônicos ímpares superiores 
 80 
...)7()7/1()5()5/1()3()3/1()( 1111 ++++= tsenAtsenAtsenAtsenAv oooo ωωωω [09] 
 
A figura 3-a mostra um gráfico de amplitudes de ondas senoidais constituintes, plotadas 
em função da frequência para n harmônicos ímpares, para uma forma de onda quadrada, 
isto é, a forma de onda dada pela equação acima. A figura 3-b mostra o gráfico de 
espectro de frequências. 
 
Figura 3 - (a) Onda quadrada - (b) espectro de frequência 
 
2.2.1.3. As Séries de Fourier 
 
Qualquer forma de onda repetitiva pode ser representada pela soma de uma fundamental 
e um número de harmônicas, isto é, suas frequências são múltiplos inteiros de alguma 
fundamental. Esta sequência de termos é conhecida como a Série de Fourier. Assim, uma 
série de Fourier pode ser definida como uma soma de formas de onda senoidais que estão 
harmonicamente relacionadas. Cada forma de onda constituinte tem sua própria 
amplitude e ângulo de fase. As séries podem ser escritas, em geral, para alguma função 
do tempo como: 
 
)(...)2()()cos(...)2cos()cos()( 2121 tnsenbtsenbtsenbtnatataatf nno ωωωωωω ++++++++=
[10] 
Esta pode ser escrita como: 
 
∑
∞=
=
++=
n
n
nno tnsenbtnaatf
1
)()cos(()( ωω [11] 
 
onde ao , an e bn são conhecidos como Coeficientes de Fourier e n é a ordem do 
harmônico. A razão para se escrever cada harmônico como a soma de termos de senos e 
cossenos é que a soma de dois destes termos é exatamente uma forma de onda senoidal 
com algum ângulo de fase (figura 4) e, portanto, o somatório é de formas de ondas 
senoidais, cada uma tendo seu próprio módulo e ângulo de fase. A série é, assim, algumas 
vezes escrita como: 
 
 81 
∑
∞=
=
++=
n
n
nno tncctf
1
)cos()( φω [12] 
 
O componente cc co é idêntico a ao na equação 7. 
 
 
Figura 4 - Somatório de um seno e cosseno de mesma frequência 
 
Considerando somente as componentes de primeira ordem, tem-se: 
 
])(cos)[cos()cos()()cos( 1111111 φωφωφωωω sentsentctctsenbta −=+=+ 
[13] 
 
Portanto, tem-se a1 = c1 cosφφφφ1 e b1 = c1 senφφφφ1. Assim: 
 
2
111
2
1
2
1
2
1 )(cos csencba =+=+ φφ [14] 
 
)( 21
2
11 bac += [15] 
 






−= −
1
11tan
a
b
φ [16] 
 
Obs: Quando se representa somente a amplitude do sinal, usa-se a letra A e maiúsculo. 
Entretanto, quando se representa uma combinação da série trigonométrica de Fourier, 
usa-se as expressões acima. Assim, conclui-se que A1 ≡≡≡≡ c1 . 
 
Em geral: 
)(cos nnn ca φ= [17] 
 
)( nnn sencb φ−= [18] 
 
22
nnn bac += [19] 
 82 






−= −
n
n
n
a
b1tanφ [20] 
 
O conjunto de todos os cn valores em função da frequência é chamado de espectro de 
amplitude e o conjunto e o conjunto de