Cálculo Diferencial e Integral 2

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Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba - DAMAT
MA72A - Cálculo Diferencial e Integral 2
Professor Christian Manuel Surco Chuño
LISTA 1 - Noções Topológicas, Coordenadas Polares, Cilíndricas e Esféricas
Questão 1: Toda bola aberta em R
n é um conjunto aberto.
Questão 2: Determine os pontos de acumulação do conjunto dado.
a) {(x, y) ∈ R
2 | x e y inteiros}
b) {( 1
n
, 1) ∈ R
2 | n 6= 0 natural}
c) {(x, y) ∈ R
2 | x = 1 e 1 < y < 2}
Questão 3: Sejam A e B dois subconjuntos do R
2. Prove que se A e B forem abertos, então
A ∪ B e A ∩B também serão abertos.
Questão 4: Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados em R
2.
a) {(x, y) ∈ R
2 | x2 + y2 ≤ 1}
b) {(x, y) ∈ R
2 | x, y ∈ Z}
c) {(x, y) ∈ R
2 | x = 1 e 1 ≤ y < 3}
Questão 5: Expresse em coordenadas retangulares aqueles pontos do plano cujas coordenadas
polares (r, θ) são:
a) (2, π)
b) (3,−π
4
)
c) (5,
7π
6
)
Questão 6: Achar as coordenadas polares dos pontos cujas coordenadas retangulares (x, y)
são:
a) (3, 3)
b) (−1,−1)
c) (3,−
√
3)
Questão 7: Grafique no plano rθ e no plano xy os conjuntos definidos pelas equações
1
a) θ =
π
4
b) r = 2
Questão 8: Indique os limites em coordenadas polares da região ubicada no interior da circun-
ferência r = 3 sin θ e no exterior do cardioide r = 1 + 3 sin θ.
Questão 9: Achar os limites expressados em coordenadas polares da região W do plano xy
limitada pela lemniscata:
(x2 + y2)2 = a2(x2 − y2), a > 0 (1)
Questão 10: Achar as gráficas dos seguintes conjuntos
a) D = {(r, θ, z) | 0 ≤ r ≤ 5, z = 4}
b) D = {(r, θ, z) | 0 ≤ r ≤ 5, π ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ 3}
2