CALCULO II - ESTACIO - AULA 5 INTEGRAIS DUPLAS NA FORMA POLAR

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia II
Aula 05: Integrais Duplas na Forma Polar
Apresentação
Na aula anterior, �zemos um estudo das integrais duplas iteradas e integrais duplas em regiões gerais.
Agora, continuaremos abordando as integrais, fazendo uso das coordenadas polares.
Para isso, faremos uma breve introdução dos conceitos das coordenadas polares, mostrando as transformações das
coordenadas cartesianas em coordenadas polares.
Além disso, apresentaremos também alguns grá�cos gerados por meio de funções em coordenadas polares.
Objetivos
Reconhecer as coordenadas cartesianas;
Explicar as transformações de coordenadas cartesianas em polares e vice-versa;
Aplicar no conceito das integrais duplas as transformações de coordenadas cartesianas em polares.
Coordenadas polares
Consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto �xo a uma semirreta �xa.
Uma das de�nições para coordenadas polares é:

As coordenadas polares são um sistema de coordenadas bidimensional em que cada
ponto no plano é determinado por uma distância e um ângulo em relação a um ponto
fixo de referência. O ponto de referência é chamado de polo, e a semirreta do polo na
direção de referência é o eixo polar.
(STEWART, 2013, p. 895)
 Figura 1: Representação do eixo polar
Referente à Figura 1 temos as seguintes de�nições:
• o ângulo AÔP está descrito no sentido anti-horário.
• o ângulo AÔP está descrito no sentido horário.
• , representa o polo ou a origem.
θ > 0 ⇒
θ < 0 ⇒
(0,  θ),  ∀ θ
O ponto P, na Figura 1, é determinado por meio do par ordenado , onde representa a
distância entre a origem e o ponto P, e representa a medida, em radianos, do ângulo
orientado AÔP.
(r, θ) |r|
θ
As �guras 2 e 3, abaixo, representam a malha de um plano cartesiano e de uma malha polar, respectivamente.
 Figura 2: Representação de uma malha cartesiana
 Figura 3: Representação da malha polar
As coordenadas polares servem para estabelecer a posição do ponto P em relação a uma grade formada por círculos
concêntricos com centro em O e semirretas partindo de O.
A Figura 4 abaixo dará uma melhor visão e um bom entendimento sobre o assunto.
(r, θ) 
 Figura 4: Representação da coordenada polar
A Figura 4 mostra uma coordenada polar cujo raio é 6 é ângulo é 60º. Por se tratar de uma malha que se assemelha a um plano
cartesiano, a transformação de cartesiano em polar possui um fácil entendimento, como veremos a seguir.
Transformações entre coordenadas
Observe a Figura 5 a seguir:
 Figura 5: Representação da coordenada Polar e
Cartesiana
Dessa imagem podemos tirar as seguintes relações fazendo o uso da trigonometria:
Com essas três fórmulas conseguiremos fazer com que as transformações sejam de polar em cartesiana ou de cartesiana em
polar, como no exemplo a seguir.
1ª :   = + ∴ r = ±r2 x2 y2 ( +  )x2 y2
− −−−−−−−
√
2ª :   cos θ = x
r
3ª :  senθ = x
r
Exemplo
Transforme as coordenadas cartesianas (1, -1) em coordenada polar.
Resolução: Uma coordenada polar é do tipo , como isso, precisamos encontrar as coordenadas desejadas, começando
pela coordenada r, temos:
 (r, θ) 
r = +  x2 y2
− −−−−−√
r = =+ (−1  12 )2
− −−−−−−−−
√ 2√
Determinando agora o valor de 𝜃, temos:
cos θ = x
r
cos θ = =1
2√
2√
2
senθ =
y
r
senθ = =−1
2√
−√2
2
Agora, temos que determinar o ângulo 𝜃 onde o valor do cosseno é positivo e o seno possui valor negativo, isso acontece
somente no 4º quadrante. O ângulo no qual o cosseno tem o valor de é , porém, respeitando os sinais do seno e cosseno,
esse ângulo, no 4o quadrante, será de .
A resposta é: 
2√
2
 π
4
θ = =  7π
4
315o
( ,   )2√ 7π
4
Exemplo
Antes de continuar seus estudos, veja mais alguns exemplos <galeria/aula5/anexo/doc1.pdf> .
Não são objeto de estudo dessa aula as funções em coordenadas polares, porém, vamos mostrar como são as �guras geradas
pelas funções em coordenadas polares, como, por exemplo, a Figura 6 e a Figura 7:
 Figura 6: Função gerada pela função r = sen (4𝜃)
 Figura 7: Função gerada pela função r = sen (1.2𝜃) + cos (6𝜃)2 3
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/galeria/aula5/anexo/doc1.pdf
Como usar a integral dupla na forma polar?
Como vimos na aula anterior, a integral dupla relaciona duas variáveis. Na forma polar não seria diferente. Em determinadas
situações é bem mais fácil fazer a conversão de coordenadas cartesianas para resolução das integrais.
Vamos começar esse conteúdo com um problema simples e a partir dele veri�caremos como poderia ser resolvido com a
utilização da integral dupla na forma polar.
Seja uma circunferência formada pela função x +y =1 , ao olharmos para essa função vemos que se trata de uma equação da
circunferência de centro (0,0) e raio 1. Veja sua representação grá�ca na Figura 8.
2 2
 Figura 8: Circunferência de raio 1
Agora, considerando a integração das duas variáveis x e y vamos pensar na Figura 8 com os limites de x e y, o que nos dá a
seguinte representação (Figura 9):
 Figura 9: Circunferência de raio 1
Sendo assim, para determinarmos essa área teríamos que calcular a integral dupla: dA. Isso nos daria um trabalho
muito grande!
Em casos como esse utilizamos as transformações em coordenadas polares.
Já vimos que 𝑥=𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑦=𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃, agora será introduzida outra transformação: 𝑑𝐴=𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃.
Observe o resumo no quadro a seguir:
 ∫ 1−1 ∫
1−x2√
− 1+x2√
x = rcos θ
y = rsen θ
dA = rdrdθ
Sendo assim, temos que pensar nas �guras 7 e 8 fazendo os seguintes questionamentos:
Qual é o raio da circunferência?
De quanto varia o ângulo dessa circunferência?
Com isso, chegamos às seguintes conclusões:
O raio é 1, como a circunferência está no centro, o raio varia de 0 a 1;
Uma vez que a área compreendida da circunferência é toda a circunferência temos que ela começa em 0 e vai até 2π,
�cando a representação da seguinte forma:
0 ≤ 𝑟 ≤ 1
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
Esses serão os novos limites de integração para o cálculo da nova integral, o que nos dá a seguinte equivalência entre as integrais:
dA  =   rdrdθ∫ 1
−1
∫ 1−x
2√
− 1−x2√
∫ 2x
0
∫ 1
0
Agora que a coordenada cartesiana já foi transformada em polar podemos fazer a integração das duas variáveis r e 𝜃. Sendo
assim, temos:
rdrdθ∫ 2π
0
∫ 1
0
Integrando r, temos:
dθ∫ 2π
0
r
2
2
1
0
Substituindo r por 1 e 0, temos:
[( ) − ( )]dθ∫ 2π
0
1
2
2
0
2
2
[( ) − ( )]dθ∫ 2π
0
1
2
0
2
dθ∫ 2π
0
1
2
Usando a propriedade das integrais vamos tirar a constante da integral e integrar 𝑑𝜃.
  dθ
1
2
∫ 2π
0
( ) θ 1
2
2π
0
Substituindo 𝜃 por 0 e 2𝜋, temos:
u.a( )[2π − 0] = π 1
2
1
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/AULA5.HTML
Exemplo
Vejamos outros exemplos de uso de integrais na forma polar.
Calcular a área de uma semicircunferência, utilizando as coordenadas polares, sabendo que essa semicircunferência, que �ca na
parte superior, tem seu centro na origem e 4 de raio.
Resolução: Como a semicircunferência �ca na parte superior, podemos concluir que varia de e, como a circunferência
tem centro na origem e raio 4, o raio varia entre [0,4], sendo assim, temos: 
Integrando r, temos:
Substituindo r por 4 e 0, temos:
Ao usarmos a propriedade das integrais tiramos a constante da integral e integrar 𝑑𝜃.
Ao substituirmos 𝜃 por 0 e 𝜋 , temos:
θ [0, π]
θ
rdrdθ∫ π
0
∫ 4
0
  dθ∫ π
0
r
2
2
4
0
  [( ) − ( )]dθ∫ π
0
42
2
02
2
  [(2) − ( )]dθ∫ π
0
0
2
2dθ∫ π
0
2 dθ∫ π
0
(2)θ|π0
(2)[π − 0] = 2π u.a
Exemplo
Antes de continuar seus estudos, veja mais alguns exemplos <galeria/aula5/anexo/doc2.pdf> .
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/galeria/aula5/anexo/doc2.pdf
Atividade
1. Transforme as coordenadas cartesianas (2,2) em polares.
a) (2 ,   )2√ π
4
b) ( ,   )2√ π
4
c) (−2 ,   )2√ π
4
d) (2 ,   )2√ 3π
4
e) (2,   )π
4
2. Transforme a coordenada polar e m coordenada cartesiana.(−   π) 4
2
3
a) (−2, −2 )3√
b) (2, )3√
c) (−2, 2 )3√
d) (2, −2 )3√
e) (2, − )3√
3. Calcule a área de um quarto da circunferência, localizadono 2º quadrante, cujo seu centro é na origem e seu raio é 5. O
resultado é:
a) 25π/3
b) 25π/4
c) 25π
d) 25π/2
e) 5π/4
4. Calcule , que serve para encontrar a área da região do primeiro quadrante limitada pelo circulo .
O resultado é:
∫ ∫ (x + 2y)dA + = 4x2 y2
a) 323
b) 313
c) 325
d) 283
e) 293
5. Calcule onde sua área é a região limitada pelos dois círculos e . O resultado é:∫ ∫ y dA +   = 4   x2 y2 +   = 1  x2 y2
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
Notas
u.a1
u.a = unidade de área.
Referências
BROCHI, A. Cálculo diferencial e integral II (livro proprietário). Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FINNEY, R. L.; WEIR, M. D.; GIORDANO, F. R. (ed.). Cálculo George B. Thomas. São Paulo: Pearson, 2009. v. 1 e 2.
FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo B. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2007.
MORETTIN, P. A; HAZZAN, S.; BUSSAND, W. O. Cálculo: Funções de uma e Várias Variáveis. São Paulo: Saraiva. 2013.
STEWART, James. Cálculo volume 2. São Paulo: Cegage Learning, 2013.
Próxima aula
Integral tripla em coordenadas cartesianas;
Uso da integral tripla como ferramenta para cálculo de volume.
Explore mais
Objeto de aprendizagem:
Função polar <https://www.geogebra.org/m/aVB79wBZ> .
Atividades usando as coordenas polares e cartesianas com:
Geogebra <https://www.geogebra.org/m/HDkJ9kyr> ;
Rosácea <https://www.geogebra.org/m/jbYVwRwp> .
https://www.geogebra.org/m/aVB79wBZ
https://www.geogebra.org/m/HDkJ9kyr
https://www.geogebra.org/m/jbYVwRwp