T13-ELS-2017-06-01

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ESTADOS-LIMITES DE SERVIÇO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
IBRACON, CT-301, atualizado em outubro de 2015 
 
Autor: Libânio M. Pinheiro (1); 
Revisor da primeira edição: José Martins Laginha (2) 
Revisor da segunda edição: Daniel Miranda dos Santos (3) 
 
(1) Prof. Dr., USP, Escola de Engenharia de São Carlos. E-mail: libanio@sc.usp.br 
(2) Eng. Civil, GTP Grupo Técnico de Projetos. E-mail: projeto@gtp.com.br 
(3) Eng. Civil, EGT Engenharia Ltda. E-mail: danielmiranda@usp.br 
 
1. Dados iniciais 
Apresenta-se a verificação dos estados limites de serviço para a viga biapoiada de um edifício 
residencial, indicada na Figura 1, com seção de 22 cm x 40 cm, vão equivalente ℓ = 410 cm, 
concreto C25, aço CA-50, armadura longitudinal 4  16 (8,04 cm2), d = 35,5 cm, classe II de 
agressividade ambiental (c = 3 cm, conforme o item 7.4, tabela 7.2). Os itens e as tabelas aqui 
indicadas referem-se à NBR 6118:2014. Serão admitidos os valores característicos das ações: 
 
gk = 28 kN/m, qk = 7 kN/m, pk = gk +qk = 35 kN/m 
 
 
Figura 1 – Viga biapoiada 
 
2. Estado-limite último (ELU) de flexão 
O momento de cálculo é: 
��� =
1,4 ∙ 35 ∙ 4,1�
8
= 102,96	�� ∙ � 
 
A posição da linha neutra e a armadura relativa ao ELU de flexão resultam: 
 
� = 1,25 ∙ 35,5���1 −�1 −
10296�� ∙ �� ∙ 1,4
0,425 ∙ 22�� ∙ 35,5���� ∙ 2,5 �� ���⁄
� = 12,66	�� 
� �⁄ = 0,36 < 0,45	(��) – item 14.6.4.3 
�� =
102,96
(0,355 − 0,4 ∙ 0,1266) ∙ 43,5
= 7,78	���	(4	∅	16) 
 
3. Momento de fissuração 
O cálculo do momento de fissuração é indicado no item 17.3.1: 
t
cct
r
y
If
M

 (1) 
 = 1,5 (seção retangular) 
2 
 
4
33
c cm333117
12
4022
12
 
hb
I 



 (2) 
cmt 20
2
40
2
h
y  (3) 
 
3.1 Formação de fissuras 
No estado-limite de formação de fissuras (ELS-F), segundo o item 17.3.1, deve ser usado o fck,inf 
(8.2.5 da Norma): 
23/23/2
,inf / 1795,0 795,12521,0f3,07,0ff cmkNMPackctkct  (4) 
mkNcmkNr . 80,15. 1580
20
1173331795,05,1
M 

 (5) 
 
3.2 Deformação excessiva 
No estado-limite de deformação excessiva (ELS-DEF), deve ser usado o fct,m (8.2.5 da Norma): 
23/23/2 / 2565,0 565,2253,0f 3,0ff cmkNMPackctmct  (6) 
mkNcmkNr . 57,22. 2257
20
1173332565,05,1
M 

 (7) 
 
4. Cálculo em serviço para seção fissurada 
Neste item são consideradas as combinações de serviço, as posições da linha neutra e o 
momento de inércia. 
 
4.1 Combinações de serviço 
Como se trata de elemento estrutural de concreto armado de uma edificação residencial, os 
estados-limites de serviço a serem verificados são o ELS-W (abertura de fissura) e o ELS-DEF 
(deformação excessiva). 
A combinação de ação a ser considerada para a verificação do ELS-W é a combinação frequente 
(tabela 13.4). No caso do ELS-DEF, as flechas são, usualmente, verificadas com a combinação 
quase permanente (item 11.8.3.1a). No entanto, em casos especiais em que os elementos não 
estruturais (como vedações) são sensíveis às deformações da estrutura, o ELS-DEF pode ser 
verificado com a combinação frequente (11.8.3.1b). 
 Combinação quase permanente 
Para edifícios residenciais, 2 = 0,3 (conforme 11.7.1, tabela 11.2). Neste exemplo, a única ação 
variável é a carga de uso e, portanto, a combinação quase permanente das ações é (tabela 11.4): 
 mkNkkCQP / 1,3073,028qgpp 2   (8) 
 
O momento da combinação quase permanente é: 
mkN. 25,63
8
10,41,30
M
2
CQP 

 (9) 
3 
 
 Combinação frequente 
Para edifícios residenciais, 1 = 0,4 (tabela 11.2, edifícios residenciais), obtêm-se (tabela 11.4): 
 mkNkkCF / 8,3074,028qgpp 1   (10) 
mkN. 72,64
8
10,48,30
M
2
CF 

 (11) 
Como MCQP = 63,25 kN.m > Mr = 22,6 kN.m, ou seja, há fissuras e é necessário calcular a posição 
da linha neutra (xII) e o momento de inércia ( III) no estádio II, para ambas as verificações (ELS-W 
e ELS-DEF). 
4.2 Linha neutra 
Para seção retangular com armadura simples, xII é obtido com a equação: 
0sese
2  dA x A x
2
b
 (12) 
Es = 210 GPa = 210000 MPa (conforme 8.3.5) (13) 
Ecs = 24000 MPa (conforme 8.2.8, tabela 8.1) (14) 
No caso do ELS-DEF, a relação entre os módulos é dada por: 
758
24000
210000
E
E
,
cs
s
e  (conforme 17.3.2.1.1) (15) 
Logo, 
05,3504,875,8x04,875,8x
2
22 2  
11x2 + 70,35 x – 2497,425 = 0 
xII = 12,21 cm (a raiz negativa é ignorada) (16) 
No entanto, para a avaliação da abertura de fissura, o cálculo no estádio II pode ser feito 
considerando a relação e entre os módulos igual a 15 (NBR 6118, item 17.3.3.2). 
Logo, para a avaliação da abertura de fissura, a linha neutra no estádio II pode ser considerada 
como sendo: 
05.3504,815x04,815x
2
22 2  
11x2 + 120,6 x – 4281,3 = 0 
xII = 14,99 cm (a raiz negativa é ignorada) (17) 
 
4.3 Momento de inércia 
Para seção retangular com armadura simples, III é dado por: 
2
IIse
3
II
II )(
3
xd A
x b
I  (18) 
4 
 
Para avaliação do ELS-DEF, tem-se: 
4
II
2
3
 51509I)21,125,35( 04,875,8
3
21,1222
I cmII 

 (19) 
Para avaliação do ELS-W, tem-se: 
4
II
2
3
 75432I)99,145,35( 04,815
3
99,14.22
I cmII  (20) 
 
5. Estado limite de deformação excessiva 
Como a seção está fissurada, antes do cálculo das flechas, é necessário calcular o 
momento de inércia equivalente. 
 
5.1 Momento de inércia equivalente 
Com base em 17.3.2.1.1: 
 II
a
r
c
a
r
eq I
M
M
1I
M
M
I
33





















 (21) 
São conhecidos os valores: 
Mr = 22,57 kN.m (ELS - DEF) (equação 7) 
Ma = MCQP = 63,25 kN.m (equação 9) 
Ic = 117333 cm
4 (equação 2) 
III = 51509 cm
4 (equação 19) 
Resulta: 
4
33
 5450015095 
25,63
57,22
1333 117
25,63
57,22
II cmeq 




















 (22) 
 
5.2 Flecha imediata 
Para viga biapoiada, a flecha imediata (assumida elástica) é dada pela expressão: 
 
IE
p
a



4
i
384
5 
 (23) 
 
E = Ecs = 24000 MPa = 2400 kN/cm
2 (equação 14) 
 
Substituindo, na equação 23, ℓ = 410 cm e os valores obtidos nas equações 8, 14 e 22, resulta: 
cmii 85,0a
54500.2400
410
100
1,30
384
5
a
4
 (24) 
 
5.3 Flecha diferida 
De acordo com 17.3.2.1.2: 
5 
 
 
'501
f


 (25)
 32,168,02
mês1
meses70
0






t
t
 (tabela 17.1) (26) 
 
’ = 0 (armadura simples) 
32,1
1
32,1
f  (27) 
af = f . ai = 1,32 . 0,85  af = 1,12 cm (28) 
 
5.4 Flecha total 
A flecha total pode ser obtida conforme indicado no final em 17.3.2.1.2: 
 
at = ai (1+f) = 0,85 (1+1,32)  at = 1,97 cm (29) 
 
5.5 Flecha limite 
Para aceitabilidade visual, da maneira indicada em 13.3, tabela 13.3: 
 cm64,1
250
410
250
lim a 
 (30) 
 
Há necessidade de contraflecha, pois: 
 
at = 1,97 cm > alim=1,64 cm 
 
5.6 Contraflecha 
Pode ser adotada uma contaflecha da ordem da flecha imediata: 
 
cmic 85,0aa  (31)A contraflecha, também, pode ser um pouco maior que a flecha imediata. Porém, a NBR6118, em 
sua tabela 13.3, não permite contraflecha maior que o valor: 
 ac,lim cm17,1
350
410
350


 (32) 
Como é usual adotar um valor múltiplo de 0,5 cm, pode-se adotar contraflecha de 1,0 cm, menor 
que o limite de 1,17 cm, e que acarretaria uma flecha final de 0,97 cm, menor que alim = 1,64 cm. 
 
5.7 Outras providências 
Quando forem necessárias, há outras providências que podem ser adotadas para diminuir as 
deformações. As mais comuns são: aumentar a seção transversal (b ou h), aumentar As ou adotar 
armadura de compressão A’s. 
Deve-se ressaltar que aumentar h é a alternativa mais eficiente. 
 
6 Abertura de fissuras 
A verificação do ELS-W pode ser feita com base no item 17.3.3 da Norma. 
6 
 
 
6.1 Dados iniciais 
  = 16 mm 
  = 2,25 (Barras nervuradas, CA-50, 9.3.2.1 e tabela 8.3) 
 Es = 210 000 MPa = 21 000 kN/cm
2 (equação 13) 
 sA = 8,04 cm
2 (4  16) 
 fct,m = 0,2565 kN/cm
2 (equação 6) 
 
6.2 Taxa de armadura 
Será considerada a taxa de armadura de tração em relação à área da região de envolvimento Acr 
(Figura 2). 
Para b = 22 cm, c = 3,0 cm, t = 0,63 cm e ℓ = 1,6 cm, resulta: 
Acr = b (d’ + 7,5 ℓ) = 22 (4,5 + 7,5 x 1,6) = 363 cm
2 (33) 
 
%21,20221,0
363
04,8
A
A

cr
s
r (34) 
 
Figura 2 - Área Acr 
 
6.3 Cálculo de s no estádio II com e = 15 
2/ 40,26
75432
)99,145,35(647215
I
)xd(M 
cmkN
II
IICFe
s 





 (35) 
CFM (equação 11); IIx (equação 17) e III (equação 20) 
 
6.4 Cálculo de s no estádio II com e = Es/Ec = 8,75 
Para comparar os resultados, será considerado e = Es/Ecs = 8,75 (equação 15). Nessas 
condições tem-se: xII = 12,21 cm (equação 16) e III = 51509 cm
4 (equação 19). Resulta: 
7 
 
 
2/ 61,25
51509
)21,125,35(647275,8
I
)xd(M 
cmkN
II
IICFe
s 





 (36)
 
 
Como este valor é muito próximo do obtido no item anterior (3% menor), parece não haver 
diferença significativa em se considerar e = Es/Ecs = 8,75, em vez de e = 15, como preconiza a 
Norma. 
 
6.5 Cálculo aproximado de s 
Para seção retangular com armadura simples, no estádio II, um valor aproximado de s pode ser 
obtido com a expressão: 
2/ 68,26
04,85,3585,0
6472
85,0
M
cmkN
Ad s
CF
s 



 (37) 
Nota-se que este valor de s é muito próximo dos obtidos nos dois itens anteriores. Em relação ao 
obtido com e = 15, ele resultou pouco mais de 1% maior, e 4,2% maior que o relativo a e= 8,75. 
Portanto, em um cálculo preliminar, a verificação pode ser feita com a tensão s obtida com este 
cálculo aproximado. 
 
6.6 Cálculo de wk 
Com as expressões indicadas em 17.3.3.2, fctm dado pela equação 6, s = 26,40 kN/cm
2 e com os 
demais valores obtidos nos itens anteriores, obtêm-se: 
 





























45
4
5,12
3
5,12
risi
si
1
i
2
ctm
si
si
si
1
i
1
k
E
w
fE
w
w (38) 
mm22,0
2565,0
40,263
21000
40,26
25,25,12
16
w1 



 
 mm16,045
0221,0
4
21000
40,26
25,25,12
16
w 2 







 
 
Como se considera o menor valor entre w1 e w2, resulta: 
 
wk = 0,16 mm (39) 
 
6.7 Verificação da abertura limite 
A abertura limite é dada na tabela 13.4 (item 13.4.2). Para concreto armado e classe de 
agressividade ambiental II, tem-se: wlim = 0,3 mm. Portanto: 
 
wk = 0,16 mm < wim = 0,3 mm  OK! (40) 
Constata-se que a verificação ocorre com folga, o que justificaria o emprego do cálculo 
aproximado para determinação de s. 
 
 
 
 
8 
 
6.8 Providências 
Caso a verificação de abertura de fissuras não seja atendida, as principais providências são: 
 
 diminuir o diâmetro das barras da armadura de tração (respeitando-se As,nec); 
 aumentar a quantidade de armadura (diminuir s); 
 aumentar a seção transversal (b ou h). 
 
Agradecimentos 
À colaboração de: 
Ana Maria da Silva Brandão, 
Anastácio Cantisani de Carvalho, 
Cassiane Daniele Muzardo, 
Lezzir Ferreira Rodrigues, 
Marcos Vinícius Natal Moreira 
Rafaela Montefusco e 
Sandro Pinheiro Santos. 
 
Referência 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2014. Projeto de 
estruturas de concreto – procedimento. Rio de Janeiro.