Mecânica dos Solos II

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Mecânica dos Solos II 
Lista de exemplos 
Prof. Thiago Damasceno Silva 
 
1. Determinar as tensões vertical, neutra e efetiva para o caso indicado a seguir, a 15 m de 
profundidade, e em seguida marque a resposta correta. Considerar que o nível d’água atua 
na superfície do terreno. 
 
Resolução: 
A tensão vertical na cota de 15 m, ocasionada pelo peso próprio das camadas de solo, é: 
𝜎 = ℎ1 ∙ 𝛾1 + ℎ2 ∙ 𝛾2 + ℎ3 ∙ 𝛾3 
𝜎 = 2 ∙ 12 + 6 ∙ 22 + 7 ∙ 28 
𝜎 = 352 kN/m² = 352 kPa 
Considerando o peso específico da água (𝛾𝑤) como 10 kN/m³, obtém-se a tensão neutra na 
cota de 15 m: 
𝑢 = ℎ𝑤 ∙ 𝛾𝑤 = 15 ∙ 10 
𝑢 = 150 kPa 
Por fim, conforme a diferença entre a tensão vertical e a tensão neutra, calcula-se a tensão 
efetiva na cota de 15 m: 
𝜎′ = 𝜎 − 𝑢 
𝜎′ = 352 − 150 
𝜎′ = 202 kPa 
 
 
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2. Para o terreno indicado na figura abaixo, calcule as tensões neutras, efetivas e totais 
referentes à profundidade com cota -12 m. 
 
 
Dados: 
 Argila orgânica mole preta: peso específico das partículas sólidas = 21 kN/m³; porosidade 
= 40%. 
 Areia fina argilosa mediamente compactada: peso específico das partículas sólidas = 29 
kN/m³; índice de vazios = 1,5. 
 Areia siltosa mole cinza escura: peso específico das partículas sólidas = 25 kN/m³; peso 
específico aparente seco = 18 kN/m³. 
 
 
 
 
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Resolução: 
Devemos inicialmente relembrar algumas relações de propriedades da Mecânica dos Solos 
(normalmente estudadas no curso inicial de Mecânica dos Solos I): 
Peso específico natural do solo: 𝛾𝑛 = 𝛾𝑠 ∙
(1 + 𝑤)
(1 + 𝑒)
 
Índice de vazios: 𝑒 =
𝑛
(1 − 𝑛)
 
Teor de umidade: 𝑤 = 𝑒 ∙
𝛾𝑤
𝛾𝑠
 
Peso específico aparente seco: 𝛾𝑑 =
𝛾𝑠
(1 + 𝑒)
 
Nas relações acima, é importante notar que 𝛾𝑠 é o peso específico das partículas sólidas 
(fornecido para todas as camadas), 𝛾𝑤 é o peso específico da água (aproximadamente 10 
kN/m³) e 𝑛 é a porosidade do solo. Com base nessas relações, é possível determinar o peso 
específico natural do solo (𝛾𝑛), que é a relação entre o peso total e o volume total do solo, 
sendo utilizado no cálculo das tensões verticais provenientes do peso próprio. 
 
Camada 1 - Argila orgânica mole preta 
Para a primeira camada, foram fornecidos os valores para o peso específico das partículas 
sólidas e a porosidade do solo: 
𝛾𝑠 = 21 kN/m³ 
𝑛 = 40% = 0,4 
Aplicando a equação do índice de vazios: 
𝑒 =
𝑛
(1 − 𝑛)
=
0,4
(1 − 0,4)
 
𝑒 = 0,67 
Determina-se o teor de umidade do solo posteriormente: 
𝑤 = 𝑒 ∙
𝛾𝑤
𝛾𝑠
= 0,67 ∙
10
21
 
𝑤 = 0,32 
Calcula-se em seguida o peso específico natural do solo: 
𝛾𝑛 = 𝛾𝑠 ∙
(1 + 𝑤)
(1 + 𝑒)
= 21 ∙
(1 + 0,32)
(1 + 0,67)
 
 
 
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𝛾𝑛 = 16,6 kN/m³ 
Determina-se a tensão vertical na base da camada, cota -2: 
𝜎′ = ℎ ∙ 𝛾𝑛 = 5 ∙ 16,6 
𝜎′ = 83 kN/m² = 83 kPa 
 
Camada 2 - Areia fina argilosa mediamente compactada 
Para a segunda camada, foram fornecidos os valores para o peso específico das partículas 
sólidas e o índice de vazios do solo: 
𝛾𝑠 = 29 kN/m³ 
𝑒 = 1,5 
Aplicando a equação do teor de umidade: 
𝑤 = 𝑒 ∙
𝛾𝑤
𝛾𝑠
= 1,5 ∙
10
21
 
𝑤 = 0,52 
Determina-se em seguida o peso específico natural do solo: 
𝛾𝑛 = 𝛾𝑠 ∙
(1 + 𝑤)
(1 + 𝑒)
= 29 ∙
(1 + 0,52)
(1 + 1,5)
 
𝛾𝑛 = 17,6 kN/m³ 
Calcula-se a tensão vertical na base da camada, cota -6: 
𝜎′ = ℎ ∙ 𝛾𝑛 = 4 ∙ 17,6 
𝜎′ = 70,4 kN/m² = 70,4 kPa 
 
Camada 3 - Areia fina argilosa mediamente compactada 
Para a segunda camada, foram fornecidos os valores para o peso específico das partículas 
sólidas e o peso específico aparente seco do solo: 
𝛾𝑠 = 25 kN/m³ 
𝛾𝑑 = 18 kN/m³ 
É necessário determinar o índice de vazios conforme a equação: 
𝛾𝑑 =
𝛾𝑠
(1 + 𝑒)
→ 𝑒 =
𝛾𝑠
𝛾𝑑
− 1 
 
 
5 
 
𝑒 =
25
18
− 1 = 0,39 
Aplicando a equação do teor de umidade: 
𝑤 = 𝑒 ∙
𝛾𝑤
𝛾𝑠
= 0,39 ∙
10
25
 
𝑤 = 0,156 
Determina-se em seguida o peso específico natural do solo: 
𝛾𝑛 = 𝛾𝑠 ∙
(1 + 𝑤)
(1 + 𝑒)
= 25 ∙
(1 + 0,156)
(1 + 0,39)
 
𝛾𝑛 = 20,8 kN/m³ 
Calcula-se a tensão vertical na cota especificada, cota -12: 
𝜎 = ℎ ∙ 𝛾𝑛 = 6 ∙ 20,8 
𝜎 = 124,8 kN/m² = 124,8 kPa 
Cálculo das tensões na cota -12 m 
Conforme as tensões previamente calculadas, é possível determinar a tensão vertical total na 
cota -12: 
𝜎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 83 + 70,4 + 124,8 
𝜎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 278,2 kPa 
A tensão neutra na cota -12 também é calculada, de acordo com a cota em que o nível d’água 
situa-se (cota +3 nesse caso, sendo 15 m de diferença até a cota -12): 
𝑢 = ℎ ∙ 𝛾𝑤 = 15 ∙ 10 
𝑢 = 150 kPa 
Por fim, calcula-se a tensão efetiva na cota -12 segundo a diferença entre a tensão vertical e 
a tensão neutra: 
𝜎′ = 𝜎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑢 
𝜎′ = 278,2 − 150 
𝜎′ = 128,2 kPa 
 
 
 
 
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3. Pelo método de Boussinesq, calcule o valor da tensão vertical no ponto A de uma camada de 
solo sujeita a uma força concentrada de 800 kN, e do ângulo θ indicado na figura. A distância 
horizontal (r) entre o ponto A e o ponto de aplicação da força é de 1,2 m, enquanto a 
profundidade (z) é de 2,7 m. 
 
 
Resolução: 
O ângulo θ é calculado considerando a relação trigonométrica de tangente (cateto oposto por 
cateto adjacente): 
tan 𝜃 =
𝑟
𝑧
=
1,2
2,7
= 0,4444 
𝜃 = tan−1(0,4444) = 23,96° ≅ 24° 
Em seguida, aplica-se a fórmula de Boussinesq para determinar a tensão vertical 𝜎𝑣 no ponto 
analisado (A): 
𝜎𝑣 =
3 ∙ 𝑝
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑧2
∙ cos5 𝜃 
𝜎𝑣 =
3 ∙ 800
2 ∙ 𝜋 ∙ 2,72
∙ cos5(23,96°) 
𝜎𝑣 = 33,39 kN/m
2 = 33,39 kPa 
Portanto, a tensão vertical ocasionada pela força concentrada no ponto A será de 33,39 kPa. 
 
 
 
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4. A partir da teoria de Love, determinar a tensão vertical gerada por uma placa circular 
carregada a 150 kN/m² na profundidade de 2r. A placa possui raio (r) de 2,15 m. 
 
 
Resolução: 
A profundidade em que a tensão vertical será calculada é de duas vezes o raio (2r). Assim: 
𝑧 = 2 ∙ 𝑟 = 2 ∙ 2,15 
𝑧 = 4,30 m 
Em seguida, aplica-se a fórmula de Love para determinar a tensão vertical 𝜎𝑣 na profundidade 
z de 4,3 m: 
𝜎𝑣 = 𝑝 ∙
{
 
 
 
 
1 −
1
[1 + (
𝑟
𝑧)
2
]
3
2
}
 
 
 
 
 
𝜎𝑣 = 150 ∙
{
 
 
 
 
1 −
1
[1 + (
2,15
4,30)
2
]
3
2
}
 
 
 
 
 
𝜎𝑣 = 42,67 kN/m
2 = 42,67 kPa 
Portanto, a tensão vertical ocasionada na profundidade de 4,3 m será de 42,67 kPa. 
 
 
 
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5. O recalque primário é o que ocorre por adensamento devido à expulsão da água dos vazios 
do solo. Dessa forma, determinar o recalque primário de uma camada de solo com espessura 
de 2,3 m, sabendo que o valor obtido para o índice de vazios inicial do solo é 1,38, enquanto 
o valor do índice de vazios final é 0,57. 
 
Resolução: 
Considerando os dados: 
𝐻0 = 2,3 m 
𝑒0 = 1,38 
𝑒 = 0,57 
É possível aplicar diretamente a fórmula do recalque primário (𝜌𝑐): 
𝜌𝑐 = (
∆𝑒
1 + 𝑒0
) ∙ 𝐻0 = (
|0,57 − 1,38|
1 + 1,38
) ∙ 2,3 
𝜌𝑐 = 0,7828 m = 78,28 cm 
Portanto, o recalque primário será de 78,28 cm. Notar que o sinal não é particularmente 
importante, pois o recalque é considerado na forma de movimento vertical descendente. 
 
 
 
 
 
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6. Na figura abaixo é apresentada uma rede de fluxo permanente 2D, ao redor de uma cortina 
impermeável em uma camada de solo isotrópico e homogêneo. A rede é constituída por 5 
linhas de fluxo e 10 linhas equipotenciais, sendo o nível de referência (NR) coincidente com 
a posição da linha equipotencial mínima (nível d’água 2). Determine o valor da carga hidráulica 
h no ponto A, situado na profundidade 1,4 m abaixo do NR. Em seguida, marque a opção que 
contém o valor correto. 
 
(Questão adaptada do ENADE 2011). 
 
Resolução: 
Nessa questão é indicado um problema de percolação de água em solos. No enunciado foi 
informado que há 5 linhas de fluxo e 10 linhas equipotenciais: 
𝑁𝑓 = 5 (linhas de fluxo); 𝑁𝑑 = 10 (linhas equipotenciais) 
As linhas de fluxo são linhasimaginárias, traçadas com o intuito de simular a trajetória das 
partículas de água pelo solo. As linhas equipotenciais são desenhadas de forma a interceptar 
ortogonalmente as linhas de fluxo, gerando assim pontos de interseção, como o ponto A 
indicado na figura. Nesses pontos, os parâmetros de análise serão estimados (no caso dessa 
questão pede-se apenas a carga hidráulica). Outros parâmetros que poderiam ser estimados 
nesses pontos: pressão neutra, pressão efetiva, etc. O traçado das linhas de fluxo e 
equipotenciais ocorre a partir de métodos analíticos, numéricos ou gráficos. O método gráfico 
é considerado o mais prático, consistindo no traçado a mão livre de diversas linhas de 
 
 
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escoamento e equipotenciais, desde que elas se interceptem ortogonalmente e que formem 
figuras aproximadamente “quadradas”. 
 
Considera-se que a carga total é dissipada entre as linhas equipotenciais. Assim, a perda de 
carga é constante entre linhas equipotenciais sucessivas. Para o cálculo da perda de carga, 
a diferença de altura entre o nível de referência (NR) e o primeiro nível de água (NA1) é de Z 
= 3,6 m, conforme visualizado na Figura. Portanto, considera-se que ocorre perda de carga 
do NA1 até o ponto A para cada linha equipotencial de forma cumulativa, sendo: 
𝛥ℎ =
𝑍
𝑁𝑑
=
3,6
10
= 0,36 m 
Consequentemente, a perda de carga em cada linha equipotencial é de 0,36 m, até o NR (em 
que a carga hidráulica é nula). Portanto, no ponto “A” a carga hidráulica é ℎ = 0,36 m, referente 
à penúltima linha equipotencial. 
 
–– Linhas de fluxo 
–– Linhas equipotenciais