M2 - GD1 - Matemática

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Curso de Graduação a Distância 
 
 
 
 
Matemática 
 
(04 créditos – 80 horas) 
 
 
 
 
Autor: 
Elvézio Scampini Junior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Católica Dom Bosco Virtual 
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Missão Salesiana de Mato Grosso 
Universidade Católica Dom Bosco 
Instituição Salesiana de Educação Superior 
 
 
Chanceler: Pe. Ricardo Carlos 
Reitor: Pe. José Marinoni 
Pró-Reitora de Graduação: Profa. Rubia Renata Marques 
Diretor da UCDB Virtual: Prof. Jeferson Pistori 
Coordenadora Pedagógica: Profa. Blanca Martín Salvago 
 
 
Direitos desta edição reservados à Editora UCDB 
Diretoria de Educação a Distância: (67) 3312-3335 
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UCDB -Universidade Católica Dom Bosco 
Av. Tamandaré, 6000 Jardim Seminário 
Fone: (67) 3312-3800 Fax: (67) 3312-3302 
CEP 79117-900 Campo Grande – MS 
 
 
Scampini Junior, Elvézio. 
Disciplina: Matemática 
 
Elvézio Scampini Junior. Campo Grande: UCDB, 2022. 95 p. 
 
Palavras-chave: 
1. Lógica; 2. Função; 3. Interpretação para tomada de decisões; 4. 
Aplicações de modelos econômicos 
 
 
 
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APRESENTAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO 
 
Este material foi elaborado pelo professor conteudista sob a orientação da equipe 
multidisciplinar da UCDB Virtual, com o objetivo de lhe fornecer um subsídio didático que 
norteie os conteúdos trabalhados nesta disciplina e que compõe o Projeto Pedagógico do seu 
curso. 
Elementos que integram o material 
Critérios de avaliação: são as informações referentes aos critérios adotados para a 
avaliação (formativa e somativa) e composição da média da disciplina. 
Quadro de Controle de Atividades: trata-se de um quadro para você organizar a 
realização e envio das atividades virtuais. Você pode fazer seu ritmo de estudo, sem ul-
trapassar o prazo máximo indicado pelo professor. 
Conteúdo Desenvolvido: é o conteúdo da disciplina, com a explanação do professor 
sobre os diferentes temas objeto de estudo. 
Indicações de Leituras de Aprofundamento: são sugestões para que você possa 
aprofundar no conteúdo. A maioria das leituras sugeridas são links da Internet para facilitar 
seu acesso aos materiais. 
Atividades Virtuais: atividades propostas, que marcarão um ritmo no seu estudo, 
assim como as datas de envio, encontram-se no Ambiente Virtual de Aprendizagem. 
 
Como tirar o máximo de proveito 
Este material didático é mais um subsídio para seus estudos. Consulte outros 
conteúdos e interaja com os outros participantes. Portanto, não se esqueça de: 
· Interagir com frequência com os colegas e com o professor, usando as ferramentas 
de comunicação e informação do Ambiente Virtual de Aprendizagem – AVA; 
· Usar, além do material em mãos, os outros recursos disponíveis no AVA: aulas 
audiovisuais, videoaulas, espaço interativo, etc.; 
· Recorrer à equipe de tutoria sempre que precisar orientação sobre dúvidas quanto 
a calendário, atividades, ferramentas do AVA, e outros; 
· Ter uma rotina que lhe permita estabelecer o ritmo de estudo adequado a suas 
necessidades como estudante, organize o seu tempo; 
· Ter consciência de que você deve ser sujeito ativo no processo de sua aprendizagem, 
contando com a ajuda e colaboração de todos. 
 
 
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Objetivo Geral 
 
Desenvolver no aluno as bases introdutórias ao cálculo, facilitando-lhe a visão geral e 
global das funções que promoverá o aprendizado subsequente do Cálculo, que é o estudo 
das derivadas de funções de uma ou mais variáveis. 
Apresentar os conceitos de lógica, função e de Polinomial do 1º grau, demonstrando 
aplicabilidade dentro da própria matemática (interdisciplinaridade) e de áreas afins 
(interdisciplinaridade). 
 
SUMÁRIO 
UNIDADE 1 – LÓGICA APLICADA ........................................................................ 10 
1.1 Problemas e desafios lógicos .................................................................................. 10 
1.2 Metodologia .......................................................................................................... 12 
1.3 Problemas da verdade e da mentira ........................................................................ 20 
UNIDADE 2 – NOÇÕES DE FUNÇÃO ..................................................................... 28 
2.1 Definição .............................................................................................................. 30 
2.2 Domínio e imagem ................................................................................................ 30 
2.3 Representação de funções: tabelas, gráficos e fórmulas ........................................... 32 
2.4 Função Inversa ..................................................................................................... 34 
2.5 Interpretação de gráficos ....................................................................................... 37 
2.6 Interpretação de tabelas-cálculo de contas de água e luz ......................................... 54 
UNIDADE 3 – FUNÇÃO POLINOMIAL DE PRIMEIRO GRAU ................................. 59 
3.1 Forma geral .......................................................................................................... 60 
3.2 Inclinação da reta e representação gráfica .............................................................. 66 
3.3 Determinação de fórmulas a partir de gráficos ......................................................... 68 
3.4 Aplicações ............................................................................................................ 71 
REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 96 
 
Avaliação 
A UCDB Virtual acredita que avaliar é sinônimo de melhorar, isto é, a finalidade da 
avaliação é propiciar oportunidades de ação-reflexão que façam com que você possa 
aprofundar, refletir criticamente, relacionar ideias, etc. 
A UCDB Virtual adota um sistema de avaliação continuada: além das provas no final de 
cada módulo (avaliação somativa), será considerado também o desempenho do aluno ao longo 
 
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de cada disciplina (avaliação formativa), mediante a realização das atividades. Todo o processo 
será avaliado, pois a aprendizagem é processual. 
Para que se possa atingir o objetivo da avaliação formativa, é necessário que as 
atividades sejam realizadas criteriosamente, atendendo ao que se pede e tentando sempre 
exemplificar e argumentar, procurando relacionar a teoria estudada com a prática. 
As atividades devem ser enviadas dentro do prazo estabelecido no calendário de cada 
disciplina. 
 
Critérios para composição da Média Semestral: 
Para compor a Média Semestral da disciplina, leva-se em conta o desempenho atingido 
na avaliação formativa e na avaliação somativa, isto é, as notas alcançadas nas diferentes 
atividades virtuais e na prova, da seguinte forma: Somatória das notas recebidas nas 
atividades virtuais, somada à nota da prova, dividido por 2. 
Média Semestral: Somatória (Atividades Virtuais) + Nota da Prova / 2 
Assim, se um aluno tirar 7 nas atividades e tiver 5 na prova: MS = 7 + 5 / 2 = 6 
Atenção: o aluno pode conseguir um ponto adicional (Engajamento) na nota das 
atividades virtuais. Para ganhar o ponto do engajamento, o estudante terá que percorrer todo 
o material didático da disciplina (material textual e assistir a todos os vídeos), fazer todos os 
Exercícios e enviar todas as atividades. Antes do lançamento desta nota final, será divulgada 
a média de cada aluno, dando a oportunidade de que os alunos que não tenham atingido 
média igual ou superior a 7,0 possam fazer a Recuperação das Atividades Virtuais. 
Se a Média Semestral for igual ou superior a 4,0 e inferior a 7,0, o aluno ainda poderá 
fazer o Exame Final.A média entre a nota do Exame Final e a Média Semestral deverá ser 
igual ou superior a 5,0 para considerar o aluno aprovado na disciplina. 
Assim, se um aluno tirar 6 na Média Semestral e tiver 5 no Exame Final: MF = 6 + 5 
/ 2 = 5,5 (Aprovado). 
 
 
 
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FAÇA O ACOMPANHAMENTO DE SUAS ATIVIDADES 
 
O quadro abaixo visa ajudá-lo a se organizar na realização das atividades. Faça seu 
cronograma e tenha um controle de suas atividades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÃO PRAZO * DATA DE ENVIO ** 
Exercício pontuado 1.1 
Ferramenta: Questionário 
 
Exercício pontuado 1.2 
Ferramenta: Questionário 
 
Exercício pontuado 1.3 
Ferramenta: Questionário 
 
Exercício pontuado 2.1 
Ferramenta: Questionário 
 
Exercício pontuado 2.2 
Ferramenta: Questionário 
 
Exercício pontuado 3.1 
Ferramenta: Questionário 
 
Exercício pontuado 3.2 
Ferramenta: Questionário 
 
* Coloque na segunda coluna o prazo em que deve ser enviada a atividade (consulte o 
calendário disponível no ambiente virtual de aprendizagem). 
** Coloque na terceira coluna o dia em que você enviou a atividade. 
 
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BOAS VINDAS 
Caro aluno, seja bem vindo! 
A sociedade contemporânea, em qualquer ramo, principalmente nas áreas cujos 
profissionais devem trabalhar com dados e informações, necessita de pessoas que tenham a 
capacidade de entender e utilizar alguns conhecimentos matemáticos básicos. 
É, fundamental que o texto produzido neste manual para o estudo dos conceitos 
básicos da Matemática, te leve a pensar utilizando o seu cotidiano, os fatos que estão na 
mídia e seu dia-a-dia. Essa estratégia visa proporcionar experiências significativas para gerar 
um acadêmico crítico e bem informado. 
Na unidade de Lógica, se espera ensinar o tema através de desafios, motivando o 
interesse e a curiosidade de forma a ampliar o raciocínio lógico, desenvolvendo a 
criatividade,aumentando a atenção e a concentração, ampliando possíveis estratégias e 
reduzindo a descrença na auto capacidade de realização. 
Na unidade de Função, espera-se definir o conceito de Função enfatizando a sua 
aplicabilidade no cotidiano prático, destacar as características gerais de Função tais como 
imagem, domínio, estimativa de valores, entre outras, tornar o aluno capaz de interpretar e 
analisar dados apresentados em gráficos, relacionando os conhecimentos para a formação do 
conhecimento matemático e introduzir as noções básicas de Modelagem Matemática através 
da resolução de problemas e situações matemáticas subtraídas do cotidiano do aluno. 
Na unidade de Função Polinomial do Primeiro Grau, espera-se capacitar o aluno para 
reconhecer a descrição da Função do 1.º Grau apresentada em problemas matemáticos 
práticos, tornando o aluno apto a modelar problemas matemáticos considerando a redução 
das operações matemáticas, de modo a promover habilidades no aluno para que construa, 
analise e interprete a Função do 1.º Grau apresentada em gráficos. 
 
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Pré-teste 
A finalidade deste pré-teste é fazer um diagnóstico quanto aos conhecimentos 
prévios que você já tem sobre os assuntos que serão desenvolvidos nesta 
disciplina. Não fique preocupado com a nota, pois não será pontuado. 
 
1. João, Paulo, Ana e Maria formam dois casais. Cada uma destas pessoas gosta 
de um único esporte entre correr, nadar, andar de bicicleta, e jogar futebol, e duas 
delas nunca gostam do mesmo esporte. Sabe-se que: 
- João não gosta de jogar futebol. 
- Paulo e sua mulher não gostam de correr. 
- Nenhuma mulher gosta de jogar futebol. 
- O marido de Ana ganhou uma bicicleta para praticar seu esporte preferido. 
Então pode-se concluir que: 
a) João gosta de jogar futebol. 
b) Ana gosta de correr. 
c) Paulo não gosta de jogar futebol. 
d) Maria gosta de andar de bicicleta. 
e) João não gosta de andar de bicicleta. 
 
2. Uma festa tem 8 convidados, que se cumprimentam com apertos de mão. 
Sabendo-se que qualquer convidado cumprimentou todos os outros exatamente 
uma vez, quantos apertos de mão aconteceram? 
a) 56 
b) 8 
c) 32 
d) 28 
e) 16 
 
3. Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 4, 8,}. Somando de todas as maneiras 
possíveis dois ou mais elementos distintos de A obtemos: 
a) 10 números diferentes. 
b) 12 números diferentes. 
c) 15 números diferentes. 
d) 8 números diferentes. 
e) 20 números diferentes. 
 
4. O campeonato de futebol da galáxia de Andrômeda começa com 1500 times e é 
jogado no sistema de eliminatória simples, isto é, se um time perde uma partida 
ele está automaticamente fora do torneio. Quantas partidas foram jogadas no 
 
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campeonato deste ano até conhecer-se o campeão, sabendo-se que não houve 
nenhum empate? 
a) 750 
b) 1400 
c) 1500 
d) 1499 
e) 1490 
 
5. Uma pequena indústria de chocolates caseiros avalia que seu lucro (ou prejuízo) 
mensal L depende do número de quilos de chocolate n que consegue vender. Após 
muitos estudos, essa indústria concluiu que uma fórmula para essa função é: 
450n50,2L  .No mês em que essa indústria vendeu 100 quilos de chocolate, qual 
foi seu lucro (ou prejuízo)? E num mês no qual vendeu 700 quilos? 
a) No mês em que essa indústria vendeu 100 quilos de chocolate ela teve um prejuízo de R$ 
220,00, já no mês em que ela vendeu 700 quilos de chocolate foi registrado um lucro de R$ 
460,00. 
b) No mês em que essa indústria vendeu 100 quilos de chocolate ela teve um lucro de R$ 
220,00, já no mês em que ela vendeu 700 quilos de chocolate foi registrado um lucro de R$ 
460,00. 
c) No mês em que essa indústria vendeu 100 quilos de chocolate ela teve um prejuízo de R$ 
200,00, já no mês em que ela vendeu 700 quilos de chocolate foi registrado um lucro de R$ 
1.300,00. 
d) No mês em que essa indústria vendeu 100 quilos de chocolate ela teve um lucro de R$ 
200,00, já no mês em que ela vendeu 700 quilos de chocolate foi registrado um lucro de R$ 
1.300,00. 
e) No mês em que essa indústria vendeu 100 quilos de chocolate ela teve um prejuízo de R$ 
200,00, já no mês em que ela vendeu 700 quilos de chocolate foi registrado um prejuízo de 
R$ 1.300,00. 
 
6. Uma pequena indústria de chocolates caseiros avalia que seu lucro (ou prejuízo) 
mensal L depende do número de quilos de chocolate n que consegue vender. Após 
muitos estudos, essa indústria concluiu que uma fórmula para essa função é: 
450n50,2L  .Quantos quilos, no mínimo, precisa vender mensalmente para que 
esta indústria não apresente nem prejuízo, nem lucro? 
a) No mínimo 180 quilos. 
b) No mínimo 250 quilos. 
c) No mínimo 300 quilos. 
d) No mínimo 450 quilos. 
e) Independente do número de quilos de chocolate vendidos, nunca haverá prejuízo. 
 
Submeta o Pré-teste por meio da ferramenta Questionário. 
 
 
 
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UNIDADE 1 
LÓGICA APLICADA 
 
OBJETIVO DA UNIDADE: Ensinar Matemática através de desafios; Motivar o 
interesse e a curiosidade; Ampliar o raciocínio lógico; Desenvolver a criatividade; 
Melhorar a interpretação de texto; Propor ideias criativas; Aumentar a atenção e a 
concentração; Desenvolver atenção o e estratégia; Trabalhar a ansiedade; Estimular a 
discussão e o uso de estratégias matemáticas; Reduzir a descrença na auto capacidade 
de realização. 
 
1.1 Problemas e Desafios Lógicos 
 
Segundo Polya (1944): 
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma 
pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode 
ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as 
faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, 
experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, 
numa idade suscetível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, 
por toda a vida, a marca na mente e no caráter. 
 
Em primeiro lugar, lógica nãoé psicologia. Ela não descreve o que as pessoas 
pensam, ou como uma pessoa chega a uma determinada conclusão, o que ela faz é sugerir 
uma linha de pensamento de modo a colaborar a raciocinar corretamente, deste modo ela 
sugere caminhos que uma pessoa deve seguir para alcançar conclusões corretas. 
A lógica se relaciona com todo pensamento; ela é fundamental para todas as 
disciplinas e qualquer formação, e isso não inclui apenas a matemática, mas pode auxiliar em 
qualquer disciplina relacionada à contabilidade e à administração. 
O estudo da lógica interessa a todos. No dia a dia, vivemos constantemente 
argumentando, ora tentando convencer os outros de nossas conclusões, ora sendo levados a 
concordar com nossos interlocutores. 
O raciocínio lógico é uma ferramenta indispensável para a realização de muitas 
tarefas específicas em quase todas as atividades humanas, pois é fundamental para a 
estruturação do pensamento na resolução de problemas. 
Se nos mantivermos atentos, por exemplo, unicamente às mensagens publicitárias 
que enchem as ruas e invadem nossas casas, já teremos muitas oportunidades para exercícios 
de raciocínio lógico. 
Quer ver? A história abaixo confirma essa necessidade. 
 
 
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Problema Motivacional: 
Segundo a tradição da tribo logicaetês, ao atingirem a idade adequada para o 
casamento, os homens devem submeter-se a uma prova de competência lógica. Somente os 
que superam este obstáculo têm permissão para casar-se. A prova é sempre decisiva: vencê-
la é a certeza da glória; perdê-la significa o fim das esperanças. 
Totelesáris, um jovem índio desta tribo, caiu de amores pela bela Masófis. Desejando 
casar-se com ela, viu chegar a sua vez de enfrentar a prova pré-nupcial. A ele foi proposto o 
seguinte desafio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Baseado na resposta de um desses guardas, Totelesáris deverá decidir-se por uma 
das cabanas. Como ele deve proceder para não ser devorado pelos jacarés? Que pergunta 
ele deve fazer a um dos índios para ter certeza de que cairá nos braços de Masófis? Parece 
que não há mesmo saída, não é mesmo? No entanto, você pode estar certo de que é possível 
encontrar a cabana de Masófis fazendo uma só pergunta a um dos guardas, mesmo sem 
saber se este guarda diz a verdade ou mente. Vamos raciocinar juntos e ajudar Totelesáris a 
se livrar dos dentes dos jacarés. 
No meio da aldeia, há duas cabanas 
rigorosamente idênticas. Dentro de uma delas o espera 
Masófis. A outra, no entanto, apenas recobre um poço 
habitado por jacarés ferozes, capazes de devorar 
qualquer um que ultrapasse a entrada. 
Cada cabana tem apenas uma porta, 
permanentemente fechada e vigiada por um índio, que 
conhece perfeitamente o conteúdo da cabana que 
vigia. 
Totelesáris deve escolher uma das cabanas e 
entrar: se encontrar a sua amada, poderá casar-se com 
ela; se entrar na dos jacarés, será devorado 
instantaneamente. Antes de realizar sua escolha, ele 
terá permissão de fazer uma única pergunta ao índio 
que guarda a porta de uma das cabanas. 
Mas Totelesáris deve ainda levar em conta outro 
pormenor: um dos guardas mente sempre, enquanto o 
outro só fala a verdade. 
 
 
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Comecemos chamando de M o índio mentiroso e de V o que só diz a verdade. Se 
perguntássemos a qualquer um deles: “Em que cabana se encontra Masófis? M mentiria e V 
indicaria a cabana certa. Mas como descobrir quem está falando a verdade? Por esse caminho 
não chegaremos a nenhuma conclusão. 
E se fizéssemos a seguinte pergunta a cada um deles: “Se eu perguntasse ao seu 
colega qual a cabana de Masófis, o que ele responderia?” Vamos ver a resposta de cada um: 
1. º Se a pergunta fosse feita ao mentiroso: Como V indicaria corretamente a 
cabana de Masófis, M mentiria dizendo que V indicou a cabana dos jacarés. 
2. º Se a pergunta fosse feita ao guarda que só diz a verdade: Como M mentiria, 
indicando a cabana dos jacarés, V responderia a verdade, indicando a mesma cabana 
apontada pelo mentiroso, a dos jacarés. 
Ora, vejam só! Fazendo essa pergunta a qualquer um dos guardas, obteremos 
sempre uma única indicação: a cabana dos jacarés. 
É lógico, então, que Totelesáris deverá entrar na outra cabana para encontrar sua 
Masófis. Este desafio, então, já foi vencido. Veja que usando o raciocínio lógico poupamos 
Totelesáris de ser devorado pelos jacarés. 
Mas, e se o desafio fosse descobrir qual dos índios sempre mente e qual sempre diz 
a verdade, que pergunta deveria ser feita? 
Utilizando a mesma linha de raciocínio, Totelesáris poderia fazer a seguinte pergunta 
a qualquer um dos índios: “Se eu perguntasse para o seu colega se ele fala a verdade, ele 
responderia que sim ou que não”? Vamos ver a resposta de cada um: 
1. º Se a pergunta fosse feita ao mentiroso: Como V responderia que sim, M 
mentiria dizendo que V responderia que não. 
2. º Se a pergunta fosse feita ao guarda que só diz a verdade: Como M mentiria, 
respondendo que sim, V responderia a verdade, respondendo que sim. 
Deste modo, Totelesáris saberia que se a resposta fosse não, então o índio na qual 
a pergunta foi feita é o mentiroso, entretanto, se a resposta fosse sim, esse índio seria o 
único que fala a verdade. 
 
1.2 Metodologia 
Para desenvolver o raciocínio é fundamental permitir que você (aluno) escolha 
livremente o método (caminho) que deseja utilizar, afinal a explicação prévia para um 
problema de raciocínio lógico retira a possibilidade de alguém pensar por si mesmo, 
aumentando as chances de você apresentar grandes dificuldades para resolver os próximos 
problemas. Deste modo, este material será composto por poucos problemas contendo uma 
 
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resolução detalhada por escrito, entretanto, será apresentada uma série de exercícios 
propostos cuja solução será disponibilizada através de vídeo aulas, sendo sugerido que você 
tente resolver antes de acessar ao vídeo contendo a resolução. 
Como sugestão de etapas para uma melhor metodologia para resolver um problema, 
se sugere primeiramente a realização de uma leitura detalhada dos enunciados dos exercícios, 
para em seguida, iniciar o processo de busca da solução. Quando esta não é atingida, é 
necessária uma leitura mais atenta, para que você possa identificar algum detalhe que não 
foi percebido anteriormente e assim, chegar à solução mais adequada. 
Usando essa metodologia na resolução de exercícios de raciocínio, você pode 
estruturar e dar ordem ao seu pensamento, conseguindo atingir um nível de abstração mais 
elevado. 
Pensando nesta metodologia, sugiro mais uma vez que você tente resolver os 
problemas abaixo antes de consultar a explicação do problema. 
Exemplo 1: Confusão com os professores 
Ramirez aprontou uma baita confusão: trocou as caixas de giz e as papeletas de 
aulas dos professores Júlio, Márcio e Roberto. Cada um deles ficou com a caixa de giz de um 
segundo e com a papeleta de aulas de um terceiro. O que ficou com a caixa de giz do professor 
Márcio está com a papeleta de aulas do professor Júlio. Portanto: 
a) Quem está com a papeleta de aulas do Roberto é o Márcio. 
b) Quem está com a caixa de giz do Márcio é o Júlio. 
c) Quem está com a papeleta de aulas do Márcio é o Roberto. 
d) Quem está com a caixa de giz do Júlio é o Roberto. 
e) O que ficou com a caixa de giz do Júlio está com a papeleta 
de aulas do Márcio 
Solução: 
Para ter uma visão melhor dos dados deste problema, sugere-
se a montagem de uma tabela. Veja: 
NOME CAIXA DE GIZ PAPELETASDEAULA 
JÚLIO 
MÁRCIO 
ROBERTO 
 
Lembre-se que Ramirez aprontou uma baita confusão trocando as caixas de giz e as 
papeletas de aulas dos professores, ficando cada um deles com a caixa de giz de um segundo 
e com a papeleta de aulas de um terceiro, logo nenhum deles possui um objeto próprio. O 
enunciado ainda informa queo que ficou com a caixa de giz do professor Márcio está com a 
 
Fonte: http://migre.me/69GE3 
 
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papeleta de aulas do professor Júlio; qual é o único professor que poderia ter ficado com este 
material? Resposta, Roberto. Vamos então inserir este dado na tabela: 
 
NOME CAIXA DE GIZ PAPELETASDEAULA 
JÚLIO 
MÁRCIO 
ROBERTO MÁRCIO JÚLIO 
 
Pensando no material que está com o professor Júlio, podemos deduzir que não é 
a caixa de giz do Márcio, afinal este material está com o Roberto, deste modo, como Júlio 
deve ter em mãos algo do Márcio, este só pode ser suas papeletas de aula, assim sendo, para 
ter algo do Roberto, só poderia ser sua caixa de giz. Vamos então inserir este dado na tabela: 
 
NOME CAIXA DE GIZ PAPELETASDEAULA 
JÚLIO ROBERTO MÁRCIO 
MÁRCIO 
ROBERTO MÁRCIO JÚLIO 
 
Por eliminação, Márcio só poderia ter ficado com a caixa de giz do Júlio e a 
papeletas de aula do Roberto, que são os únicos materiais que estão sobrando. Deste modo, 
podemos terminar nossa tabela: 
 
NOME CAIXA DE GIZ PAPELETASDEAULA 
JÚLIO ROBERTO MÁRCIO 
MÁRCIO JÚLIO ROBERTO 
ROBERTO MÁRCIO JÚLIO 
 
Analisando as alternativas conclui-se que a correta é a A: Quem está com a papeleta 
de aulas do Roberto é o Márcio. 
Observação: O recurso que foi utilizado neste problema: a montagem de uma 
tabela, pode ser usado em muitos outros, basta perceber a necessidade de se ter uma visão 
melhor dos dados do enunciado. 
 
 
Exemplo 2: Que número João pensou? 
João e um grupo de amigos gostam de se reunir para fazer jogos de adivinhação. 
Numa dessas reuniões, João pensa em um número de quatro algarismos distintos e informa 
ao grupo que esse número obedece às seguintes condições: 
- não tem algarismos em comum com 3.658; 
 
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- tem três algarismos em comum com 6.194; 
- tem dois algarismos em comum com 3.940. Nos dois números, esses algarismos 
ocupam as mesmas posições; tem um só algarismo em comum com 7.831, mas a posição do 
algarismo comum nos dois números é diferente. 
Com essas informações, o grupo já sabe qual é o número escolhido por João. Agora 
descubra você, qual é o número escolhido por João? 
Solução: 
Para resolver este desafio, escreveremos todos os algarismos: 0 1 2 3 4 
5 6 7 8 9 e, em seguida, analisaremos cada uma das condições: 
1ª condição: Não tem algarismos em comum com 3.658. 
Elimina-se: 3, 6, 5 e 8. Sobram então: 0 1 2 4 7 9 
2ª condição: Tem três algarismos em comum com 6.194. 
1, 9 e 4 são algarismos do número pensado porque 6 já tinha sido eliminado, mas 
ainda falta um algarismo. 
3ª condição: Tem dois algarismos em comum com 3.940. Nos dois números, esses 
algarismos ocupam as mesmas posições. 
9 e 4 são algarismos comuns e então elimina-se também o zero e já garante que o 
9 ocupa a casa das centenas e o 4 das dezenas e, portanto, o 1 pode ser milhar ou unidade. 
Para o último algarismo, restam as opções: 2 ou 7. 
4ª condição: Tem um só algarismo em comum com 7.831, mas a posição do 
algarismo comum nos dois números é diferente. 
1 é o único algarismo comum e como ele ocupa uma posição diferente, então o 1 
é o algarismo do milhar. Descartando o 7, sobra apenas o 2 para ocupar a posição das 
unidades. 
Conclusão: O número pensado por João é 1942. 
 
Exemplo 3: Teste de Admissão 
Uma empresa estava contratando um novo funcionário e uma das provas da 
seleção era responder a seguinte questão por escrito: 
 
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"Você está dirigindo seu carro numa perigosa noite de tempestade. Passa por um 
ponto de ônibus e vê três pessoas esperando por ele: 
· uma velha senhora que parece estar à beira da 
morte; 
· um médico que salvou sua vida no passado; 
· a pessoa que habita seus sonhos. 
Você só pode levar uma pessoa no carro. Quem 
você escolhe? Justifique sua resposta. 
 
Comentário: Este teste é bem interessante. É um tipo de teste de personalidade 
em que cada resposta possível tem um significado. Você poderia pegar a velha senhora que 
estava para morrer. Ficaria com a consciência tranquila. Ou você pegaria o médico, porque 
ele salvou sua vida no passado, e esta seria a chance perfeita para retribuir este favor. No 
entanto, você ainda poderia saldar esta dívida em uma outra ocasião, mas talvez não pudesse 
encontrar mais o amor da sua vida se deixasse passar essa chance. 
Solução: "Entregar a chave do carro para o médico, deixar ele levar a velha 
senhora para o hospital e ficar esperando pelo ônibus com a pessoa dos meus sonhos". 
Conclusão: Às vezes, ganharíamos muito mais se estivéssemos dispostos a abrir 
mão de nossas teimosas limitações! 
 
Exemplo 4: Escolha de Sapatos 
Há dez pares de sapatos vermelhos, dez pares de 
sapatos azuis, dez pares de sapatos brancos e dez pares de 
sapatos verdes numa gaveta. 
Problema 1: Se você introduzir a mão na gaveta no 
escuro, qual é o menor número de sapatos que você tem que 
tirar para ter a certeza de que tirou dois sapatos da mesma cor? 
 Problema 2: E para ter a certeza de que tirou um par 
(esquerda e direita) da mesma cor? 
Solução: Para ter a certeza de que você tirou dois sapatos da mesma cor são 
necessárias cinco retiradas. Note que se você tirar até quatro sapatos, nada garante que você 
já tirou dois sapatos da mesma cor, pois os quatro sapatos poderiam ter cores diferentes, 
entretanto, se ele retirar mais um sapato, certamente ele será de alguma cor que já apareceu 
anteriormente, logo a resposta é cinco. A quinta cor terá que combinar com uma das quatro 
já retiradas. 
 
Fonte: http://migre.me/69GxR 
 
Fonte: http://migre.me/69GjO 
 
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Para ter a certeza de que você tirou um par de sapatos da mesma cor são 
necessárias quarenta e uma retiradas. Imagine que pode acontecer de você retirar sapatos 
de um mesmo lado de cada uma das cores, isso totalizaria até 40 possibilidades e você ainda 
não teria retirado um par (esquerda e direita) da mesma cor, mas se você retirar mais um, 
com certeza esse fará par com alguma cor anterior. 
Esse problema é bem mais simples, mas ainda assim muitos diriam que é necessário 
retirar 61 sapatos, o que na verdade é um grande absurdo, pois seriam 61 sapatos, caso o 
problema pedisse para retirar pelo menos um sapato de cada cor e 71 caso o objetivo fosse 
o de retirar pelo menos um par de sapatos de cada cor. Neste tipo de problema, pense sempre 
na pior possibilidade, pois é este raciocínio que vai garantir o número mínimo de possibilidades 
necessárias para se alcançar um determinado objetivo. 
 
Exemplo 5: Quais são os números das cartas? 
Há três cartas viradas sobre uma mesa. Sabe-se que em cada uma delas está 
escrito um número inteiro positivo. São dadas a Carlos, Samuel e Tomás as seguintes 
informações: 
- todos os números escritos nas cartas são diferentes; 
- a soma dos números é 13; 
- os números estão em ordem crescente, da esquerda 
para a direita. 
Primeiro Carlos olha o número na carta da esquerda e 
diz: "Não tenho informações suficientes para determinar os 
outros dois números." Em seguida, Tomás olha o número na carta 
da direita e diz: "Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números." 
Por fim Samuel olha o número na carta do meio e diz: "Não tenho informações suficientes 
para determinar os outros dois números." Sabendo que cada um deles sabe que os outros 
dois são inteligentes e escuta os comentários dos outros, qual é o número da carta do meio? 
Solução: Escrevendo todas as combinações possíveis que contemplam as 
condições do problema, ou seja, números inteiros diferentes que somam 13 e estão em ordem 
crescente da esquerda para a direita, temos: 
(1,2,10) (2,3,8) (3,4,6) 
(1,3,9) (2,4,7) 
(1,4,8) (2,5,6) 
(1,5,7) 
O 1º menino quando ergueu a carta da esquerda, por não ter dados suficientes 
para responder, ou pegou 1 ou 2, portantoo termo (3,4,6) já é eliminado, isso porque este 
é o único caso em que a carta da esquerda não se repete e se Carlos tivesse visto o 3, ele 
 
Fonte: http://migre.me/69GsH 
 
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teria respondido: “Já sei os números das três cartas”, deste modo, ele não expressaria 
dúvidas. 
O 2º menino, quando ergueu a carta da direita, por não ter dados suficientes para 
responder, ou pegou 8 ou 7, portanto elimina-se (1, 2, 10), (1, 3, 9), (2, 5, 6), pois os números 
10, 9 e 6 aparecem uma única vez, restando as opções (1, 4, 8), (2, 3, 8), (1, 5, 7), (2, 4, 7), 
isso porque nestes quatro últimos casos a carta da direita gera dúvida: o 8 e o 7 aparecem 
duas vezes, não sendo possível que Tomás determine os três números. 
O 3º menino ao levantar a carta do meio, respondeu que não tinha dados 
suficientes para descobrir, logo ele não tirou o 3 nem o 5, pois neste caso ele saberia quais 
eram os outros números e diria: “Já sei os números das três cartas”. Como não foi esta a sua 
reação, ele com certeza viu o número 4, restando essas duas últimas opções: (1, 4, 8) e (2, 
4, 7). 
Como sobraram apenas as opções (1, 4, 8) e (2, 4, 7), a carta do meio é quatro. 
Vale ressaltar que se o problema perguntasse o número das três cartas, não teria 
sido possível apresentar uma única resposta. 
Exemplo 6: Floresta com um milhão de árvores 
Uma floresta tem um milhão de árvores. Nenhuma das árvores tem mais de 300 
mil folhas em sua copa. Pode-se concluir que: 
a) Certamente existem árvores com copas de mesmo total de folhas nessa floresta. 
b) Somente por acaso haverá árvores com copas de igual total de folhas na floresta. 
c) Certamente existem árvores com menos de 300 mil folhas em sua copa. 
d) O número médio de folhas nas copas é de 150 mil. 
e) Nada do que foi dito pode ser concluído dos dados apresentados. 
Vamos tentar imaginar uma floresta sem ter árvores de igual número de folhas, ou 
seja, árvores com copas de diferentes totais de folhas. 
Teremos 300.001 tipos diferentes de copas de árvore: uma copa nula (sem 
nenhuma folha), outra só com 1 folha, outra com 2 folhas, ..., outra com 299.999 folhas e, 
finalmente, uma com 300.000 folhas(limite apresentado pelo enunciado). 
Para até 300.001 árvores poderemos encontrar copas distintas. Se considerarmos 
uma árvore além dessas, ela só poderá ter uma das seguintes copas: com 0 folha, ou com 1 
folha, ou com 2 folhas, ou ... com 300.000 folhas. A repetição é inevitável! Teremos assim, 
pelo menos, 1.000.000-300.001= 699.999 árvores com copas que repetem o número de 
folhas de outras árvores, obrigatoriamente. 
Uma resposta muito comum é a (c), que seria errada. O engano que leva tantas 
respostas para uma alternativa errada é o de considerar que "nenhuma das árvores tem mais 
de 300 mil folhas em sua copa" leva à conclusão de que "certamente existem árvores com 
 
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menos de 300 mil folhas em sua copa". Na verdade, se todas as copas tivessem 300 mil 
folhas, elas estariam dentro da condição proposta pelo enunciado (mesmo que essa 
ocorrência fosse muito improvável.). 
Esse problema envolve o chamado Princípio da Casa dos Pombos (se tivermos mais 
pombos do que casas para abrigá-los, algumas casas terão necessariamente de ser 
compartilhadas por mais de um pombo). 
Um caso prático: no vestibular com 140 mil candidatos e 160 testes, 
obrigatoriamente haverá milhares de empates (há apenas 161 pontos distintos). Muitos 
empates também ocorrem necessariamente em provas escritas. A segunda fase chega a ter 
15 mil candidatos por carreira e 41 pontos possíveis por prova (10 questões e 1/4 de acerto 
possível em cada uma). A existência de empates não é uma casualidade (como no outro tipo 
de empate - aquele dos jogos entre times) - ela é logicamente inevitável. 
 
 
 
1.3 Problemas da Verdade e da Mentira 
O objetivo dos exercícios a seguir é que você treine o seu raciocínio sem ser 
avaliado, apenas como treinamento para habilitar você a fazer corretamente 
as atividades, que sim serão avaliadas. 
A metodologia sugerida para os exercícios propostos é: 
- em primeiro lugar tente resolver o exercício proposto sozinho; 
- caso você não tenha conseguido chegar à resposta correta na primeira tentativa, volte 
ao enunciado do exercício e tente uma nova estratégia; 
- se após a segunda tentativa, você ainda não tiver chegado na resposta correta, esta 
aparecerá automaticamente para você; 
- tenha acertado ou não, assista ao vídeo do professor correspondente ao exercício. No 
vídeo, o professor apresenta uma maneira de chegar ao resultado que poderá ser 
diferente da utilizada por você. Pois, na realidade, não existe apenas um procedimento 
ou caminho adequado. São múltiplas as possibilidades para se chegar à solução. Nesse 
sentido, é interessante que, mesmo tendo atingido o resultado, você sempre assista aos 
vídeos para contrastar sua lógica com a lógica do professor (lembre-se que as duas podem 
estar corretas!!!). 
 
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Em provas e em situações diversas nós nos defrontamos com verdades e mentiras. 
É importante saber discernir um resultado lógico (verdade ou falsidade) quando estamos 
expostos a essas situações. 
Uma metodologia que pode ser aplicada para resolver problemas deste contexto é 
a realização de hipóteses, neste caso, você levanta uma hipótese de que uma determinada 
afirmação é verdadeira (ou falsa) ou de que um determinado personagem é inocente (ou 
culpado) e analisa os demais dados do problema procurando manter esta hipótese válida. 
Vão ocorrer duas possibilidades: 
1ª Possibilidade: Você se depara com uma contradição, isto é, um resultado que 
anula a sua hipótese ou o encontro de mais de uma resposta. Neste caso, se anula a hipótese 
original e se cria uma nova hipótese para o problema. 
2ª Possibilidade: A hipótese original se encaixa perfeitamente aos demais dados de 
modo a ser possível concluir o problema. Neste caso, você encontrou a resposta para o 
problema. 
Veja os exemplos abaixo, o primeiro deles é um famoso problema do livro “O 
homem que calculava de Malba Tahan”. 
Problema Motivacional: 
Um Sheike testando os conhecimentos do Homem que calculava informou-lhe que 
comprara, de um mercador, 5 lindas escravas, duas com olhos negros e três com olhos azuis. 
Informou que as escravas de olhos negros sempre dizem a verdade, e que as escravas de 
olhos azuis nunca dizem a verdade. As escravas foram introduzidas no salão, com um véu 
que impedia completamente a percepção da cor de seus olhos. 
- Somente poderás interrogar três das cinco escravas, com uma única pergunta a 
cada uma destas, disse o Sheike. Com o auxílio das três respostas obtidas, o problema deverá 
ser solucionado, com rigorosa justificativa lógica. As perguntas devem ser de tal natureza que 
só as próprias escravas possam respondê-las, com perfeito conhecimento. 
Após certa meditação, o Homem que calculava perguntou à primeira escrava: 
- Deque cor são teus olhos? A interpelada respondeu num dialeto, que ninguém 
compreendeu. Em seguida perguntou à segunda: 
- Dize-me em minha língua, o que tua colega respondeu? 
- Os meus olhos são azuis. A sua última pergunta se destinou à terceira escrava: 
- Dize-me em minha língua, de que cor são os olhos dessas duas jovens que acabo 
de interrogar? 
- A primeira tem os olhos negros, e a segunda olhos azuis – respondeu a escrava. 
 Então, o Homem que calculava, solenemente, disse: 
 
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- A primeira tem olhos negros, a segunda, olhos azuis, e a terceira, olhos negros, 
por eliminação, as duas últimas possuem olhos azuis. 
Levantados os véus, para espanto de todos, a resposta estava rigorosamente 
correta!! 
Interpelado pelo Sheike como ele havia conseguido tal proeza, respondeu: 
- Com certeza a primeira escrava me responderia que seus olhos são negros, pois 
serealmente fossem negros, diria a verdade proclamando que são negros, mas se fossem 
azuis, mentiria dizendo que são negros, logo não me preocupei com sua resposta e por este 
motivo não me importei dela ter respondido em seu dialeto. 
Como a segunda escrava respondeu que a primeira dissera olhos azuis, isto a 
caracterizou como mentirosa, pois se fosse uma escrava que só fala a verdade responderia 
que a primeira dissera olhos negros, consequentemente, os olhos da segunda escrava são 
azuis, afinal só as escravas de olhos azuis mentem. Assim, descobri a cor dos olhos da 
segunda escrava. 
A partir da resposta da terceira escrava, que dissera que a primeira tinha os olhos 
negros e a segunda olhos azuis, pude concluir que esta falava a verdade, afinal, sua resposta 
referente à segunda escrava confirma o que eu já deduzira anteriormente, que a segunda 
possui olhos azuis. Assim sendo, a terceira disse a verdade, logo seus olhos eram negros e, 
por sua afirmação, pude concluir que os olhos da primeira também eram negros, isso porque, 
dizendo a verdade, eu devo acreditar em sua afirmação. 
Por fim, como são 5 escravas, 2 com olhos negros, que eu já descobri quais são, e 
3 com olhos azuis, deduzi que as duas últimas só poderiam ter olhos azuis. 
Conclusão: A primeira tem olhos negros, a segunda, azuis, a terceira, olhos negros 
e as duas últimas, olhos azuis. 
Exemplo 7: As rivais 
Três rivais, Ana, Bia e Cláudia, trocam acusações: 
1. A Bia mente – diz Ana. 
2. A Cláudia mente – Bia diz. 
3. Ana e Bia mentem – diz Cláudia. 
Com base nestas três afirmações, pode-se concluir que: 
Todos os exemplos a seguir contêm uma explicação do procedimento que deve 
seguir o raciocínio para se chegar à solução de problemas relacionados à verdade e 
mentira. Mas, caso você não consiga entender suficientemente, lembre-se de que todos os 
exemplos têm um vídeo explicativo, em que o professor os explica passo a passo, utilizando 
diversas hipóteses. 
 
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a) Apenas Ana mente. 
b) Apenas Bia mente. 
c) Apenas Cláudia mente. 
d) Ana e Cláudia mentem. 
e) Ana e Bia mentem. 
Solução: A resposta correta é a alternativa D. 
Iniciaremos formulando uma hipótese: a de que Ana diz a verdade. Se gerar uma 
contradição, então por eliminação, Ana só poderá mentir, sendo esta a segunda hipótese. 
Hipótese 1: Ana diz a verdade. 
Se Ana diz a verdade, então Bia mente. Se Bia mente, então Cláudia diz a verdade 
(note que pelo fato de Bia mentir, o oposto de sua afirmação é que passa a ser verdadeira). 
Mas Cláudia disse que Ana e Bia mentem, o que gera uma CONTRADIÇÃO, pois por suposição 
Ana diz a verdade. Hipótese inválida, devemos formular uma nova hipótese. 
Hipótese 2: Ana está mentindo. 
Se Ana mente, então Bia diz a verdade (oposto de sua afirmação). Se Bia diz a 
verdade, então Cláudia mente. Daí não é verdade que Ana e Bia mentem, ou seja, Ana ou 
Bia diz a verdade, e como Bia diz a verdade, logo não temos contradição nenhuma, mantendo 
a hipótese válida. 
Conclusão, Bia diz a verdade e Ana e Cláudia mentem. 
Exemplo 8: Quem quebrou o vaso da Vovó? 
Ao ver o estrago na sala, mamãe pergunta zangada: Quem quebrou o vaso da vovó 
 As repostas das crianças foram as seguintes: 
- Não fui eu – disse André. 
- Foi o Carlinhos – disse Bruna. 
- Não fui eu não, mas foi a Duda – falou Carlinhos. 
- A Bruna está mentindo! – falou Duda. 
Considere a situação descrita acima para resolver as questões de números I, II e 
III. 
Questão I. Sabendo que somente uma das crianças mentiu, pode-se concluir que: 
a) André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso. 
b) Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso. 
c) Carlinhos mentiu e foi ele quem quebrou o vaso. 
d) Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso. 
e) Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso. 
Questão II. Sabendo que somente uma das crianças disse a verdade, pode- se 
concluir que: 
 
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a) André falou a verdade e Carlinhos quebrou o vaso. 
b) Bruna falou a verdade e André quebrou o vaso. 
c) Duda falou a verdade e André quebrou o vaso. 
d) Carlinhos falou a verdade e Duda quebrou o vaso. 
e) Duda falou a verdade e foi ela quem quebrou o vaso. 
Questão III. Sabendo que somente 2 crianças mentiram, pode-se concluir que: 
a) Carlinhos mentiu e André quebrou o vaso. 
b) André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso. 
c) Bruna diz a verdade e foi ela quem quebrou o vaso. 
d) Quem quebrou o vaso foi André ou Duda. 
e) Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso. 
Solução: 
Questão I. A resposta correta é a alternativa B. 
Iniciaremos formulando uma hipótese, mas antes lembre-se de que apenas uma 
das crianças mentiu, podendo ser André, Bruna, Carlinhos ou Duda. Como primeira hipótese, 
vamos supor que o André mentiu, se gerar uma contradição, então vamos supor que a Bruna 
mentiu, e assim sucessivamente. 
Hipótese 1: André mentiu. 
Se André mentiu (vale o oposto de sua afirmação), então foi ele, logo não pode 
haver outra criança que tenha quebrado o vaso, pois, neste caso, foi o André. Sendo assim, 
Bruna também estaria mentindo, afinal ela apontou o Carlinhos (mas sendo o André, ele seria 
inocente), o que não pode ser, pois pelo enunciado só um poderia mentir. (CONTRADIÇÃO!) 
Hipótese 2: Bruna mentiu. 
Se Bruna mentiu (vale o oposto de sua afirmação), então não foi o Carlinhos e 
todos os demais disseram a verdade (pois só a Bruna mentiu). Assim, André não quebrou o 
vaso, mas Duda sim (afirmação de Carlinhos), e realmente Bruna estaria mentindo (afirmação 
de Duda). Neste caso, não teríamos nenhuma contradição, logo Bruna mentiu e Duda quebrou 
o vaso. 
Questão II. A resposta correta é a alternativa C. 
Iniciaremos formulando uma hipótese, mas antes lembre-se de que apenas uma 
das crianças disse a verdade, podendo ser André, Bruna, Carlinhos ou Duda. Como primeira 
hipótese, vamos supor que o André disse a verdade, se gerar uma contradição, então é 
porque André não disse a verdade, ou seja, ele mentiu e a partir daí, formulamos a segunda 
hipótese, a de que André mentiu e devemos encontrar apenas uma criança para dizer a 
verdade. 
Hipótese 1: André disse a verdade. 
 
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Se André falou a verdade, então não foi ele e os demais devem mentir. Se Bruna 
mentiu (vale o oposto de sua afirmação), então não foi o Carlinhos. Se Carlinhos mentiu (vale 
o oposto de sua afirmação), então foi ele ou não foi a Duda. Se Duda mentiu (vale o oposto 
de sua afirmação), então a Bruna estaria falando a verdade, mas por hipótese Bruna é uma 
das que mentiram. (CONTRADIÇÃO!) 
Hipótese 2: André mentiu e não sabemos quem disse a verdade. 
Como o André mentiu (vale o oposto de sua afirmação), podemos concluir que foi 
ele quem quebrou o vaso da Vovó. Neste caso, Bruna também estaria mentindo, pois não 
poderia ser Carlinhos (devemos inocentá-lo, afinal já descobrimos quem quebrou o vaso: 
André). Entretanto, Carlinhos também mentiu, caso contrário teria sido a Duda. Logo, Duda 
falou a verdade e isso não gera contradição, pois ela afirma que Bruna está mentindo. Note 
que nesta hipótese, apenas Duda disse a verdade. Conclusão, Duda falou a verdade e André 
quebrou o vaso. 
Questão III. A resposta correta é a alternativa E. 
Iniciaremos formulando uma hipótese, mas antes lembre-se de que duas crianças 
mentiram. Como primeira hipótese, vamos supor que André mentiu, a partir desta hipótese, 
vamos ler todas as afirmações tentando manter esta hipótese válida, ou seja, apenas mais 
uma criança poderá mentir, se gerar uma contradição, então é porque André não mentiu, isto 
é, ele disse a verdade, e a partir daí, formulamos a segunda hipótese, a de que André disse 
a verdade e devemos encontrar duas crianças para mentir. 
Hipótese 1: André mentiu. 
Se André mentiu (vale o oposto de sua afirmação), então foi ele quem quebrou o 
vaso, não podendo haver outra criança que tenha quebradoo vaso, pois, neste caso, foi o 
André. Assim sendo, Bruna também estaria mentindo, pois não poderia ser Carlinhos 
(devemos inocentá-lo). Entretanto, Carlinhos também estaria mentindo, caso contrário teria 
sido a Duda (devemos inocentá-la para ser o André). Logo, Duda falou a verdade, pois ela 
afirma que Bruna está mentindo. Mas isso gera uma contradição, pois por hipótese, duas 
crianças mentiram e não três como neste caso. (CONTRADIÇÃO!). 
Hipótese 2: André disse a verdade. 
Se André disse a verdade, então com certeza não foi ele. Supondo que Bruna 
também disse a verdade, então Carlinhos quebrou o vaso. Neste caso, Carlinhos estaria 
mentindo, confirmando que foi ele ou não foi a Duda. Por último, Duda também estaria 
mentindo (vale o oposto de sua afirmação), pois nessa hipótese Bruna falou a verdade. Como 
não chegamos a nenhuma contradição, conclui-se que André e Bruna falaram a verdade e 
Carlinhos e Duda mentiram, e quem quebrou o vaso foi o Carlinhos. 
 
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Observação 1: Cada questão deste problema poderia ser resolvida a partir da 
hipótese de que um deles quebrou o vaso, neste caso deveríamos começar supondo que 
André quebrou o vaso e que os outros três são inocentes. A seguir, devemos ler suas 
informações e concluir se elas são verdadeiras ou falsas, logo depois, devemos confrontar 
com o enunciado de cada questão (verificar, por exemplo, se na questão I só um deles estaria 
mentindo), se satisfizer, então realmente foi o André, caso contrário, crie uma nova hipótese, 
a de que foi Bruna, e repita o mesmo procedimento. 
Observação 2: Independente da hipótese original (de que alguém mentiu ou falou 
a verdade ou partindo pelo caminho de que alguém é o culpado), é possível chegar à 
conclusão do problema, basta estar concentrado no fato de que quem diz a verdade, é porque 
sua afirmação é totalmente válida; e quem mente, significa que o oposto de sua afirmação é 
que é válida. 
Desafio: Irmãos Gêmeos I 
João e José são dois irmãos gêmeos idênticos que possuem uma peculiaridade, um 
dos dois sempre fala a verdade, independente do que for perguntado, enquanto que o outro 
sempre mente. Márcio para descobrir quem é o João e quem é o José, desenvolveu uma 
técnica, ele descobriu que existe uma pergunta que independente de para quem seja feita, é 
possível determinar quem é quem, basta que a resposta dada seja sim ou não. Desse modo, 
sempre que ele encontra um deles, ele faz essa pergunta, pela resposta sim ou não ele já 
sabe com quem está falando. 
Qual é a pergunta capaz de determinar quem é João e quem é José? 
Solução: Este é um problema bem diferente, mas muito interessante. Não 
podemos esquecer que um dos irmãos sempre fala a verdade, mas não sabemos qual é, 
enquanto que o outro sempre mente, e também não sabemos qual é. 
A primeira pergunta que normalmente vem em mente é: Você é o João? Se isso for 
perguntado para o João, que digamos diz a verdade, ele responderia SIM, mas se João fosse 
mentiroso, ele diria NÃO (mentindo a sua resposta correta). A mesma pergunta feita para 
José, que digamos diz a verdade, ele responderia NÃO, mas se José fosse mentiroso, ele diria 
SIM (mentindo a sua resposta). Observe que se ouvirmos um SIM, não sabemos se este SIM 
vem de João ou se este SIM vem do José, afinal, os dois podem responder a esta pergunta 
SIM ou NÃO. 
Se a pergunta for: Você é o José? Teríamos o mesmo problema. 
O problema a seguir é um desafio com um grau maior de complexidade. Se você 
conseguiu resolver os casos apresentados até agora, você pode tentar resolver o presente 
caso. Se não conseguir, não fique preocupado, pois se trata apenas de um desafio. 
 
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A pergunta que deve ser feita a princípio parece não resolver, mas conforme será 
explicado gera uma resposta única. A pergunta capaz de descobrir quem é João e quem é 
José é: João fala a verdade? 
Se isso for perguntado para o João, que digamos diz a verdade, ele responderia 
SIM. Entretanto, se João fosse mentiroso, ele pensaria: “a minha resposta é NÃO, mas como 
eu minto, vou responder o contrário: SIM”. Note que se esta pergunta for feita para João, 
independente de ele falar a verdade ou mentir, a resposta sempre será SIM. 
Se a mesma pergunta for feita para José (João fala a verdade?), que por hipótese 
fale a verdade, ele responderia NÃO, afinal, nesta hipótese, quem fala a verdade é José, logo 
João mente. Entretanto, se José fosse mentiroso é porque João fala a verdade logo ele 
pensaria: “João fala a verdade, então a resposta correta é SIM, mas como eu minto, vou 
responder NÃO”. Note que se esta pergunta for feita para José, independente de ele falar a 
verdade ou mentir, a resposta sempre será NÃO. 
Conclusão, a pergunta que deve ser feita é: João fala a verdade? Se a resposta for 
SIM, o interrogado é o João, mas se a resposta for NÃO, o interrogado é o José. 
Observação: Existem mais três perguntas corretas para este problema: João 
mente? José fala a verdade? José mente? O único detalhe é adaptar a resposta única que 
seria dada por qualquer um deles. 
Desafio: Irmãos Gêmeos II 
João e José são dois irmãos gêmeos idênticos que possuem uma peculiaridade, um 
dos dois sempre fala a verdade, independente do que for perguntado, enquanto que o outro 
sempre mente. Márcio, para descobrir se João é quem fala a verdade ou se João é o que 
mente, desenvolveu uma técnica, ele descobriu que existe uma pergunta que independente 
de para quem seja feita, é possível determinar esta resposta, basta que a resposta dada seja 
sim ou não. Desse modo, sempre que ele encontra um deles, ele faz essa pergunta, pela 
resposta sim ou não ele já sabe se João fala a verdade ou mente. 
Qual é a pergunta capaz de descobrir se João fala a verdade ou mente? 
Observe que não queremos saber qual deles é o João e qual é o José. 
Lembra do desafio lançado dos irmãos gêmeos? O próximo problema é uma 
versão diferente. Tente resolvê-la, lembrando que se trata apenas de um desafio! 
 
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Solução: Você é o João? Se a resposta for sim, é porque o João é quem fala a 
verdade e se for não é porque João é o mentiroso. 
 
 
 
 
 
 
 
Antes de continuar seu estudo, realize os Exercícios Livres 
1 a 9 e os Exercícios Pontuados 1.1, 1.2 e 1.3. 
 
 
Dicas de aprofundamento 
Para praticar mais, acesse sites específicos que contêm problemas e desafios de lógica: 
http://rachacuca.com.br (acesse o link Enigma e Lógica no menu superior) e 
http://sitededicas.uol.com.br/enigma.htm para resolver os desafios lógicos ilustrados. 
 
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UNIDADE 2 
NOÇÕES DE FUNÇÃO 
 
OBJETIVO DA UNIDADE: Definir o conceito de Função enfatizando a sua 
aplicabilidade no cotidiano prático, destacar as suas características gerais tais como 
imagem, domínio, estimativa de valores, entre outras.Tornar o aluno capaz de interpretar 
e analisar dados apresentados em gráficos, relacionando os conhecimentos para a 
formação do conhecimento matemático. 
 
No mundo em que vivemos, os fenômenos não ocorrem de forma isolada: a 
produção de uva depende, entre outras coisas da quantidade de chuva; a quantidade de 
refrigerantes vendidos em uma lanchonete depende, entre outros fatores, do calor; o lucro 
de uma loja depende também da quantidade de mercadorias vendidas; a procura por carros 
populares depende dos seus preços de venda, e assim por diante. 
Nessa unidade, será feito um estudo de relações entre grandezas que são 
asfunções. Para melhor explicar o que é uma função, na linguagem matemática, vejamos o 
seguinte exemplo: 
Exemplo 1: 
Antônio é estudante e trabalha em uma das lojas do Shopping Center. Para ir de 
sua residência até o seu trabalho, ele possui três possibilidades de condução: carro, táxi ou 
ônibus. 
Ao ir de carro, ele percebe que a quantidade de litros de gasolina consumidos notrajeto depende da distância a ser percorrida. Ele sabe que seu carro consome em média um 
litro de gasolina a cada dez quilômetros percorridos, ou seja, 0,1 litro por quilômetro. Com 
base nessa informação, e por não saber a distância exata entre a sua casa e seu trabalho, ele 
resolve montar a seguinte tabela relacionando as possíveis distâncias a serem percorridas 
com a quantidade de combustível a ser consumido. 
Quantidade de litros de Gasolina Consumidos entre sua residência e 
seu trabalho 
Distância em km (d) 6,5 6,7 7 7,2 7,5 7,8 8 
Consumo (C) 0,65 0,67 0,7 0,72 0,75 0,78 0,8 
 
Observe, que cada distância percorrida gera um único consumo de combustível, 
isso denota que o Consumo C é função da distância percorrida d, isto é, C = f(d). Para o 
caso específico do carro de Antônio, uma fórmula que representa essa situação seria C = 
0,1d. Este mesmo problema poderia ser ilustrado através de um gráfico. 
 
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Suponha agora que Antônio resolve ir de táxi. Ao ligar para uma companhia, ele é 
informado que uma corrida de táxi custa R$ 3,80, a bandeirada, e mais R$ 0,70, por 
quilômetro rodado. Observe que a cada distância percorrida por um táxi tem-se um único 
valor a ser pago pela corrida, ou seja, o preço P de uma corrida é função da distância 
percorrida d, em quilômetros (P = f(d)). Para ilustrar a situação, é apresentado abaixo um 
gráfico relacionando o preço P de uma corrida em função da distância percorrida d. 
 
Obs.: Esta situação pode ser ilustrada através de uma tabela. 
Por último, suponha que Antônio resolve ir de ônibus, e que para ir de sua 
residência até o seu trabalho é necessário tomar um único ônibus, e que o valor da passagem 
seja de R$ 1,70. Observe que cada distância percorrida pelo ônibus gera um único valor a ser 
pago pela passagem, isso denota que o gasto G pela passagem é função da distância 
percorrida d, em quilômetros, isto é, G = f(d). Este exemplo retrata uma função constante, 
ou seja, independentemente do número de quilômetros em que Antônio permanecer no 
ônibus o gasto será o mesmo. Uma fórmula que representa essa situação é G = 1,70, e o 
gráfico que ilustra o problema é dado abaixo: 
 
 
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Obs.: Esta situação pode ser ilustrada através de uma tabela. 
Uma situação prática que não ilustra uma função é o caso da relação entre 
temperatura e data, pois, em cada dia é registrada mais de uma temperatura, isso significa 
que a temperatura não é função da data. 
 
2.1 Definição 
 
2.2 Domínio e Imagem 
 
No primeiro caso do exemplo anterior, a variável independente é a distância 
percorrida e a variável dependente é o consumo. O domínio são todas as distâncias possíveis 
a serem percorridas e a imagem são os consumos de combustível nessas distâncias. A função 
associa consumo à distância. Note que o contrário também representa uma função, pois a 
cada consumo de combustível, em litros, tem-se uma única distância a ser percorrida. Nestes 
casos, dizemos que a função é inversível. Analogicamente, a cada valor a ser pago por uma 
corrida de táxi tem-se uma única distância a ser percorrida, sendo também um exemplo de 
função inversível. Entretanto, no terceiro caso deste mesmo exemplo, a função não é 
inversível, pois o valor a ser pago pela passagem de ônibus pode ser gerado por mais de uma 
distância a ser percorrida. 
Exemplo 2: 
Supondo que Antônio sabe que a distância entre a sua residência e o seu trabalho 
é de no mínimo 6,5 quilômetros e de no máximo 8 quilômetros, determine o domínio e a 
imagem das funções em cada uma das possibilidades de transporte ilustradas no exemplo 
Uma grandeza y é uma função de uma outra grandeza, x, se a cada valor de x 
estiver associado um único valor de y. Dizemos que y é o valor da função ou a variável 
dependente, e x é a variável independente. Em outras palavras, pense em x como a 
entrada e y como a saída. Escrevemos y=f(x), onde f é o nome da função. 
Resumindo, y é uma função de x se, e somente se, a cada entrada x estiver 
associada uma única saída y. 
 
O domínio de uma função é um conjunto de possíveis valores da variável 
independente (entrada) e a imagem é o conjunto correspondente de valores da variável 
dependente (saída). 
 
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anterior. Em seguida, refaça os gráficos ilustrados anteriormente levando em conta essa nova 
informação. 
Solução: 
Como foi dito anteriormente, no caso de Antônio ir de carro, o domínio são todas 
as distâncias possíveis a serem percorridas (variável independente-entrada) e a imagem são 
os consumos de combustível nessas distâncias (variável dependente - saída). Assim, o 
domínio está limitado entre 6,5 e 8 quilômetros, ou seja, 6,5 ≤ d ≤ 8 e a imagem está 
limitada entre 0,65 e 0,8 litros (ver tabela), ou seja, 0,65 ≤ c ≤ 0,8. 
 
No caso de Antônio ir de táxi, o domínio são todas as distâncias possíveis a serem 
percorridas (variável independente-entrada) e a imagem são os preços a serem pagos pela 
corrida (variável dependente - saída) nessas distâncias. Assim, o domínio está limitado entre 
6,5 e 8 quilômetros, ou seja, 6,5 ≤ d ≤ 8 e a imagem está limitada entre 8,35 e 9,40 reais, 
ou seja, 8,35 ≤ P ≤ 9,40 (esses valores podem ser determinados calculando o valor de uma 
corrida na menor hipótese, 6,5 quilômetros, e na maior hipótese, 8 quilômetros, lembrando 
que a bandeirada custa R$ 3,80 e o valor por quilômetro rodado vale R$ 0,70). 
 
Por último, no caso de Antônio ir de ônibus, a variável independente (entrada) é a 
distância percorrida e a variável dependente (saída) é o gasto pela passagem. O domínio são 
todas as distâncias possíveis a serem percorridas e a imagem é o gasto pela passagem nessas 
 
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distâncias. Assim, o domínio está limitado entre 6,5 e 8 quilômetros, ou seja, 6,5 ≤ d ≤ 8 e 
a imagem é constante, sendo fixada em R$ 1,70, ou seja, G=1,70. 
 
Obs. A busca de uma função que represente uma dada situação é chamada de 
modelagem matemática (e a função escolhida é o modelo matemático). Um tal modelo 
pode esclarecer a relação entre as variáveis e, portanto, nos ajudar a fazer previsões. 
 
2.3 Representação de Funções: Tabelas, Gráficos e Fórmulas 
As funções podem ser representadas pelo menos de três modos diferentes: por 
meio de tabelas, gráficos e/ou fórmulas. No exemplo anterior, as três funções podiam ser 
representadas por fórmulas, gráficos e/ou por tabelas. Mas nem toda função pode, 
necessariamente, ser representada pelos três modos. 
Exemplo3: 
Rafaela é dona de uma locadora de vídeo. O valor de cada locação diária é de R$ 
3,00 e os gastos totais para a manutenção da locadora (aquisição de fitas, funcionários, luz, 
etc.) é de R$ 1.800,00 mensais. Com isso, ela conclui que a fórmula que relaciona o lucro (ou 
o prejuízo) mensal, L, de sua empresa em relação à quantidade de fitas locadas, q, é dada 
por: 
 
A partir dessas informações: 
a) Justifique porque essa situação representa uma função. 
 
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b) Supondo que o número máximo de fitas locadas mensalmente, q, é 3.000, 
determine o domínio e a imagem desta função. 
c) Sabendo que nos três primeiros meses do ano, a quantidade de fitas locadas foi 
2.000, 1.410 e 420, respectivamente, ache o lucro (ou o prejuízo) apresentando os resultados 
numa tabela. 
d) Quantas fitas a locadora deve locar para encerrar o mês sem lucro nem prejuízo? 
Solução: 
a) Esse exemplo representa uma função, pois cada quantidade possível de fitas 
locadas (entrada), num mês, associa-se a um único lucro ou prejuízo (saída). Isso pode ser 
verificado pelo contexto do problema, pela fórmula ou até pelo gráfico. Pelo gráfico é possível 
concluir que se trata de uma função, pois qualquer reta vertical corta o gráfico uma única vez 
(veremos este conceito ainda nesta unidade). 
b) Se considerarmosa fórmula L = 3q - 1.800 como uma simples relação 
matemática entre q e L, então, qualquer valor de q e L é possível. Neste caso, o domínio e a 
imagem seriam todos os valores reais. 
Entretanto, se estamos considerando esta fórmula como uma relação entre a 
quantidade de fitas locadas e o lucro ou prejuízo mensal, então q deve assumir valores não 
negativos (maior ou igual a zero). Mais ainda, foi dito que a quantidade máxima de fitas 
locadas mensalmente é 3.000, assim, para a função L = f(q) temos: 
Domínio = Todos os valores de q de 0 a 3.000 
(0 ≤ q ≤ 3.000) 
Já a imagem está relacionada aos possíveis valores que a função irá prever o lucro 
ou prejuízo mensal. Neste caso, de -1.800 (quando q = 0) a 7.200 (quando q = 3.000). 
Portanto: 
Imagem = Todos os valores de L entre - 1.800 e 7.200 
(-1.800 ≤ L ≤ 7.200) 
Obs.: Comprime os valores do lucro substituindo as quantidades 0 e 3.000 na 
fórmula: L=3q - 1.800 
c) 
Mês 
Quantidade de 
locações 
Lucro ou prejuízo (L) Conclusão 
Janeiro 2.000 
L= 3*2.000-1.800 
L=4.200 
Lucro de R$ 4.200,00 
Fevereiro 1.410 
L=3*1.410-1.800 
L=2.430 
Lucro de R$ 2.430,00 
Março 420 
L=3*420-1.800 
L=-540 
Prejuízo de R$ 540,00 
 
 
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d) Para encerrar o mês sem lucro nem prejuízo, ou seja, com lucro igual a zero, a 
locadora deve locar, ao final do mês, 600 fitas. Isso porque, 
𝐿 = 0 → 3𝑞 − 1800 = 0 → 3𝑞 = 1800 → 𝑞 =
1800
3
→ 𝑞 = 600 
Nesse exemplo foi possível descrever a função através dos três modos: fórmula, 
tabela e gráfico. 
Observação 1: Nesse último exemplo, usamos a quantidade de fitas locadas para 
prever o lucro ou prejuízo mensal e consideramos a quantidade como a variável independente 
(entrada) e o lucro ou prejuízo mensal como a variável dependente (saída). Entretanto, 
poderíamos fazer o contrário, e calcular a quantidade de fitas locadas a partir do lucro ou 
prejuízo mensal. Desse ponto de vista, a quantidade de fitas locadas é dependente do lucro 
ou prejuízo mensal. Assim, que variável é a dependente (saída) e que variável é a 
independente (entrada), pode depender do seu ponto de vista ou dos objetivos do problema. 
Observação 2: Se o domínio de uma função não é especificado, fica estabelecido 
como sendo o maior conjunto possível de números reais. 
 
2.4 Função Inversa 
Uma função admite inversa se, e somente se, seu gráfico corta qualquer reta 
horizontal, no máximo, uma vez, ou seja, se para cada saída da f tiver uma única entrada 
correspondente. 
A variável independente (entrada) para a f é a variável dependente (saída) para a 
f-1, e vice-versa. Os domínios e imagens da f e da f-1 também ficam trocados. 
Nem toda função f tem uma inversa, mas quando uma inversa existe, ela é definida 
da seguinte forma: 
𝑓−1(𝑦) = 𝑥 Significa 𝑓(𝑥) = 𝑦 
 
Se uma função possui uma inversa, dizemos que ela é inversível. Para melhor 
entender quando uma função tem inversa, vejamos um exemplo de uma função que não tem 
inversa. 
Exemplo 4: 
Considere um estudante que saiu de sua casa em direção à Universidade que dista 
8 quilômetros de sua residência e que leva cerca de 20 minutos para fazer este trajeto; lá 
permanece durante 4 horas; então, após o término das aulas, retorna para sua casa 
demorando o mesmo tempo para fazer o trajeto de volta (20 minutos). Esboce um possível 
gráfico da distância de sua casa em função do tempo e, em seguida, a partir de uma análise 
do gráfico, responda se a função é inversível. 
 
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Solução: 
A função d = f(t), que dá a distância, em quilômetros, t minutos após a sua saída, 
não tem inversa, pois cada distância corresponde a, pelo menos, dois valores do tempo, ou 
seja, a distância primeiro cresce e depois diminui de modo que qualquer reta horizontal corta 
o gráfico mais de uma vez. Como exemplo, observe que para a distância de 4Km f-1(4), 
existem dois instantes correspondentes. 
Exemplo 5: 
O preço da gasolina num posto X custa R$ 1,50, o litro. Marcelo resolve parar para 
abastecer e anota numa tabela algumas possibilidades do preço a se pagar p, em reais, 
dependendo do volume v, em litros, que irá abastecer. Entretanto, Marcelo necessita de no 
mínimo 2 litros e, a capacidade do tanque de seu carro é de 40 litros. 
v 20 23,5 28,5 32 34,2 35,7 40 
p 30 35,25 42,75 48 51,30 53,55 60 
 
a) O preço a pagar p, em reais, pode ser considerado como função do volumev, 
em litros? Justifique. 
b) Determine uma fórmula que expresse, p = f (v) 
c) Qual o domínio e a imagem dessa função. 
d) Essa função é inversível? Justifique. 
e) Se Marcelo abastecer 27 litros, qual é o valor a ser pago? 
f) Se Marcelo possui R$ 27,00 para abastecer neste posto, e pretende usar todo 
esse valor, quantos litros de gasolina serão colocados no tanque de seu carro? 
Solução: 
a) O preço a pagar p, em reais, é função do volume v, em litros, pois cada volume 
v gera um único preço correspondente. 
 
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b) Uma fórmula que expresse p em função de v é: p = 1,50 • v 
c) O domínio são todos os possíveis valores para o volume v, em litros. Como o 
volume deve ser de no mínimo 2 litros e, a capacidade do tanque do carro de Marcelo é de 
40 litros, tem-se que o volume está limitado no intervalo de 2 a 40, isto é, 2 ≤ v ≤ 40 
A imagem são os possíveis preços a serem pagos, em reais, nesses volumes a 
serem abastecidos. Como Marcelo abastece no mínimo 2 litros, então o valor mínimo a ser 
pago é de R$ 3,00, e, no máximo R$ 60,00, pois esse é o preço, caso ele pare com o tanque 
vazio e resolve enchê-lo. Assim, os possíveis preços a serem pagos por Marcelo estão 
limitados no intervalo de 3 a 60, ou seja, 3≤ p ≤ 60. 
d) A função é inversível, pois cada preço a ser pago está associado a um único 
volume, em litros. 
e) Se Marcelo abastecer 27 litros de gasolina no posto X, o valor a ser pago será 
de R$ 40,50. Para se determinar esse valor, basta substituir o valor de v por 27 na função 
p= 1,50 • v 
Exercícios propostos 
1. Francis, que cuida muito de seu físico, foi matricular-se numa academia de 
ginástica. Ao ser atendida, ela perguntou quanto pagaria para frequentar a academia duas 
vezes por semana. Ela foi informada que: a matrícula custa R$ 20,00 e a mensalidade é de 
R$ 40,00. 
a) Monte uma tabela que relacione o número de meses e o valor total que Francis 
gastaria para fazer a ginástica durante esse período. Faça para os primeiros 6 meses. 
b) Esse é um exemplo de função? Justifique. 
c) Escreva um modelo matemático que relacione o valor total que seria gasto por 
Francis em função do número de meses que ela permaneceria na academia de ginástica. 
d) Supondo que Francis irá fazer ginástica e que o período máximo de permanência 
nessa academia é de 2 anos, determine o domínio e a imagem dessa função. 
e) Se Francis frequentar a academia durante 9 meses, qual o valor total que ela 
gastaria? 
f) Para Francis gastar um total de R$ 620,00, quanto tempo ela deve frequentar a 
academia? 
2. A tabela abaixo apresenta alguns preços pagos p, em reais, dependendo da 
quantidade q de cópias tiradas na xerox de uma Universidade. 
q 4 7 11 16 
p 0,48 0,84 1,32 1,92 
 
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Sabendo que o preço a pagar p possui uma relação de dependência com a 
quantidade q de cópias tiradas na xerox, responda: 
a) O preço a pagar p em reais, pode ser considerado como função da quantidade 
de cópias q? Justifique. 
b) Determine uma fórmula que expresse p = f (q) 
c) Qual das variáveis determina o domínio? E qual determina a imagem? 
d) Essa função é irreversível? Justifique 
e) Se uma pessoa possui R$ 6,20 e pretende comprar dois salgados e um 
refrigerante, que custam cada um, respectivamente, R$ 1,20 e R$ 1,30 e com o troco tirar 
cópias nesta xerox, qual é o número máximo de cópias que podem ser tiradas? Suponha- se 
que esta xerox só tira cópias se o clientepagar exatamente o valor dado. 
 
2.5 Interpretação de Gráficos 
São inúmeras as situações em que necessitamos “ler” um gráfico. Na medicina, por 
exemplo, muitas vidas dependem da interpretação de um tipo de gráfico chamado 
eletrocardiograma. Ele permite ao cardiologista diagnosticar e prever alterações no 
funcionamento do coração. 
Abaixo são apresentados inúmeros exemplos do cotidiano em que a leitura correta 
de um gráfico é indispensável. 
Exemplo 6: 
Uma pesquisa de opinião foi realizada com alunos que cursam o último ano do 
Ensino Médio de diferentes escolas, para avaliar suas opções de cursos no próximo vestibular. 
Foram dadas quatro opções a cada aluno: cursos na área de humanas e sociais (H), exatas 
(E) e biológicas/saúde (B), e para aqueles que não efetuaram suas escolhas, foi dada a 
opção na área de indecisos (I). Os resultados obtidos nessa pesquisa, são apresentados no 
gráfico de colunas na próxima página: 
 
Baseado no gráfico, responda as seguintes questões: 
 
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a) Qual a área de preferência dos alunos? E qual aquela que foi a menos escolhida? 
b) Quantos alunos fizeram a opção pela área de humanas e sociais? 
c) Quantos alunos fizeram a opção pela área de biológicas e saúde? 
d) Quantos alunos responderam a essa pesquisa? 
e) Qual(is) a(s) área(s) foi(ram) escolhida(s) por menos de 400 alunos? 
f) Qual é o percentual de alunos que ainda se encontram indecisos? 
g) Qual é o percentual de alunos que optou pela área de exatas? 
h) Alguma das áreas obteve um índice percentual superior a 50%? 
Solução 
a) A área de preferência dos alunos é biológicas e saúde. A área menos escolhida 
foi exatas. 
b) 340 alunos. 
c) 460 alunos. 
d) 1.200 alunos, sendo 340 da área de humanas e sociais, 160 da área de exatas, 
460 da área de biológicas e saúde e 240 indecisos. 
e) As áreas de exatas e de humanas e sociais foram escolhidas por menos de 400 
alunos. 
f) Se encontram indecisos 240 alunos sobre um total de 1.200 que participaram da 
pesquisa, isto é, 20%. Veja o cálculo: 
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∗ 100 =
240
1200
∗ 100 = 20% 
g) 160 alunos optaram pela área de exatas sobre um total de 1.200 que 
participaram da pesquisa, isto é, 13,33% aproximadamente. Veja o cálculo: 
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∗ 100 =
160
1200
∗ 100 = 13,33% 
h) Não, pois a área de maior preferência (biológicas e saúde) registrou 38,33% 
aproximadamente, não sendo portanto, superior a 50%.Veja o cálculo: 
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∗ 100 =
460
1200
∗ 100 = 38,33% 
 
Exemplo 7: 
No período eleitoral, foram realizadas contínuas pesquisas para indicar a intenção 
de votos dos moradores de uma cidade. Essas pesquisas ocorriam em intervalos de uma 
semana e aconteceram entre os meses de agosto e outubro. O resultado percentual destas 
pesquisas é indicado no gráfico abaixo, sendo apresentados apenas os dois principais 
candidatos. 
 
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Embora você não tenha pensado que algo tão imprevisível seja uma função, como 
é o caso da intenção de voto (de cada candidato), esta depende do tempo (em 
semanas), pois em cada semana tem-se uma única intenção de voto (para cada um dos 
candidatos). Não existe fórmula para prever a intenção de voto, mas, mesmo assim, a 
intenção de voto satisfaz a definição de uma função: Em cada tempo, t (em semanas), tem-
se uma única intenção de voto (para cada um dos candidatos), I, associada a ela. Vale a pena 
ressaltar que o gráfico acima descreve duas funções, uma para cada candidato e, gráficos 
assim, são denominados sobrepostos. 
A partir deste gráfico, responda as seguintes indagações: 
a) Qual era a intenção de voto, para cada um dos candidatos, na 2ª semana de 
pesquisa eleitoral? 
b) Em que semanas, desde o momento em que foi iniciada essa pesquisa, o 
candidato A atingiu 35% de intenção de voto? 
c) Em que semanas, desde o momento em que foi iniciada essa pesquisa, o 
candidato B atingiu 32% de intenção de voto? 
d) Em que semana(s) o candidato B atingiu seu índice percentual mais alto? E qual 
foi ele? 
e) Em que semana(s) o candidato B atingiu seu índice percentual mais baixo? E 
qual foi ele? 
f) Em que semana (s) os dois candidatos estavam empatados na pesquisa 
eleitoral? 
g) Se a eleição fosse realizada na última semana em que foi feita a pesquisa 
eleitoral, qual dos dois candidatos seria o favorito para ganhar as eleições? E qual seria a 
estimativa para a diferença percentual entre os dois? 
 
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h) Se fosse mantida a tendência observada entre a 12ª e a 13ª semanas de 
pesquisa eleitoral, após quantas semanas, desde o encerramento das pesquisas, o candidato 
B passaria a ter a preferência nas urnas? Justifique sua resposta. 
i) Entre quais semanas o candidato A registrou o maior crescimento nas 
pesquisas? E a maior queda? 
j) Entre quais semanas o candidato B não alterou o percentual de votos nas 
pesquisas? 
k) Entre quais semanas os dois candidatos registraram um decrescimento 
simultâneo? 
l) Faça uma análise geral do gráfico, comparando a preferência dos eleitores em 
relação aos dois principais candidatos. 
m) Qual é o domínio e a imagem da função que descreve o candidato A? Considere 
o gráfico contínuo. 
n) Alguma das duas funções é inversível? Justifique sua resposta. 
Solução: 
a) Candidato A: 38%; Candidato B: 44%. 
b) Na 1ª, 7ª e 8ª semana de pesquisa eleitoral. 
c) Na 7ª, 8ª e 12ª semana de pesquisa eleitoral. 
d) Na 3ª semana de pesquisa eleitoral o candidato B atingiu seu índice percentual 
mais alto que foi de 47%. Esse ponto é denominado de ponto de máximo da função e pode 
ser escrito em notação matemática na forma PM (3,47). 
e) Na 7ª, 8ª e 12ª semanas de pesquisa eleitoral o candidato B atingiu seu índice 
percentual mais baixo que foi de 32%. Esse ponto é denominado de ponto de mínimo da 
função e pode ser escrito em notação matemática na forma Pm (7,32), Pm (8,32) e Pm (12,32). 
f) Na 4ª semana de pesquisa eleitoral. 
g) O favorito nas urnas seria o candidato A e a diferença prevista seria de 6 pontos 
percentuais, pois o candidato A terminaria com 41% e o B com 35%. 
h) Se fosse mantida a tendência observada entre a 12ª e a 13ª semanas, após três 
semanas o candidato B passaria a ter a preferência nas urnas. Isso se justifica, pois entre a 
12ª e a 13ª semanas, o candidato B melhorou o seu índice em 3%, enquanto que o candidato 
A permaneceu estável. Mantida essa tendência, o candidato B retiraria a diferença de 6% em 
duas semanas e na semana seguinte seria o mais votado. 
i) Entre a 9ª e a 10ª semanas o candidato A registrou o maior crescimento nas 
pesquisas (6%), já a maior queda foi verificada entre a 6ª e a 7ª semanas (6%). 
j) Entre a 5ª e a 6ª, a 7ª e a 8ª e a 10ª e a 11ª semanas. 
k) Entre a 6ª e a 7ª e a 11ª e a 12ª semanas. 
 
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l) Observando o gráfico, conclui-se que nas três primeiras semanas de pesquisa 
eleitoral o candidato B detinha a preferência dos eleitores, empatando na quarta semana, e, 
após esse período, o candidato A se manteve sempre à frente, terminando o período de 
pesquisa com 6% a mais na intenção de votos. 
m) O domínio são todas as semanas em que a pesquisa foi realizada (entrada), 
ou seja, as semanas de agosto a outubro que corresponde a valores de t de 1 a 13 (1≤t≤ 
13). A imagem são as intenções de votos nessas semanas (saídas), ou seja, de 35 a 44 pontos 
percentuais (35 ≤I≤ 44), afinal 35% foi o menor índice registrado, por este candidato, e 44% 
foi o maior. 
n) Nenhuma das funções é inversível, pois existem intenções de voto (saídas) 
registradas em mais de uma semana diferente (entrada). Por exemplo, ambos candidatos 
registraram 38% nas intenções de votos em mais de uma semana. Outra forma de se concluir 
porque ambas as funções não são inversíveis, é verificar o fato de que existem retas 
horizontais que cortam osgráficos das funções mais de uma vez. 
 
Intenção de Voto (%) em pesquisa realizada entre Agosto e Outubro 
Tempo t (em semanas) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
Candidato A 35 38 38 41 44 41 35 35 38 44 44 41 41 
Candidato B 38 44 47 41 35 35 32 32 35 38 38 32 35 
 
Exemplo 8: 
Uma fábrica contabilizou seus lucros e prejuízos (em milhares de reais) durante os 
oito primeiros meses do ano de 2003, apresentando esses resultados através de um gráfico. 
 
Obs.: Como vimos anteriormente, as funções podem ser representadas pelo menos 
de três modos diferentes: por meio de tabelas, gráficos e fórmulas. No exemplo 4, as 
funções que fornecem a intenção de voto, como uma função do tempo, podem ainda 
ser representadas por uma tabela como a que segue, mas não por uma fórmula. 
 
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a) Em que meses do ano, a fábrica registrou lucro? 
b) Em que meses do ano, a fábrica registrou prejuízo? 
c) Em que meses do ano, a fábrica não registrou lucro, nem prejuízo? 
d) Em que mês a fábrica registrou o maior lucro? E qual foi esse lucro? Em outras 
palavras indique o ponto de máximo da função. 
e) Em que mês a fábrica registrou o menor lucro, ou neste caso, o maior prejuízo? 
E qual foi esse lucro (prejuízo)? Em outras palavras indique o ponto de mínimo da função. 
Solução: 
a) Janeiro, Fevereiro, Março e Agosto, isto é, antes do mês de Abril (Janeiro ≤ n ≤ 
Abril) e depois do mês de Julho (Julho ≤ n ≤ Agosto). 
b) Maio e Junho, isto é, entre os meses de Abril e Julho (Abril ≤ n ≤ Julho). 
c) Abril e Julho. 
d) Em janeiro a fábrica registrou um lucro de R$ 35.000,00, que é o maior dentre 
os oito meses analisados, ou seja, PM (Janeiro, 35.000). 
e) O menor lucro, ou neste caso, o maior prejuízo aconteceu no mês de maio, 
sendo registrado um valor negativo de R$ 25.000,00, ou seja, Pm (Maio,-25.000). 
Abaixo será apresentada uma série de definições já utilizadas nos dois exemplos 
anteriores e que são de muita importância na análise de gráficos de funções. Inicialmente, é 
apresentado um teste que verifica a possibilidade de uma curva no plano xy ser ou não o 
gráfico de uma função. Esse teste é similar ao que foi apresentado anteriormente, em que se 
desejava saber se uma função é ou não inversível a partir da análise de seu gráfico. 
 
 
2.5.1 Teste da Reta Vertical 
Nem toda curva no plano xy é gráfico de uma função. Por exemplo, considere a 
curva abaixo que é cortada em dois pontos distintos (a,b) e (a,c) por uma reta vertical. 
 
 
 
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Esta curva não pode ser o gráfico de y = f(x) qualquer que seja a função fpois 
senão teríamos: 
f(a) = b e f(a) = c 
 
O que é impossível, uma vez que f não pode atribuir dois valores diferentes para a, 
senão teríamos para uma mesma entrada duas saídas diferentes. Sendo assim, não existe 
uma função f cujo gráfico seja a curva dada. Isto ilustra o seguinte resultado geral, o qual 
chamaremos de teste da reta vertical. 
 
2.5.2 Funções Crescentes e Decrescentes 
 
2.5.3 Sinal da Função 
 
 
2.5.4 Máximos e Mínimos de uma Função 
Se você conhece os intervalos nos quais uma função é crescente ou decrescente, 
pode identificar os seus máximos e mínimos locais. Um máximo local (ou máximo 
relativo) ocorre quando a função para de crescer e começa a decrescer. Um mínimo local 
(ou mínimo relativo) ocorre quando a função para de decrescer e começa a crescer. 
Teste da Reta Vertical: Uma curva no plano xy é o gráfico de alguma 
função f se, e somente se, nenhuma reta vertical intercepta a curva mais de 
uma vez. 
Uma função f é crescente se o valor de y=f(x) aumenta quando x aumenta. 
Uma função f é decrescente se o valor de y=f(x) diminui quando x aumenta. 
O gráfico de uma função crescente sobe à medida que se desloca da 
esquerda para a direita. 
O gráfico de uma função decrescente desce à medida que se desloca da 
esquerda para a direita. 
Uma função y = f(x) é dita positiva (y >0) num intervalo fechado, a ≤ 
x ≤ b quando o gráfico estiver acima do eixo x neste intervalo. 
Uma função y = f(x) é dita negativa (y <0) num intervalo fechado, a 
≤ x ≤ b quando o gráfico estiver abaixo do eixo x neste intervalo. 
Os pontos de interseção do gráfico com o eixo x apresentam 
ordenadas y = 0, ou seja, suas abscissas xo são tais que f (xo) = 0. Essas 
abscissas xo são os zeros ou raízes da função f. 
 
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Intuitivamente, um “pico” no gráfico de uma função é chamado um máximo local 
de f, e um “vale”, um mínimo local. 
Não se deve confundir máximo local ou relativo com máximo absoluto, que é o 
maior valor assumido pela função em todo o seu domínio. Da mesma forma, mínimo 
absoluto é o menor valor assumido pela função em todo o seu domínio. 
 
 
Como neste texto será muito utilizada a notação de inequação, abaixo é 
apresentado um breve resumo de intervalo, assim como alguns exemplos que facilitarão a 
resolução de alguns exercícios que pedem a resposta nesta notação. 
O conjunto dos números reais determinados por desigualdades são chamados 
intervalos. 
Para indicar que um extremo pertence ao intervalo, no caso de ≤ ou ≥ utilizaremos 
o símbolo 
Para indicar que um extremo não pertence ao intervalo, no caso de < ou > 
utilizaremos o símbolo 
Exemplo 9: 
Determine os intervalos que estão representados na reta real: 
a) 
 
𝐴 = {𝑥 ∈ Ʀ /𝑥 < −2} (Observe que -2 não pertence ao intervalo) 
b) 
 
𝐵 = {𝑥 ∈ Ʀ /𝑥 ≤ −2} (Observe que -2 pertence ao intervalo) 
c) 
 
𝐴 = {𝑥 ∈ Ʀ /𝑥 > 1} (Observe que 1 não pertence ao intervalo) 
Máximo absoluto de uma função é o maior valor assumido pela função 
em todo o seu domínio. 
Mínimo absoluto de uma função é o menor valor assumido pela função 
em todo o seu domínio. 
O ponto de máximo (ou mínimo) absoluto de uma função, de uma única 
variável, pode ser representado por um par ordenado onde a abscissa é 
descrita pelo valor da variável independente no ponto (entrada) e a ordenado 
pelo valor da variável dependente no ponto (saída) onde a função assume o 
seu maior (ou menor) valor absoluto. 
-2 
-2 
1 
 
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d) 
 
𝐷 = {𝑥 ∈ Ʀ /𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 3} (Observe que 1 não pertence ao intervalo e 3 pertence 
ao intervalo) 
e) 
 
𝐸 = {𝑥 ∈ Ʀ /−1 < 𝑥 < 2} (Observe que -1 e 2 não pertence ao intervalo) 
f) 
 
𝐹 = {𝑥 ∈ Ʀ /−2 ≤ 𝑥 < 0} (Observe que -2 pertence e 0 não pertence ao intervalo) 
 
Em seguida são apresentados mais dois exemplos de gráficos de funções, em que 
é utilizada a inequação, e tem por objetivo esclarecer melhor todos os conceitos apresentados 
anteriormente. 
Exemplo 10: 
O gráfico a seguir apresenta as temperaturas (em oC) registradas ao longo de um 
dia num laboratório meteorológico. Adotando a notação T para representar a temperatura e 
t para designar a hora do dia. 
 
Determine: 
a) Esse exemplo representa uma função? Justifique. 
b) Qual o domínio e a imagem dessa função. 
c) Qual foi a temperatura máxima registrada? A que horas? 
d) Qual foi a temperatura mínima registrada? A que horas? 
e) Em que horas desse dia a temperatura foi nula? 
f) Em que intervalo de horas a temperatura esteve positiva nesse dia? 
g) Em que intervalo de horas a temperatura esteve negativa nesse dia? 
h) Em que intervalo de horas a temperatura aumentou nesse dia? 
i) Em que intervalo de horas a temperatura diminuiu nesse dia? 
1 3 
-1 2 
-2 0 
 
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j) A função é inversível? 
Solução: 
a) Sim, pois cada hora do dia t, está associada a uma única temperatura T. 
b) O domínio é formado por todas as horas do dia em que foi realizada essa 
pesquisa (entrada), ou seja, de 0 a 24, 0≤ t ≤ 24. E a imagem é formada por todas as 
temperaturas registradas durante esse período. Neste caso, as temperaturas oscilaram entre 
-8oC e 12oC, -8 ≤ T ≤ 12. 
c) 12oC, às 14 horas, isto é, PM(14, 12) 
d) -8oC, às6 horas, isto é, Pm(6, -8) 
e) Às 4, 10, 18 e 22 horas. 
f) De 0 as 4 horas (sem inclusão do 4), entre as 10 e 18 horas e entre as 22 e 24 
horas (com inclusão do 24), isto é,(0 ≤ t ≤ 4 ou 10 ≤ t ≤ 18 ou 22 ≤ t ≤ 24). Note que não 
foram incluídos os valores 4, 10, 18 e 22 horas, pois nesse horário a temperatura é nula, não 
sendo, portanto, positiva. Já às 0 e 24 horas a temperatura é positiva, devendo, portanto, ser 
incluídos esses valores. 
g) Entre as 4 e 10 horas e entre as 18 e 22 horas, isto é (4 ≤ t ≤ 10 ou 18 ≤ t ≤ 
22). 
Note que, mais uma vez, não foram incluídos os valores 4, 10, 18 e 22 horas, pois 
nessas horas a temperatura é nula, não sendo, portanto, negativa. 
h) Das 6 às 14 horas e das 20 às 24 horas, isto é, (6 ≤ t ≤ 14 ou 20 ≤ t ≤ 24). 
i) Das 0 às 6 horas e das 14 às 20 horas, isto é, (0 ≤ t ≤ 6 ou 14 ≤ t ≤ 20). 
j) A função não é inversível, pois existem temperaturas (saídas) registradas em 
mais de uma hora diferente do dia (entrada), por exemplo, a temperatura 4oC foi registrada 
em 4 momentos diferentes desse dia, às 2, 12, 16 e 24 horas. 
Exemplo 11: 
O gráfico abaixo ilustra a receita R de um parque de diversões em função do preço 
p da entrada, cuja fórmula é dada por R = -100 p2 + 2.800 p. 
A partir do gráfico, responda: 
a) Qual o domínio e a imagem dessa função? 
 
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b) Qual é a maior receita desse parque de diversões? Qual o preço que deve ser 
vendida a entrada para atingir a maior receita? Em outras palavras, indique o ponto de 
máximo da função. 
c) Qual é a menor receita desse parque de diversões? A qual o preço que deve ser 
vendida a entrada para atingir a menor receita? Em outras palavras, indique o ponto de 
mínimo da função. 
d) Em que intervalo de preços esteve positiva a receita? 
e) Em que intervalo de preços a receita desse parque de diversões é crescente? 
f) Em que intervalo de preços a receita desse parque de diversões é decrescente? 
Solução: 
a) O domínio é formado por todos os preços possíveis para a entrada desse parque 
(entrada), ou seja, de 9 a 16, 9 ≤ p ≤ 16. E a imagem é formada por todas as receitas 
correspondentes a esses preços (saídas), ou seja, de 17.100 a 19.600, 17.100 ≤ R ≤ 19.600. 
b) A receita máxima desse parque de diversões é R$ 19.600,00 e o preço que 
devem ser vendidas as entradas para atingir esse valor é de R$ 14,00, isto é, PM(14, 19.600). 
c) A receita mínima desse parque de diversões é R$ 17.100,00 e o preço que devem 
ser vendidas as entradas para atingir esse valor é de R$ 9,00, isto é, Pm(9, 17.100). 
d) A receita esteve positiva em todo o domínio da função, ou seja, 9 ≤ p ≤ 16. 
e) A receita desse parque de diversões é crescente de 9 a 14 reais: 9 ≤ p ≤ 14. 
f) A receita desse parque de diversões é decrescente de 14 a 16 reais, ou seja, 14 
< p <16. 
Exercícios propostos: 
 
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3. Observe o gráfico acima e responda: 
a) Para que valores de y, x = -1? 
b) Para que valores de y, x = 0? 
c) Para que valores de x, y = -1? 
d) Para que valores de x, y = 2? 
e) Quais são os valores máximo e mínimo de y e em quais valores de x eles 
ocorrem? 
Em uma prova de 100 m rasos, o desempenho típico de um atleta velocista é 
representado pelo gráfico a seguir: 
 
(ENEM) 4. Baseado no gráfico acima, em que intervalo de tempo a velocidade do 
atleta velocista é aproximadamente constante? 
a) Entre 0 e 1 segundo. 
b) Entre 1 e 5 segundos. 
c) Entre 5 e 8 segundos. 
d) Entre 8 e 11 segundos. 
e) Entre 12 e 15 segundos. 
(ENEM) 5. Baseado no gráfico acima, em que intervalo de tempo o atleta velocista 
apresenta aceleração máxima? 
a) Entre 0 e 1 segundo. 
 
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b) Entre 1 e 5 segundos. 
c) Entre 5 e 8 segundos. 
d) Entre 8 e 11 segundos. 
e) Entre 9 e 15 segundos. 
Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no período 
1985-1996, realizado pelo SEADE-DIEESE, apresentou o seguinte gráfico sobre taxas de 
desemprego. 
 
(ENEM) 6. Pela análise do gráfico acima, é correto afirmar que, no período 
considerado, 
a) a maior taxa de desemprego foi de 14%. 
b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período. 
c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente. 
d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%. 
e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e 1991. 
7. Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar a preferência dos 
consumidores em relação a algumas categorias de veículos de uma indústria automobilística. 
Os resultados obtidos estão apresentados no gráfico de colunas a seguir: 
 
Baseado no gráfico acima, responda as seguintes questões: 
 
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a) Quantos consumidores optaram pela categoria de veículo B? 
b) Qual o número de consumidores que responderam a pesquisa? 
c) Qual é o percentual de entrevistados que optou pela categoria de veículo C? 
d) Qual é o percentual de entrevistados que não optou por nenhuma categoria de 
veículo? 
e) Qual(is) categoria(s) de veículo registrou preferência acima de 180 indicações? 
f) A preferência pela categoria B supera o dobro de preferência pela categoria C? 
 
8. Para analisar o tempo de banho de seus alunos, um professor dividiu os tempos 
obtidos em classes de 5 (inclusive) a 10 (exclusive), de 10 (inclusive) a 15 (exclusive), e assim 
por diante. Com os resultados, ele produziu o histograma da figura acima. Analisando esse 
histograma, assinale a única alternativa incorreta. 
a) 80% dos alunos tomam banhos que demoram menos que 20 minutos. 
b) Exatamente 22 alunos tomam banhos que demoram menos que 15 minutos. 
c) O maior tempo de banho foi de 14 minutos. 
d) Nenhum dos alunos toma banho que demora menos que 5 minutos. 
e) Houve uma diminuição de 4 alunos entre os que tomam banho entre 20 e 25 
minutos e os que tomavam banho entre 25 e 30 minutos. 
9. O gráfico abaixo associa a produção nacional de pneus (em mil toneladas) no 
período de 1.989 a 2.000. Análise esse gráfico e responda as perguntas a seguir: 
 
 
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a) O gráfico representa uma função? 
b) Qual foi a produção em toneladas no ano de 1993? 
c) Em quais anos a produção fechou registrando um valor inferior a 10.000 
toneladas? 
d) Qual é o domínio e a imagem dessa função. 
e) Em que intervalo a função é crescente? 
f) Em que intervalo a função é decrescente? 
g) Entre que anos, a produção de pneus teve o menor crescimento? E o maior 
crescimento? 
h) Em que ano a produção nacional de pneus foi máxima? Qual é essa produção 
máxima? 
i) Em que ano a produção nacional de pneus foi mínima? Qual é essa produção 
mínima? 
j) Qual foi o aumento percentual na produção nacional de pneus entre os anos de 
1995 e 1996? 
k) Qual foi o decréscimo percentual na produção nacional de pneus entre os anos 
de 1998 e 1999? 
l) A função é inversível? 
 
10. O gráfico anterior apresenta as temperaturas em ºC registradas ao longo de 
um dia num laboratório meteorológico. Adotando a notação T para representar a temperatura 
e t para designar a hora do dia, responda aos itens abaixo: 
a) Esse exemplo representa uma função? Justifique. 
b) Qual o domínio e a imagem dessa função. 
c) Qual foi a temperatura máxima registrada? A que horas? 
d) Qual foi a temperatura mínima registrada? A que horas? 
e) Em que horas desse dia a temperatura foi nula? 
f) Em que intervalo de horas a temperatura esteve negativa nesse dia? 
g) Em que intervalo de horas a temperatura esteve positiva nesse dia? 
 
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h) Em que intervalo de horas a temperatura aumentou nesse dia? 
i) Em que intervalo de horas a temperatura diminuiu nesse dia? 
j) A função é inversível? 
Gráficos não mentem, mas mentirosos usam gráficos 
Às vezes, os gráficos são usados para criar impressões falsas. Vejamos umasituação bem prática: 
Os dois gráficos a seguir exibem o crescimento do faturamento de uma empresa 
nos três últimos anos (em milhares de reais). 
 
Você observa que os dois gráficos representam a mesma situação. No entanto, a 
escolha da escala mexe na indicação do gráfico. Assim, no gráfico II temos a impressão visual 
que o faturamento da empresa está “crescendo mais rapidamente”. 
Esse e outros artifícios são usados frequentemente a fim de “influenciar” 
interpretações gráficas. O livro Como mentir com a Estatística (How to Lie with Statistics), 
do americano Danele Huff contém muitos exemplos de como mentir com gráficos. Assim, 
atenção! Todo cuidado é pouco! 
 
2.5.5 Informações práticas que podem ser deduzidas a partir da leitura de 
Gráficos 
No próximo exemplo, e nos exercícios propostos seguintes, são ilustradas algumas 
situações em que gráficos são utilizados para resumir uma série de informações práticas. O 
objetivo é demonstrar que gráficos podem ser utilizados para representar simples 
acontecimentos do nosso dia a dia. 
Exemplo 12: 
José resolveu fazer uma viagem com a família e resumiu o que de principal 
aconteceu, durante o percurso, em um gráfico. Escreva uma situação que descreva o ocorrido. 
 
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Solução: 
Uma hipótese que descreva o que aconteceu durante o percurso, é: José e a família 
resolveram fazer uma viagem saindo de sua casa com destino a uma cidade vizinha, mas 
durante o percurso aconteceu um incidente, furou o pneu do carro, obrigando-o a parar a 
viagem para trocar o pneu. 
Esse também é um exemplo de função, pois a cada tempo de percurso, tem-se 
uma única distância de casa correspondente, ou porque qualquer reta vertical corta o gráfico 
uma única vez. 
A função não é inversível, pois no intervalo de tempo em que o carro ficou parado 
para se trocar os pneus, para essa distância em relação à casa, existem diversos tempos 
diferentes. 
Exercícios propostos 
11. Invente uma situação do cotidiano que descreva os gráficos abaixo: 
 
 
 
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12. Esboce um possível gráfico para as situações abaixo e decida se a função f é 
inversível ou não. Justifique sua resposta. 
a) Um avião decola do aeroporto de Congonhas em direção ao aeroporto 
internacional de Porto Alegre. Esboce um possível gráfico do total de litros de combustível 
consumidos por esse avião em função do tempo t, em minutos, a partir do momento em que 
o avião levantou voo. 
b) Um avião decola do aeroporto de Congonhas em direção ao aeroporto 
internacional de Porto Alegre. Esboce um possível gráfico do total de litros de combustível 
que se encontra no tanque do avião em função do tempo t, em minutos, a partir do momento 
em que o avião levantou voo. 
 
2.6 Interpretação de Tabelas-Cálculo de contas de água e luz 
Será apresentado neste momento, um conteúdo de extrema importância para o 
cotidiano de todas as pessoas. Afinal, quem não paga uma conta de água e uma conta de luz 
ao final de um mês de consumo? 
Os exemplos a seguir têm por objetivo esclarecer como é feito o cálculo das contas 
de água e de luz de uma suposta residência. 
 
Exemplo 13: 
Analisando a conta de luz, formule uma hipótese para como é feito o cálculo de 
cobrança. Note que o consumo neste mês foi de 442 Kwh. Em seguida, determine o valor da 
conta caso o consumo fosse o da média de 3 meses, ou seja, de 396 Kwh. Considere os 
mesmos valores mencionados na conta para efetuar esta previsão. 
Solução: 
O valor a ser pago pela conta é calculado multiplicando-se o consumo por dois 
fatores constantes que aparecem na conta, neste caso, os fatores são 0,278620 e 0,007125. 
O produto desses fatores pelo consumo, gera o importe - classe residencial e o encargo de 
capacidade emergencial. Em seguida, é feito um ajuste em centavos a efeito de 
 
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arredondamento, sendo normalmente arredondado para baixo. Por último, dependendo da 
localidade, é cobrada uma taxa de contribuição para o custeio do serviço de iluminação 
pública, que nesta conta foi de R$ 13,00. 
Deste modo, o valor da conta fica calculado da seguinte forma: 
0,278620 x 442 = 123,15 
0,007125 x 442 = 3,14 
taxa fixa = 13,00 total = 139,29 
total arredondado = 139,00 
 
Caso o consumo fosse o da média dos últimos 3 meses, 396 Kwh, e a taxa fixa de 
contribuição para custeio do serviço de iluminação pública fosse de R$ 13,00, o valor da conta 
seria calculado da seguinte forma: 
0,278620 x 396 = 110,33 
0,007125 x 396 = 2,82 
taxa fixa = 13,00 total = 126,16 
total arredondado = 126,00 
Será feita uma nova discussão na seção seguinte, com o objetivo de se determinar 
uma fórmula, neste caso, uma função do primeiro grau que calcule de forma mais direta o 
valor a ser pago pela conta. 
 
Exemplo 14: 
Analisando a conta de água, formule uma hipótese para como é feito o cálculo de 
cobrança. Note que o consumo neste mês foi de 37m3. Em seguida, determine o valor da 
conta caso o consumo fosse de 28m3. Mantenha o valor da tarifa por m3 para esta previsão. 
 
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Solução: 
Na conta de água o cálculo é um pouco mais elaborado, pois existe uma série de 
faixas de consumo e cada faixa possui uma tarifa diferente por m3. Observe que o cálculo não 
é feito multiplicando-se simplesmente o consumo pelo seu respectivo preço por m3. Na 
verdade, o valor de cada faixa é calculado de forma independente até atingir o consumo, ou 
seja, os primeiros 10 m3 são pagos de acordo com o valor por m3 da primeira faixa, os 
próximos 5 m3 são pagos de acordo com o valor por m3 da segunda faixa (11 a 15 m3), e 
assim por diante, até atingir o Consumo total, que neste caso é de 37 m3, fazendo com que 
na última faixa sejam pagos os 7 m3 restantes. Ao final dos cálculos por faixa, são somados 
todos esses valores, resultando então no valor da conta (ver conta anterior). 
Caso o consumo fosse de 28 m3, seriam utilizadas as cinco primeiras faixas de 
consumo, isso porque 28 m3 situam-se na quinta faixa. Neste caso, inicia-se dividindo o valor 
a ser pago por faixa, para em seguida multiplicar essa variação pelo preço por m3. Assim, 
como as quatro primeiras faixas são totalmente preenchidas, basta tomar a variação da faixa 
e multiplicar pelo preço por m3 e, na quinta faixa, seriam cobrados apenas os 3 m3 restantes. 
Deste modo, o valor da conta fica calculado da seguinte forma: 
Faixa de consumo Quantidade de m3 a ser pago nesta faixa Preço por m3 Valor da faixa 
0 a 10 10 1,16 11,60 
11 a 10 5 1,44 7,20 
16 a 20 5 1,47 7,35 
21 a 25 5 1,61 8,05 
26 a 30 3 1,97 5,91 
 
Logo, o valor da conta seria de R$ 40,11 (soma de todos os valores da faixa). 
Exercícios propostos: 
Considerando as contas de água e de luz apresentadas nos dois exemplos 
anteriores, resolva os exercícios abaixo: 
13. Se no próximo mês dobrar o consumo de energia elétrica dessa residência, o 
novo valor da conta seria de (considere como fixo o valor da iluminação pública, R$ 13,00, e 
arredonde o resultado em centavos para o menor inteiro mais próximo): 
a) R$ 252,00 
b) R$ 253,00 
c) R$ 265,00 
d) R$ 266,00 
e) R$ 278,00 
 
 
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14. Se no próximo mês o consumo d'água dessa residência diminuir em 6 m3, o 
novo valor da conta seria de: 
a) R$ 44,05 
b) R$ 46,33 
c) R$ 53,05 
d) R$ 61,38 
e) R$ 70,68 
 
15. Dos gráficos abaixo, o que melhor representa o valor da conta de água, de 
acordo com o consumo, é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Antes de continuar seu estudo, realize os Exercícios 
Pontuados 2.1 e 2.2. 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIDADE 3 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO PRIMEIRO GRAU 
 
OBJETIVO DA UNIDADE: Capacitar o aluno para reconhecer a descrição da Função 
do 1.º Grau, apresentada em problemas matemáticos práticos. Promover habilidades no 
aluno paraque construa, analise e interprete a Função do 1.º Grau apresentada em 
gráficos. 
 
As funções mais comumente usadas são as funções polinomiais do primeiro Grau. 
Essas funções apresentam um crescimento constante ou um decréscimo também constante. 
Uma função é do 1º Grau se qualquer variação ou incremento na variável independente 
(entrada) gera uma variação, ou incremento, proporcional à variável dependente (saída). 
Exemplo 1: 
Uma dona de casa ao receber sua conta de luz, fica intrigada para descobrir uma 
fórmula para calcular o valor a ser pago pelo consumo de eletricidade. Pensando nisso, ela 
observa uma de suas contas e monta uma tabela associando os possíveis consumos com o 
valor a ser pago. Para facilitar a montagem dessa tabela, ela considerou os dois fatores, 
importe classe residencial e encargo de capacidade emergencial, que multiplicam o consumo, 
bem como a contribuição para custeio dos serviços da iluminação pública (considerado aqui 
constante), somando no final esses três resultados, ignorando o ajuste em centavos. Abaixo, 
é fornecida a tabela e a conta que serviu de referência para a montagem da mesma. Será 
denotado o consumo de eletricidade, em KWH, por c e o valor a ser pago pela conta, em 
reais, por V. 
 
 
 
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Analisando esses dados e denotando a variação pela letra Δ “delta”, tem-se: 
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑛𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜
=
∆𝑉
∆𝑐
=
144,44 − 139,30
460 − 442
=
5,14
18
≅ 0,286 
E, efetuando para outros valores obtém-se: 
∆𝑉
∆𝑐
=
148,73 − 144,44
475 − 460
=
4,29
15
≅ 0,286 
∆𝑉
∆𝑐
=
155,87 − 148,73
500 − 475
=
7,14
25
≅ 0,286 
∆𝑉
∆𝑐
=
170,16 − 155,87
550 − 500
=
14,29
50
≅ 0,286 
∆𝑉
∆𝑐
=
178,73 − 170,16
580 − 550
=
8,57
30
≅ 0,286 
Isto pode ser observado com quaisquer outros valores da tabela. 
Pode-se dizer então que: ΔV = 0,286*Δc, ou qualquer mudança na variável 
independente (entrada) causa uma mudança proporcional na variável dependente (saída). 
 Caracteriza-se então uma função do Primeiro Grau. 
 
3.1 Forma Geral 
A equação geral de uma função Polinomial do 1º Grau é dada por: 
y = m.x + b para y = f (x) em que m = 0 e b são constantes. Seu gráfico é uma 
reta, onde: 
• b é a interseção com o eixo vertical. 
• m é a taxa de variação de y em relação a x. 
Para encontrar a equação e o gráfico correspondente, a partir de um conjunto de 
dados, calcula-se inicialmente a taxa de variação pelo quociente: 
𝒎 =
𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂çã𝒐 𝒅𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆 (∆𝑽𝑫)
𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂çã𝒐 𝒅𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆 (∆𝑽𝑰)
=
𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂çã𝒐 𝒅𝒂 𝒔𝒂í𝒅𝒂
𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂çã𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂
=
(∆𝑺)
(∆𝑬)
 
 
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Esse coeficiente pode ser calculado usando quaisquer pontos da tabela, e é esse 
fato que caracteriza o gráfico ser uma reta (inclinação constante). 
Para determinar o valor da constante b (termo independente), basta substituir o 
valor de m (determinado anteriormente) e qualquer ponto da tabela na forma geral. 
Retornando ao Exemplo 1: Como o objetivo é determinar uma fórmula que descreva 
V em função de c, isto é, V = f(c), a forma geral fica: V = m . c +b 
A taxa de variação é: 
𝒎 =
∆ 𝒅𝒂 𝒔𝒂í𝒅𝒂
∆ 𝒅𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂
=
∆𝑽
∆𝒄
=
𝟏𝟒𝟒, 𝟒𝟒 − 𝟏𝟑𝟗, 𝟑𝟎
𝟒𝟔𝟎 − 𝟒𝟒𝟐
=
𝟓, 𝟏𝟒
𝟏𝟖
≅ 𝟎, 𝟐𝟖𝟔 
Substituindo na forma geral, tem-se: 
𝑉 = 0,268𝑐 + 𝑏 
Para encontrar o valor de b, atribui-se, a partir da tabela, um ponto arbitrário, por 
ex. (442; 139,30), assim: 
𝟏𝟑𝟗, 𝟑𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟖𝟔 ∗ 𝟒𝟒𝟐 + 𝒃 → 𝟏𝟑𝟗, 𝟑𝟎 = 𝟏𝟐𝟔, 𝟒𝟏 + 𝒃 → 𝒃 = 𝟏𝟐, 𝟖𝟗 
Logo, uma fórmula que dê o Valor a ser pago V, em reais, em função do consumo 
de eletricidade c, em KWH, é dada por: 
𝑽 = 𝟎, 𝟐𝟖𝟔𝒄 + 𝟏𝟐, 𝟖𝟗 
ou, usando todas as casas decimais, 
𝑽 = 𝟎, 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟒𝟓𝒄 + 𝟏𝟑 
E seu gráfico é: 
 
 
O domínio são todos os possíveis consumos de eletricidade (c ≥ 0) e a imagem 
são os possíveis valores a serem pagos por esses consumos (V ≥ 13). 
É claro que a fórmula determinada acima poderia ser diretamente descrita, através 
de uma análise da conta de luz, afinal o consumo c é multiplicado pelos fatores: Importe-
Classe Residencial (0,27862) e Encargo de Capacidade Emergencial (0,007125), que são em 
seguida somados (0,27862 + 0,007125 = 0,285745), isto é, o consumo c é multiplicado por 
0,285745. Ao resultado é somado o fator constante de R$ 13,00 (contribuição para custeio 
dos serviços da iluminação pública), o que resulta em: 
𝑽 = 𝟎, 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟒𝟓 𝒄 + 𝟏𝟑 
 
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Vale a pena ressaltar, que esta fórmula é válida para os dois fatores constantes 
citados na conta, assim como para uma taxa fixa de R$ 13,00 que estamos supondo que será 
paga todos os meses. Se os fatores e a taxa fixa forem alterados, logicamente a fórmula 
também vai sofrer alterações. 
 
Exemplo 2: 
Suponha que a mesma dona de casa resolve analisar sua conta de água a fim de 
obter uma fórmula que relacione o gasto mensal em função do consumo. Entretanto, ao 
observar sua conta, ela percebe várias faixas de consumo, e desta forma resolve montar mais 
de uma tabela para analisar a possibilidade de elas serem funções do primeiro grau. Abaixo, 
são fornecidas essas tabelas em que foram feitas diversas suposições e a conta que serviu de 
referência para a montagem das mesmas. Será denotado o consumo de água, em m3, por x 
e o gasto mensal, em reais, por G. 
 
 
Obs. Para a montagem de cada tabela foram supostos diferentes consumos e 
calculado o valor da conta correspondente. 
Faixa de Consumo: de 0 a 10m3 
Observação: Para reconhecer se uma função y = f(x), dada através de 
valores em tabela, é do primeiro grau, procure identificar uma divisão 
constante entre as variações na variável dependente (saída) pelas variações na 
variável independente (entrada), ou seja, se a taxa de variação é constante. 
 
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Faixa de Consumo: de 11 a 15 m3 
 
Faixa de Consumo: de 16 a 20 m3 
 
Faixa de Consumo: de 21 a 25 m3 
 
Faixa de Consumo: de 26 a 30 m3 
 
 
Caso Especial 
Se variação constante em 
uma variável gera variação 
constante na outra variável, 
então a função é do 1º grau. 
Portanto, em todas essas 
tabelas não há a necessidade 
de dividir as variações. 
 
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Faixa de Consumo: de 31 a 50 m3 
 
Observando cada uma das seis tabelas, conclui-se que, em cada caso, a taxa de 
variação do gasto mensal em relação ao consumo é constante (divisão entre as variações são 
iguais), isto é, cada uma das tabelas representa uma função do primeiro grau. Situações como 
esta, em que um mesmo problema é descrito por diversas tabelas e cada tabela possui uma 
taxa de variação diferente, são denominadas de funções de várias sentenças. 
Suponha agora, que a dona de casa deseja determinar a fórmula que relaciona o 
gasto mensal em função do consumo apenas para a última faixa de consumo. 
Neste caso, o objetivo é determinar uma fórmula que descreva G em função de x, 
isto é, G = f(x), para a última tabela. Assim, a forma geral fica: G = m.x +b. 
 
A taxa de variação é: 
𝑚 =
∆ 𝑑𝑎 𝑠𝑎í𝑑𝑎
∆ 𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
= 
∆𝐺
∆𝑋
 
𝑚 =
55,45 − 46,33
35 − 31
= 
9,12
4
= 2,28 
Substituindo na forma geral, tem-se G = 2,28c + b 
Para encontrar o valor de b, atribui-se, a partir da tabela, um ponto arbitrário, por 
ex. (47; 82,81), assim: 
82,81 = 2,28 ∗ 47 + 𝑏 → 82,81 = 107,16 + 𝑏 → 𝑏 = −24,35 
Logo, uma fórmula que dê o Gasto mensal G, em reais, em função do consumo de 
água x, em m3, para a última faixa de consumo (de 31 a 50) é dada por: 
G = 2,28c - 24,35 para 31 ≤ x ≤ 50 
e seu gráfico é: 
A entrada é sempre a variável que se encontra dentro do parêntese, no caso 
x, e a saída se encontra fora do parêntese, no caso G. 
G= f(x) 
 
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O domínio, para esta faixa, são todos os possíveis consumos de água: (31≤ x ≤ 
50) e a imagem são os possíveis gastos mensais por esses consumos (46,33 ≤ G ≤ 89,65). 
É claro que a fórmula determinada para a última faixa de consumo, como para as 
demais faixas, poderia ser diretamente descrita através de uma análise da conta de água. 
Dessa forma, a fórmula para cada uma das sentenças é dada a seguir: 
 
Ou ainda, 
 
Vale lembrar, que esta fórmula é válida para os preços por m3 e suas respectivas 
faixas de consumo citadas na conta, assim, se esses valores forem alterados, a fórmula 
também vai sofrer alterações. 
Observação 1: No final da unidade, são apresentadas outras situações- problemas 
em que o leitor terá a oportunidade de estudar funções de várias sentenças, ou seja, serão 
determinadas fórmulas, sendo que cada uma delas é válida para um determinado intervalo. 
 
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Observação 2: Nem sempre é possível determinar fórmulas a partir de uma 
simples análise do problema, por isso é fundamental a compreensão de quais problemas 
descrevem uma função do primeiro grau (taxa de variação constante), bem como o 
conhecimento da forma geral para se deduzir, caso necessário, a fórmula que descreve a 
função. 
 
3.2 Inclinação da Reta e Representação Gráfica 
 
Os gráficos a seguir ilustram essas possibilidades: 
 
 
Exemplo 3: 
Construa os gráficos das seguintes funções: 
a) y = 2x - 6 
b) y = -3x + 5 
Solução: 
a) Como o sinal de m é positivo (m = 2) a função é crescente. O termo 
independente é negativo (b = -6), assim a interseção com o eixo vertical se dá abaixo do eixo 
das abscissas. 
A interseção com o eixo horizontal pode ser determinada igualando a função a zero, 
logo: y = 2x - 6 = 0 → 2 x = 6 → x = 3 
Com todos esses dados, pode-se construir o gráfico abaixo: 
Dada uma função do primeiro grau y=m.x+b, 
• sem>0, o gráfico será inclinado para a direita, ou seja, será uma função 
crescente; 
• sem<0, o gráfico será inclinado para a esquerda, ou seja, será uma função 
decrescente; 
• sem=0, o gráfico não terá inclinação, ou seja, será uma função constante. 
 
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b) Como o sinal de m é negativo (m = -3) a função é decrescente. 
O termo independente é positivo (b = 5), assim a interseção com o eixo vertical se 
dá acima do eixo das abscissas. 
A interseção com o eixo horizontal pode ser determinada igualando a função a zero, 
logo: 
𝑦 = −3𝑥 + 5 = 0 → −3𝑥 = −5(−1) → 3𝑥 = 5 → 𝑥 =
5
3
 
Com todos esses dados, pode-se construir o gráfico abaixo: 
 
Exercícios propostos: 
1. Um vendedor de artigos esportivos resolveu relacionar na tabela abaixo, o total 
de vendas x realizadas durante os cinco últimos meses, e seu respectivo salário y: 
x 2.000 2.500 2.800 3.000 2.600 
y 220,00 230,00 236,00 240,00 232,00 
 
a) A tabela representa uma função do 1º Grau? Justifique. 
b) Encontre uma fórmula que expresse y em função de x. 
c) Faça o gráfico da função. 
d) Sabendo que no próximo mês esse vendedor precisa receber um salário superior 
a R$ 252,00 para cobrir todas as suas despesas, qual deverá ser o mínimo total de vendas 
que ele deverá realizar para alcançar seus objetivos? 
 
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e) Num mês em que esse vendedor realizar um total de R$ 2.750,00 em vendas, 
qual será o seu salário? 
f) Observe a fórmula e interprete cada algarismo que aparece nos dois termos da 
função. Relacione esses valores com os dados do problema. 
2. Associe as seguintes fórmulas aos respectivos gráficos: 
a) y=-4x+10 
b) y=1 
c) y=-0,3x - 1,2 
d) y=2x+8 
e) y= 3,2x 
f) y= -2,5 
g) y= 1,5x - 9 
h) y= -5x 
 
 
 
3.3 Determinação de Fórmulas a partir de Gráficos 
Da mesma forma que a partir de tabelas é possível determinar fórmulas, também 
é possível a partir de gráficos encontrar modelos matemáticos que se ajustam a eles. A 
vantagem desse novo procedimento, é que é extremamente fácil observar quando se trata 
de uma função do primeiro grau, basta observar se o gráfico é uma reta crescente ou 
 
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decrescente. Em caso afirmativo, efetua-se o mesmo procedimento das tabelas, ou seja, 
determina a fórmula geral encontrando-se o valor das constantes m e b. 
 Exemplo 4: 
O gráfico abaixo representa a posição s, em km, de um carro em movimento numa 
estrada em função do tempo t, em horas, de viagem. 
 
 
a) Determine uma fórmula que expresse a posição s, em km, em função do tempo 
t, em horas. 
b) Observe a fórmula e interprete cada algarismo que aparece nos dois termos da 
função. Relacione esses valores com os dados do problema. 
c) Considerando que não foi feita nenhuma parada, em que quilômetro se encontra 
o carro após 8 horas de viagem? 
d) O dono deste veículo para chegar ao destino desejado precisa rodar 760 
quilômetros. Neste caso, quantas horas de viagem, no mínimo, serão necessárias? 
 Solução: 
a) Como o gráfico é uma reta com inclinação positiva, essa função é crescente e 
do primeiro grau. Deseja-se determinar a posição s em função do tempo t, isto é, s = f (t). 
Logo, a forma geral é: 
s = m . t + b 
Determinando o valor de m: 
𝑚 =
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
= 
∆𝑠
∆𝑡
=
290 − 50
3 − 0
=
240
3
= 80 
Substituindo na forma geral, fica: 
s = 80 t + b 
Para encontrar o valor b, atribui-se, a partir do gráfico, um ponto arbitrário, por ex. 
(3, 290), assim: 
290 = 80 . 3 + b → 290 = 240 + b →290 - 240 = b → b = 50 
 
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Logo, uma fórmula que expressa s em função de t é: 
s = 80 t + 50 
 
b) Observando a fórmula s = 80 t + 50 e lembrando que s representa aposição 
do carro, em km, e t o tempo de viagem, em horas, conclui-se que o carro parte do quilômetro 
50 (termo independente-verificar via gráfico) e que a velocidade média deste veículo é de 80 
km/h. 
c) Para determinar em que quilômetro se encontra o carro após 8 horas de viagem 
basta substituir na fórmula, o valor de t por 8. 
t = 8→ s = 80 • 8 + 50 = 640 + 50 → s = 690 Km 
Logo, se o carro não fizer nenhuma parada, após 8 horas de viagem ele deve se 
encontrar no km 690. 
 
d) Se o dono deste veículo precisa rodar 760 quilômetros, então o objetivo é chegar 
no km 810 (760+50). Neste caso, para se determinar quantas horas de viagem, no mínimo, 
serão necessárias, basta igualar a função s a 810. Assim, 
s = 80t + 50 = 810 → 80 t = 760 → t = 9,5 horas 
Logo, o dono deste veículo deve viajar, no mínimo, 9 horas e meia para chegar ao 
destino desejado. 
Observação 1: Como o ponto de interseção com o eixo vertical é 50, poderia se 
deduzir diretamente que o valor de b é 50. 
Observação 2: Este último item poderia ser resolvido por meio de uma regra de 
três simples, afinal o veículo percorre 80 quilômetros a cada 1 hora, quantas horas serão 
necessárias para 760 quilômetros? (Grandezas diretamente proporcionais) 
Observação 3: No último item é perguntado pelo número de horas mínimas de 
viagem, isso porque o condutor poderia fazer algumas paradas no caminho, mas se não 
fizesse nenhuma parada, a viagem demoraria 9 horas e meia. 
 
Exercícios propostos: 
3. Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg, recolhe-se a um spa. Após uma 
consulta, é feita uma previsão de que se ela permanecer no spa durante 6 meses (26 
semanas), seu novo peso deverá ser de 91 kg. O gráfico abaixo ilustra essa situação, supondo 
que ela realmente perca os 65 kg previstos e que o peso que ela perde, por semana, é 
constante. 
 
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Nessas condições: 
 a) Encontre uma fórmula que expresse o peso P, em quilogramas, em função do 
tempo t, em semanas. 
b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá 
permanecer no spa para sair de lá com menos de 120 kg de peso. 
c) Quantos quilos por semana essapessoa está perdendo nesse spa? 
 
3.4 Aplicações 
Neste item da seção serão apresentadas inúmeras aplicações econômicas que 
envolvem funções do primeiro grau. 
 
3.4.1 Funções Custo, Receita (Faturamento) e Lucro 
Ponto de Nivelamento (“Break Even”) Considere uma firma que fabrica e vende 
um determinado bem (produto). 
Se q representa a quantidade produzida e vendida, então: 
• O Custo Fixo (CF) é a soma de todos os custos que não dependem do nível de 
produção, tais como aluguel, seguros, energia elétrica, honorários contábeis, etc.; 
• O Custo Variável (CV(q)) é a soma de todos os custos que dependem do 
número q de unidades produzidas, tais como mão-de-obra, material, etc.; 
• O Custo Total (C(q)) é a soma do custo fixo com o custo variável; 
• A Receita Total (R(q)) descreve o total bruto recebido pela venda de uma 
quantidade variável de um produto. Se o preço for fixo, qualquer que seja a quantidade 
vendida q, a receita pode ser determinada multiplicando-se o preço unitário fixo p0 pela 
quantidade q. 
R=p0.q 
 
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• O Lucro Total L(q) descreve o valor liquido levantado após a apuração dos 
gastos e da receita da firma, sendo portanto, a diferença entre a Receita total e o Custo total: 
L= R – C 
O Ponto de Nivelamento (“break-even ou equilíbrio”) informa qual deve ser a 
quantidade produzida e vendida para que a receita e os custos sejam iguais (nivelados), ou 
seja, ele informa a quantidade em que não é registrado nem lucro e nem prejuízo. 
Geometricamente, ele é o ponto de interseção entre o gráfico da Receita total e do Custo 
total, indicando também a quantidade produzida e vendida tal que o Lucro total é zero, sendo 
de grande importância, pois é a partir dessa quantidade que a firma começará a apresentar 
lucros, antes disso a firma apresentará prejuízos. 
Exemplo 5: 
Um comerciante gasta R$ 12,00 para fabricar cada unidade do que produz e tem 
ainda um custo fixo mensal de R$ 400,00. Sabe-se ainda que ele vende cada unidade do que 
produz por R$ 20,00. Com base nessas informações, responda aos itens seguintes: 
a) Determine fórmulas que expressem as funções Custo C, Receita R e Lucro L em 
função da quantidade produzida e vendida q. 
b) Faça os gráficos da Receita e do Custo em um mesmo sistema de eixos. 
c) Determine o ponto de equilíbrio (ponto de Nivelamento) e indique o mesmo no 
gráfico anterior. 
d) Faça uma análise do gráfico, descrevendo os intervalos de prejuízo e de lucro. 
e) Faça o gráfico da função Lucro e confirme a análise feita anteriormente. 
Solução: 
a) Como este comerciante apresenta um custo de R$ 12,00, para cada unidade 
produzida, e um custo fixo de R$ 400,00 (valor que independe da quantidade produzida), 
tem-se: 
Custo Total: C = 12q + 400 
Por outro lado, cada unidade é vendida por R$ 20,00 e como não se tem uma 
receita fixa, tem-se: 
Receita Total: R = 20 q 
A partir das funções Receita e Custo, é possível determinar a função Lucro 
efetuando a diferença entre as duas, isto é, L = R - C. 
Lucro Total: L = 20 q - (12q + 400) → L = 20q - 12q – 400 → L = 8q - 400 
 
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b) 
c) Determinação do Ponto de Nivelamento: 
Igualam-se as funções receita e custo, ou iguala-se a função lucro a zero 
R = C ou L = 0 
Ou seja, 
20 q = 12q + 400 → 8q = 400 →q = 50 
 para determinar o valor correspondente, basta substituir esse valor de q na função 
custo ou na função receita, pois nesse ponto ambas as funções são iguais. 
q = 50 → C = 12 •50 + 400 = 600 + 400 = 1000 
q = 50 → R = 20 • 50 = 1000 
P.N. (50,1000) 
Obs. A representação do Ponto de Nivelamento está assinalada, no gráfico, do item 
b). 
d) Analisando o gráfico, observa-se que antes do Ponto de Nivelamento(q < 50) o 
Custo é maior do que a Receita, ou seja, há prejuízo. E, após o Ponto de Nivelamento (q > 
50) a Receita passa a ser maior do que o Custo, ou seja, há lucro. 
 
e) 
 
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 Observando o gráfico, confirma-se a conclusão feita no item anterior, uma vez que 
para q < 50 a função Lucro é negativa, ou seja, há prejuízo, e para q > 50 a função Lucro 
é positiva, ou seja, há lucro. 
 
Exercícios propostos: 
O gráfico cartesiano abaixo é a imagem geométrica da relação CUSTO x VOLUME 
x LUCRO das operações de uma empresa. Interprete-o a fim de responder às questões 4 e 
5. 
 
(PROVÃO ADM) 4. O Ponto de Equilíbrio (Ponto de Nivelamento) entre a receita e 
os custos, em reais e em quantidades, está representado pelo(s) segmentos(s): 
a) DC do eixo das ordenadas; e FG do eixo das abscissas. 
b) ED do eixo das ordenadas; e EF do eixo das abscissas. 
c) CB e BA do eixo das ordenadas; e EG do eixo das abscissas. 
d) ED e DC do eixo das ordenadas; e EG do eixo das abscissas. 
e) ED e DC do eixo das ordenadas; e EF do eixo das abscissas. 
(PROVÃO ADM) 5. O(s) segmento(s) do eixo das ordenadas que representa(m), no 
gráfico, o lucro para a quantidade vendida G, expresso em reais, é: 
a) BA. 
b) CB. 
c) DC. 
d) ED. 
e) ED, DC, CB, BA. 
6. O custo unitário de produção de certo bem é de R$ 27,00 e o custo fixo associado 
à produção é de R$ 3.600,00 (para quantidades variáveis na faixa de zero a 1.000 unidades). 
Se o preço de venda na mesma faixa é de R$ 42,00 por unidade. Determine: 
 
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a) Fórmulas que expressem as funções Custo total C e Receita total R em função 
da quantidade produzida e vendida q; 
b) O ponto de equilíbrio (Ponto de Nivelamento); 
c) O gráfico de ambas as funções num mesmo sistema de eixos (sobrepostos); 
d) A função Lucro total L e seu respectivo gráfico; 
e) Analisando ambos os gráficos, verifique quando há prejuízo e quando há lucro. 
7. Uma indústria de autopeças tem um custo fixo de R$ 15.000,00 por mês. Se 
cada peça produzida tem um custo de R$ 6,00 e o preço de venda é de R$ 10,00 por peça, 
quantas peças deve a indústria produzir para ter um lucro de R$ 30.000,00 por mês? a) 3.750 
b) 4.500 
c) 7.500 
d) 11.250 
e) 12.500 
8. Suponha que você seja um consultor e o seu cliente deseja abrir um novo 
negócio, uma prestadora de serviços. Este cliente informa que o valor previsto para o total 
pago em salários é de R$ 600,00 mais alguns encargos que resultariam em 60% do valor dos 
salários. Além disso, o aluguel ficaria em R$ 550,00, a energia elétrica em R$ 80,00, as tarifas 
telefônicas em R$ 240,00 e os demais gastos totalizariam R$ 1.200,00. Os custos variáveis 
deste negócio seriam de ISS, PIS e Propaganda que resultariam em 15% do valor da receita. 
Este cliente pretende cobrar um valor médio de R$ 60,00 para cada serviço executado. 
Considerando todas estas informações, ao final de sua consultoria, você informaria que esta 
prestadora registraria lucros a partir de quantos serviços? 
a) 53 
b) 58 
c) 59 
d) 60 
e) 62 
 
3.4.2 Depreciação pelo método da linha reta (Depreciação Linear) 
No âmbito contábil, é extremamente importante o cálculo da depreciação, pois é a 
partir dela que uma empresa tem noções sobre a desvalorização de seus bens. Vejamos agora 
um exemplo prático de uma aplicação relacionada à depreciação. 
Exemplo 6: 
Certa máquina foi comprada pelo preço de R$ 80.000,00 (valor nominal ou valor 
do bem) e vendida depois de dez anos (vida útil) por R$ 30.000,00 (valor residual). 
a) Qual foi sua depreciação total? E qual foi a sua depreciação anual? 
 
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b) Determine uma fórmula que expresse a depreciação D como uma função do 
tempo t, em anos. 
c) Qual o valor da máquina após um ano? E após dois anos? E após três anos? E 
após dez anos? 
d) Qual é a expressão que dá o valor V da máquina em função do tempo t? 
e) Faça os gráficos das funções depreciação e valor da máquina. 
Solução: 
a) No início, a máquina valia R$ 80.000,00 passando a valer R$ 30.000,00 após 10 
anos. Logo a depreciação total da máquina foi de R$50.000,00 isto é, 
DT = 80.000 - 30.000 = 50.000 
Para depreciar R$ 50.000,00 foi necessário passar dez anos (vida útil). Assim, a 
depreciação anual foi de R$ 5.000,00, ou seja, 
𝐷𝐴 = 
80.000 − 30.000
10
=
50.000
10
= 5.000 
b) Como a máquina deprecia R$ 5.000,00 a cada ano, a função depreciação é dada 
por: 
D = 5.000 t 
c) Após um ano, a máquina depreciou em R$ 5.000,00. Como o valor inicial era de 
R$ 80.000,00, a máquina passou a valer R$ 75.000,00. Seguindo este raciocínio, temos a 
seguinte tabela: 
t(anos) 1 2 3 10 
V(R$) 75.000 70.000 65.000 30.000 
 
d) Observando o item anterior, pode-se concluir que o valor da máquina é de R$ 
80.000,00, diminuindo R$ 5.000,00 a cada ano, ou seja, 
V = 80.000 - 5.000 t 
e) Os gráficos que representam a depreciação D e o valor V são dados abaixo. 
Note que a vida útil da máquina é de dez anos, logo o domínio de ambas as funções é de 0 
a 10. 
 
 
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Obs. A partir deste exemplo é possível deduzir a seguinte fórmula válida para o 
cálculo da Depreciação Anual: 
𝐷𝐴𝑇𝑈𝐴𝐿 =
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝐵𝑒𝑚 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙
𝑉𝑖𝑑𝑎 Ú𝑡𝑖𝑙
 
 
Exercícios propostos: 
 
 
(PROVÃO - ADM) 9. Uma empresa utiliza a metodologia ilustrada no diagrama 
acima para determinar a quantidade a ser periodicamente adquirida (X) de um componente 
que utiliza em sua linha de produção. Sendo 1.200 unidades por mês o consumo desse 
componente, o Ponto de Reposição, em unidades, é: 
a) 2.000 b) 2.200 c) 2.400 
d) 2.600 e) 2.800 
10. A depreciação de um carro é a perda de seu valor original (valor do carro com 
zero quilômetro) em função do tempo. Uma revendedora usa o método da linha reta para 
calcular o valor V dos carros com até 6 anos. Esta agência anunciou um carro com 5 anos de 
uso por R$ 12.000,00. Esse modelo, quando novo (t = 0), custa R$ 30.000,00. Qual das 
expressões abaixo relaciona corretamente a fórmula que dá o Valor do carro V, em função do 
tempo t, em anos. 
a) V = 30.000 - 3.600t d) V = 30.000 - 2.000t 
b) V = 30.000 - 3.000t e)V = 30.000 - 3.200t 
c) V = 30.000 - 2.400t 
11. Considerando o exercício anterior, qual dos gráficos abaixo melhor representa 
a situação-problema que relaciona o Valor em função do tempo? 
 
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3.4.3 Análise e Comparação de Funções 
Essa é uma das aplicações mais interessantes de funções do primeiro grau, pois 
são inúmeras as situações do dia-a-dia em que você possui mais de uma opção de escolha, 
e é forçado, através de uma análise, a tomar uma decisão. Em muitos desses casos, é possível 
determinar fórmulas que modelem o problema. Com a fórmula e um gráfico você acaba tendo 
mais parâmetros para auxiliar nessa decisão. O exemplo abaixo ilustra bem essa aplicação. 
Exemplo 7 
Um administrador foi convidado a trabalhar na empresa A que oferece um salário 
fixo mensal de R$ 720,00 aos funcionários de sua categoria, e mais R$ 8,00 a cada hora extra 
realizada. No mesmo período lhe é oferecido uma outra proposta de emprego, só que desta 
vez é da empresa B, que oferece aos funcionários de sua categoria um salário fixo mensal de 
R$ 660,00 e mais R$ 9,50 a cada hora extra trabalhada. Supondo que em ambas as empresas, 
esse administrador possui as mesmas condições de realizar horas extras, responda os itens 
abaixo: 
 a) Determine as duas fórmulas que descrevem os salários YA e YB das referidas 
empresas em função das x horas extras que o administrador pode fazer. 
 
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b) Encontre a quantidade x de horas extras que permitem salários iguais nas duas 
empresas. Em seguida, indique o valor deste salário. 
c) Faça o gráfico dessas funções em um mesmo sistema de eixos. 
d) Análise o gráfico e conclua em que situação é melhor o administrador trabalhar 
na empresa A e em que situação é melhor ele trabalhar na empresa B. 
Solução: 
a) Seja x o número de horas extras a serem realizadas. Assim, as fórmulas que 
fornecem os salários oferecidos pelas empresas A e B, para o administrador, são: 
yA = 720 + 8x e yB = 660 + 9,50x 
 
b) Para descobrir o valor de x que permite salários iguais nas duas empresas, basta 
igualar yA e yB. Assim, 
𝑦𝐴 = 𝑦𝐵 → 720 + 8𝑥 = 660 + 9,5𝑥 → 720 − 660 = 9,5𝑥 − 8𝑥 → 60 = 1,5𝑥 →
60
1,5
= 𝑥 → 𝑥 = 40 
ou seja, os salários serão iguais se forem realizadas 40 horas extras (em ambas as 
empresas). 
Para determinar o salário correspondente, basta substituir o valor de x por 40 em 
uma das duas funções, já que ambas são iguais neste ponto. A título de verificação, será 
substituído em ambas as fórmulas. Logo, 
x = 40→ yA = 720 + 8 . 40 = 720 + 320 = 1.040 
x = 40→ yB = 660 + 9,5 . 40 = 660 + 380 = 1.040 
Note que realmente os salários serão iguais, R$ 1.040,00, caso o número de horas 
extras seja igual a 40. 
c) 
 
d) Se este administrador só possui condições de fazer menos de 40 horas extras, 
por mês, então é melhor ele procurar a empresa A (note que o gráfico de yA está acima do 
gráfico de yB nessa região). No entanto, se ele possui condições de fazer mais de 40 horas 
 
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extras mensais, então é melhor ele trabalhar na empresa B (note que o gráfico de yB está 
acima do gráfico de yA nessa região). 
 
3.4.4 Restrição Orçamentária 
Quando se conhece o orçamento (verba disponível) de um consumidor e os preços 
dos produtos que se pretende comprar, é possível estabelecer uma relação entre as 
quantidades desses produtos que podem ser adquiridos por ele com essa verba. 
Suponha-se que o consumidor tem uma verba V para adquirir os produtos X e Y 
de preços PX e PY, respectivamente. As quantidades x e y que podem ser adquiridas a fim 
de esgotar a verba V estão relacionadas de acordo com a expressão: 
PX. x + PY . y = V 
em que y é a função implícita de x: 
O gráfico que representa essa função possui o nome de Curva do Orçamento, 
Restrição Orçamentária do Consumidor ou Curva da Possibilidade de Consumo. 
 
Observa-se na Curva do Orçamento, que os pontos que estão sobre a reta 
representam combinações das quantidades x e y que podem ser adquiridas esgotando-se a 
verba V, e os pontos do interior do triângulo formado entre as interseções da reta com os 
eixos, e a origem, representam combinações de quantidades que podem ser adquiridas sem 
esgotar a verba V. Os pontos de interseção com os eixos representam as quantidades 
máximas que podem ser adquiridas dos produtos X e Y. 
A Curva do Orçamento é obviamente decrescente, pois quando se compram 
quantidades crescentes do produto X, os saldos restantes da verba V serão cada vez menores 
para a aquisição de unidades do produto Y. 
 
 
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Exemplo 8: 
Uma dona de casa, a fim de preparar um almoço especial para o fim de semana, 
resolve fazer uma lasanha. Acontece que ela não tinha mussarela e presunto. Assim, ela 
resolve ir até a padaria mais próxima, com R$ 5,40 (dinheiro disponível no momento) para 
comprar presunto, que custa R$ 12,00, o quilo, e mussarela que custa R$ 9,00, o quilo. 
a) Determine uma fórmula que descreva a restrição orçamentária. Faça o esboço 
do gráfico. 
b) Qual é a quantidade máxima de presunto e de mussarela que podem ser 
compradas? 
c) Suponha que a padaria anuncia uma queda de 20% no preço do presunto e de 
10% no preço da mussarela. Reescreva a restrição orçamentária. Faça o esboço do gráfico. 
d) É possível com esse orçamento, essa dona de casa comprar 300 gramas de 
presunto e 400 gramas de mussarela? Justifique. (Suponha os preços promocionais.) 
Solução: 
a) Seja x a quantidade, em quilogramas, de presunto e y a quantidade, em 
quilogramas, de mussarela. Então, a quantia gasta com presunto é 12 . x (pois o quilo de 
presunto custa R$ 12,00), e a quantia gasta com mussarela é 9 . y (pois o quilo da mussarela 
custa R$ 9,00). Supondo que todo o dinheiro foi gasto, 
 
Essafórmula é a restrição orçamentária. Seu gráfico é mostrado acima. 
Calcularemos agora os pontos em que o gráfico intercepta os eixos. 
Se x = 0, então 
12 ∗ 0 + 9𝑦 = 5,4 → 9𝑦 = 5,4 → 𝑦 =
5,4
9
→ 𝑦 = 0,6 
Se y = 0, então 
12𝑥 + 9 ∗ 0 = 5,4 → 12𝑥 = 5,4 → 𝑥 =
5,4
12
→ 𝑥 = 0,45 
 
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A restrição orçamentária representa uma função definida implicitamente, pois 
nenhuma das quantidades é dada de maneira explícita em função da outra. Poderíamos 
escrever uma fórmula explícita para y em função de x. Neste caso, a fórmula seria: 
𝑦 =
5,4−12𝑥
9
 (basta isolar uma das variáveis) Obs: Lembre-se que este 
procedimento não é obrigatório. 
b) A quantidade máxima de presunto que pode ser comprada com o orçamento, 
é de 0,45 kg (450 gramas), já a de mussarela é de 0,6 kg (600 gramas). Em ambos os casos, 
a quantidade máxima é determinada supondo que não se compre nada do outro produto. 
(Veja as interseções com os eixos) 
c) Supondo que a padaria anuncie uma queda de 20% no preço do presunto, 
então o novo preço passa a ser de R$ 9,60, o quilo (12 - 20% . 12 = 9,60). Se houver uma 
queda de 10% no preço da mussarela, então o novo preço passa a ser de R$ 8,10, o quilo (9 
- 10% . 9 = 8,10). Logo, a nova restrição orçamentária passa a ser: 
9,60x + 8,10 y = 5,40 
Em razão das quedas nos preços, a quantidade máxima de cada produto aumenta. 
Para determinar esses valores, basta igualar cada uma das variáveis na função que dá a 
restrição orçamentária a zero, ou seja: 
Se x = 0, então 
9,6 ∗ 0 + 8,1𝑦 = 5,4 → 8,1𝑦 = 5,4 → 𝑦 =
5,4
8,1
→ 𝑦 = 0,66 
(quantidade máxima de mussarela) 
Se y = 0, então 
9,6𝑥 + 8,1 ∗ 0 = 5,4 → 9,6𝑥 = 5,4 → 𝑥 =
5,4
9,6
→ 𝑥 = 0,5625 
(quantidade máxima de presunto) 
E o gráfico fica, 
 
d) Para verificar se é possível com esse orçamento, essa dona de casa comprar 300 
gramas de presunto (0,3 kg) e 400 gramas de mussarela (0,4 kg) basta substituir esses 
 
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valores na fórmula que dá a restrição orçamentária e verificar se o valor é inferior ou igual a 
R$ 5,40. Assim, 
9,6 ∗ 0,3 + 8,1 ∗ 0,4 = 2,88 + 3,24 = 6,12 > 5,40 
logo não seria possível, pois faltariam R$ 0,72 no orçamento. 
 
Exercícios propostos: 
12. Marcos é um vendedor que recebe mensalmente o salário composto de duas 
partes: uma parte fixa, no valor de R$ 900,00, e uma variável, que corresponde a uma 
comissão de 8% sobre o total de vendas que ele fizer durante o mês. Samuel trabalha na 
mesma empresa de Marcos, entretanto o salário fixo de Samuel é de R$ 600,00, mas em 
compensação recebe uma comissão de 9% sobre o total de vendas que ele realizar durante 
o mês. 
a) Expressar as leis que representam os salários mensais de Marcos, YM, e de 
Samuel,YS, em função do total de vendas x. 
b) Se Marcos e Samuel fizerem o mesmo total de vendas num mês, eles podem ter 
salários iguais? Quando? 
c) Represente graficamente ambas as funções em um mesmo sistema de eixos. 
d) Conclua quando Samuel vai ter um salário melhor do que Marcos. 
 (Suponha que ambos, através de um acordo, realizam sempre o mesmo total de 
vendas.) 
13. Um estudante vai até a lanchonete da universidade com R$ 4,00 para comprar 
salgados e refrigerantes que custam, respectivamente, R$ 0,80 e R$ 1,00 a unidade. 
a) Escreva a restrição orçamentária deste estudante. Faça o gráfico. 
b) Suponha que o preço do salgado subiu em 25% e que o refrigerante permanece 
com o mesmo preço. Reescreva a restrição orçamentária. Faça um novo gráfico. 
c) Suponha agora que o estudante vai até a lanchonete com 20% a menos de 
dinheiro, como seria sua nova restrição orçamentária? Faça um novo gráfico. (Considere os 
preços iniciais). 
 
3.4.5 Função Demanda e Função Oferta: Ponto de Equilíbrio 
É comum os economistas estarem interessados em saber como a quantidade q de 
um artigo, que é fabricado e vendido, depende do seu preço p. Eles consideram a quantidade 
como função do preço. Entretanto, por razões históricas, os economistas colocam o preço 
(variável independente) no eixo vertical e a quantidade (variável dependente) no eixo 
horizontal. Como fabricantes e consumidores reagem de modo diferente a mudanças de 
preços, existem duas funções relacionando p e q. A curva de oferta representa o modo pelo 
 
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qual a quantidade de determinado bem que os fabricantes pretendem fornecer depende do 
preço pelo qual o bem pode ser vendido. A curva de demanda representa a maneira pela 
qual a quantidade de um bem demandado pelos consumidores depende de seu preço. 
A função demanda, como relação entre quantidade demandada e preço de uma 
mercadoria, descreve, então, o comportamento do consumidor que compra mais quando 
o preço cai e compra menos quando o preço sobe. Essa variação inversa entre preço e 
quantidade demandada que se observa na função demanda é chamada lei da demanda e 
caracteriza uma função decrescente. As exceções à lei de demanda são irrelevantes. 
A demanda pode também ser descrita por uma tabela chamada escala da 
demanda ou por um gráfico cartesiano chamado curva da demanda. 
Abaixo é apresentado um gráfico, uma tabela e algumas fórmulas que ilustram 
alguns exemplos da função demanda. 
 
 
Observação: Originariamente, os economistas consideravam o preço como a 
variável dependente e o representavam no eixo vertical. Infelizmente, quando mudaram seu 
ponto de vista, os eixos permaneceram como antes. 
A demanda de uma mercadoria também pode ser expressa como função de outra 
determinante que não seja o preço da própria mercadoria. Pode-se estar interessado em 
estudar, por exemplo, a variação da quantidade demandada de uma mercadoria em função 
do preço de outra mercadoria que lhe seja relacionada, podendo estes produtos ser 
substitutos ou complementares. A demanda pode também ser estudada como função da 
renda do consumidor. 
A função oferta é uma função crescente, pois quando o preço sobe, existem 
mais produtores interessados em colocar no mercado quantidades cada vez maiores de seus 
produtos; quando o preço cai, essa oferta diminui. 
A função oferta pode ser representada por uma tabela ou escala da oferta e 
também por um gráfico ou curva da oferta. 
 
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Preço de equilíbrio é o preço correspondente a iguais quantidades de demanda 
e de oferta. A esse preço, os compradores estão dispostos a comprar a mesma quantidade 
que os vendedores estão dispostos a vender. O preço de equilíbrio pode ser determinado 
matematicamente igualando as funções demanda e oferta, sendo visualizado no gráfico como 
o ponto interseção entre a curva da oferta e a curva da demanda. A esse preço PE, as 
quantidades demandadas e ofertadas são iguais a QEe são chamadas quantidade de 
equilíbrio. 
Exemplo 9: 
Um supermercado vende um determinado produto por R$ 40,00, e a este preço, 
vende 2.000 unidades. Após pesquisas realizadas, se concluiu que a cada aumento de R$ 
2,00 no preço unitário, as vendas deste produto reduzirão uma média de 100 unidades. Com 
base nessas informações, faça os itens abaixo: 
a) Monte uma tabela associando o preço unitário e a respectiva quantidade 
vendida. 
b) O problema descreve uma função demanda (procura) ou uma função oferta? 
Justifique. 
c) A tabela representa uma função do 1º Grau? Justifique. 
d) Determine uma fórmula que expresse a quantidade q em função do preço 
unitário p. 
e) Faça o gráfico assinalando os pontos de interseção com os eixos. Dê uma 
interpretação econômica para estes valores. 
f) Determine o intervalo de variação do preço p e da quantidade q. Em outras 
palavras, determine o domínio e a imagem da função. 
g) Se o supermercado oferecer este produto ao preço unitário de R$ 60,00, quantas 
unidades devem ser vendidas? 
h) Se o supermercado desejar vender uma média de 3.500 unidades deste produto, 
a que preço unitário deve servendido? 
i) A partir de que preço a demanda será menor que 1.000 unidades? 
 
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Solução: 
a) 
 
b) Demanda, pois à medida que o preço sobe a quantidade diminui. Isso retrata 
o comportamento do consumidor, pois quando isto acontece o consumidor tende a comprar 
menos. 
 c) A tabela representa uma função do 1º grau, pois variações constantes de 
R$ 2,00 na variável preço geram variações constantes de menos 100 unidades na variável 
quantidade. 
d) Deseja-se determinar uma fórmula que expresse q em função de p, isto é, 
q=f(p). Assim, a forma geral fica: 
𝒒 = 𝒎 . 𝒑 + 𝒃 
 A taxa de variação é: 
𝑚 =
∆ 𝑑𝑎 𝑠𝑎í𝑑𝑎
∆ 𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
=
∆𝑞
∆𝑝
=
−100
2
= −50 
 
Substituindo este valor na forma geral, fica: 
𝑞 = −50 . 𝑝 + 𝑏 
 
Para encontrar o valor de b, atribui-se, a partir da tabela, um ponto arbitrário, (por 
ex. 40; 2.000), assim: 
2.000 = −50 ∗ 40 + 𝑏 → 2.000 = −2.000 + 𝑏 → 𝑏 = 4.000 
Logo, a fórmula que expressa a quantidade em função do preço é: 
𝑞 = −50 𝑝 + 4.000 
e) Para fazer o gráfico da função demanda (função decrescente), iniciamos 
determinando os pontos de interseção com os eixos, interpretando em seguida estes 
resultados. 
 Ponto de interseção com o eixo p: basta igualar a variável q a zero. Assim, 
𝑞 = 0 → −50𝑝 + 4.000 = 0 → −50𝑝 = −4.000 (𝑥 − 1) → 50𝑝 = 4.000 → 𝑝 =
80(preço proibitivo). 
 
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Isto significa, que se o preço chegar a R$ 80,00, nenhum consumidor estará 
disposto a comprar este produto. 
 Ponto de interseção com o eixo q: iguala-se a variável p a zero. Assim, 
𝑝 = 0 → 𝑞 = − 50.0 + 4.000 → 𝑞 = 4.000 
Isto significa que, supondo o preço livre, no máximo 4.000 consumidores estão 
dispostos a levar este produto. No gráfico são apresentadas as interseções e alguns pontos 
da tabela. 
 
f) Intervalo de variação de 0 ≤ p ≤ 80 (Domínio) 
Intervalo de variação de q: 0 ≤ q ≤ 4.000 (Imagem) 
 
g) p= 60→ q= - 50 . 60 + 4.000 → q= 1.000 
A este preço deve ser vendida uma média de 1.000 unidades. 
 
h) q= 3.500→ 3.500 = - 50p + 4.000 → 50p= 500 → p= 10 
Para o supermercado vender uma média de 3.500 unidades deste produto, o preço 
unitário de venda deve ser de R$ 10,00. 
 
i) q < 1.000 → - 50p + 4.000 < 1.000 → - 50p < - 3.000 (- 1) → 50p > 3.000 → 
p > 60 
Para preços maiores que R$ 60,00 a demanda será menor que 1.000 unidades. 
 
Exemplo 10: 
Em janeiro de 2003, a loja de eletrodomésticos Silva, se reuniu com os fornecedores 
da geladeira de marca Moderna, para discutir preços e possíveis quantidades deste produto, 
com o intuito de repor o seu estoque. O dono da loja de eletrodomésticos informou, que 
compraria 20 geladeiras, caso o preço unitário fosse de R$ 1.100,00, mas que estaria disposto 
a aumentar sua compra em 8 geladeiras, a cada redução de R$ 50,00 no preço unitário. 
 
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Entretanto, os fornecedores afirmaram que poderiam oferecer 85 geladeiras ao preço unitário 
de R$ 1.100,00, mas, que com uma redução de R$ 50,00 no preço unitário, seria forçado a 
reduzir sua oferta em 5 geladeiras. Com base nessas informações, responda: 
a) O que pode ser feito para resolver este impasse? 
b) Determine o preço ideal para esta geladeira, de modo a satisfazer as condições 
impostas pelo dono da loja de eletrodomésticos e pelos fornecedores. 
c) Determine a quantidade de geladeiras que seriam negociadas ao preço 
estabelecido no item anterior. 
d) Apresente em um gráfico as funções que retratam os fornecedores e o dono da 
loja de eletrodomésticos, bem como, o preço ideal e a respectiva quantidade. 
Solução: 
a) Para resolver esse impasse, é necessária a determinação do ponto de equilíbrio, 
isso porque através deste ponto, determina-se o preço na qual o comprador (loja de 
eletrodomésticos) está disposto a comprar a mesma quantidade que o fornecedor está 
disposto a vender. Com esse intuito, será necessário determinar as funções demanda e oferta, 
e para isso, será apresentado através de duas tabelas as condições impostas pelo dono da 
loja de eletrodomésticos e pelos fornecedores, em seguida, serão determinados dois modelos 
econômicos que satisfazem ambas condições. 
 
Analisando as tabelas, verifica-se que ambas são funções do 1º grau, isso porque 
variações constantes no preço unitário geram variações constantes na quantidade. Verifica-
se também, que a relação preço-quantidade da Loja de Eletrodomésticos descreve uma 
função demanda (queda nos preços gera aumento na quantidade consumida), enquanto que 
a relação preço-quantidade dos fornecedores descreve uma função oferta (queda nos preços 
gera quedas na quantidade ofertada). 
As fórmulas que expressam as funções demanda e oferta são, respectivamente, 
𝑞𝑑 = − 0,16 𝑝 + 196 𝑒 𝑞𝑜 = 0,1 𝑝 − 25 
Abaixo são apresentados os cálculos para a determinação dessas fórmulas. 
 
Função Demanda (Loja de Eletrodomésticos) 
 
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Deseja-se determinar uma fórmula que expresse qd em função de p, isto é, qd= 
f(p). Assim, a forma geral fica: qd= m . p + b 
A taxa de variação é: 𝑚 =
∆ 𝑑𝑎 𝑠𝑎í𝑑𝑎
∆ 𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
=
∆𝑞𝑑
∆𝑝
=
8
−50
= −0,16 
 
Substituindo este valor na forma geral, fica: 
𝑞𝑑 = −0,16𝑝 + 𝑏 
Para encontrar o valor de b, atribui-se, a partir da tabela, um ponto arbitrário, por 
ex. o 1º ponto: p= 1100 e qd= 20, assim: 
20 = −0,16 ∗ 1100 + 𝑏 → 20 = −176 + 𝑏 → 20 + 176 = 𝑏 → 𝑏 = 196 
 
Logo, a fórmula que expressa a quantidade demandada em função do preço é: 
𝑞𝑑 = −0,16 𝑝 + 196 
 
Função Oferta (Fornecedores) 
Deseja-se determinar uma fórmula que expresse qo em função de p, isto é, qo = 
f(p). Assim, a forma geral fica: qo= m . p + b 
A taxa de variação é: 𝑚 =
∆ 𝑑𝑎 𝑠𝑎í𝑑𝑎
∆ 𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
=
∆𝑞𝑜
∆𝑝
=
−50
−50
= 0,1 
 
Substituindo este valor na forma geral, fica: 
𝑞𝑜 = 0,1𝑝 + 𝑏 
Para encontrar o valor de b, atribui-se, a partir da tabela, um ponto arbitrário, por 
ex. o 1º ponto: p= 1100 e qo = 85, assim: 
85 = 0,1 ∗ 1100 + 𝑏 → 85 = 110 + 𝑏 → 85 − 110 = 𝑏 → 𝑏 = −25 
 
Logo, a fórmula que expressa a quantidade ofertada em função do preço é: 
𝑞𝑜 = 0,1 𝑝 − 25 
 
b) Para determinar o preço de equilíbrio, basta igualar as funções oferta e 
demanda: 
𝒒𝒐 = 𝒒𝒅 
𝟎, 𝟏𝒑 − 𝟐𝟓 = −𝟎, 𝟏𝟔𝒑 + 𝟏𝟗𝟔 
𝟎, 𝟏𝒑 + 𝟎, 𝟏𝟔𝒑 = 𝟏𝟗𝟔 + 𝟐𝟓 
𝟎, 𝟐𝟔𝒑 = 𝟐𝟐𝟏 
 𝒑 = 
𝟐𝟐𝟏
𝟎, 𝟐𝟔
 
 
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𝒑𝑬 = 𝟖𝟓𝟎 
Assim, conclui-se que o preço ideal para esta geladeira, de modo a satisfazer as 
condições impostas pelo dono da loja de eletrodomésticos e pelos fornecedores é de R$ 
850,00. 
c) Como o preço ideal para ambos na negociação é de R$ 850,00, para 
determinar a correspondente quantidade, basta substituir este valor em uma das duas 
funções. Para verificar que o preço de R$ 850,00 realmente gera quantidades iguais, será 
apresentado a determinação da quantidade demandada e ofertada. 
Demanda: 𝒑 = 𝟖𝟓𝟎 
𝒒𝒅 = −𝟎, 𝟏𝟔 ∗ 𝟖𝟓𝟎 + 𝟏𝟗𝟔 
𝒒𝒅 = −𝟏𝟑𝟔 + 𝟏𝟗𝟔 
𝒒𝒆 = 𝟔𝟎 
Oferta: 𝒑 = 𝟖𝟓𝟎 
𝒒𝒐 = 𝟎, 𝟏 ∗ 𝟖𝟓𝟎 − 𝟐𝟓 
𝒒𝒐 = 𝟖𝟓 − 𝟐𝟓 
𝒒𝑬 = 𝟔𝟎 
Logo, seriam negociadas 60 geladeiras ao preço unitário de R$ 850,00. 
 
d) Para fazer o gráfico das funções demanda e oferta, aplica-se o mesmo 
procedimento do exemplo anterior, isto é, determinam-se as interseções com os eixos. 
Demanda: 
𝒒𝒅 = − 𝟎, 𝟏𝟔 𝒑 + 𝟏𝟗𝟔 (Função Decrescente) 
Interseção com o eixo p: 
𝑞 = 0 → −0,16𝑝 + 196 = 0 → −0,16𝑝 = −196 (−1) → 𝑝 = 1225 
Interseção com o eixo q: 
𝑝 = 0 → 𝑞 = −0,16 ∗ 0 + 196 → 𝑞 = 196 
Oferta: 
𝒒𝒐 = 𝟎, 𝟏 𝒑 – 𝟐𝟓(Função Crescente) 
Interseção com o eixo p: 
𝑞 = 0 → 0,1𝑝 − 25 = 0 → 0,1𝑝 = 25 → 𝑝 = 250 
Interseção com o eixo q: 
𝑝 = 0 → 𝑞 = 0,1 ∗ 0 − 25 → 𝑞 = −25 
(não é necessário representar) 
O gráficoé ilustrado abaixo: 
 
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Exercícios propostos: 
(PROVÃO Contábeis) 14. O Contador de custos da empresa Sul Marketing S/A 
recebeu de seu chefe a incumbência de analisar preços e volumes do principal produto da 
empresa, com a finalidade de ampliar a participação de mercado, em vista da entrada de 
novos concorrentes. Depois de estudar o assunto, verificou que, se vendesse o produto a R$ 
20,00 a unidade, poderia vender 50.000 unidades; se vendesse a R$ 18,00 a unidade, poderia 
vender 55.000 unidades, e se vendesse a R$ 16,00 a unidade, poderia vender 60.000 
unidades. Esse fato é explicado: 
a) pela lei dos rendimentos decrescentes; 
b) pela lei da oferta e da procura; 
c) pelo sofisma de composição; 
d) pelo sistema de elasticidade unitária; 
e) pelo monopsônio. 
15. Um fabricante de relógios está disposto a oferecer 30 unidades deste produto, 
caso o preço unitário seja de R$ 48,00, mas promete aumentar sua oferta em 5 relógios, a 
cada aumento de R$ 4,00 no preço unitário. 
a) Determine uma fórmula que expresse a quantidade ofertada qo em função do 
preço unitário p. 
b) Faça o gráfico assinalando os pontos de interseção com os eixos. Dê uma 
interpretação econômica para estes valores. 
c) A partir de que preço o fabricante de relógios está disposto a oferecer uma 
quantidade superior a 48 unidades? 
d) Entre que intervalo de preços o fabricante de relógios estaria disposto a oferecer 
uma quantidade limitada entre 42 e 60 unidades? 
16. Encontre o ponto de equilíbrio entre a curva de demanda qd= 10 - 0,2p e a 
curva de oferta qo= - 11 + 0,5p. 
 
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17. Em uma reunião estão presentes fornecedores e comerciantes de calculadoras. 
Os fornecedores dizem que no preço unitário de R$ 10,00, eles podem oferecer 2.000 
calculadoras de uma certa marca, mas para cada R$ 0,50 de aumento no preço unitário irão 
oferecer 150 calculadoras a mais. Entretanto, os comerciantes dizem que no preço unitário 
de R$ 10,00, eles estão dispostos a adquirir 4.000 calculadoras, e que a cada aumento de R$ 
0,50 no preço unitário, a quantidade a ser adquirida diminui em 100 unidades. 
a) Determine duas expressões que representem a quantidade demandada qd e a 
quantidade ofertada qo, ambas em função do preço unitário p. 
b) Encontre o ponto de equilíbrio. 
c) Faça os gráficos das funções demanda e oferta num mesmo sistema de eixos 
indicando o ponto de equilíbrio. 
d) Qual é o significado do preço e da quantidade de equilíbrio encontrado neste 
problema? 
 
3.4.6 Funções de Várias Sentenças 
Como foi observado no início desta unidade, serão apresentadas situações- 
problemas em que os modelos matemáticos que as descrevem são definidos por funções de 
várias sentenças, isto é, mais de uma fórmula descrevendo o mesmo problema, onde cada 
uma dessas fórmulas é restrita a um intervalo. Foi vista anteriormente, a determinação de 
uma função que representasse o cálculo da conta de água, sendo este o melhor exemplo 
dessa aplicação. O exemplo abaixo também ilustra essa aplicação. 
Exemplo 11: (PROVÃO - Matemática) 
Em uma certa cidade, o preço de uma corrida de táxi é calculado do seguinte modo: 
(i) a “bandeirada” é R$ 2,50; (ii) durante os primeiros 10km, o preço da corrida é de R$ 0,80 
por km; (iii) daí por diante, o preço da corrida passa a ser de R$ 1,20 por km. Para uma 
corrida de até 30km, p designa o preço total da corrida que começou no km 0 e acabou no 
km x. Suponha que x varie continuamente no conjunto dos números reais. 
a) Expresse p em função de x. 
b) Calcule o preço de uma corrida de 30km. 
c) Faça um esboço do gráfico do preço. 
 
 
 
Solução: 
 
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a) O objetivo neste item é determinar um modelo matemático que descreva essa 
situação-problema. Será denotado por x, o total de quilômetros percorridos pelo táxi, e por 
p, o preço total da corrida que começou no km 0 e acabou no km x. 
Até 10km, é muito simples de se visualizar o comportamento da função, isso porque 
é cobrada uma taxa fixa de R$ 2,50 (“bandeirada”) mais R$ 0,80 por km percorrido. Logo, 
para este intervalo (de 0 a 10), a expressão algébrica é: 
𝒑 = 𝟐, 𝟓𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟖𝒙 
A partir de 10km e até 30km, é necessária uma análise mais cuidadosa do 
problema. Observe que o problema informa que “daí por diante” o preço a ser cobrado passa 
a ser de R$ 1,20 por km. Isso indica que nos primeiros dez quilômetros é cobrado R$ 0,80 
por km, e o excedente é cobrado a R$ 1,20 por km. Deste modo, a taxa fixa de R$ 2,50 passa 
a ser alterada para R$ 10,50 (isso porque é pago R$ 2,50 pela bandeirada mais R$ 8,00 pelos 
primeiros dez quilômetros). Logo, para esse intervalo (acima de 10 e até 30), a expressão 
algébrica é: 
𝑝 = 10,50 + 1,20 (𝑥 − 10) 
que é equivalente a 
𝑝 = 10,50 + 1,20𝑥 − 12 
ou ainda, 
𝒑 = − 𝟏, 𝟓𝟎 + 𝟏, 𝟐𝟎𝒙 
Assim, o modelo matemático que designa o preço total da corrida em função da 
quantidade de quilômetros percorridos é: 
 
Ou, 
 
b) Para x = 30 temos: 
𝑝 = 10,50 + 1,20 (30 − 10) = 10,50 + 1,20 ∗ 20 = 10,50 = 24 = 34,50 
logo, o valor total pago por uma corrida de 30km é R$ 34,50. 
c) Para esboçar o gráfico de uma função de várias sentenças, deve-se calcular, 
inicialmente, o valor da função em cada extremo que define os intervalos e, em seguida, 
observar a inclinação de cada fórmula que compõe a função. Assim, para: 
x = 0 → p = 2,50 
x = 10 → p = 10,50 
x = 30 → p = 34,50 
 
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A inclinação da reta no primeiro intervalo (0,80) é menor do que no segundo (1,20), 
logo a função cresce mais devagar no início e mais rápido em seguida. Isso se deve ao fato 
do valor cobrado por quilometro ter aumentado de R$0,80 para R$1,20. Consequentemente, 
o gráfico que representa esta função é: 
 
Exercícios propostos: 
18. A vídeo locadora Aurora, empresta uma fita de vídeo VHS ou DVD cobrando 
R$ 3,50 por até dois dias de empréstimos e, em casos de atrasos, cobra um adicional de R$ 
3,00 para cada dia de atraso. 
a) Se uma pessoa devolver uma fita após 5 dias de empréstimo, qual será o valor 
cobrado pela locadora? 
b) Determine uma fórmula que expresse o valor a ser pago V, em reais, em função 
do total de dias de empréstimo x. 
c) Represente graficamente a função. 
19. Um aluno faz um empréstimo de um livro na biblioteca. A biblioteca não cobra 
nada pelo empréstimo se o acadêmico devolver o livro dentro do prazo que é de 7 dias. Se o 
acadêmico devolver o livro com atraso, a biblioteca cobra uma multa de R$ 0,50 por dia, pelos 
7 primeiros dias de atraso, daí por diante, o valor da multa passa a ser de R$ 0,80 por dia, 
pelos dias excedentes. 
a) Se uma pessoa ficar com um livro durante 20 dias, qual é o valor da multa que 
será cobrado por parte da biblioteca? 
b) Expresse o valor a ser pago pela multa V em função do tempo t, em dias, do 
empréstimo. 
 
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c) Faça um esboço do gráfico desta função. 
 
 
 
 
 
Antes de continuar seu estudo, realize os Exercícios 
Pontuados 3.1 e 3.2 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
BONAFINI, Fernanda Cesar (Org.) Matemática. São Paulo: Pearson, 2011. 
DANTE, Luiz Roberto. Formulação e Resolução de Problemas de Matemática: Teoria 
e Prática. São Paulo: Ática, 2009. 
GOLDESTEIN, Larry et al. Matemática aplicada: economia, administração e contabilidade. 
8. ed. Porto Alegre/RS: Bookman, 2000. 
JACQUES, IAN. Matemática para Economia e Administração. 6. ed. São Paulo: 
Pearson, 2010. 
MACEDO, Luiz Roberto Dias & CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Tópicos de Matemática 
Aplicada. 20. ed. Curitiba: Ibpex, 2006. 
MEDEIROS, Irmãos. Matemática para os Cursos de Economia. Administração e 
Ciências Contábeis. 4.ed. São Paulo: Atlas, 1997. 
TAHAN, Malba. O Homem que calculava. 63. ed. Rio de Janeiro: Ed. Record, 2003.VERAS, Lilia Ladeira. Matemática aplicada à economia: síntese da teoria: mais de 300 
exercícios resolvidos e propostos com respostas. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1999.