Polinômios: Conceitos e Operações

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Profª. Dra. Fabiana de Oliveira Ferreira
Centro Universitário Fundação Santo André
Pesquisadora do Grupo RMVP – CNPq
Pesquisadora no LabBits – Laboratório de Tecnologia e Soluções Bioinspiradas
Matemática para Engenharias
Aula 3 : Polinômios
Objetivos da aula .
• Apresentar os conceitos relacionados à polinômios;
• Apresentar os métodos de fatoração.
• Resolver atividades de consolidação de conteúdo.
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Conceitos 
Polinômios .
Um polinômio na variável real 𝑥 é uma expressão composta da
soma de produtos de constantes por potências inteiras
positivas de 𝑥 e sempre pode ser escrito na forma:
𝑷 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙
𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙
𝒏−𝟏 +⋯+ 𝒂𝟐𝒙
𝟐 + 𝒂𝟏𝒙
𝟏 + 𝒂𝟎
onde 𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑖 , 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 são coeficientes reais, 𝑎𝑖𝑥
𝑖 são
termos do polinômio chamados monômios.
Grau do polinômio: corresponde a mais alta potência de 𝑥
𝑔𝑟 𝑃 𝑥 = 𝑛
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Exemplos 
Polinômios .
Polinômios
Não são Polinômios
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Conceitos 
Polinômios .
Dois polinômios 𝑃 𝑥 𝑒 𝑄(𝑥) são idênticos, 𝑃 𝑥 = 𝑄 𝑥 ,
quando todos os seus coeficientes são ordenadamente iguais
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥5 + 𝑏𝑥4 + 𝑐𝑥3+𝑑𝑥2 + 𝑒𝑥 + 𝑓
Q 𝑥 = 2𝑥4 + 5𝑥3+7𝑥 + 1
𝑃 𝑥 𝑒 𝑄 𝑥 são iguais se, e somente se, 𝑎 = 0, 𝑏 = 4, 𝑐 = 5,
𝑑 = 0, 𝑒 = 7, 𝑓 = 1
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Conceitos 
Polinômios .
Operações com polinômios
1) Adição:
2) Subtração:
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Conceitos 
Polinômios .
3) Multiplicação por um número real:
4) Multiplicação de Polinômios 
Aplicar a distributiva
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Conceitos 
Polinômios .
5) Divisão de Polinômios 
𝐷(𝑥)
𝑑(𝑥)
= 𝑞 𝑥 + 𝑟(𝑥) 𝑔𝑟 𝑟 𝑥 < 𝑔𝑟 𝑑 𝑥 𝑜𝑢 𝑔𝑟 𝑟 𝑥 = 0
𝐷 𝑥 é o dividendo
d 𝑥 é o divisor
q 𝑥 é o quociente
r 𝑥 é o resto
A divisão pode ser feita por meio de algoritmo simples, que simula
a divisão de números inteiros (método da chave):
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Conceitos 
Polinômios .
Exemplo: 
a) divide-se o termo de mais alto grau do dividendo pelo termo
de maior grau do divisor;
b) multiplica-se o quociente pelo divisor e subtrai-se este
resultado do dividendo;
c) repete-se o processo até se obter um polinômio de grau menor
que o divisor. Este último polinômio será o resto da divisão.
Resumo do procedimento de divisão
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Polinômios .
Produtos Notáveis e Fatoração 
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Polinômios .
Produtos Notáveis e Fatoração 
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Polinômios .
Como completar quadrados? 
O processo de completar quadrados tem base nas duas primeiras
fórmulas de produtos notáveis: (𝑎 + 𝑏)2 𝑒 𝑎 − 𝑏 2. O processo
é realizado por comparação direta.
Exemplos:
𝑎) 𝑥2 + 6𝑥
b) 𝑥2 − 𝑥 + 2
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Polinômios .
Fatoração 
Fatorar polinômio significa reescrevê-lo como produto de outros
polinômios
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Polinômios .
Equações Polinomiais 
Equação é uma igualdade que possui uma incógnita.
Equação polinomial é uma igualdade de polinômios e pode
ser escrita na forma:
𝑷 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙
𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙
𝒏−𝟏 +⋯+ 𝒂𝟐𝒙
𝟐 + 𝒂𝟏𝒙
𝟏 + 𝒂𝟎 = 𝟎
Se 𝑃 𝛼 = 0, então 𝜶 é raiz da equação e 𝑃 𝑥 é divisível por
(𝑥 − 𝛼)
Conjunto solução: conjunto de todas as raízes da equação.
Resolver uma equação polinomial é determinar o seu conjunto
solução.
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Polinômios .
Atividades: Resolvidas em sala de aula
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Polinômios .
Equação do primeiro grau: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 𝑒 𝑎 ≠ 0
Equação do 2º grau: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑒 𝑎 ≠ 0
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