ResMat pp - NA5 - rev 1 - Reações em estruturas isostáticas

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Resistência dos Materiais
Curso de Arquitetura e Urbanismo
Aula 5
Reações de Apoio – Estruturas de 
Barras Isostáticas
Estudo dos Elementos Lineares Horizontais – Vigas 
Modelo de Estudo - Barras
Estudo dos Elementos Lineares Horizontais – Vigas 
Modelo de Estudo - Barras
vigas
pilares
Estudo dos Elementos Lineares Horizontais – Vigas 
Modelo de Estudo - Barras
Estudo dos Elementos Lineares Horizontais – Vigas 
Modelo de Estudo - Barras
Estudo dos Elementos Lineares Horizontais – Vigas 
Modelo de Estudo - Barras
Viga bi-apoiada 
(isostática)
Estudo dos Elementos Lineares Horizontais – Vigas 
Modelo de Estudo - Barras
Viga bi-apoiada 
(isostática)
Estudo dos Elementos Lineares 
Horizontais – Vigas 
Modelo de Estudo - Barras
Estudo dos Elementos Lineares 
Horizontais – Vigas 
Modelo de Estudo - Barras
Estudo dos Elementos Lineares 
Horizontais – Vigas 
Modelo de Estudo - Barras
apoio
apoio
Estudo dos Elementos Lineares 
Horizontais – Vigas 
Modelo de Estudo - Barras
apoio
apoio
cargas
Vigas - Estudo como Barras
Barras Isostáticas / Reações de Apoio / Equações Gerais de Equilíbrio 
Barras Isostáticas / Reações de Apoio / Equações Gerais de Equilíbrio 
Barras Isostáticas / Reações de Apoio / Equações Gerais de Equilíbrio 
Barras Isostáticas / Reações de Apoio / Equações Gerais de Equilíbrio 
Princípio da Superposição dos Efeitos: 
O efeito produzido por um conjunto de forças atuando simultaneamente em um 
corpo é igual à soma do efeito produzido por cada uma das forças atuando 
isolada.
(isso acontece na maioria dos casos estudados em resistência dos materiais 
(existem casos onde isso não ocorre, que não serão estudados no curso)
Portanto, podemos resolver vários exercícios de ResMat usando as fórmulas 
anteriores e o princípio acima.
Reações de Apoio – Superposição dos efeitos 
Exercícios de Aplicação 
Calcular as reações de apoio para as vigas abaixo:
1. 
Podemos chamar de A o apoio à esquerda, e B
o apoio da direita. Nesse caso teremos:
Portanto:
Reações verticais: RVA = RVB = p l / 2 = 4 x 6 / 2 = 12 kN 
Reações horizontais: como não existem forças horizontais, a reação horizontal em A 
vale RHA = 0
Reações de Apoio – Exemplos
2. 
Nesse caso, para facilitar a compreensão, e 
utilizar as fórmulas, os valores seriam os 
indicados na figura abaixo:
com os seguintes valores: P= 15kN a=2m, b=5m e l=7m
Portanto, teremos
Reações verticais: RVA = P b / l = 15 . 5 / 7 = 10,71 kN 
RVB = P a / l = 15 . 2 / 7 = 4,29 kN 
Reações horizontais: como não existem forças horizontais, a reação horizontal em B 
vale RHB = 0
Reações de Apoio – Exemplos
3. 
Nesse exemplo, temos 2 carregamentos aplicados na viga: uma carga concentrada, de 
15 toneladas-força (150kN) e uma carga distribuída uniforme.
Por facilidade, vamos separar o caso em 2 carregamentos:
Reações de Apoio – Exemplos
B
carregamento 1 – carga distribuída (como por exemplo, o peso próprio da viga):
(ou uma parede sobre a viga):
carregamento 2 – carga concentrada: 
Reações de Apoio – Exemplos
Portanto teremos:
Reações verticais: RVA = p l / 2 + P b / l = 4 . 9 / 2 + 15 . 6 / 9 = 18 + 10 = 28 tf 
RVB = p l / 2 + P a / l = 4 . 9 / 2 + 15 . 3 / 9 = 18 + 5 = 23 tf 
Reações horizontais: como não existem forças horizontais, a reação horizontal em B 
vale RHB = 0
Reações de Apoio – Exemplos
B
23 tf
0
4. 
Nesse caso há superposição de duas cargas concentradas. Uma maneira fácil de se 
resolver esse problema é calculando as reações verticais separadamente para cada 
carga, considerando 2 caos de carregamento:
Carregamento 1 Carregamento 2 
Reações de Apoio – Exemplos
Para o carregamento 1, temos:
RVA1 = P1 b1 / l = 20 . 4 / 9 = 8,89 tf 
RVB1 = P1 a1 / l = 20 . 5 / 9 = = 11,11 tf 
Para o carregamento 2, temos:
RVA2 = P2 b2 / l = 15 . 2 / 9 = 3,33 tf 
RVB2 = P2 a2 / l = 15 . 7 / 9 = = 11,67 tf 
Portanto, somando os efeitos, temos:
RVA = RVA1 + RVA2 = 8,89 + 3,33 = 12,22 tf 
RVB = RVB1 + RVB2 = 11,11 + 11,67 = 22,78 tf 
e RHA = 0
Reações de Apoio – Exemplos
5. 
Dados: p = 4,5 tf / m, l = 5 m
Reação vertical em A: RVA = p l = 4,5 . 5 = 22,5 tf 
Momento de engastamento em A: MA = p l² / 2 = 4,5 . 5² / 2 = 4,5 . 25 / 2 = 56,25 tf.m
Reação horizontal em A: RHA = 0
Reações em B – não existem
Reações de Apoio – Exemplos
6. 
Reação vertical em A: RVA = p l + P = 3 . 4 + 10 = 22 tf 
Momento de engastamento em A: MA = p l² / 2 + P l = 3 . 4² / 2 + 10 . 4 = 24 + 40
--> MA = 64 tf.m
Reação horizontal em A: RHA = 0
Reações em B – não existem
Reações de Apoio – Exemplos
B
7. 
Dados:
P1 = 16 kN P2 = 10 kN
a1 = 3 m a2 = 5 m 
Reação vertical em B: RVB = P1 + P2 = 16 + 10 = 26 kN 
Momento de engastamento em B: MB = P1 . (a1 + a2 ) + P2 . a2 = 16 . 8 + 10 . 5 = 
= 128 + 50 = 178 kN.m
Reação horizontal em B: RHB = 0
Reações em A – não existem
Reações de Apoio – Exemplos
B
8. 
P = 72 kN; p = 14 kN/m
a = 3,2 m b= 2,6 m
Reação vertical em A: RVA = p l + P = 14 . 5,8 + 72 = 153,2 kN 
Momento de engastamento em A: MA = p l² / 2 + P a = 14 . 5,8² / 2 + 72 . 3,2
--> MA = 235,48 + 230,40 = 465,88 kN.m 
Reação horizontal em A: RHA = 0
Reações em B – não existem
Reações de Apoio – Exemplos
B