4 - Integrais Triplas

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DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de Integração Tripla.
PROPÓSITO
Definir integral tripla, calcular a integral tripla por meio de integrais iteradas em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, e aplicar a integração
tripla em alguns problemas de cálculo integral com três variáveis.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular a integral tripla
MÓDULO 2
Calcular a integral tripla em coordenadas cilíndricas e esféricas
MÓDULO 3
Aplicar o conceito de integração tripla
TAGS
Integral tripla, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas, aplicações integrais triplas.
MÓDULO 1
 Calcular a integral tripla
INTRODUÇÃO
Ao se aplicar procedimentos análogos à integral simples aplicada em funções reais e à integral dupla aplicada em funções escalares com duas
variáveis, também podemos definir a integral tripla por meio de um somatório triplo, que envolverá uma função escalar do R3
.
Este módulo definirá a integração tripla e ensinará a realizar o seu cálculo.
DEFINIÇÃO DE INTEGRAL TRIPLA
 ATENÇÃO
Para definição da integral simples e integral dupla, foi utilizado um somatório denominado Somatório de Riemann.
Para a definição da integral simples, foi criada uma partição P = {u0, u1, ..., un} que dividia um intervalo [a,b] em n subintervalos [ui − 1, ui], tal que a =
u0 < u1 < ... < un − 1 < un = b, com amplitudes de cada subintervalo [ui − 1, ui] dada por Δui = u1 − ui − 1.
Logo após, em cada subintervalo [ui − 1, ui] da Partição P, foi escolhido, arbitrariamente, um ponto pi. Assim, foi definida a soma de Riemann de f(x)
em relação à partição P e ao conjunto de pontos pi por meio da expressão:
N
∑
I = 1
F PI ∆ UI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, a integral simples, aplicada a uma função de uma variável, foi definida como:
∫BAF(X)DX = LIM
N → ∞
N
∑
I = 1
F PI ∆ UI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
n → ∞: representa que todas as amplitudes ∆ ui tendem a zero.
Diante da integral dupla, de forma semelhante ao realizado no caso da função de uma variável com o intervalo [a,b], foi definida uma Partição, de uma
área S, que envolvia agora duas dimensões em vez de uma só. As amplitudes de cada área particionada eram definidas por ∆ xi ∆ yj. Foram
escolhidos, arbitrariamente, um ponto pi em cada área da partição.
Assim, a integral dupla da função f(x,y) na região S será definida por um limite da Soma Dupla de Riemann:
∬
S
F(X, Y)DXDY = LIM
∆ → 0
N
∑
I = 0
 
M
∑
J = 0
F PIJ ∆ XI ∆ YJ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
∆→0: representa que todas as amplitudes de ∆ xi e ∆ yj tendem a zero.
Agora, podemos usar um procedimento análogo para definir a integral tripla para uma função escalar com domínio em R3.
SOMA TRIPLA DE RIEMANN PARA FUNÇÕES ESCALARES
A integral Tripla será uma operação matemática definida para uma função escalar com domínio em um subconjunto do R3, isto é, dependendo de três
variáveis reais.
Seja um paralelepípedo V definido por:
V = (X, Y, Z) ∈ R3 / A ≤ X ≤ B , C ≤ Y ≤ D E G ≤ Y ≤ H , COM A, B, C, D, G E H REAIS
( )
( )
( )
{ }
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 DICA
Conforme realizado nos casos anteriores, vamos definir uma Partição P para o Paralelepípedo definido por V. A diferença, agora, é que essa partição é
por volume e envolve três dimensões.
Seja:
P1 : a = x0 < x1 < … < xn = b
P2 : c = y0 < y1 < … < ym = d
P3 : g = z0 < z1 < … < zp = h
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
partições dos intervalos [a,b] , [c,d] e [g,h], respectivamente. As amplitudes dos intervalos serão definidas por ∆xi, ∆yj e ∆zk.
O conjunto definido por:
P = xi, yj, zk / 0 ≤ i ≤ n, e 0 ≤ j ≤ m e 0 ≤ k ≤ p , i, j e k inteiros
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
é denominado partição do paralelepípedo V.
Para tal caso, essa partição P determinará m.n.k paralelepípedos, cada um definido por:
VIJK = (X, Y, Z) ∈ R3 / XI - 1 ≤ X ≤ XI , YJ - 1 ≤ Y ≤ YJ E ZK - 1 ≤ Z ≤ ZK
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seja, agora, um conjunto B⊂R3. O conjunto B será limitado se existir um paralelepípedo V, tal que todo B está contido nesse paralelepípedo, isto é,
B⊂V.
Neste momento, já podemos usar procedimentos análogos e definir a Soma Tripla de Riemann para a função escalar com domínio no R3. Seja a
função escalar f(x,y,z) com domínio no conjunto B ⊂ R3, com B limitado. Assim, existirá um retângulo V tal que B está totalmente contido em V.
Seja a partição P do paralelepípedo V, isto é:
P = xi, yj, zk / 0 ≤ i ≤ n, e 0 ≤ j ≤ m e 0 ≤ k ≤ p ,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com i , j e k inteiros. Para cada paralelepípedo Vijk da partição P, escolhe-se, arbitrariamente, um ponto pij.
pijk = ui, vj, wk , com xi - 1 ≤ ui ≤ xi , yj - 1 ≤ vj ≤ yj e zk - 1 ≤ wj ≤ zk
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desejamos definir um somatório cujas parcelas serão do tipo f pij ∆ xi ∆ yj ∆ zk
 COMENTÁRIO
O problema é que a função f(x,y,z) somente é definida para B, e os pontos pijk podem cair em uma região do paralelepípedo V que não pertence a B.
Resolveremos esta questão de forma análoga ao resolvido para integral dupla.
Para solucionar este problema, usaremos a seguinte definição para f(pijk):
{( ) }
{ }
{( ) }
( )
( )
f pijk =
f pijk , se pijk ∈ B
0, se pijk ∉ B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, podemos definir a Soma Tripla de Riemann da função f(x,y,z) relativa a uma partição P e aos pontos arbitrários pijk, pela expressão:
N
∑
I = 0
 
M
∑
J = 0
 
P
∑
K = 0
F PIJK ∆ XI ∆ YJ ∆ ZK
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que, como os pontos que não pertencem a B têm valor de função zero, as parcelas do somatório referentes a eles serão nulas. Portanto, a
Soma Tripla de Riemann em B será igual à Soma Tripla de Riemann em V.
A integral tripla da função f(x,y,z) na região B será definida por um limite da Soma Tripla de Riemann:
∭
B
F(X, Y, Z)DXDYDZ = LIM
∆ → 0
 
N
∑
I = 0
 
M
∑
J = 0
 
P
∑
K = 0
F PIJK ∆ XI ∆ YJ ∆ ZK
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
∆→0: representa que todas as amplitudes de ∆ xi , , ∆ yj e ∆ zk tendem para zero.
Se o limite existir, então a função f será integrável em B e o valor da integral tripla será o valor obtido pelo cálculo do limite.
De forma similar, f(x,y,z) será denominada integrando, e a integral tripla terá um limite inferior e superior de integração para cada uma das três
integrais.
 DICA
A determinação das integrais triplas não será feita pelo cálculo do limite de sua definição.
Em tópico posterior, será estudado como realizar esse cálculo. Antes, vamos analisar as propriedades da integral tripla.
PROPRIEDADES DA INTEGRAL TRIPLA
Podemos apresentar algumas propriedades para a integral tripla. A demonstração de todas elas é feita por meio da sua definição pela Soma Tripla de
Riemann.
Sejam as funções f(x,y,z) e g(x,y,z) integráveis em B e k uma constante real:
01
02
03
∭
B
[F(X, Y, Z) ± G(X, Y, Z)]DXDYDZ = ∭
B
F(X, Y, Z)DXDYDZ ±∭
B
G(X, Y, Z)DXDYDZ
( ) { ( )
( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∭
B
K F(X, Y, Z)DXDYDZ = K∭
B
F(X, Y, Z)DXDYDZ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se f(x,y) ≥ 0 em S
∭
B
F(X, Y, Z)DXDYDZ ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 DICA
É possível utilizar a mesma analogia para f(x,y,z) ≤ 0, f(x,y,z) > 0 ef(x,y,z) < 0.
04
05
Se f(x,y,z) ≥ g(x,y,z) em B:
∭
B
F(X, Y, Z)DXDYDZ ≥ ∭
B
G(X, Y, Z)DXDYDZ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 DICA
É possível utilizar a mesma analogia para f(x,y,z) ≤ g(x,y,z), f(x,y,z) > g(x,y,z) e f(x,y,z) < g(x,y,z).
Sejam B1 e B2 tais que B1 ∪ B2 = B e B1 ∩ B2 = ∅
∭
B
F(X, Y, Z)DXDYDZ = ∭
B
F(X, Y, Z)DXDYDZ +∭
B
F(X, Y, Z)DXDYDZ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CÁLCULO DA INTEGRAL TRIPLA
No cálculo integral de uma variável, é possível calcular as integrais definidas de uma forma mais direta, usando as integrais imediatas por meio do
Teorema Fundamental do Cálculo.
Integral dupla
Para o caso da integral dupla, é usado o Teorema de Fubini por meio do cálculo de duas integrais simples iteradas.

Integral tripla
Para o caso da integral tripla, a solução será transformar a integral em uma integral dupla e uma integral simples.
Vamos dividir em dois casos:
Quando B é um paralelepípedo — neste caso, os três intervalos de integração serão definidos por números e sem dependência entre as variáveis.
Quando os intervalos de integração de, pelo menos, uma variável depende das demais.
INTEGRAL TRIPLA SOBRE UM PARALELEPÍPEDO
Seja f(x,y,z) uma função escalar, integrável, definida em B⊂R3. O conjunto B é um paralelepípedo definido por:
B = (x, y, z) ∈ R3 / a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d e g ≤ y ≤ h , com a, b, c, d, g e h reais
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, pelo Teorema de Fubini para integral tripla:
∭
B
F(X, Y, Z)DV = ∭
B
F(X, Y, Z)DXDYDZ =
B
∫
A
D
∫
C
H
∫
G
F(X, Y, Z)DZDYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A integral que vemos ao lado direito da expressão apresentada é denominada Integrais Iteradas.
 DICA
O nome Integrais Iteradas, indica que, inicialmente, integramos parcialmente em relação a uma variável, depois, integraremos em relação à segunda e,
por fim, em relação à terceira variável.
Em cada caso, similar ao realizado na integração dupla, durante a integração parcial, as demais variáveis são consideradas como constantes.
 ATENÇÃO
Para este caso, tanto faz integrar-se parcialmente em relação à variável x, y ou z. Assim, teremos cerca de seis possibilidades, de acordo com a ordem
escolhida de integração.
Repare na notação: dependendo da ordem escolhida, a ordem de dx, dy e dz deve mudar.
Os limites de integração em cada integral da direita para esquerda correspondem às diferenciais da direita para esquerda.
No caso do exemplo, o intervalo [a,b] corresponde à variável x, o intervalo [c,d] corresponde à variável y e, por fim, o intervalo [g,h] corresponde à
variável z.
Para fixar o conteúdo, vamos mostrar a integral quando escolhemos integral na ordem das variáveis x, z e y:
∭
B
F(X, Y, Z)DXDYDZ =
D
∫
C
H
∫
G
B
∫
A
F(X, Y, Z)DXDZDY
{ }
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pode ser provado que, para o caso de se ter f(x,y,z) = g(x)h(y)q(z), a integral é tripla, para quando os limites são numéricos, ela pode ser analisada
como um produto de três integrais simples:
∭
B
F(X, Y, Z)DXDYDZ =
D
∫
C
H
∫
G
B
∫
A
F(X, Y, Z)DXDZDY =
B
∫
A
G(X)DX
D
∫
C
H(Y)DY
H
∫
G
Q(Z)DZ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 EXEMPLO
∫HG∫DC
B
∫
A
8 X(Z + 1)Y2DXDYDZ = ∫BA8XDX ∫DCY2DY ∫HG(Z + 1)DZ
Como visto, a integral tripla será calculada com a determinação de três integrais simples. É importante relembrarmos as integrais simples imediatas e
os métodos de integração estudados no cálculo de uma variável.
EXEMPLO 1
Determine o valor de ∭B(3xy + zy - 2xz)dxdydz, em que B está contido em uma caixa, definido por 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3 e 0 ≤ z ≤ 1.
SOLUÇÃO
Usando as integrais iteradas:
∭B(3xy + zy - 2xz)dxdydz = ∫10∫31∫21(3xy + zy - 2xz)dxdydz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos integrar parcialmente em relação à variável x, mantendo as variáveis y e z constantes:
2
∫
1
(3xy + zy - 2xz)dx =
2
∫
1
3xy dx +
2
∫
1
zy dx -
2
∫
1
2xz dx
2
∫
1
(3xy + zy - 2xz)dx = 3y
2
∫
1
x dx + zy
2
∫
1
 dx - 2z
2
∫
1
x dz
2
∫
1
(3xy + zy - 2xz)dx = 3y 
1
2 x2
2
1
+ zy x|21 - 2z 
1
2 x2
2
1
2
∫
1
(3xy + zy - 2xz)dx =
3
2 y 22 - 12 + zy(2 - 1) - z 22 - 12
2
∫
1
(3xy + zy - 2xz)dx =
9
2 y + zy - 3z
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando, agora, parcialmente em relação ao y, mantendo z constante:
3
∫
1
9
2 y + zy - 3z dy =
9
2
3
∫
1
y dy + z
3
∫
1
y dy - 3z
3
∫
1
 dy
3
∫
1
9
2 y + zy - 3z dy =
9
2 
1
2 y2
3
1
+ z 
1
2 y2
3
1
- 3z y|31
( )( )( )
| |
( ) ( )
( )
( ) | |
3
∫
1
9
2 y + zy - 3z dy =
9
4 32 - 12 +
z
2 32 - 12 - 3z 3 - 1
3
∫
1
9
2 y + zy - 3z dy = 18 + 4z - 6z = 18 - 2z
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, resolvemos a integral em z:
1
∫
0
(18 - 2z) dz = 18 z|10 - 2 
1
2 z2
1
0
= 18 - 1 = 17
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTEGRAL TRIPLA SOBRE UM VOLUME GENÉRICO
Seja f(x,y,z) uma função escalar, integrável, definida em B⊂R3. O conjunto B é uma região espacial limitada, isto é, um sólido.
 COMENTÁRIO
Vamos considerar que o sólido B é um conjunto de pontos (x,y,z) tais que, ao fixar o valor de (x,y), o valor de z estará limitado entre duas funções.
Considere o conjunto S ⊂ R2 um conjunto fechado e limitado, e sejam duas funções escalares g(x,y) e h(x,y) contínuas em S, tais que, para todo (x,y)
∈ S, g(x,y) ≤ h(x,y).
Seja B o conjunto do R3, isto é, dos pontos (x,y,z) tais que g(x,y) ≤ z ≤ h(x,y), para todo (x,y) ∈ S. Na verdade, o conjunto S é a projeção do sólido B no
plano XY, conforme a figura:
Fonte: Autor
Assim, de forma análoga à integral dupla:
∭Bf(x, y, z)dV = ∭Bf(x, y, z)dxdydz = ∬S ∫h ( x , y )
g ( x , y ) f(x, y, z)dz dxdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O raciocínio também poderia ter sido feito de outras duas maneiras:
PELA PROJEÇÃO DE B SOBRE O PLANO XZ
Pela projeção de B sobre o plano XZ, isto é, mantendo (x,y) fixo, sendo g(x,z) ≤ y ≤ h(x,z). Assim:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
|
[ ]
∭BF(X, Y, Z)DV = ∭BF(X, Y, Z)DXDYDZ = ∬S ∫H ( X , Z )
G ( X , Z )F(X, Y, Z)DY DXDZ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PELA PROJEÇÃO DE B SOBRE O PLANO YZ
Pela projeção de B sobre o plano YZ, isto é, mantendo (y,z) fixo, sendo g(y,z) ≤ x ≤ h(y,z). Assim:
∭BF(X, Y, Z)DV = ∭BF(X, Y, Z)DXDYDZ = ∬S ∫H ( Y , Z )
G ( Y , Z )F(X, Y, Z)DX DYDZ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em todos os casos, o cálculo da integral tripla iniciará pela solução de uma integral simples, em que uma variável terá limites de integração
dependendo das duas outras variáveis. Por fim, deve ser resolvida uma integral dupla sobre a área S.
Para se determinar a projeção S do sólido B em um dos três planos cartesianos, existe a necessidade de termos uma visão espacial.
 ATENÇÃO
Se existirem regiões, dentro da área S, onde g(x,y) ≤ h(x,y), e outras, onde g(x,y) ≥ h(x,y), a integral deve ser separada em integrais em que a ordem
de g(x,y) e h(x,y) seja mantida. Para isso, deve ser usada a propriedade 4, vista no item anterior.
EXEMPLO 2
Determine ∭B√x2 + y2 dxdydz, em que B é a região interna ao paraboloide de equação z = x2 + y2 com z ≤ 9
SOLUÇÃO
O sólido B projetado no plano XY forma um círculo de centro na origem e raio 3, que chamaremos de S, com equação x2+y2 = 9, conforme a figura:
Fonte: Autor
Fixando o valor de (x,y), a variável z irá variar do paraboloide até o plano z = 9, assim:
x2 + y2 ≤ z ≤ 9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma:
[ ]
[ ]
∭B√x2 + y2 dxdydz = ∬S∫ 9
x2 + y2√x2 + y2 dz dxdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalResolvendo a integral em z:
∫ 9
x2 + y2√x2 + y2 dz = √x2 + y2 ∫ 9
x2 + y2dz = √x2 + y2 z| 9
x2 + y2
∫ 9
x2 + y2√x2 + y2 dz = √x2 + y2 (9 - x2 - y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∭B√x2 + y2 dxdydz = ∬S √x2 + y2 (9 - x2 - y2 dxdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual S é o círculo de equação x2+y2 = 9.
Agora, o problema caiu na resolução de uma integral dupla. Como ela tem simetria polar, mudaremos para variável polar.
Lembrando que x = ρcosθ e y = ρsenθ, assim ρ2 = x2 + y2
∬S √x2 + y2 (9 - x2 - y2 dxdy = ∬Sp ρ (9 - ρ2 ρdρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A região S em coordenadas polares vale 0 ≤ ρ ≤ 3 com 0 ≤ θ ≤ 2π
∬
Sp
 ρ (9 - ρ2 ρdρdθ =
2π
∫
0
3
∫
0
9ρ2 - ρ4 dρdθ =
2π
∫
0
dθ 
3
∫
0
9ρ2 - ρ4 dρ
∬
Sp
 ρ (9 - ρ2 ρdρdθ = θ|2π
0 9 
1
3 ρ3
3
0
-
1
5 ρ5
3
0
∬
Sp
 ρ (9 - ρ2 ρdρdθ = 2π 3 33 -
1
5 35 = 2π 81 -
243
5 =
324π
5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESUMO DO MÓDULO 1
)
)
) )
) ( ) ( )
) ( )( | | )
) [ ( ) ] ( )
TEORIA NA PRÁTICA
Uma das aplicações da integral tripla é o cálculo de massa de um sólido, definido por meio de uma densidade volumétrica de massa. Seja um objeto
sólido que possui a forma de uma esfera de equação x2 + y2 + z2 = 4. Esse objeto tem uma densidade volumétrica de massa dada por
δ x, y, z = x2 kg /m3. Determine a massa do objeto, sabendo que ela pode ser obtida pela integral:
M = ∭
V
Δ(X, Y, Z)DXDYDZ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
CÁLCULO DE INTEGRAL TRIPLA
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE O VALOR DE ∫31∫ 1
- 1∫20(X + Y + Z)DZDYDX :
A) 8
B) 15
C) 24
D) 36
E) 48
( )
2. DETERMINE O VALOR DE ∫
Π
20 ∫ 1
- 1∫30
9
2X2 COS Z √Y + 1 DYDXDZ
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
3. DETERMINE O VALOR DA INTEGRAL ∭VX2Z DXDYDZ, EM QUE V É O SÓLIDO CONTIDO NO CILINDRO COM EIXO
PRINCIPAL NO EIXO Z E BASE INFERIOR NO PLANO XY. O CILINDRO TEM RAIO DA BASE 2 E ALTURA 4.
A) 4π
B) 8π
C) 32π
D) 48π
E) 64π
4. DETERMINE O VALOR DE ∫10∫ 0
2Y∫Y - 2Z
0 6Y DV :
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
5. DETERMINE O VALOR DA INTEGRAL ∭VX DXDYDZ, EM QUE V É UM SÓLIDO DEFINIDO PELA INTERSEÇÃO DO
PLANO DE EQUAÇÃO X + 2Y + Z = 4 E OS PLANOS COORDENADOS:
A) 
4
3
B) 
8
3
C) 
16
3
D) 
32
3
E) 
64
3
6. DETERMINE O VALOR DE ∭V
6
ΠDXDYDZ, EM QUE V É A REGIÃO LIMITADA INFERIORMENTE PELO
PARABOLOIDE Z = X2 + Y2 E, SUPERIORMENTE, PELA ESFERA X2 + Y2 + Z2 = 2:
A) 4√2 +
7
2
B) 4√2 -
7
2
( ( ) )
C) 16√2 - 14
D) 8√2 + 7
E) 8√2 - 7
GABARITO
1. Determine o valor de ∫31∫ 1
- 1∫20(x + y + z)dzdydx :
A alternativa "C " está correta.
3
∫
1
1
∫
- 1
2
∫
0
(x + y + z)dzdydx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, a integral em z, mantendo x e y constantes:
2
∫
0
(x + y + z)dz =
2
∫
0
(x + y)dz +
2
∫
0
z dz = (x + y) z|20 +
1
2 z2 2
0 = 2(x + y) + 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
3
∫
1
1
∫
- 1
(2x + 2y + 2)dydx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Realizando a integral em y:
1
∫
- 1
(2x + 2y + 2)dy =
1
∫
- 1
(2x + 2)dy +
1
∫
- 1
2ydy = (2x + 2) y| 1
- 1 + y2 1
- 1
1
∫
- 1
(2x + 2y + 2)dy = (2x + 2)(1 - (-1)) + (1 - 1) = 4x + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim:
3
∫
1
(4x + 4)dx = 4 
1
2 x2
3
1
+ 4x|31 = 2 32 - 12 + 4(3 - 1) = 16 + 8 = 24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine o valor de ∫
π
20 ∫ 1
- 1∫30
9
2 x2 cos z √y + 1 dydxdz
A alternativa "B " está correta.
π
2
∫
0
1
∫
- 1
3
∫
0
9
2 x2 cos z √y + 1 dydxdz
π
2
∫
0
1
∫
- 1
3
∫
0
9
2 x2 cos z √y + 1 dydxdz =
9
2
π
2
∫
0
cos (z)dz
1
∫
- 1
x2dx
3
∫
0
√y + 1dy
a) ∫30 √y + 1 dy = ∫30(y + 1)1 / 2dy =
2
3 (y + 1)
3
2
3
0
=
2
3 ((4)3 / 2 - (1)
3
2 =
14
3
b) 
1
∫
- 1
x2dx =
1
3 x3
1
- 1
=
1
3 (1 - (-1)) =
2
3
c) 
π
2
∫
0
cos (z)dz = sen(z)|
π
20 = sen
π
2 - sen(0) = 1
π
2
∫
0
1
∫
- 1
3
∫
0
9
2 x2 cos z √y + 1 dydxdz =
9
2 .
14
3 .
2
3 . 1 = 14
|
|
| ( )
( ( ) )
( ( ) )
( ( ) ) ( )( )( )
( ) | )
|
( )
( ( ) )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine o valor da integral ∭Vx2z dxdydz, em que V é o sólido contido no cilindro com eixo principal no eixo z e base inferior no plano
XY. O cilindro tem raio da base 2 e altura 4.
A alternativa "C " está correta.
Analisando o sólido V, a projeção dele sobre o plano XY será a base do cilindro de equação x2+y2=22=4. 
Fixando um valor para (x,y), na base inferior, o valor de Z irá variar da base inferior (z = 0) até a base superior (z = 4). Assim:
∭
V
x2z dxdydz = ∬
S
4
∫
0
x2z dz dxdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que S é o círculo de equação x2+ y2 = 22 = 4. 
Resolvendo a equação em z, mantendo x e y constantes, temos:
4
∫
0
x2z dz = x2
4
∫
0
z dz = x2 
1
2 z2
4
0
= 8x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∭
V
x2z dxdydz = ∬S8x2dxdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como S tem simetria polar, resolveremos a integral dupla por sua forma polar.
A região S em coordenadas polares terá equação 0 ≤ ρ ≤ 2 e 0 ≤ π ≤ 2π.
f(x, y) = 8x2 → f(ρ, θ) = 8 (ρ cosθ)2 = 8ρ2 cos2θ
∬
S
8x2dxdy = ∬
Sp
8ρ2 cos2θ ρ dρdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∬Sp8ρ2 cos2θ ρ dρdθ = ∫2π
0 ∫208ρ3cos2θ dρdθ = 8 ∫2π
0 cos2θ dθ ∫20ρ3 dρ
✓ 
2π
∫
0
cos2θ dθ =
2π
∫
0
1
2 cos (2θ) +
1
2 dθ = 0 +
1
2 (2π - 0) = π
✓ 
2
∫
0
ρ3 dρ =
1
4 ρ4
2
0
=
1
4 24 = 4
∬
SP
8Ρ2 COS2Θ Ρ DΡDΘ = 8. Π. 4 = 32Π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine o valor de ∫10∫ 0
2y∫y - 2z
0 6y dV :
A alternativa "B " está correta.
Analisando os limites da integração:
Os limites de 0 até y – 2z, como dependem das variáveis y e z, obrigatoriamente será o limite da variável x.
Os limites de 2y até 0, como dependem da variável y e já temos a integração em x, obrigatoriamente será o limite da variável z.
E o limite de 0 a 1 restou para variável y.
Assim:
|
( ) ( )
( )
|
1
∫
0
0
∫
2y
y - 2z
∫
0
6y dV =
1
∫
0
0
∫
2y
y - 2z
∫
0
6y dxdzdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando na variável x, mantendo y e z constantes:
y - 2z
∫
0
6y dx = 6y
y - 2z
∫
0
dx = 6y(y - 2z) = 6y2 - 12yz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando em z, mantendo y constante:
0
∫
2y
6y2 - 12yz dz = 6y2z| 0
2y - 12y 
1
2 z2
0
2y
= 6y2(0 - 2y) - 6y 02 - (2y)2
0
∫
2y
6y2 - 12yz dz = - 12y3 + 24y3 = 12y3
Por fim, integrando em y:
1
∫
0
12y3dy = 3y4 1
0 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine o valor da integral ∭Vx dxdydz, em que V é um sólido definido pela interseção do plano de equação x + 2y + z = 4 e os planos
coordenados:
A alternativa "C " está correta.
CÁLCULO DE INTEGRAL DUPLA TRIPLA
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
6. Determine o valor de ∭V
6
π dxdydz, em que V é a região limitada inferiormente pelo paraboloide z = x2 + y2 e, superiormente, pela esfera
x2 + y2 + z2 = 2:
( ) | ( )
( )
|
A alternativa "E " está correta.
CÁLCULO DE INTEGRAL DUPLA TRIPLA
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O VALOR DE ∫20∫10∫21 6 Y2ZEX DYDXDZ :
A) 4e – 1
B) 8e + 1
C) 28(e + 1)
D) 28(e – 1)
E) 3e2 + 5
2. DETERMINE O VALOR DE ∫10∫0X∫Y - X
0 10X2 DV :
A) 1
( )
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
GABARITO
1. Determine o valor de ∫20∫10∫21 6 y2zex dydxdz :
A alternativa "D " está correta.
2
∫
0
1
∫
0
2
∫
1
6 y2zex dydxdz =
2
∫
0
2zdz
2
∫
1
3y2dy
1
∫
0
exdx 
✓ 
2
∫
0
2zdz = z2 2
0 = 22 = 4
✓ ∫213y2dy = y3 2
1 = 23 - 13 = 7
✓ ∫10exdx = = ex 1
0 = e - 1
2
∫
0
1
∫
0
2
∫
1
6 Y2ZEX DYDXDZ = 4.7. (E - 1) = 28 E - 1 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine o valor de ∫10∫0x∫y - x
0 10x2 dV :
A alternativa "A " está correta.
Analisando os limites da integração:
Os limites de 0 até y – x, como dependem das variáveis x e y, obrigatoriamente, será o limite da variável z.
Os limites de x até 0, como depende da variável x e já temos a integração em z, obrigatoriamente, será o limite da variável y.
E o limite de 0 a 1 restou para variável x. 
Assim:
1
∫
0
0
∫
x
y - x
∫
0
10x2 dV =
1
∫
0
0
∫
x
y - x
∫
0
10x2 dzdydx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando na variável z, mantendo x e y constantes:
y - x
∫
0
10x2 dz = 10x2 z|y - x
0 = 10x2(y - x) = 10yx2 - 10x3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando em y, mantendo x constante:
0
∫
x
10yx2 - 10x3 dy = 10x2 1
2 z2
0
x
- 10x3 y|
0
x = 5x2 0 - x2 - 10x3 0 - x
0
∫
x
10yx2 - 10 dy = - 5x4 + 10x4 = 5x4
( )
( )
|
|
|
( ) ( )
( ) | ( ) ( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, integrando em y:
1
∫
0
5x4 dx = 5 
1
5 x5
1
0
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Calcular a integral tripla em coordenadas cilíndricas e esféricas
INTRODUÇÃO
Em alguns problemas, devido à sua simetria, às vezes, fica mais fácil de se resolver a integral tripla transformando as coordenadas retangulares para
coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
Este módulo apresentará o sistema de coordenadas cilíndricas e esféricas, e o cálculo da integral tripla por meio dessas coordenadas.
INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS
Antes de estudarmos o cálculo da integral tripla em coordenadas cilíndricas, vamos definir o sistema de coordenadas cilíndricas.
O sistema de coordenadas cilíndricas é um sistema que permite a representação de um ponto P, no espaço, por meio de três coordenadas (ρ, θ, z).
Veja a figura a seguir:
Fonte: Autor
 EM QUE:
|
z: A coordenada z do ponto P representa a cota, isto é, a distância entre o ponto P e o plano xy. Repare que essa coordenada z é a mesma do
sistema de coordenadas retangulares (x,y,z). O valor de z varia de -∞ até ∞
Q: O ponto Q é a projeção do ponto P no plano XY.
ρ: A coordenada ρ é a distância entre o ponto Q e a origem O. O valor de ρ varia de 0 até ∞
θ: A coordenada θ é o ângulo no plano XY, medido no sentido anti-horário, entre o segmento OQ e o eixo positivo x. O valor de θ varia de zero
até 2π.
 ATENÇÃO
Observe que as coordenadas ρ e θ são as polares do ponto Q, isto é, são as coordenadas polares da projeção do ponto P no plano XY.
A relação entre o sistema de coordenadas retangulares (x,y,z) e o sistema de coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z) pode ser obtida por meio de uma análise
geométrica da figura. Dessa forma, para se converter as coordenadas cilíndricas de um ponto para coordenadas retangulares, usamos as equações:
X = Ρ COSΘ, Y = Ρ SENΘ E Z = Z
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Igualmente, para se converter as coordenadas retangulares de um ponto para as coordenadas cilíndricas, devem ser usadas as equações:
Ρ = √X2 + Y2, Θ = ARCTG
Y
X E Z = Z
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Converta as coordenadas do ponto P(x,y,z) = (– 1 , – 1, 3) para coordenadas cilíndricas.
SOLUÇÃO
ρ = √x2 + y2 = √( - 1)2 + ( - 1)2 = √2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
tgθ =
y
x = 1, como x < 0 e y < 0, isto é, o ponto P está no terceiro quadrante do plano XY, assim o valor de θ = π +
π
4 =
5π
4 .
E, por fim, z = 3. Portanto, P(ρ, θ, z) = √2, 
5π
4 , 3 .
EXEMPLO 4
Converta as coordenadas cilíndricas do ponto P(ρ, θ, z) = 2, 
π
3 , 4 para coordenadas retangulares.
SOLUÇÃO
( )
( )
x = ρ cosθ = 2 cos
π
3 = 2
1
2 = 1
y = ρ senθ = 2 sen
π
3 = 2
√3
2 = √3
z = z = 4
Logo, P(x, y, z) = 1, √3, 4 .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CÁLCULO DE INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
As coordenadas cilíndricas são muito utilizadas em problemas do R3 que envolvem simetria em torno de um eixo, que colocaremos, normalmente,
como eixo z.
 EXEMPLO
Problemas que envolvem um cilindro ou um cone.
A integral tripla foi definida por meio de uma Soma Tripla de Riemann, que usou uma filosofia de dividir o volume de integração por paralelepípedos
com volumes ∆ V = ∆ x ∆ y ∆ z, usando coordenadas retangulares.
Para representação em coordenadas cilíndricas, o sólido será dividido em volumes que terão, na sua base, retângulos polares com área dada por
ρ ∆ ρ ∆ θ.
Assim, o volume de cada sólido será dado pela área da base vezes a altura, dada por ∆θ.
Deste modo, a Soma Tripla de Riemann pode ser definida como:
∑ N
I = 0∑ M
J = 0∑ P
K = 0F XPI, YPJ, ZPJ ∆ XI ∆ YJ ∆ ZK = ∑ N
I = 0∑ M
J = 0∑ P
K = 0F ΡPI, ΘPJ, ZPJ Ρ ∆ ΡI ∆ ΘJ ∆ Z
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando o limite da Soma Tripla de Riemann:
∭
V
F(X, Y, Z)DXDYDZ = ∭
VC
F(Ρ, Θ, Z) ΡDΡDΘDZ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
V é o volume de integração em coordenadas retangulares
VC é o volume de integração em coordenadas cilíndricas
Repare que, como as integrais são calculadas em relação a limites de integração diferentes, torna-se necessário um fator de correção no integrando.
Para o caso da transformação de coordenada retangular para cilíndrica, esse fator valerá ρ, conforme apresentado na equação acima.
A resolução da integral tripla em integrais iteradas segue o mesmo raciocínio apresentado para a integral tripla em coordenadas retangulares.
EXEMPLO 5
( )
( ) ( )
Determine a integral ∭V√x2 + y2 dxdydz por meio da integração em coordenadas cilíndricas. Sabe-se que V é o sólido contido no cilindro de base
x2 + y2 = 4 e com 0 ≤ z ≤ 5.
SOLUÇÃO
∭
V
F(X, Y, Z)DXDYDZ = ∭
VC
F(Ρ, Θ, Z) ΡDΡDΘDZ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
ρ = √x2 + y2 : f x, y, z = √x2 + y2 → f(ρ, θ, z) = ρ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação que define o cilindro em coordenadas cilíndricas será:
✓ x2 + y2 ≤ 4 → 0 ≤ ρ ≤ 2
✓ 0 ≤ θ ≤ 2π
✓ 0 ≤ z ≤ 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∭
VC
f(ρ, θ, z) ρdρdθdz =
5
∫
0
2π
∫
0
2
∫
0
ρ ρdρdθdz =
5
∫
0
2π
∫
0
2
∫
0
ρ2 dρdθdz
5
∫
0
2π
∫
0
2
∫
0
ρ2 dρdθdz =
5
∫
0
dz
2π
∫
0
dθ
2
∫
0
ρ2dρ = (5 - 0)(2π - 0)
1
3 23 -
1
3 03 =
80
3 π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 6
Determine a integral 
4
∫
- 4
∫ √16 - x2
-√16 - x2∫ 16√x2 + y2y2dzdydz por meio das coordenadas cilíndricas.
RESOLUÇÃO
∭
V
F(X, Y, Z)DXDYDZ = ∭
VC
F(Ρ, Θ, Z) ΡDΡDΘDZ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se analisarmos os limites de integração da integral em coordenadas cartesianas, veremos que V é um cone com vértice em (0,0,0), com altura 16 e
base localizada em z = 16, com raio 4.
Convertendo o volume V para coordenadas cilíndricas, teremos:
✓ √x2 + y2 ≤ z ≤ 16 → ρ ≤ z ≤ 16
✓ -4 ≤ x ≤ 4e - √16 - x2 ≤ y ≤ √16 - x2 é um círculo de raio 4 → 0 ≤ ρ ≤ 4 e 0 ≤ θ ≤ 2π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Passando a função f x, y, z = y2 para coordenadas cilíndricasf(ρ, θ, z) = ρ2sen2θ
Assim:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
∭
VC
f(ρ, θ, z) ρdρdθdz =
4
∫
0
2π
∫
0
16
∫
ρ
ρ2sen2θ ρ dzdθdρ =
4
∫
0
2π
∫
0
16
∫
ρ
ρ3sen2θ dzdθdρ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em z, mantendo ρ e θ constantes:
16
∫
ρ
ρ3sen2θ dz = ρ3sen2θ
16
∫
ρ
dz = ρ3sen2θ z|16
ρ = ρ3sen2θ 16 - ρ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
∭
VC
f(ρ, θ, z) ρdρdθdz =
4
∫
0
2π
∫
0
ρ3sen2θ 16 - ρ dθdρ
∭
VC
f(ρ, θ, z) ρdρdθdz =
2π
∫
0
sen2θ dθ
4
∫
0
ρ3 16 - ρ dρ
✓ 
2π
∫
0
sen2θ dθ =
2π
∫
0
1
2 -
1
2 sen 2θ dθ =
1
2 θ|2π
0 +
1
2 
1
2 cos 2θ)|
2π
0
= π
✓ ∫40ρ3 16 - ρ dρ = ∫40 16ρ3 - ρ4 dρ = 16
1
4 ρ4
4
0
-
1
5 ρ5
4
0
= 4 44 -
1
5 45 =
4096
5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
∭VC
F(Ρ, Θ, Z) ΡDΡDΘDZ = Π. 
4096
5 =
4096Π
5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS ESFÉRICAS
SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS
Outro sistema de coordenadas para representar um ponto no espaço é o sistema de coordenadas esférica. Antes de estudarmos o cálculo da integral
tripla em coordenadas esféricas, vamos definir esse sistema.
O sistema de coordenadas esféricas é um sistema que permite a representação de um ponto P, no espaço, por meio de três coordenadas (r, φ, θ).
Veja a figura a seguir:
( )
( )
( )( ( ) )
( ( )) (
( ) ( ) | |
Fonte: Autor
 EM QUE:
r: A coordenada r é a distância radial do ponto, isto é, a distância entre o Ponto P e a origem do sistema O. O valor de r varia de 0 até ∞.
φ: A coordenada φ é um azimute vertical, isto é, é o ângulo entre o segmento OP e o eixo positivo do z. O valor de φ varia de zero até π.
θ: Por fim, a coordenada θ é um azimute horizontal, isto é, o ângulo que o segmento OQ forma com eixo positivo do x. Ele é a mesma
coordenada θ do sistema cilíndrico. O ponto Q é a projeção do ponto P no plano XY.
A relação entre o sistema de coordenadas retangulares (x,y,z) e o sistema de coordenadas esféricas (r, φ, θ) pode ser obtida por meio de uma análise
geométrica da figura. Assim, para se converter as coordenadas esféricas de um ponto para coordenadas retangulares, usamos as equações:
X = R SENΦ COSΘ, Y = R SENΦ SENΘ E Z = R COSΦ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da mesma forma, para se converter as coordenadas retangulares de um ponto para as coordenadas esféricas, devem ser usadas as equações:
R = √X2 + Y2 + Z2, Φ = ARCTG
√X2 + Y2
Z E Θ = ARCTG
Y
X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 7
Converta as coordenadas do ponto P x, y, z = -
√6
2 , 
√6
2 , 1 para coordenadas esféricas.
SOLUÇÃO
r = √x2 + y2 + z2 =
6
4 +
6
4 + 1 = √4 = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( )
√
tgθ =
y
x = - 1, como x < 0 e y > 0, isto é, o ponto P está no segundo quadrante do plano XY, assim θ = π -
π
4 =
3π
4 .
tgφ =
√x2 + y2
z =
√3
1 = √3, assim φ =
π
3 .
Portanto, P(r, φ, θ) = 2, 
3π
4 ,
π
3
EXEMPLO 8
Converta as coordenadas esféricas do ponto P(r, φ, θ) = 4, 
π
4 ,
π
6 para coordenadas retangulares.
SOLUÇÃO
x = r senφ cosθ = 4 sen
π
6 cos
π
4 = 4
1
2
√2
2 = √2
y = r senφ senθ = 4 sen
π
6 sen
π
4 = 4
1
2
√2
2 = √2
z = r cosφ = 4 cos
π
6 = 4
√3
2 = 2√3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, P(x, y, z) = √2, √2, 2√3 .
CÁLCULO DE INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS ESFÉRICAS
As coordenadas esféricas são muito utilizadas em problemas do R3 que envolvem simetria em torno de um ponto.
 EXEMPLO
Problemas que envolvem esferas.
Para representação em coordenadas esféricas, o sólido será dividido em volumes que terão a forma de cunhas esféricas. O volume da cunha esférica
será dado por r2senφ ∆ r ∆ φ ∆ θ.
Assim sendo, a Soma Tripla de Riemann pode ser definida como:
∑ N
I = 0∑ M
J = 0∑ P
K = 0F XPI, YPJ, ZPJ ∆ XI ∆ YJ ∆ ZK = ∑ N
I = 0∑ M
J = 0∑ P
K = 0F RPI, ΦPJ, ΘPJ R2SENΦ ∆ R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando o limite da Soma Tripla de Riemann:
∭
V
F(X, Y, Z)DXDYDZ = ∭
VE
F(R, Φ, Θ) R2 SENΦ DRDΦDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
V é o volume de integração em coordenadas retangulares
( )
( )
( )
( ) ( )
VE é o volume de integração em coordenadas esféricas
Repare que, como as integrais são calculadas em relação a limites de integração diferentes, torna-se necessário um fator de correção no integrando.
Para o caso da transformação de coordenada retangular para esféricas, esse fator valerá r2 senφ, conforme apresentado na equação anteriormente
apresentada.
A resolução da integral tripla em integrais iteradas segue o mesmo raciocínio apresentado para a integral tripla em coordenadas retangulares.
EXEMPLO 9
Determine a integral ∭V8e√x2 + y2 + z2
dV, em que V é o sólido contido na esfera x2 + y2 + z2 = 4.
SOLUÇÃO
A montagem dessa integral em coordenadas retangulares tornaria a sua solução bastante complicada.
Em coordenadas esféricas, o volume V será representado pelas equações 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ φ ≤ π.
A função f(x, y, z) = 8e√x2 + y2 + z2
→ f r, φ, θ = 8er.
∭V8ex2 + y2 + z2
dV = ∭VE
8er r2senφ drdφdθ
∭VE
8er r2senφ drdφdθ = ∫2π
0 ∫π0∫208r2 ersenφ drdφdθ
= 8 ∫2π
0 dθ ∫π0senφdφ ∫20r2 er dr
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
✓ 
2π
∫
0
dθ = 2π
✓ 
π
∫
0
senφdφ = cos0 - cosπ = 2
✓ 
2
∫
0
r2 er dr
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolveremos essa integral usando duas vezes o método de integração por partes.
Inicialmente, faremos u = r2 → du = 2rdr e dv = erdr → v = er. Assim:
2
∫
0
r2 er dr = r2er 2
0 - 2
2
∫
0
r er dr = 4e2 - 2
2
∫
0
r er dr
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo, agora, u = r → du = dr e dv = erdr → v = er. Assim:
2
∫
0
r er dr = r er 2
0 -
2
∫
0
 er dr = r er 2
0 - er 2
0 = 2e2 - e2 - 1 = e2 + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
2
∫
0
r2 er dr = 4e2 - 2
2
∫
0
r er dr = 4e2 - 2 e2 + 1 = 2e2 - 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando à integral inicial:
∭VE
8er r2senφ drdφdθ = 8 ∫2π
0 dθ ∫π0senφdφ ∫20r2 er dr = 8. 2π. 2. 2e2 - 2
∭V8e√x2 + y2 + z2
dV = 64π e2 - 1
( )
( ) ( )( )
( |
( | ( | ( | ( )
( )
( )( )( ) ( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Este módulo apresentou apenas o caso da mudança de variável para coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas. No entanto, a mudança de
variável na integral tripla pode ser feita de uma forma mais geral. O que mudará em cada caso será o fato de correção que aparecerá no integrando,
por causa da mudança dos intervalos de integração. As mudanças gerais não serão abordadas neste tema, mas podem ser estudadas em nossa
bibliografia.
 SAIBA MAIS
Pesquise, na internet e nas referências bibliográficas, a mudança de variável em integrais triplas.
RESUMO DO MÓDULO 2
TEORIA NA PRÁTICA
Considere que uma laranja tenha a forma de uma esfera com raio de 4 cm. Sabe-se que a obtenção do volume de um sólido pode ser feita pela
integral tripla:
V = ∭
V
dV = ∭
V
dxdydz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considere um gomo da laranja como se fosse uma cunha dessa esfera com abertura de 
π
4 . Determine o volume ocupado por este gomo.
RESOLUÇÃO
INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS ESFÉRICAS
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A INTEGRAL ∭V√2Z2 + X2 + Y2DV EM COORDENADAS
CILÍNDRICAS, NA QUAL V É O SÓLIDO CONTIDO NO CILINDRO, QUE APRESENTA A BASE INFERIOR NO PLANO XYCOM EIXO CENTRAL SOBRE O EIXO Z E RAIO DA BASE 2. A BASE SUPERIOR SE ENCONTRA NO PLANO Z = 4.
A) 
2π
∫
0
2
∫
0
2
∫
0
√2z2 + ρ2 dρdθdz
B) 
2π
∫
0
4
∫
0
2
∫
0
ρ√ρcosθ dρdθdz
C) 
2π
∫
0
4
∫
0
4
∫
0
ρ√2z2 + ρ2 dρdθdz
D) 
2π
∫
0
4
∫
0
2
∫
0
ρ√2z2 + ρ2 dρdθdz
E) 
π
∫
0
2
∫
0
2
∫
0
ρ√z2 + ρ dρdθdz
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A INTEGRAL ∭VE X2 + Y2 + Z2 3 / 2
DV EM COORDENADAS ESFÉRICAS,
NA QUAL V É O SÓLIDO CONTIDO EM UMA SEMIESFERA, COM Z ≥ 0, DE CENTRO NA ORIGEM E RAIO 4.
A) ∫2π
0 ∫
π
20 ∫40rersenφ drdφdθ
B) ∫2π
0 ∫π0∫40r2er2
senφ drdφdθ
C) ∫2π
0 ∫
π
20 ∫40r2er3
senφ drdφdθ
D) ∫π0∫
π
20 ∫20rer3
senφ drdφdθ
E) ∫2π
0 ∫
π
20 ∫40r2senφ drdφdθ
3. DETERMINE O VALOR DA INTEGRAL ∭VX DXDYDZ, NA QUAL V É O SÓLIDO CONTIDO NA INTERSEÇÃO DO
CILINDRO X2+Y2 = 1 E –1 ≤ Z ≤ 1 COM AS REGIÕES X ≥ 0 E Y ≥ 0.
A) 
1
3
B) 
2
3
( )
C) 
1
6
D) 
4
7
E) 
2
5
4. DETERMINE A INTEGRAL ∭V 3DXDYDZ, NA QUAL V É O INTERIOR DE UMA PARTE INTERNA DE UMA ESFERA
DEFINIDA COMO
V = (R, Φ, Θ) ∈ R3 /2 ≤ R ≤ 3, 0 ≤ Θ ≤ Π E 0 ≤ Φ ≤ Π
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 38π
B) 45π
C) 52π
D) 64π
E) 78π
5. DETERMINE O VALOR DA INTEGRAL ∭V (48 - 96Z) DXDYDZ, NA QUAL V É O INTERIOR DE UMA PARTE DA
ESFERA DEFINIDA COMO
V = (R, Φ, Θ) ∈ R3 / 1 ≤ R ≤ 2, 0 ≤ Θ ≤
Π
4 E 
Π
2 ≤ Φ ≤ Π :
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 28π
B) 45π
C) 73π
D) 82π
E) 95π
6. UTILIZANDO COORDENADAS CILÍNDRICAS, DETERMINE O VALOR DA INTEGRAL ∭V6DXDYDZ, COM
V = (X, Y, Z) ∈ R3 / X2 + Y2 ≤ 4, X ≥ 0, Y ≥ 0 E 0 ≤ Z ≤ 2X + 2Y
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 16
B) 32
C) 64
D) 128
E) 256
GABARITO
{ }
{ }
{ }
1. Marque a alternativa que apresenta a integral ∭V√2z2 + x2 + y2dV em coordenadas cilíndricas, na qual V é o sólido contido no cilindro,
que apresenta a base inferior no plano XY com eixo central sobre o eixo z e raio da base 2. A base superior se encontra no plano z = 4.
A alternativa "D " está correta.
∭
V
f(x, y, z)dxdydz = ∭
VC
f(ρ, θ, z) ρdρdθdz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Convertendo a função f(x, y, z) = √2z2 + x2 + y2 para coordenadas cilíndricas, teremos:
f(ρ, θ, z) = √2z2 + ρ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O sólido V em coordenadas cilíndricas será definido pelos seguintes intervalos de integração:
✓ 0 ≤ ρ ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π : círculo que define as bases do cilindro.
✓ 0 ≤ z ≤ 4: altura do cilindro.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∭
V
√2z2 + x2 + y2dV = ∭
VC
√2z2 + ρ2ρdρdθdz =
2π
∫
0
4
∫
0
2
∫
0
ρ√2z2 + ρ2 dρdθdz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Marque a alternativa que apresenta a integral ∭Ve x2 + y2 + z2 3 / 2
dV em coordenadas esféricas, na qual V é o sólido contido em uma
semiesfera, com z ≥ 0, de centro na origem e raio 4.
A alternativa "C " está correta.
∭
V
f(x, y, z)dxdydz = ∭
VE
f(r, φ, θ) r2 senφ drdφdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Convertendo a função f(x, y, z) = e x2 + y2 + z2 3 / 2
 para coordenadas esféricas, teremos:
f(r, φ, θ) = e r2 3 / 2
= er3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O sólido V em coordenadas esféricas será definido pelos seguintes intervalos de integração:
✓ 0 ≤ r ≤ 4: raio da semiesfera.
✓ 0 ≤ θ ≤ 2π : pois a semiesfera percorre toda variação angular horizontal do plano XY.
✓ 0 ≤ φ ≤
π
2 : pois a semiesfera percorre apenas a metade superior da esfera (z ≥ 0).
Assim:
∭
V
e x2 + y2 + z2 3 / 2
dV = ∭
VE
er3
r2 senφ drdφdθ =
2π
∫
0
π
2
∫
0
4
∫
0
r2er3
senφ drdφdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine o valor da integral ∭Vx dxdydz, na qual V é o sólido contido na interseção do cilindro x2+y2 = 1 e –1 ≤ z ≤ 1 com as regiões
x ≥ 0 e y ≥ 0.
A alternativa "B " está correta.
Analisando o volume V pela simetria cilíndrica, ficará mais simples resolver a integral por meio das coordenadas cilíndricas.
V é o solido contido em um cilindro, mas limitado por duas regiões, tendo-se, portanto, apenas um quarto do cilindro, contido em x e y ≥ 0. Em
coordenadas cilíndricas, os intervalos de integração seriam:
✓ 0 ≤ ρ ≤ 1: Círculo da base do cilindro.
✓ -1 ≤ z ≤ 1: Variação da altura do cilindro.
✓ 0 ≤ θ ≤
π
2 : O cilindro está limitado por x ≥ 0 e y ≥ 0.
( )
( )
( )
( )
Transformando a função f(x, y, z) = x em coordenadas cilíndricas, temos f(ρ, θ, z) = ρcosθ.
Dessa maneira:
∭Vx dxdydz = ∭VC
ρcosθ ρdρdθdz = ∫
π
20 ∫10∫ 1
- 1ρ2cosθ dρdzdθ
π
2
∫
0
1
∫
0
1
∫
- 1
ρ2cosθ dρdzdθ =
1
∫
0
ρ2dρ
1
∫
- 1
dz
π
2
∫
0
cos θdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∫10ρ2dρ =
1
3 ρ3 1
0 =
1
3 - 0 =
1
3
∫ 1
- 1dz = z| 1
- 1 = 1 - (-1) = 2
∫
π
20cosθdθ = sen θ|
π
20 = 1 - 0 = 1
Portanto:
∭
V
x dxdydz =
1
3 . 2.1 =
2
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine a integral ∭V 3dxdydz, na qual V é o interior de uma parte interna de uma esfera definida como
V = (r, φ, θ) ∈ R3 /2 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ π e 0 ≤ φ ≤ π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Analisando o volume V pela simetria esférica, ficará mais simples resolver a integral por meio das coordenadas esféricas. 
O sólido V já está definido em coordenadas esféricas. 
Desse modo:
∭
V
 3dxdydz = ∭
VE
 3 r2 senφ drdφdθ
∭
V
3 dxdydz =
π
∫
0
π
∫
0
3
∫
2
3 r2 senφ drdφdθ
π
∫
0
π
∫
0
3
∫
2
3 r2 senφ drdφdθ =
3
∫
2
3r2dr
π
∫
0
sen(φ)dφ
π
∫
0
dθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∫323r2dr = r3 3
2 = (27 - 88) = 19
∫π0sen(φ)dφ = ( - cos (φ|π0 = 1 - - 1 = 2
∫π0dθ = θ|π0 = π
Assim,
∭
V
 3dxdydz = 19.2. π = 38π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine o valor da integral ∭V (48 - 96z) dxdydz, na qual V é o interior de uma parte da esfera definida como
V = (r, φ, θ) ∈ R3 / 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤
π
4 e 
π
2 ≤ φ ≤ π :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )( )( )
|
{ }
( )( )( )
|
( ( ))
{ }
A alternativa "C " está correta.
INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS ESFÉRICAS
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
6. Utilizando coordenadas cilíndricas, determine o valor da integral ∭V6dxdydz, com
V = (x, y, z) ∈ R3 / x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 e 0 ≤ z ≤ 2x + 2y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
{ }
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O VALOR DA INTEGRAL ∭V2Y DXDYDZ, NA QUAL V É O SÓLIDO CONTIDO NA INTERSEÇÃO DO
CILINDRO X2+Y2 = 4 E 0 ≤ Z ≤ 3 COM AS REGIÕES X ≤ 0 E Y ≥ 0.
A) 8
B) 12
C) 16
D) 20
E) 24
2. DETERMINE O VALOR DA INTEGRAL ∭V 2Z DXDYDZ, NA QUAL V ESTÁ CONTIDO EM UMA PARTE DA ESFERA
DEFINIDA COMO
V = (R, Φ, Θ) ∈ R3 / 2 ≤ R ≤ 4, 0 ≤ Θ ≤
Π
4 E 0 ≤ Φ ≤
Π
2 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 55π
B) 45π
C) 35π
D) 25π
E) 15π
GABARITO
1. Determine o valor da integral ∭V2y dxdydz, na qual V é o sólido contido na interseção do cilindro x2+y2 = 4 e 0 ≤ z ≤ 3 com as regiões
x ≤ 0 e y ≥ 0.
A alternativa "C " está correta.
Analisando o volume V pela simetria cilíndrica, ficará mais simples resolver a integral por meios das coordenadas cilíndricas. 
{ }
V é o solido contido em um cilindro, mas limitado por duas regiões, tendo-se, portanto, apenas um quarto do cilindro contido em x≤0 e y ≥0. Em
coordenadas cilíndricas, os intervalos de integração seriam:
✓ 0 ≤ ρ ≤ 2: Círculo da basedo cilindro
✓ 0 ≤ z ≤ 3: Variação da altura do cilindro
✓ 
π
2 ≤ θ ≤ π: O cilindro está limitado por x ≤ 0 e y ≥ 0
Transformando a função f(x, y, z) = 2y em coordenadas cilíndricas, temos f(ρ, θ, z) = 2ρsenθ
Portanto:
∭
V
2y dxdydz = ∭
VC
2ρsenθ ρdρdθdz =
π
∫
π
2
3
∫
0
2
∫
0
2ρ2senθ dρdzdθ
π
∫
π
2
3
∫
0
2
∫
0
2ρ2senθ dρdzdθ =
2
∫
0
2ρ2dρ
3
∫
0
dz
π
∫
π
2
senθdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∫202ρ2dρ = 2
1
3 ρ3 2
0 =
16
3 - 0 =
16
3
∫30dz = z|30 = 3 - 0 = 3
∫π
π
2
senθdθ = - cos θ|π
π
2
= 1 - 0 = 1
Assim:
∭
V
2y dxdydz =
16
3 . 3.1 = 16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine o valor da integral ∭V 2z dxdydz, na qual V está contido em uma parte da esfera definida como
V = (r, φ, θ) ∈ R3 / 2 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤
π
4 e 0 ≤ φ ≤
π
2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
Analisando o volume V pela simetria esférica, ficará mais simples resolver a integral por meio das coordenadas esféricas. 
O sólido V já está definido em coordenadas esféricas. Basta definir a função que se encontra no integrando. 
Transformando a função f(x,y,z) = 2z em coordenadas esféricas, temos:
f(r, φ, θ) = 2r cosφ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∭
V
2z dxdydz = ∭
VE
2r cosφ r2 senφ drdφdθ =
π
4
∫
0
π
2
∫
0
4
∫
2
r3sen 2φ drdφdθ
π
4
∫
0
π
2
∫
0
4
∫
2
r3sen 2φ drdφdθ =
4
∫
2
r3dr
π
2
∫
0
sen(2φ)dφ
π
4
∫
0
dθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∫42r3dr =
1
4 r4 4
2 =
1
4 (256 - 16) = 60
( )( )( )
|
{ }
( )
( ) ( )( )( )
|
∫
π
20sen(2φ)dφ =
1
2 ( - cos (2φ|
π
20 =
1
2 1 + 1 = 1
∫
π
40dθ = θ|
π
40 =
π
4
∭
V
2z dxdydz = 60.1.
π
4 = 15π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Aplicar o conceito de integração tripla
INTRODUÇÃO
Existem várias aplicações, no cálculo diferencial e integral com três variáveis, em que a ferramenta da integração tripla é usada.
Entre essas aplicações, podemos citar: cálculo de volume de um sólido, densidades volumétricas, momentos e centro de massa de objetos.
Este módulo apresentará algumas dessas aplicações na resolução de alguns problemas de cálculo.
CÁLCULO DO VOLUME DE UM SÓLIDO
A integral tripla foi definida, em módulo anterior, por meio da Soma Tripla de Riemann:
∭
B
F(X, Y, Z)DXDYDZ = LIM
∆ → 0
 ∑ N
I = 0∑ M
J = 0∑ P
K = 0F PIJK ∆ XI ∆ YJ ∆ ZK
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
∆→0: representa que todas as amplitudes de ∆ xi , ∆ yj e ∆ zk tendem para zero.
Se fizermos o valor de f(x,y,z) = 1, temos:
∭
B
DXDYDZ = LIM
∆ → 0
 ∑ N
I = 0∑ M
J = 0∑ P
K = 0 ∆ XI ∆ YJ ∆ ZK
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
∆→0: representa que todas as amplitudes de ∆ xi , ∆ yj e ∆ zk tendem para zero.
Como estudado, a Soma de Riemann será uma soma de paralelepípedos e, quando ∆→0, esse somatório dos paralelepípedos definidos pelo limite da
Soma Tripla de Riemann será igual ao volume do sólido B.
( )
( )
Assim:
VB = ∭
B
DV = ∭
B
DXDYDZ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 10
Determine o volume do conjunto dos pontos do espaço B definidos como
B = {(x, y, z) 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 e - 1 ≤ z ≤ 1}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
O volume de B será dado por:
VB = ∭
B
dV = ∭
B
dxdydz =
2
∫
1
3
∫
0
1
∫
- 1
dzdydx
VB =
2
∫
1
3
∫
0
1
∫
- 1
dzdydx =
2
∫
1
dz
3
∫
0
dy
1
∫
- 1
dz = (2 - 1)(3 - 0)(1 - (-1)) = 6 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Verificando que a representação do sólido B é um paralelepípedo de lados a = 2 – 1 = 1, b = 3 – 0 = 3 e c = 1 – (– 1) = 2, o volume seria a.b.c = 1.3.2 =
6.
EXEMPLO 11
Determine o volume de um sólido V definido pelos pontos interiores ao paraboloide z = 4 – x2 – y2 para z ≥ 0.
SOLUÇÃO
O volume V é o paraboloide que tem boca virada para baixo, que será obtido por:
V = ∭VdV = ∭Vdxdydz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A projeção do sólido sobre o plano XY é o círculo 4– x2– y2 = 0 → x2 + y2 = 4
Para um ponto (x,y) desse círculo, o valor de z irá variar de z = 0 e o paraboloide z = 4 – x2 – y2
Assim:
V = ∭
V
dxdydz = ∬
C
4 – x2 – y2
∫
0
dz dxdy = ∬
C
4 – x2 – y2 dxdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela simetria polar, converteremos a integral dupla na sua forma polar, com o círculo tendo a equação 0 ≤ ρ ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π
Como 4 – x2 – y2 → 4 - ρ2
∬
C
4 – x2 – y2 dxdy = ∬
Cp
4 – ρ2 ρdρdθ
∬
C
4 – x2 – y2 dxdy =
2π
∫
0
2
∫
0
4 – ρ2 ρdρdθ =
2π
∫
0
dθ
2
∫
0
4ρ – ρ3 ρdρ
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ( ) )
V = ∭
V
dxdydz = (2π) 2ρ2 2
0 -
1
4 ρ4 2
0 = 2π(8 - 4) = 8π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CÁLCULO DE MASSA E CENTRO DE MASSA
Dependendo das dimensões de um objeto, podemos definir sua massa em relação à sua dimensão pela densidade de massa.
Quando o objeto tiver apenas uma dimensão, isto é, uma linha, a densidade linear de massa será utilizada δ(x), medida em kg/m. Assim, cada parte
infinitesimal do objeto (dl) terá massa dada por:
δ = lim
∆ L → 0
 
∆ m
∆ L =
dm
dL kg /m
dm = δ dL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, um objeto que tem a dimensão linear e varia desde x = a até x = b, terá massa dada por:
MASSA L = ∫
L
DM = ∫
L
Δ(X)DX =
B
∫
A
Δ(X)DX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso de um objeto planar, com duas dimensões, a densidade superficial de massa será definida por:
δ = lim
∆ S → 0
 
∆ m
∆ S =
dm
dS kg /m2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para se obter a massa, devemos usar a integração dupla:
δ =
dm
dS → dm = δdS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
MASSA S = ∬
S
Δ(X, Y)DS = ∬
S
Δ(X, Y)DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para um objeto com três dimensões, será definida a densidade volumétrica de massa:
δ = lim
∆ V → 0
 
∆ m
∆ V =
dm
dV kg /m3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se a massa se dividir igualmente em todo volume, então, δ será uma constante, e a massa pode ser obtida multiplicando-se δ pelo volume. No
entanto, quando o volume não é homogêneo, tendo densidade volumétrica de massa diferente em cada ponto, teremos:
MASSA V = ∭
V
Δ(X, Y, Z) DV = ∭
V
Δ(X, Y, Z) DXDYDZ
( | | )
( )
( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O exemplo de aplicação foi dado para grandeza de massa, mas pode ser utilizado para diversas grandezas físicas que podem ser definidas pelas duas
densidades, como carga elétrica, corrente elétrica etc.
EXEMPLO 12
Determine a massa de um sólido na forma de um cubo, definido por 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ z ≤ 2, com densidade volumétrica de massa
δ(x, y, z) = x + y + z.
SOLUÇÃO
Massa V = ∭
V
δ(x, y, z) dxdydz = ∭
V
 (x + y + z)dxdydz
Massa V =
2
∫
0
2
∫
0
2
∫
0
(x + y + z)dxdydz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, a integral na variável z, mantendo x e y constantes:
2
∫
0
(x + y + z)dz = (x + y)z|20 +
1
2 z2 2
0 = (x + y)(2 - 0) +
1
2 22 - 02 = 2x + 2y + 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, resolvendo a integral em y, mantendo x constante:
2
∫
0
(2x + 2y + 2)dy = (2x + 2)y|20 + 2
1
2 y2 2
0 = (2x + 2)(2 - 0) + 22 - 02 = 4x + 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize arolagem horizontal
Por fim, resolvendo a integral em x:
2
∫
0
(4x + 8)dx = 8x|20 + 4
1
2 x2 2
0 = 8(2 - 0) + 2 22 - 02 = 16 + 8 = 24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a massa do sólido vale 24.
A densidade volumétrica de massa também pode ser usada para se obter as coordenadas do centro de massa de um objeto.
O centro de massa é um ponto hipotético, no qual, na mecânica clássica, considera-se que toda massa do sistema físico estará concentrada.
As coordenadas do centro de massa de um objeto são obtidas dividindo-se o momento pela massa total. Para um objeto com densidade volumétrica
de massa dada por δ(x,y,z), as coordenadas do centro de massa podem ser obtidas pelas seguintes expressões:
x̄ =
∭Vxδ ( x , y , z ) dxdydz
m , ȳ =
∭Vyδ ( x , y , z ) dxdydz
m e z̄ =
∭Vzδ ( x , y , z ) dxdydz
m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
m = ∭
V
δ(x, y, z)dxdydz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A seguir, vamos analisar a aplicação das expressões.
EXEMPLO 13
Determine as coordenadas do centro de massa do cubo da questão anterior.
SOLUÇÃO
No exemplo anterior, foi calculado que a massa valia 24.
| ( )
| ( )
| ( )
x̄ =
∭Vxδ ( x , y , z ) dxdydz
m =
1
24∭Vxδ(x, y, z)dxdydz =
1
24∭Vx(x + y + z)dxdydz
x̄ =
1
24 ∫20∫20∫20x(x + y + z)dxdydz =
1
24 ∫20∫20∫20 x2 + xy + xz dxdydz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, a integral na variável z, mantendo x e y constantes:
2
∫
0
x2 + xy + xz dz = x2 + xy z|20 + x
1
2 z2 2
0 = x2 + xy (2 - 0) +
x
2 22 - 02
2
∫
0
x2 + xy + xz dz = 2x2 + 2xy + 2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, resolvendo a integral em y, mantendo x constante:
2
∫
0
(2x2 + 2xy + 2x dy = 2x2 + 2x y|20 + 2x
1
2 y2 2
0 = 2x2 + 2x (2 - 0) + x 22 - 02
2
∫
0
(2x2 + 2xy + 2x dy = 4x2 + 4x + 4x = 4x2 + 8x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, resolvendo a integral em x:
2
∫
0
4x2 + 8x dx = 4
1
3 x3 2
0 + 8
1
2 x2 2
0 =
4
3 23 - 03 + 4 22 - 03 =
32
3 + 16 =
80
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
x̄ =
1
24 ∫20∫20∫20x(x + y + z)dxdydz =
1
24 .
80
3 =
10
9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O valor das coordenadas x̄ e z̄ será semelhante, pela simetria do problema:
ȳ =
1
24 ∫20∫20∫20y(x + y + z)dxdydz =
1
24 .
80
3 =
10
9
z̄ =
1
24 ∫20∫20∫20z(x + y + z)dxdydz =
1
24 .
80
3 =
10
9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, o centro de massa está localizado no ponto (x, y, z) =
10
9 ,
10
9 ,
10
9
CÁLCULO DE MOMENTO DE INÉRCIA
O momento de inércia quantifica a dificuldade de mudar um estado de rotação de um objeto em torno de um eixo e de um ponto.
 EXEMPLO
Quanto maior for o momento de inércia de um objeto, mais difícil será girá-lo ou alterar sua rotação. Podemos definir o momento de inércia para um
sólido definido no espaço.
Seja um objeto no espaço com massa dada por sua densidade volumétrica de massa δ(x, y, z). Este objeto está definido por um volume dado por V.
Estamos interessados em calcular o momento de inércia desse objeto em relação aos três eixos coordenados.
Dividiremos esse objeto em partículas pontuais de massa dm, localizadas em um ponto (x,y,z). Dessa forma, o momento de inércia, em relação ao
eixo, será dado pela distância ao quadrado de dm ao eixo vezes o valor de dm.
Se somarmos os momentos de inércia de todas as partículas que compõem o objeto, obteremos o momento de inércia do corpo desejado.
Desse modo, teremos:
( )
( ) ( ) | ( ) ( )
( )
) ( ) | ( ) ( )
)
( ) | | ( ) ( )
( )
O MOMENTO INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO X
O MOMENTO INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO Y
O MOMENTO INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO Z
Ix = ∭
V
y2 + z2 dm = ∭
V
y2 + z2 δ(x, y, z)dV = ∭
V
y2 + z2 δ(x, y, z)dxdydz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Iy = ∭
V
x2 + z2 dm = ∭
V
x2 + z2 δ(x, y, z)dV = ∭
V
x2 + z2 δ(x, y, z)dxdydz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Iz = ∭
V
z2 + y2 dm = ∭
V
z2 + y2 δ(x, y, z)dV = ∭
V
x2 + y2 δ(x, y, z)dxdydz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 14
Determine o momento de inércia em torno dos três eixos coordenados para o cubo dos exemplos anteriores.
RESOLUÇÃO
Solução
Ix = ∭V y2 + z2 δ(x, y, z)dxdydz = ∫20∫20∫20 y2 + z2 (x + y + z)dxdydz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, a integral na variável x, mantendo y e z constantes:
2
∫
0
y2 + z2 (y + z) + y2 + z2 x dz =
2
∫
0
y3 + y2z + z2y + z3 + y2 + z2 x dz =
= y3 + y2z + z2y + z3 x|20 + y2 + z2 1
2 x2 2
0 = 2 y3 + y2z + z2y + z3 + 2 y2 + z2 =
= 2y3 + y2 2z + 2 + 2yz2 + 2z3 + 2z2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, agora, a integral em y, mantendo z constante:
2
∫
0
2y3 + y2(2z + 2) + 2yz2 + 2z3 + 2z2 dy = 2 
1
4 y4 2
0 + (2z + 2) 
1
3 y3 2
0 + 2z2 1
2 y2 2
0 +
+ 2z3 + 2z2 y|20 = 8 +
8
3 (2z + 2) + 4z2 + 4z3 + 4z2 =
40
3 +
16
3 z + 8z2 + 4z3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, resolvendo a integral em z:
2
∫
0
40
3 +
16
3 z + 8z2 + 4z3 dz =
40
3 z|20 +
16
3
1
2 z2 2
0 + 8
1
3 z3 2
0 + 4
1
4 z4 2
0
2
∫
0
40
3 +
8
3 z + 8z2 + 4z3 dz =
40
3 . 2 +
16
3 . 2 +
8
3 . 8 + 16 =
80
3 +
32
3 + 32 + 16 =
224
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em relação aos eixos y e z:
Iy = ∭
V
x2 + z2 δ(x, y, z)dxdydz =
2
∫
0
2
∫
0
2
∫
0
x2 + z2 (x + y + z)dxdydz
Iz = ∭
V
x2 + y2 δ(x, y, z)dxdydz =
2
∫
0
2
∫
0
2
∫
0
x2 + y2 (x + y + z)dxdydz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
[( ) ( ) ] [( ) ( ) ]
( ) ( ) | ( ) ( )
( ) ( )
[ ( )] | | |
( )
( ) | | |
( )
( ) ( )
( ) ( )
Pela simetria, as integrais resultarão no mesmo valor da integral de Ix.
Assim, Iy = Iz =
224
3 .
RESUMO DO MÓDULO 3
TEORIA NA PRÁTICA
Qual o momento de inércia de um sólido na forma de um cilindro de raio b e altura h, em relação a um eixo que passa pelo seu centro? Sabe-se que a
densidade volumétrica de massa do cilindro vale d2, em que d é a distância de um ponto do cilindro ao seu eixo central.
RESOLUÇÃO
APLICAÇÃO INTEGRAL TRIPLA – MOMENTO DE INERCIA
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A INTEGRAL QUE DETERMINA O MOMENTO DE INÉRCIA DO
SÓLIDO V EM RELAÇÃO AO EIXO Z. O SÓLIDO V É O INTERIOR DE UMA ESFERA DE EQUAÇÃO X2 + Y2 + Z2 = 1,
COM DENSIDADE DE MASSA Δ(X, Y, Z) = X2 + Y2 + Z2.
A) ∫π0∫π0∫10r4sen3θ drdφdθ
B) ∫2π
0 ∫π0∫10r sen3θ drdφdθ
C) ∫π0∫π0∫10r2cos2φ drdφdθ
D) ∫2π
0 ∫π0∫10r6cos3φ drdφdθ
E) ∫2π
0 ∫π0∫10r6sen3φ drdφdθ
2. DETERMINE A CARGA ELÉTRICA DE UMA BOLA NA FORMA ESFÉRICA DE RAIO 4 M, COM UMA DENSIDADE
VOLUMÉTRICA DE CARGA DE Λ(R, Φ, Θ) = 4RC /M3, EM QUE R É A DISTÂNCIA AO CENTRO DA ESFERA.
A) 64π C
B) 128π C
C) 256π C
D) 512π C
E) 1024π C
3. DETERMINE O VOLUME DO SÓLIDO DEFINIDO PELA INTERSEÇÃO DE UM CILINDRO PARABÓLICO Z = Y2 COM
OS PLANOS X = 3, Z = 4 E X = 0.
A) 12
B) 16
C) 32
D) 45
E) 56
4. DETERMINE A ORDENADA DO CENTRO DE MASSA DE UM SÓLIDO NA FORMA DE UM CUBO, DEFINIDO POR
 0 ≤ X ≤ 1, 0 ≤ Y ≤ 1 E 0 ≤ Z ≤ 1, COM DENSIDADE VOLUMÉTRICA DE MASSA Δ(X, Y, Z) = 3X2 + 3Y2 + 3Z2.
A) 
1
12
B) 
5
12
C) 
7
12
D) 
9
12
E) 
11
12
5. DETERMINE O VOLUME DE UM TETRAEDRO FORMADO PELOS PLANOS CARTESIANOS E O PLANO X + Y + Z = 4.
A) 
16
3
B) 
32
3
C) 
64
3
D) 
128
3
E) 
256
3
6. DETERMINE A MASSA DO SÓLIDO, COM DENSIDADE VOLUMÉTRICA E MASSA DADA POR Δ(X, Y, Z) =XZ, QUE
OCUPA OS PONTOS DEFINIDOS POR
V = (X, Y, Z) ∈ R3 /0 ≤ Z ≤ 2, 0 ≤ X ≤ 2 - Z E 0 ≤ Y ≤ 2 - Z2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 
1
5
B) 
2
5
C) 
3
5
D) 
4
5
E) 
7
5
GABARITO
1. Determine a alternativa que apresenta a integral que determina o momento de inércia do sólido V em relação ao eixo z. O sólido V é o
interior de uma esfera de equação x2 + y2 + z2 = 1, com densidade de massa δ(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
A alternativa "E " está correta.
O momento de inércia em relação ao eixo y vale:
Iy = ∭V x2 + y2 δ(x, y, z)dxdydz = ∭V x2 + y2 x2 + y2 + z2 dxdydz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o sólido tem simetria esférica, vamos colocar a integral em coordenadas esféricas:
✓ x2 + y2 + z2 = r2
✓ x = r senφ cosθ e y = r senφ senθ, então:
x2 + y2 = r2sen2φcos2θ + r2sen2φsen2θ = r2sen2φ cos2θ + sen2θ = r2sen2φ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O sólido V em coordenadas esféricas é dada por r = 1, para 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ φ ≤ π.
Assim:
Iy = ∭VE
r2sen2φ r2 r2senφdrdφdθ = ∭VE
r6sen3φdrdφdθ
Iy = ∭
VE
r6sen3φdrdφdθ =
2π
∫
0
π
∫
0
1
∫
0
r6sen3φdrdφdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
{ }
( ) ( )( )
( )
( )( )
2. Determine a carga elétrica de uma bola na forma esférica de raio 4 m, com uma densidade volumétrica de carga de λ(r, φ, θ) = 4rC /m3, em
que r é a distância ao centro da esfera.
A alternativa "E " está correta.
A carga elétrica é obtida de forma semelhante ao feito com a massa e densidade volumétrica de massa, pela densidade volumétrica de carga(λ), por
meio equação:
Q = ∭Vλ(x, y, z) dxdydz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela simetria esférica, essa integral tripla em coordenadas esféricas será dada por:
Q = ∭VE
λ(r, φ, θ)r2senφdrdφdθ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O enunciado já fornece a densidade volumétrica de carga em coordenadas esféricas, assim: λ(r, φ, θ) = 4r.
A esfera em coordenadas esféricas terá uma equação 0 ≤ r ≤ 4, com 0 ≤ φ ≤ π e 0 ≤ θ ≤ 2π. Assim:
Q = ∭VE
λ(r, φ, θ)r2senφdrdφdθ = ∫2π
0 ∫π0∫404r r2senφdrdφdθ 
Q = ∫2π
0 ∫π0∫404r3senφdrdφdθ = ∫2π
0 dθ ∫π0senφ dφ ∫404r3 dr
Q = (2π - 0) cos0 - cosπ 44 - 04 = 1024π C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine o volume do sólido definido pela interseção de um cilindro parabólico z = y2 com os planos x = 3, z = 4 e x = 0.
A alternativa "C " está correta.
Analisando o volume V:
✓ Como z está limitado a 4, o valor de y está no intervalo de – 2 ≤ y ≤ 2, uma vez que, para z = 4 = y2 → y = ± 2
✓ A projeção do volume V no plano XY, então, será um retângulo definido – 2 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ x ≤ 3.
✓ Para cada ponto (x,y) desse retângulo, a variável z vai variar do cilindro parabólico y2 até o plano z = 4.
Assim:
V = ∭
V
dV = ∭
V
dxdydz = ∫30∫ 2
- 2∫ 4
y2dz dydx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em Z, mantendo x e z constantes:
∫ 4
y2dz = z| 4
y2 = 4 - y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em y:
∫ 2
- 2 4 - y2 dy = 4y| 2
- 2 -
1
3 y3
2
- 2
= 4(2 - ( - 2)) -
1
3 23 - ( - 2)3 = 16 -
16
3 =
32
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, resolvendo a integral em x:
∫30
32
3 dx =
32
3 x
3
0
=
32
3 . 3 = 32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine a ordenada do centro de massa de um sólido na forma de um cubo, definido por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1, com densidade
volumétrica de massa δ(x, y, z) = 3x2 + 3y2 + 3z2.
A alternativa "C " está correta.
( )( )( )
( )( )
( ) | ( )
|
APLICAÇÃO INTEGRAL TRIPLA – DENSIDADE VOLUMÉTRICA
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
5. Determine o volume de um tetraedro formado pelos planos cartesianos e o plano x + y + z = 4.
A alternativa "B " está correta.
APLICAÇÃO INTEGRAL TRIPLA – CÁLCULO DE VOLUME
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
6. Determine a massa do sólido, com densidade volumétrica e massa dada por δ(x, y, z) = xz, que ocupa os pontos definidos por
V = (x, y, z) ∈ R3 /0 ≤ z ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2 - z e 0 ≤ y ≤ 2 - z2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Analisando o volume V:
Massa V = ∭
V
δ(x, y, z) dxdydz = ∭
V
 xz dxdydz
Massa V = ∭
V
 xz dxdydz =
2
∫
0
2 - z
∫
0
2 - z2
∫
0
xz dydxdz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em y:
2 - z2
∫
0
xz dy = xz
2 - z2
∫
0
dy = xz y|2 - z2
0 = xz 2 - z2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em x:
2 - z
∫
0
xz 2 - z2 dx = z 2 - z2
2 - z
∫
0
xdx = z 2 - z2 1
2 x2
2 - z
0
2 - z
∫
0
xz 2 - z2 dx =
1
2 2z - z3 (2 - z)2
2 - z
∫
0
xz 2 - z2 dx = 4z - 4z2 + z3 - 2z3 + 2z4 -
1
2 z5 = 4z - 4z2 - z3 + 2z4 -
1
2 z5
{ }
( )
( ) ( ) ( ) |
( ) ( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação em z:
2
∫
0
4z - 4z2 - z3 + 2z4 -
1
2 z5 dz = 4
1
2 z2 2
0 - 4
1
3 z3 2
0 -
1
4 z4
2
0
+ 2
1
5 z5 2
0 -
1
2
1
6 z6 2
0
2
∫
0
4z - 4z2 - z3 + 2z4 -
1
2 z5 dz = 4.2 -
32
3 - 4 +
64
5 -
16
3 =
64
5 - 12 =
4
5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A MASSA DE UM CUBO DEFINIDO PELAS EQUAÇÕES 0 ≤ X ≤ 4 , 0 ≤ Y ≤ 4 E 0 ≤ Z ≤ 4, COM
DENSIDADE VOLUMÉTRICA DE MASSA Δ(X, Y, Z) = X + 2Y.
A) 384
B) 267
C) 168
D) 123
E) 89
2. DETERMINE O VOLUME DO SÓLIDO QUE OCUPA A REGIÃO DEFINIDA POR X ≥ 0, Y ≥ 0, Z ≥ 0 E X + 2Z + 2Y = 4.
A) 
1
3
B) 
8
3
C) 
11
3
D) 
13
3
E) 
17
3
GABARITO
1. Determine a massa de um cubo definido pelas equações 0 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 4 e 0 ≤ z ≤ 4, com densidade volumétrica de massa
δ(x, y, z) = x + 2y.
A alternativa "A " está correta.
Massa V = ∭
V
δ(x, y, z) dxdydz = ∭
V
 (x + 2y)dxdydz
Massa V =
4
∫
0
4
∫
0
4
∫
0
(x + 2y)dxdydz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, a integral na variável z, mantendo x e y constantes:
( ) | | | | |
( )
4
∫
0
(x + 2y)dz = (x + 2y) z|40 = (x + 2y)(4 - 0) = 4x + 8y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, resolvendo a integral em y, mantendo x constante:
4
∫
0
(4x + 8y)dy = (4x)y|40 + 8
1
2 y2 4
0 = (4x)(4 - 0) + 4 42 - 02 = 16x + 64
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, resolvendo a integral em x:
4
∫
0
(16x + 64)dx = 64 x|40 + 16 
1
2 x2 4
0 = 64(4 - 0) + 8 42 - 02 = 256 + 128 = 384
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a massa do sólido vale 384, sendo a alternativa correta a letra A.
2. Determine o volume do sólido que ocupa a região definida por x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 e x + 2z + 2y = 4.
A alternativa "B " está correta.
Analisando o volume V:
✓ A projeção do volume sobre o plano XY será um triângulo retângulo de vértices (0,0,0), (0,2,0) e (4,0,0)
✓ Para cada ponto desse triângulo no plano XY, o valor de z varia de zero até o plano z = 2–
1
2 x– y
Assim:
V = ∭
V
dV = ∭
V
dxdydz = ∬
S
∫2 – 
1
2 x – y
0 dz dxdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação na variável z:
∫2 – 
1
2 x – y
0 dz = y|2 – 
1
2 x – y
0 = 2 – 
1
2 x – y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
V = ∬
S
2 – 
1
2 x – y dxdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A área S está apresentada a seguir:
Fonte: Autor
Assim, fixandoo valor de x entre 0 ≤ x ≤ 4, o valor de y varia de zero até a reta que une os pontos (x,y) = (0,2) e (x,y) = (4,0):
| ( )
| ( )
( )
x y 1
4 0 1
0 2 1
= 0 → 8 - 2x - 4y = 0 → x + 2y - 4 = 0 → y = 2 -
1
2 x
∬
S
2 – 
1
2 x – y dxdy =
4
∫
0
2 -
1
2 x
∫
0
2 – 
1
2 x – y dy dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação em y:
2 -
1
2 x
∫
0
2 – 
1
2 x – y dy = 2 -
1
2 x y|2 -
1
2 x
0 -
1
2 y2
2 -
1
2 x
0
2 -
1
2 x
∫
0
2 – 
1
2 x – y dy = 2 -
1
2 x 2 -
1
2 x -
1
2 2 -
1
2 x
2
=
1
2 2 -
1
2 x
2
2 -
1
2 x
∫
0
2 – 
1
2 x – y dy = 2 - x +
1
8 x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Finalmente:
V =
4
∫
0
2 - x +
1
8 x2 dx = 2x|40 -
1
2 x2 4
0 +
1
8 
1
3 x3 4
0 = 8 - 8 +
8
3 =
8
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este tema apresentou e aplicou o conceito da integral tripla de funções escalares.
No primeiro módulo, definimos a integral tripla e estudamos como se calcula a integral em coordenadas retangulares. Vimos que a integral tripla pode
ser obtida por meio de três integrais simples iteradas.
No segundo módulo, apresentamos o sistema de coordenadas cilíndricas e esféricas, bem como a representação e o cálculo da integral tripla nesses
dois sistemas de coordenadas.
Por fim, vimos exemplos de aplicação de integral tripla no cálculo de volumes, no cálculo de massa e centro de massa, e no momento de inércia.
Consideramos que, ao fim deste tema, você saiba definir e trabalhar com a integração tripla de funções escalares.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
APOSTOL, T. M. Cálculo. 2 ed. Estados Unidos da América: John Wiley & Sons, 1969. cap. 11, p. 92-416. Vol 2.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 5, p. 105-140. Vol 3.
STEWART, J. Cálculo. 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. cap. 16, p. 1020-1051. Vol 2.
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CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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