Matemática-01-Moderna-Plus-0163-0165

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1 Esboçar o gráfico e indicar o domínio e o conjunto 
imagem da função y 5 2x2 1 4x 2 6.
2 O gráfico abaixo representa a função f (x) 5 ax2 1 bx 1 c. 
Determinar as constantes reais a, b e c.
Resolução
 (0, 28) 9 f ] 28 5 a 3 02 1 b 3 0 1 c
 (22, 0) 9 f ] 0 5 a 3 (22)2 1 b 3 (22) 1 c
 (4, 0) 9 f ] 0 5 a 3 42 1 b 3 4 1 c
 Assim, para determinar a, b e c, devemos resolver o 
sistema:
 
c 5 28 (I)
4a 2 2b 1 c 5 0 (II)
16a 1 4b 1 c 5 0 (III)
 Substituímos c por 28 em (II) e (III):
 4a 2 2b 2 8 5 0
16a 1 4b 2 8 5 0
 ] 216a 1 8b 1 32 5 0
16a 1 4b 2 8 5 0
 Adicionamos, membro a membro, as duas equações 
do último sistema, obtendo:
 12b 1 24 5 0 ] b 5 22
 Substituímos, em (II), b por 22 e c por 28:
 4a 2 2 3 (22) 2 8 5 0 ] a 5 1
 Concluímos que a 5 1, b 5 22 e c 5 28.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
•	 Fazendo	y 5 0, temos:
 2x2 1 4x 2 6 5 0
 S 5 b2 2 4ac ] S 5 42 2 4 3 (21) 3 (26) 5 28
 Como S 	0,	a	função	não	tem	raiz	real;	portanto	
a parábola não intercepta o eixo Ox.
•	 Fazendo	x 5 0, temos:
 y 5 202 1 4 3 0 2 6 ] y 5 26
 Logo, a parábola intercepta o eixo Oy no ponto
 (0, 26).
•	 O	vértice	V	é	dado	por @ 2 b ___ 
2a
 , 2 
S
 ___ 
4a
 # :
 2 b ___ 
2a
 5 24 ________ 
2 3 (21)
 5 2 e 2 
S
 ___ 
4a
 5 
2(28)
 ________ 
4 3 (21)
 5 22
 Logo, V(2, 22).
•	 Assim,	esboçamos	o	gráfico	de	f :
 D( f ) 5 V
 Im( f ) 5 ]2`, 22]
�2
�6
x
y
2
f
4 x�2
�8
y
Exemplo
O vértice da parábola de equação y 5 x2 2 6x 1 5 é dado por V(xv, yv), em que:
xV 5 2 
(26)
 _____ 
2 3 1
 5 3 e yV 5 2 
[(26)2 2 4 3 1 3 5]
 _________________ 
4 3 1
 5 24
Portanto, o vértice da parábola é o ponto V(3, 24):
1
5
�4
x
V
y
5
3
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Simulador: O gráfico da função quadrática.
164
C
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98
.
CAP 5.indb 164 03.08.10 11:53:18
3 Uma	copiadora	cobra	R$	0,40	por	cópia	para	até	100	có- 
pias coloridas de uma mesma página. Para 150 cópias, 
o	preço	cai	R$	0,02	por	cópia;	e,	assim	por	diante,	
a	cada	50	cópias,	até	o	limite	de	550	cópias,	há	um	
desconto de R$ 0,02 por cópia, incidindo sobre todas 
as cópias adquiridas pelo cliente.
a) Se, obedecendo ao limite estabelecido, um cliente 
adquirir um lote de 100 1 50 x cópias, com x 9 v, 
qual será a equação que expressa o valor f (x), em 
real, pago por esse lote?
b) Construir o gráfico da função f do item a.
Resolução
a) Sob o limite estabelecido, qualquer lote com 
100 1 50x cópias, com x 9 v, terá o custo de 
0,40 2 0,02x real por cópia. Assim, o custo total 
do lote será de (100 1 50x) 3 (0,40 2 0,02x) reais. 
 Logo:
 f (x) 5 (100 1 50x)(0,40 2 0,02x) ]
 ] f (x) 5 2x2 1 18x 1 40
b)	 Fora	do	contexto	desse	problema,	o	gráfico	da	
função f (x) 5 2x2 1 18x 1	40	é	apresentado	na	
figura	1,	abaixo.	Porém,	no	contexto	do	pro-
blema, devemos obedecer à condição x 9 v e 
100 1 50x < 550, ou seja, x 9 v e x < 9, com o que 
restringimos	o	gráfico	apenas	aos	dez	pontos	da	
parábola representados na figura 2.
�2 0 9 20
121
x
y
Figura 1
4 Esboçar o gráfico, indicando o domínio e o conjunto 
imagem da função:
 II. O gráfico da função f (x) 5 22x 1 17 para x  5 
é	a	semirreta	representada	abaixo:
 A reunião	dos	gráficos	obtidos	em	(I)	e	(II)	é	o	
gráfico da função f :
 D( f ) 5 V e Im( f ) 5 V
Resolução
 Para construir o gráfico de uma função definida por 
mais de uma sentença, analisamos cada sentença 
separadamente.
 I. O gráfico da função f (x) 5 x2 2 4x para x <	5	é	o	
arco de parábola representado abaixo:
Figura 2
0
5
�4
2 4
x
y
5
7
x
y
5 17
2
0
7
5
x
y
5
2 4
17
2
�4
10 3
57
72
2 4 65 7 98
85
40
96
121
120
112
117
105
x
y
f (x) 5 
x2 2 4x, se x < 5
22x 1 17, se x  5
165
S
e
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A
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19
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CAP 5.indb 165 03.08.10 11:53:20
1 (Vunesp) O desenvolvimento da gestação de uma determinada criança, que nasceu com 40 semanas, 
50,6 cm de altura e com 3.446 gramas de massa, foi modelado, a partir da 20a semana, aproxima-
damente, pelas funções matemáticas h(t) 5 1,5t 2 9,4 e p(t) 5 3,8t2 2 72t 1 246, em que t indica o 
tempo em semanas, t > 20, h(t) a altura em centímetro e p(t) a massa em grama. Admitindo o modelo 
matemático,	determine	quantos	gramas	tinha	o	feto	quando	sua	altura	era	35,6	cm.
2 Esboce o gráfico e determine o domínio e o conjunto imagem de cada função.
a) y 5 x2 2 2x 2 8 c) y 5 2x2 1 3x 1 10 e) s(x) 5 3x2 2 12x
b) f (x) 5 x2 1 2x 1 6 d) g(x) 5 x2 2 6x 1 9 f ) y 5 x2 2 4
EXERCÍCIOS pROpOStOS
3 (Ufes) Sabendo-se que a imagem da função y 5 x2 1 5x 1 (k 1	4)	é	o	conjunto	{y 9 Voy > 21}, pode-
mos afirmar que o valor de k	é:
a) 0,25 b) 0,50 c) 0,75 d) 1,00 e) 1,25
5 (UFSCar-SP) A parábola determinada pela função f : V P V tal que f (x) 5 ax2 1 bx 1 c, com a % 0, tem 
vértice	de	coordenadas	(4,	2).	Se	o	ponto	de	coordenadas	(2,	0)	pertence	ao	gráfico	dessa	função,	
então o produto a 3 b 3 c	é	igual	a:
a) 212 b) 26 c) 0 d) 6 e) 12
6 O gráfico da função f (x) 5 3x2 1 2x 1 k 1 5, em que k 9 V, não tem ponto em comum com o eixo 
das abscissas. Determine os possíveis valores de k.
7 No mesmo plano cartesiano, construa os gráficos das funções y 5 x2 2 3x 1 2 e y 5 2x 1 5 e deter-
mine as coordenadas dos pontos comuns aos dois gráficos.
8 Os gráficos a seguir representam as funções f e g e os pontos V e P, comuns aos dois gráficos, em 
que V	é	o	vértice	da	parábola	que	representa	a	função	f.
 Se f (x) 5 2x2 1 8x, o ponto P	é:
a) P(6, 12) b) P(5 , 15) c) P @ 11 ___ 
2
 , 55 ___ 
4
 # d) P(7, 7) e) P @ 15 ___ 
2
 , 15 ___ 
4
 # 
4 O gráfico abaixo representa a função f (x) 5 ax2 1 bx 1 c. Determine as constantes reais a, b e c.
8
x
y
f
6
2
�4
y
V
P
f g
x12
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