Cálculo Diferencial: Taxas Relacionadas e Polinômios de Taylor

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13. Taxas Relacionadas. Aproximações lineares e Diferenciais. Polinômios de Taylor.
(1) Se V for o volume de um cubo com a aresta de comprimento x e à medida em que o tempo passa
o cubo se expande, encontre dV/dt em termos de dx/dt.
(2) Ao meio dia, o navio A está a 150 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o
leste a 35km/h, e o navio B está navegando para norte a 25km/h. Quão rápido estará variando
a distância entre os navios às 4 horas da tarde.
(3) Um holofote sobre o chão ilumina uma parede 12m distante dele. Se um homem de 2m de altura
anda do holofote em direção a parede a uma velocidade de 1,6m/s, quão rápido decresce sua
sombra sobre a parede quando ele está a 4m dela?
(4) Um cocho tem 10pés de comprimento e suas extremidades têm forma de triângulos isósceles com
3pés na base e 1 pé de altura. Se o cocho for preenchido com água a uma taxa de 12pés3/min, quão
rápido estará se elevando o nivel de água quando ele estiver com 6 polegadas de profundidade.
(5) Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de 30pés/min, constituindo
uma pilha na forma de cone com o diâmetro da base e altura sempre igual. Quão rápido está
crescendo a altura da pilha quando está a 10 pés de altura.
(6) A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gás está comprimida a uma temperatura
constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação PV = Cte. Suponha que a um certo
instante o volume é de 600cm3., a pressão é 150kPa e a pressão cresce a uma taxa de 20kPa/min.
A que taxa está decrescendo o volume nesse instante?.
(7) Uma escada de 10pés de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. Se a base da
escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade de 2pés/seg, quão rápido está variando
o ângulo entre o topo da escada e a parede quando o ângulo é π/4 rad.
(8) Encontre a linearização L(x) da função em a
i- f(x) = x3, a = 1
ii- f(x) = cos(x). a = π/2
iii- f(x) = ln(x), a = 1,
iv- f(x) =3
√
x, a = −8.
(9) Encontre o diferencial da função
i- y = x4 + 5x
ii- y = cos(πx)
iii- y = x ln(x),
iv- y = u+1u−1
(10) Utilize as diferenciais para estimar os seguintes valores
i- (2, 001)5
ii-
√
99, 8
iii- 1/1, 002,
iv- ln(1, 07)
(11) O raio de um disco circular é 24cm, com um posśıvel erro de medida de 0,1cm. Use diferenciais
para estimar o erro máximo na área do disco calculado.
(12) A circunferência de uma esfera mede 84cm, com erro posśıvel de 0,5cm. Determine, utilizando
diferenciais, o erro máximo relativo na área da superf́ıcie e do volume calculados.
(13) Encontre as derivadas primeiras e segunda da função
i- f(x) = x5 + 6x2 − 7x
ii- f(x) = 1−4x1+3x
iii- f(x) = 2x+1x−1
iv- f(x) =
√
x2 + 1
v- f(x) = x2 cos(x)
(14) Encontre y�� diferenciando implicitamente.
i- 9x2 + y2 = 1
ii- x3 + y3 = 1
iii-
√
x+
√
y = 1
(15) Uma massa atada a uma mola vertical tem função de posição dada por y(t) = A sin(ωt) onde A
é a amplitude de oscilação e ω é a frequência.
i- Encontre a velocidade e aceleração em função de t
ii- Mostre que a aceleração é proporcional ao deslocamento de y.
iii- Mostre que a velocidade é máxima quando a aceleração é 0.
(16) Encontre um polinômio de segundo grau tal que p(2) = 5, p�(2) = 3 e p��(2) = 2.
(17) Para quais valores de r a função f(x) = erx satisfaz a equação y�� + 5y� − 6y = 0.
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(18) Determine o polinômio de Taylor, de ordem 3, e f em volta do x0 dado.
i- f(x) = ln(1 + x), x0 = 0
ii- f(x) = ex, x0 = 0
iii- f(x) = 3
√
x, x0 = 1
iv- f(x) = sin(x), x0 = 0
v- f(x) = cos(x), x0 = 0
(19) Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2 calcule um valor aproximado e avalie o erro
i- ln(1, 3)
ii- 3
√
1, 2
iii- sin(0, 1)
iv- cos(0, 1)
(20) Mostre que para todo x > 0 temos
i- cos(x) > 1− x22
ii- sin(x) > x− x36
iii- sin(x) < x− x36 + x
5
5!
iv- 0 < sin(x)−
�
x− x36
�
< x
5
5! (Dica: usar item ii)
v- sin(x) > x− x36 + x
5
5! − x
7
7!