Exercícios de Polinômios

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Prof Arthur Alves Matéria: Matemática 
Colégio e Curso Progressão Vila da Penha 
1. (EsSA – 2010) Sabe-se que 1, a e b são raízes do 
polinômio p(x) = x3 – 11x2 + 26x – 16, e que a > b. Nessas 
condições, o valor de ab + logb a é: 
a)
49
3
 
b)
193
3
 
c) 67 
d) 64 
e) 19 
 
2. (EsSA – 2014) Uma equação polinomial do 3º grau que 
admite as raízes − −
1
1, e 2
2
é: 
a) x3 - 2x2 - 5x – 2 = 0. 
b) 2x3 - x2 - 5x + 2 = 0. 
c) 2x3 - x2 + 5x – 2 = 0. 
d) 2x3 - x2 - 2x – 2 = 0. 
e) 2x3 - x2 - 5x – 2 = 0. 
 
3. (EsSA – 2016) O grau do polinômio (4x 
– 1).(x2 – x – 3).(x + 1) é: 
a) 6 
b) 5 
c) 3 
d) 4 
e) 2 
 
4. (EsSA – 2016) O conjunto solução da equação x3 
- 2x2 - 5x + 6 = 0 é: 
a) S = {–3; –1; 2} 
b) S = {–0,5; –3; 4} 
c) S = {–3; 1; 2} 
d) S = {–2; 1; 3} 
e) S = {0,5; 3; 4} 
 
5. (EsSA – 2017) Se 2 + 3i é raiz de uma equação algébrica 
P(x) = 0, de coeficientes reais, então podemos afirmar que: 
a) 2 também é raiz da mesma equação. 
b) -3i também é raiz da mesma equação. 
c) 2 – 3i também é raiz da mesma equação. 
d) 3 + 2i também é raiz da mesma equação. 
e) 3 – 2i também é raiz da mesma equação. 
 
6. (EEAr – 2010) Se a maior das raízes da equação x3 
– 6x2 + 11x – 6 = 0 é igual à soma das outras duas, então 
seu valor é divisor de 
a) 10. 
b) 16. 
c) 18. 
d) 20. 
 
7. (EEAr – 2010) Seja A = {-2, -1, 1, 2} o conjunto formado 
pelas raízes de um polinômio P(x) do 4° grau. Se o 
coeficiente do termo de maior grau de P(x) é 1, então o 
termo independente é 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
 
8. (EEAr – 2010) Sabe-se que a equação x4 
– 2x3 – 8x2 + 18x - 9 = 0 equivale a (x 
– 1)2.(x2 – 9) = 0. Assim, a raiz de multiplicidade 2 dessa 
equação é 
a) -3 
b) -1 
c) 1 
d) 3 
 
9. (EEAr - 2011) Seja r a maior raiz da equação x(x 
+ 2)(x - 1)3 = 0 . Se m é a multiplicidade de r, então r.m é 
igual a 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
 
10. (EEAr - 2011) Se o polinômio 
P(x) = ax3 - 3x2 - bx - 3 é divisível por (x - 3)(x + 1), então o 
valor de a + b é 
a) 10 
b) 8 
c) 7 
d) 5 
 
 
 
 
11. (EEAr - 2011) Uma equação polinomial de coeficientes 
reais admite como raízes os números -2, 0, 2 e 1 + 
i. O menor grau que essa equação pode ter é 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
 
12. (EEAr - 2012) Seja a equação polinomial 
2x3 + 4x2 - 2x + 4 = 0. Se S e P são, respectivamente, a 
soma e o produto de suas raízes, então 
a) S = P 
b) S = 2P 
c) S = 2 e P = -4 
d) S = 2 e P = -4 
 
13. (EEAr - 2013) O resto da divisão de 
4x3 + 2x2 + x - 1 por x2 - 3 é igual a 
a) 13x + 5 
b) 11x - 3 
c) 2x + 5 
d) 6x - 3 
 
14. (EEAr - 2014) A equação (x2 + 3)(x - 2)(x + 1) = 0 
tem____raízes reais. 
a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 
 
15. (EEAr - 2015) Seja a equação x3 - 5x2 + 7x - 3 = 0. 
Usando as relações de Girard, pode-se encontrar como 
soma das raízes o valor 
a) 12 
b) 7 
c) 5 
d) 2 
 
 
 
 
 
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16. (EEAr - 2016) Dada a equação 3x3 
+ 2x2 – x + 3 = 0 e sabendo que a, b e c são raízes dessa 
equação, o valor do produto a.b.c é 
a) 1 b) -1 c) 
3
1
 d) 
3
1
− 
 
17. (EEAr - 2016) Dado o polinômio: 
ax3 + (2a + b)x2 + cx + d – 4 = 0, os valores de a e b para 
que ele seja um polinômio de 2º grau são 
a) a = 0 e b = 0 
b) a = 1 e b ≠ 0 
c) a = 0 e b ≠ 0 
d) a = -1 e b = 0 
 
18. (EEAr - 2017) Considere P(x) = 2x3 + bx2 + cx, tal que 
P(1) = - 2 e P(2) = 6 . Assim, os valores de b e c são, 
respectivamente, 
a) 1 e 2 
b) 1 e -2 
c) -1 e 3 
d) -1 e -3 
 
19. (EEAr - 2017) Ao dividir 3x3 + 8x2 + 3x + 4 por x2 
+ 3x + 2 obtém-se _____ como resto. 
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 
 
20. (EEAr – 2018) Sejam os polinômios A(x) 
= x3 + 2x2 – x – 4, B(x) = ax3 – bx2 – 4x + 1 e P(x) = 
A(x) – B(x). Para que P(x) seja de grau 2, é necessário que 
a) a ≠ –1 e b = –2 
b) a = 1 e b = –2 
c) a = 1 e b ≠ –2 
d) a ≠ 1 e b ≠ 2 
 
21. (EEAr - 2018) Se os números 2, 5, 1 + i e 3 - 5i são 
raízes de uma equação polinomial de grau 6, com o 
coeficiente do termo de maior grau igual a 1, a soma das 
outras duas raízes dessa equação é 
a) 4 + 4i 
b) 4 + 3i 
c) 3 + 4i 
d) 3 + 3i 
 
22. (EEAr – 2019) A parte real das raízes complexas da 
equação x2 – 4x + 13 = 0, é igual a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
23. (EEAr – 2019) Seja a equação polinomial x3 
+ bx2 + cx + 18 = 0. Se –2 e 3 são suas raízes, sendo que 
a raiz 3 tem multiplicidade 2, o valor de “b” é 
a) 8 b) 6 c) –3 d) –4 
 
 
24. (EEAr – 2020) Da equação x3 + 11x2 + kx + 36 = 0, 
sabe-se que o produto de duas de suas raízes é 18. Assim, 
o valor de k é 
a) 6 
b) 8 
c) 18 
d) 36 
 
25. (EEAr – 2020) Se Q(x) = ax2 + bx + c é o quociente da 
divisão de G(x) = 6x3 – 5x2 + 7x – 4 por H(x) = x – 1, então 
o valor de b + c é 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
 
26. (EEAr – 2020) Na equação 
2x5 – 5x4 + 10x2 – 10x + 3 = 0, a raiz 1 tem multiplicidade 
igual a _____. 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
27. (EEAr – 2021) O número complexo z = 2 + 3i é uma 
raiz do polinômio p(x) = x3 − 5x2 + 17x − 13. Sendo assim, 
é correto afirmar que p(x) possui 
a) outras 2 raízes não reais. 
b) apenas 1 raiz não real. 
c) 2 raízes reais. 
d) 1 raiz real. 
 
28. (EEAr – 2021) Dados os polinômios 
P(x) = x2 + ax - 3b e Q(x) = -x3 + 2ax - b, ambos divisíveis 
por (x - 1), então a soma a + b é: 
a) 1/3 
b) 2/3 
c) 3/4 
d) 7/5 
 
29. (EEAr – 2022) Sejam A e B os restos das divisões de 
P(x) = x3 − 3x2 − 4x + 6 por, respectivamente, x + 2 e x − 3. 
Desta forma, pode-se afirmar que 
a) A = B 
b) A = 2B 
c) B = 2A 
d) A = −B 
 
30. (EEAr – 2022) Sabe-se que os polinômios A(x) e B(x) 
têm grau 4 e que P(x) = A(x) . B(x) e T(x) 
= A(x) + B(x) são polinômios não nulos. 
Assim, pode-se afirmar que os graus de P(x) e T(x) são, 
respectivamente, ____ e menor ou igual a ____. 
a) 4; 8 
b) 8; 8 
c) 4; 4 
d) 8; 4 
 
31. (EEAr – 2023) Se as raízes da equação 
3 23
x 7x 3x 5 0
2
− − − = são 2 − i, m e n, então o valor de m 
. n é igual a 
a) 
2 i
3
+
 b) 
4 2i
3
+
 c) 
2 3i
2
+
 d) 
1 4i
2
+
 
 
 
32. (EEAr – 2023) Se 4 é uma das raízes do polinômio 
P(x) = x3 − 8x2 + 19x − 12, então as outras raízes são 
 
 
 
 
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números 
a) opostos. 
b) ímpares. 
c) negativos. 
d) irracionais. 
 
33. (EEAr – 2024) Se o polinômio A(x) = x3 + mx + n é 
divisível pelo polinômio B(x) = x2 + x + 1, com m e n 
números reais, então o produto de m por n é _____. 
a) 0 
b) 1 
c) −1 
d) −2 
 
34. (EsPCEx – 2011) Os polinômios A(x) e B(x) são tais 
que A(x) = B(x) + 3x3 + 2x2 + x + 1. Sabendo-se que -1 é 
raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então A(3) - B(-1) é igual a: 
a) 98 
b) 100 
c) 102 
d) 103 
e) 105 
 
35. (EsPCEx – 2011) As medidas em centímetros das 
arestas de um bloco retangular são as raízes da equação 
polinomial x3 – 14x2 + 64x – 96 = 0. Denominando-se r, s e 
t essas medidas, se for construído um novo bloco 
retangular, com arestas medindo (r - 1), (s - 1) e (t - 1), ou 
seja, cada aresta medindo 1 cm a menos que a do bloco 
anterior, a medida do volume desse novo bloco será 
a) 36 cm3 
b) 45 cm3 
c) 54 cm3d) 60 cm3 
e) 80 cm3 
 
36. (EsPCEx – 2011) Seja a função complexa P(x) 
= 2x3 - 9x2 + 14x - 5. Sabendo-se que 2 + i é raiz de P, o 
intervalo I de números reais que faz P(x)c) a soma de suas raízes é igual a uma de suas raízes. 
d) é divisível por P(x) = x + 2 
 
62. (AFA - 2012) O polinômio P(x) = x4 - 75x2 + 250x tem 
uma raiz dupla. Em relação à 
P(x) é correto afirmar que 
a) a sua raiz dupla é negativa. 
b) três de suas raízes são negativas. 
c) nenhuma de suas raízes é negativa. 
d) apenas uma de suas raízes é negativa. 
 
63. (AFA - 2013) As raízes da equação algébrica 2x3 
- ax2 + bx + 54 = 0 formam uma progressão geométrica. 
Se a, b  R, b ≠ 0, então a
b
 é igual a: 
a) 1
3
− 
b) 3 
c) 2
3
− 
d) 2
3
 
 
64. (AFA - 2014) A equação x3 - 4x2 + 5x + 3 = 0 possui as 
raízes m, p e q. O valor da expressão 
mp
q
mq
p
pq
m
++ é 
a) -2 
b) -3 
c) 2 
d) 3 
 
65. (AFA - 2015) Considere o polinômio 
p(x) = ax4 + bx3 + 2x2 + 1, {a, b} ⊂ R e marque a alternativa 
FALSA. 
a) x = 0 não é raiz do polinômio p(x) 
b) Existem valores distintos para a e b tais que x = 1 ou x = 
–1 são raízes de p(x) 
c) Se a = 0 e b = 3, o resto da divisão de p(x) por 3x2 
– x + 1 é zero. 
d) Se a = b = 0 tem-se que x = i
2
1
− é uma raiz de p(x), 
considerando que i2 = –1 
 
66. (AFA – 2016) Considere os polinômios 
Q(x) = x2 - 2x + 1 e P(x) = x3 - 3x2 – ax + b, sendo a e b 
números reais tais que a2 – b2 = -8 
Se os gráficos de Q(x) e P(x) têm um ponto comum que 
pertence ao eixo das abscissas, então é INCORRETO 
afirmar sobre as raízes de P(x) que 
a) podem formar uma progressão aritmética. 
 
 
 
 
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b) são todas números naturais. 
c) duas são os números a e b 
d) duas são números simétricos. 
 
67. (AFA – 2017) O polinômio P(x) = x3 + mx2 + nx + 12 é 
tal que P(x) = 0 admite as raízes x1, x2 e x3. 
Se x1 . x2 = -3 e x2 + x3 = 5, então é correto afirmar que 
a) P(m) = 0 
b) m − n = −13 
c) m ⋅ n = 20 
d) n − 2m = −7 
 
68. (AFA – 2019) Sobre a inequação 
2
33x 2x
x ,
x
+
 
considerando o conjunto universo U ⊂ IR, é INCORRETO 
afirmar que possui conjunto solução 
a) unitário se U = { x ∈ IR | x > 0 e x = 2k, k ∈ ℤ+* } 
b) vazio se U = [2, +∞[ 
c) com infinitas soluções se U 
= {x ∈ IR | x = 2k + 1, k ∈ ℤ-} 
d) com infinitas soluções se U = {x ∈ IR* | x ≤ 2} 
 
 
69. (AFA – 2019) Considere a ∈ IR e os polinômios 
= − −6 3a
P(x) x 26x 27
2
 e A(x) = 2x2 + 4x + a, tais que seus 
gráficos se intersectam em um único ponto de ordenada 
nula. 
Sabendo também que, graficamente, A(x) tangencia o eixo 
Ox, analise as afirmativas abaixo e escreva V para 
verdadeira e F para falsa. 
( ) O gráfico de P corta o eixo (x) Ox em dois pontos. 
( ) Os afixos das raízes de P(x) que possuem menor 
módulo formam um triângulo cujo perímetro mede 3√3 
unidades de comprimento. 
( ) A soma das raízes imaginárias de P(x) é igual a −2 
A sequência correta é 
a) V – V – V 
b) V – F – F 
c) F – V – F 
d) F – V – V 
 
70. (AFA – 2020) Considere os polinômios na variável x: 
A(x) = x3 + (3m3 - 4m)x2 – 2, sendo m ∈ ℚ; e 
B(x) = x2 - 2x + 1 
Os gráficos de A(x) e B(x) possuem apenas um ponto 
comum sobre o eixo das abscissas. 
É correto afirmar que 
a) o produto e a soma das raízes imaginárias de A(x) são 
números conjugados. 
b) os afixos das raízes de A(x) formam um triângulo 
equilátero. 
c) as raízes de A(x) possuem argumentos que NÃO 
formam uma Progressão Aritmética. 
d) todas as raízes de A possuem o mesmo módulo. 
 
71. (AFA – 2021) O polinômio de raízes reais distintas e 
coeficientes reais, P(x) = 6x3 + mx2 - 18x + n, é divisível por 
(x − α) e possui duas raízes simétricas. 
Se P(P(α)) = 9, então P(1) é igual a 
a) -9 b) -6 c) -3 d) 0 
 
72. (AFA – 2022) No universo dos complexos, sobre a 
equação 2x6 − 4x5 − 64x + 128 = 0, marque a alternativa 
correta. 
a) Apresenta conjunto solução unitário. 
b) O produto das raízes imaginárias é igual a 16. 
c) Apresenta conjunto solução com seis elementos 
distintos. 
d) A soma das raízes imaginárias é igual a uma de suas 
raízes. 
 
73. (AFA – 2022) Considere o polinômio P(x) 
= 5x2n − 4x2n + 1 − 2, em que n é um número natural. 
Dividindo P(x) por (x+1), o resto r encontrado é tal que 
a) r2021) Para que o p(x) 
= x5 - 4x4 + 2x3 + kx2 - 3x - 2 seja divisível pelo polinômio 
q(x) = 1 – x2, o valor de k deve ser um número 
a) múltiplo de 12. 
b) múltiplo de 6. 
c) áureo. 
d) primo. 
e) quadrado perfeito. 
 
87. (EFOMM – 2021) Sejam x1, x2 e x3 as raízes do 
polinômio p(x) = x3 – x2 - 14x + 24. O valor de 
+ +2 2 2
1 2 3x x x e 
a) 14 b) 29 c) 38 d) 336 e) 576 
 
88. (EFOMM – 2021) Seja o polinômio 
p(x) = x5 + 5x4 + 8x3 + 8x2 + 7x + 3 com raiz dupla em x = 
-1. Pode-se afirmar que as demais raízes são compostas 
por 
a) uma raiz real dupla e uma complexa. 
b) três raízes reais distintas. 
c) uma raiz tripla. 
d) duas raízes complexas e uma real. 
e) duas raízes reais e uma complexa. 
 
89. (EFOMM – 2022) Sejam p e q as raízes da equação 
5x2 + 2x – 1 = 0. 
O valor de p-5 + q-5 é 
a) 480 
b) 481 
c) 482 
d) 483 
e) 484 
 
90. (EFOMM – 2023) Sejam p e q as raízes da equação x2 
- 2x + k = 0, em que k é um número real diferente de zero. 
Se 
1
𝑝2
+
1
𝑞2
= 6, 
então o produto dos possíveis valores de k é 
a) -1. 
b) −
2
.
3
 
c) 
1
.
3
 
d) 
2
.
3
 
 
 
 
 
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e) 
3
.
2
 
 
 
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