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Estatística Aplicada à Economia
Outras Distribuições discretas
Carlos Alberto Gonçalves Junior
Distribuição Hipergeométrica
Consideremos, novamente, o problema discutido na seção anterior, em que se retira uma amostra aleatória de n elementos, sem reposição, de uma população com m elementos, dos quais mp têm determinada característica A de interesse.
Seja X o número de elementos da amostra que apresentam essa característica. Vimos que se n for muito pequeno em relação a m, X tem distribuição aproximadamente binomial com parâmetros n e p. 
Vamos examinar a distribuição exata de X, nessa situação, denominada distribuição hipergeométrica, que deverá ser usada se n não for bastante pequeno em relação a m.
Distribuição Hipergeométrica
O número de combinações dos m elementos da população em amostras de n elementos é . Vejamos como determinar a probabilidade de ter k elementos com a característica A na amostra. Há maneiras de combinar os mp elementos da população com a característica A para obter k elementos da amostra com essa característica.
E há maneiras de combinar os demais elementos da população para constituir os demais elementos da amostra. Conclui-se que:
(7.14)
Distribuição Hipergeométrica
São três os parâmetros da distribuição hipergeométrica: m, p e n. O parâmetro p () é a proporção dos m elementos da população que têm a característica A.
Para que sejam definidos os três tipos de combinação considerados na equação 7.14 devemos ter:
Pode-se deduzir que a média e a variância da distribuição hipergeométrica são:
Em que q = (1 – p)
Distribuição Hipergeométrica
Note-se que a expressão da esperança de X é exatamente a mesma que na distribuição binomial, e a expressão da variância defere da variância binomial pelo fator (m – n)/(m – 1), que se torna praticamente igual a 1 se m for muito maior que n. 
A distribuição binomial pode ser considerada o limite da distribuição hipergeométrica quando m tende ao infinito, mantendo fixos os valores de n e p.
Para ilustrar, consideremos a distribuição hipergeométrica com parâmetros m = 5,
P = 0,4 e n = 2. O estudante deve usar 7.14 para calcular os valores de P(X=k) apresentados na Tabela 7.5. 
Verifica-se, por exemplo, que a probabilidade de que um (e apenas um) dos dois elementos da amostra tenha a característica de interesse é 0,6. 
Distribuição Hipergeométrica
Usando os valores de k e P(X=k) da tabela 7.5 podemos calcular a média E(X) = 0,8 e a variância E(X – u)2 = 0,36, e depois verificar que os mesmos valores são obtidos nas equações referentes à média e a variância.
Distribuição de Poisson
Outra distribuição de variável discreta associada à distribuição binomial é a distribuição de Poisson. A variável X pode assumir valores inteiros não-negativos (0,1,2,...) e as respectivas probabilidades são:
Sendo o único parâmetro da distribuição. Também chamado taxa de ocorrência, ou frequência esperada de ocorrências em um intervalo (tempo, área, volume). Pode-se provar que tanto a esperança de X quanto a variância de X são iguais a 
E(X) = V(X) = 
Distribuição de Poisson
Se, em uma distribuição binomial, considerarmos valores crescentes de n, mantendo fixo o valor de np = , a distribuição binomial se aproxima de uma distribuição de Poisson com média .
A Tabela 7.6 mostra as probabilidades associadas aos diferentes valores de X = k
 em uma distribuição de Poisson com parâmetro =2, e as probabilidades associadas aos mesmos valores de X em uma distribuição binomial com parâmetros associadas aos mesmos valores de X em uma distribuição binomial com parâmetros n = 100 e p = 0,02, cuja média também é igual a 2. 
Note-se que as probabilidades nas duas distribuições são muito semelhantes, sendo que ambas são praticamente iguais a zero para .
Distribuição de Poisson
OBRIGADO!
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