Aula 5 - Calculo Numérico

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Cálculo Numérico 
Professora Msc. Rúbia Maria Pereira 
 
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Aula 5 
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2.5 Sistemas Não Lineares 
 
{
𝑓1(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛)
𝑓2(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛)
⋮
𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛)
 
 
{
 
 
 
 
 
 
𝜕𝑓1
𝜕𝑥1
∙ ℎ1 +
𝜕𝑓1
𝜕𝑥2
∙ ℎ2 +⋯+
𝜕𝑓1
𝜕𝑥𝑛
∙ ℎ𝑛 = −𝑓1
𝜕𝑓2
𝜕𝑥1
∙ ℎ1 +
𝜕𝑓2
𝜕𝑥2
∙ ℎ2 +⋯+
𝜕𝑓2
𝜕𝑥𝑛
∙ ℎ𝑛 = −𝑓2
⋮
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥1
∙ ℎ1 +
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥2
∙ ℎ2 +⋯+
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥𝑛
∙ ℎ𝑛 = −𝑓𝑛
 
 
{
 
 
𝑥1
𝑛+1 = 𝑥1
𝑛 + ℎ1
𝑥2
𝑛+1 = 𝑥2
𝑛 + ℎ1
⋮
𝑥𝑛
𝑛+1 = 𝑥2
𝑛 + ℎ1
 
 
Exemplo: Resolva: {
𝑥2 + 𝑥𝑦 = 6
3𝑥 − 𝑦2 = 5
; 𝑥0 = 1 𝑒 𝑦0 = 1; ∆≤ 10−2 
 
𝑓1 = 𝑥
2 + 𝑥𝑦 − 6
𝑓2 = 3𝑥 − 𝑦
2 − 5
→ 
{
 
 
 
 𝜕𝑓1
𝜕𝑥
∙ ℎ1 +
𝜕𝑓1
𝜕𝑦
∙ ℎ2 = −𝑓1
𝜕𝑓2
𝜕𝑥
∙ ℎ1 +
𝜕𝑓2
𝜕𝑦
∙ ℎ2 = −𝑓2
 
 
{
(2𝑥 + 𝑦) ∙ ℎ1 + 𝑥 ∙ ℎ2 = −𝑥
2 − 𝑥𝑦 + 6
3 ∙ ℎ1 − 2𝑦 ∙ ℎ2 = −3𝑥 + 𝑦2 + 5
 (∗) 
 
Substituindo 𝑥0 = 1 𝑒 𝑦0 = 1 𝑒𝑚 (∗): 
{
3ℎ1 + ℎ2 = 4
3ℎ1 − 2ℎ2 = 3 . (−1)
 
 
{
3ℎ1 + ℎ2 = 4
−3ℎ1 + 2ℎ2 = −3
 
 / 3ℎ2 = 1 → ℎ2 = 0,333 ∴ ℎ1 = 1,222 
 
Determinando 𝑥1 𝑒 𝑦1: 
𝑥1 = 𝑥0 + ℎ1 → 1 + 1,222 = 2,222 
𝑦1 = 𝑦0 + ℎ2 → 1 + 0,333 = 1,333 
 
REPETE TODO O PROCESSO! 
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Substituindo 𝑥1 𝑒 𝑦1 𝑒𝑚 (∗): 
{
5,777ℎ1 + 2,222ℎ2 = −1,899
3ℎ1 − 2,666ℎ2 = 0,111
 
 
ℎ1 =
0,111 + 2,666ℎ2
3
 
 
5,777ℎ1 + 2,222ℎ2 = −1,899 
5,777(
0,111 + 2,666ℎ2
3
) + 2,222ℎ2 = −1,899 
0,214 + 5,134ℎ2 + 2,222ℎ2 = −1,899 
7,356ℎ2 = −2,113 → ℎ2 = −0,287 ∴ ℎ1 = −0,218 
 
Determinando 𝑥2 𝑒 𝑦2: 
𝑥2 = 𝑥1 + ℎ1 → 2,222 + (−0,218) = 2,004 
𝑦2 = 𝑦1 + ℎ2 → 1,333 + (−0,287) = 1,046 
 
Substituindo 𝑥2 𝑒 𝑦2 𝑒𝑚 (∗): 
{
5,054ℎ1 + 2,004ℎ2 = −0,112
3ℎ1 − 2,092ℎ2 = 0,082
 
 
ℎ1 =
0,082 + 2,092ℎ2
3
 
 
5,054ℎ1 + 2,004ℎ2 = −0,112 
5,054(
0,082 + 2,092ℎ2
3
) + 2,004ℎ2 − 0,112 
0,138 + 3,524ℎ2 + 2,004ℎ2 = −0,112 
 ℎ2 = −0,045 ∴ ℎ1 = −0,004 
 
Determinando 𝑥3 𝑒 𝑦3: 
𝑥3 = 𝑥2 + ℎ1 → 2,004 + (−0,004) = 2,000 
𝑦3 = 𝑦2 + ℎ2 → 1,046 + (−0,045) = 1,001 
 
Substituindo 𝑥3 𝑒 𝑦3 𝑒𝑚 (∗): 
{
5,001ℎ1 + 2,000ℎ2 = −0,002
3ℎ1 − 2,002ℎ2 = 0,002
 
 
ℎ1 =
0,002 + 2,002ℎ2
3
 
 
5,001ℎ1 + 2,004ℎ2 = −0,002 
5,054(
0,002 + 2,002ℎ2
3
) + 2,000ℎ2 − 0,002 
0,003 + 3,337ℎ2 + 2,000ℎ2 = −0,002 
 ℎ2 = −0,001 ∴ ℎ1 = 0 
 
Determinando 𝑥4 𝑒 𝑦4: 
𝑥4 = 𝑥3 + ℎ1 → 2,000 + 0 = 2,000 
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𝑦4 = 𝑦3 + ℎ2 → 1,001 + (−0,001) = 1,000 
Quadro resumo 
i x y ∆ 
0 1 1 - 
1 2,222 1,333 1,222 
2 2,004 1,046 0,287 
3 2,000 1,001 0,045 
4 2,000 1,000 0,001 
 
A tolerância foi alcançada: ∆< 10−2 
 
Solução: 𝑥 = 2,00 | 𝑦 = 1,00 
 
Exercício: Resolva: 
{
2𝑥 + 3𝑥𝑦 + 𝑥2 + 𝑧 = 10
𝑥2 − 2𝑦2 + 𝑥𝑧 = 12
6𝑥 + 3𝑦𝑧 − 𝑧2 = 20
, (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) = (1,1,1) 𝑒 ∆≤ 10
−2 
 
Obs: Parar na 3ª iteração