Aula 6 - Calculo Numérico

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Cálculo Numérico 
Professora Msc. Rúbia Maria Pereira 
 
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Aula 7 
Objetivo: 
• Localizar graficamente a raiz de uma equação; 
• Localizar raízes através de métodos por meio de aproximações sucessivas; 
• Compreender a convergência dos métodos de localização de raízes apresentados. 
 
 
Link: 
3. Zero de Função 
 
Equação 
𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0 
X é incógnita 
 
Função 
𝑦 = 𝑥² − 3𝑥 − 4 
x é variavel 
Polinômio 
𝑥² − 3𝑥 − 4 
 
O objetivo deste capítulo é determinar zeros de funções ou raízes de equações lineares. 
Há necessidade de se determinar um número 𝜀 para o qual uma função f(x) seja zero, 
f(x)=0. Este número 𝜀 é denominado raiz da equação ou zero da função. 
 
-Equação de 1º grau: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0 
2𝑥 − 1 = 5 
2𝑥 − 1 + 1 = 5 + 1 
2𝑥 ∙
1
2
= 6 ∙
1
2
→ 𝑥 = 3 
 
-Equação de 2º grau: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0 
𝑥² − 3𝑥 − 4 = 0 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
𝑥 =
3 ±√(−3)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−4)
2 ∙ 1
 
𝑥 =
3 ± √9 + 16
2
 
𝑥 =
3 ± √25
2
 
𝑥′ =
3 + 5
2
=
8
2
= 4 
𝑥′′ =
3 − 5
2
= −
2
2
= −1 
 
-Equação de 3º grau: 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0 
𝑥3 − 2𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0 
 
Técnica de Briot-Rufflin 
x 1 -2 -2 2 (x,y) 
-3 1 -5 13 -37 (-3,-37) P1 
-2 1 -4 6 -10 (-2,-10) P2 
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-1 1 -3 1 1 (-1,1) P3 
0 1 -2 -2 2 (0,2) P4 
1 1 -1 -3 -1 (1,-1) P5 
2 1 0 -2 -2 (2,-2) P6 
3 1 1 1 5 (3,5) P7 
 
3.1 Método Gráfico 
 
Aproveitando a equação 𝑥3 − 2𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0 e os pontos obtidos por meio do 
dispositivo de Briot-Ruffini, vamos traçar o gráfico. 
 
 
𝜀1 ∈ [−2,−1] 
𝜀2 ∈ [0, 1] 
𝜀3 ∈ [2,3] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O método gráfico permite identificar os intervalos de busca das raízes das equações. 
 
Teorema: Se uma função contínua f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos 
extremos do intervalo[a,b], isto é, f(a) . (fb) < 0, então o intervalo conterá, no mínimo, 
uma raiz de equação f(x)=0, em outras palavras, haverá, no mínimo, um 𝜀 ∈ [𝑎, 𝑏], tal 
que 𝑓(𝜀) = 0. 
 
f(a) . (fb) < 0, então 
existe um número 
ímpar de raízes reais 
(contando suas 
multiplicidades). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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f(a) . (fb) > 0, então existe um número par de raízes reais (contando suas multiplicidades) 
ou não existe raízes. 
 
3.2 Método da Bissecção 
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e f(a).f(b)<0. 
Dividindo o intervalo [a,b] ao meio, obtém-se xm e dois subintervalos: [a,xm] e [xm,b]. 
O método consiste em tomar o intervalo incial de busca e determinar o ponto médio: 
𝑥𝑚 =
𝑎0 + 𝑏0
2
 
 
Fazendo os testes: 
i) Se f(𝑥𝑚), então pare, 𝜀 = 𝑥𝑚 
ii) 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑥𝑚) < 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜀 ∈ [𝑎, 𝑥𝑚] 
iii) 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑥𝑚) > 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜀 ∈ [𝑥𝑚, 𝑏] 
 
Determina-se o novo intervalo de buscar o processo se encerra quando a tolerância (∆) é 
alcançada. 
 
Exemplo: Seja a equação 𝑥3 − 2𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0. Determine 𝜀⬚ ∈ [0, 1], ∆≤ 10−2. 
 
i a xm B f(a) F(xm) ∆ 
0 0 0,5 1 2 0,625 - 
1 0,5 0,75 1 0,625 -0,203 0,25 
2 0,5 0,625 0,75 0,625 0,213 0,125 
3 0,625 0,688 0,75 0,213 0,003 0,063 
4 0,688 0,719 0,75 0,003 -0,100 0,031 
5 0,688 0,704 0,719 0,003 -0,050 0,015 
6 0,688 0,696 0,704 0,003 -0,024 0,008 
 
Exemplo: Seja a equação 𝑒−𝑥 − 𝑥 = 0 Determine 𝜀⬚ ∈ [0, 1], ∆≤ 10−2. 
i a xm B f(a) F(xm) ∆ 
 
0 
0 0,5 1 1 0,107 - 
1 0,5 0,75 0 0,107 -0,278 0,25 
2 0,5 0,625 0,75 0,107 -0,090 0,125 
3 0,5 0,562 0,625 0,107 0,008 0,063 
4 0,562 0,594 0,625 0,008 -0,042 0,032 
5 0,562 0,578 0,594 0,008 -0,017 0,016 
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6 0,562 0,57 0,578 + - 0,008 
 
Exercícios: 
1)Seja a equação 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 Determine 𝜀⬚ ∈ [3,4], ∆≤ 10−2. 
2) Seja a equação𝑥3 − 2𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0 Determine 𝜀1 ∈ [−2,−1] e 𝜀2 ∈ [2,3], ∆≤
10−2.