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Módulo 1 Unidade 2 Proporcionalidade Grandezas diretamente proporcionais Se 2 refrigerantes custam R$ 8,00, então o preço de 4 refrigerantes cus- tará R$ 16,00. Observe que se dobramos o número de refrigerantes também dobramos o valor dos refrigerantes. Confira pela tabela: refrigerantes R$ 2 8 4 16 12 32 24 64 Esse exemplo é de grandezas diretamente proporcionais, pois se o número de refrigerantes dobra o seu valor também dobra. Grandezas diretamente proporcionais são aquelas grandezas onde a va- riação de uma provoca a variação da outra numa mesma razão (forma de divisão entre duas grandezas). Se uma dobra a outra dobra, se uma triplica a outra triplica, se uma é divida em duas partes iguais a outra também é divida em duas partes iguais. Grandezas inversamente proporcionais Em uma viagem, um motorista gasta 8 horas rodando a uma velocidade de 60Km\h se ele rodar a 120km\h ele gastará 4 horas. Se dobramos a velocidade o tempo cai pela metade. Confira pela tabela: velocidade tempo 60 8 120 4 240 2 Esse exemplo é de grandezas inversamente proporcionais, pois se dobra- mos a velocidade o tempo cai pela metade. Grandezas inversamente proporcionais são aquelas quando operações in- versas são utilizadas nas grandezas. Por exemplo, se dobramos uma das grandezas temos que dividir a outra por dois, se triplicamos uma delas deve- mos dividir a outra por três e assim sucessivamente. A velocidade e o tempo são considerados grandezas inversas, pois se aumentarmos a velocidade, o tempo é reduzido, e se diminúımos a velocidade, o tempo aumenta. 1 Nivelamento de Matemática Exemplo: Resolva as proporções abaixo. 1) No mesmo instante em que um prédio de 4,5 m de altura projeta uma sombra de 13,5 m, qual a sombra projetada por uma torre de 130 m de altura? Resolução: Primeiro, devemos identificar o tipo de relação. No caso, é direta: quanto maior o objeto, maior será a sombra. Montamos uma tabela: altura do objeto(m) comprimento da sombras(m) prédio 4,5 13,5 torre 130 x Agora, montamos uma proporção: 4, 5 130 = 13, 5 x ⇒ 4, 5.x = 130.13, 5 ⇒ 4, 5x = 1755 ⇒ x = 1755 4, 5 ⇒ x = 390 2) Para colocar azulejos num edif́ıcio, 5 pedreiros de igual capacidade levam 27 dias. Com apenas 3 desses pedreiros, o mesmo trabalho poderá ser feito em quantos dias? Solução: Como no problema anterior, primeiro, devemos identificar o tipo de relação. No caso, é inversa: quanto menor a quantidade de pedreiros, maior será o tempo da obra. Montamos uma tabela: quantidades de pedreiros Tempo da obra(dias) 1o situação 5 27 2o situação 3 x 3 5 = 27 x ⇒ 3x = 5.27 ⇒ 3x = 135 ⇒ x = 135 3 ⇒ x = 45 Observação: Nos exemplos acima utilizamos regra de três simples pois utilizamos apenas duas grandezas. Em problemas com mais de duas grandezas é utilizada a regra de três composta ,direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? Solução: Montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de 2 Nivelamento de Matemática mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas Caminhão Volume 8 20 160 5 x 125 A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1a coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3a coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 20 x = 160 125 . 5 8 ⇒ 20 x = 800 1000 ⇒ 800x = 20000 ⇒ x = 20000 800 ⇒ x = 25 Logo são necessários 25 caminhões. 3 Nivelamento de Matemática