Derivadas e Limites Matemáticos

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c) \( -\infty \) 
 d) \( \infty \) 
 
 Resposta: a) Indefinido 
 Explicação: A função \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) não é integrável no intervalo \( [0, \pi] \) 
porque é descontínua em \( x = \frac{\pi}{2} \) e se aproxima de \( \infty \) quando \( x \) se 
aproxima de \( \frac{\pi}{2} \), então a integral é indefinida. 
 
158. Se \( f(x) = \ln(\csc(x)) \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 a) \( -\cot(x) \) 
 b) \( \cot(x) \) 
 c) \( -\csc(x) \) 
 d) \( \csc(x) \) 
 
 Resposta: a) \( -\cot(x) \) 
 Explicação: Utilizando a regra da cadeia, a derivada de \( \ln(\csc(x)) \) é \( -\cot(x) \). 
 
159. Qual é o resultado da expressão \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{\pi}{2} \) 
 d) Indefinido 
 
 Resposta: b) 1 
 Explicação: O limite de \( \frac{\sin(x)}{x} \) quando \( x \) se aproxima de 0 é 1, um 
resultado fundamental da análise matemática. 
 
160. Qual é a derivada de \( \cot(x) \sec(x) \)? 
 a) \( -\cot(x) \csc(x) \) 
 b) \( \cot(x) \csc(x) \) 
 c) \( -\cot(x) \sec(x) \) 
 d) \( \cot(x) \sec(x) \)