Matematica avançada (88)

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a) \( \cos(\sin(x)) \) 
 b) \( \frac{\cos(x)}{\cos^2(x) + \sin^2(x)} \) 
 c) \( \frac{\cos(x)}{\cos^2(x)} \) 
 d) \( \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \) 
 
 Resposta: d) \( \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \) 
 Explicação: Utilizando a regra da cadeia, a derivada de \( \tan(\sin(x)) \) é \( 
\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \). 
 
198. Qual é o resultado da integral indefinida \( \int \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \, dx \)? 
 a) \( -\frac{1}{\sin(x)} + C \) 
 b) \( \frac{1}{\sin(x)} + C \) 
 c) \( -\frac{1}{\cos(x)} + C \) 
 d) \( \frac{1}{\cos(x)} + C \) 
 
 Resposta: b) \( \frac{1}{\sin(x)} + C \) 
 Explicação: Utilizando a substituição \( u = \sin(x) \), \( du = \cos(x) \, dx \), a integral se 
torna \( \int \frac{1}{u^2} \, du \), que é \( -\frac{1}{u} + C = \frac{1}{\sin(x)} + C \). 
 
199. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi} \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \, dx \)? 
 a) Indefinido 
 b) 0 
 c) \( -\infty \) 
 d) \( \infty \) 
 
 Resposta: a) Indefinido 
 Explicação: A função \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) não é integrável no intervalo \( [0, \pi] \) 
porque é descontínua em \( x = \frac{\pi}{2} \) e se aproxima de \( \infty \) quando \( x \) se 
aproxima de \( \frac{\pi}{2} \), então a integral é indefinida. 
 
200. Se \( f(x) = \ln(\csc(x)) \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 a) \( -\cot(x) \)