Cálculos de Limite e Integral

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86. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) Indefinido 
 
 Resposta: c) \( \frac{1}{2} \) 
 Explicação: Utilizando a série de Maclaurin para \( \cos(x) \), temos \( \cos(x) = 1 - 
\frac{x^2}{2} + \dots \). Portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-
\frac{x^2}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \). 
 
87. Qual é a derivada de \( \sec(x) \)? 
 a) \( \sec(x) \tan(x) \) 
 b) \( \sec(x) \cot(x) \) 
 c) \( \csc(x) \cot(x) \) 
 d) \( \csc(x) \tan(x) \) 
 
 Resposta: a) \( \sec(x) \tan(x) \) 
 Explicação: A derivada de \( \sec(x) \) é \( \sec(x) \tan(x) \), que é a derivada da secante. 
 
88. Qual é o resultado da integral indefinida \( \int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \, dx \)? 
 a) \( \ln|\sin(x)| + C \) 
 b) \( -\ln|\sin(x)| + C \) 
 c) \( -\ln|\cos(x)| + C \) 
 d) \( \ln|\cos(x)| + C \) 
 
 Resposta: b) \( -\ln|\sin(x)| + C \) 
 Explicação: Utilizando a substituição \( u = \cos(x) \), \( du = -\sin(x) \, dx \), a integral se 
torna \( -\int \frac{1}{u^2} \, du \), que é \( -(-\frac{1}{u}) + C = \ln|\sin(x)| + C \). 
 
89. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin(x)}{x} \)? 
 a) 0