Cálculo e Logaritmos

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220. Qual é a integral indefinida de \(\frac{1}{x} + 2\sin(x)\)? 
 a) \(\ln|x| - 2\cos(x) + C\) 
 b) \(\ln|x| + 2\cos(x) + C\) 
 c) \(\ln(x) - 2\sin(x) + C\) 
 d) \(\ln(x) + 2\sin(x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\ln|x| - 2\cos(x) + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\), e a integral de \(\sin(x)\) é \(-
\cos(x)\). Não se esqueça da constante de integração \(C\). 
 
221. Qual é a derivada de \(f(x) = e^x \cdot \ln(x)\)? 
 a) \(f'(x) = e^x \cdot \ln(x) + e^x\) 
 b) \(f'(x) = e^x \cdot \frac{1}{x} + e^x\) 
 c) \(f'(x) = e^x \cdot \ln(x) + \frac{e^x}{x}\) 
 d) \(f'(x) = e^x \cdot \frac{1}{x} + \frac{e^x}{x}\) 
 **Resposta:** c) \(f'(x) = e^x \cdot \ln(x) + \frac{e^x}{x}\) 
 **Explicação:** Utilizando a regra do produto, a derivada de \(e^x \cdot \ln(x)\) é \(e^x 
\cdot \ln(x) + e^x \cdot \frac{1}{x}\). 
 
222. Qual é a solução da equação \(\log_2(x) = 5\)? 
 a) \(x = 25\) 
 b) \(x = 32\) 
 c) \(x = 2^5\) 
 d) \(x = 2^{25}\) 
 **Resposta:** b) \(x = 32\) 
 **Explicação:** \(\log_2(x) = 5\) implica \(x = 2^5\), que é \(x = 32\). 
 
223. Se \(f(x) = \sin^2(x)\), qual é a derivada de \(f(x)\)? 
 a) \(f'(x) = 2\sin(x)\cos(x)\) 
 b) \(f'(x) = 2\sin(x)\) 
 c) \(f'(x) = \cos^2(x)\) 
 d) \(f'(x) = 2\cos(x)\sin(x)\)