Métodos de Cálculo e Exemplos

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uame
Cálculo 2
Bruno Sérgio Vasconcelos de Araújo1
UFCG/CCT/UAMat
1
UAMat/CCT/UFCG.
uame
Aula de Exercícios 1
uame
MACETES!!!!!!
uame
MACETE 1: O Método de Ocultar:
• Usado em funções racionais próprias
f (x)
g(x)
, onde a fatoração
do denominador g(x) = (x − a1)...(x − ak ) só possui fatores
de grau 1 distintos;
• Dada a decomposição
f (x)
(x − a1)...(x − ak )
=
c1
x − a1
+ ...+
ck
x − ak
,
Para achar a constante ci , oculte o fator (x − ai) de g(x) e
substitua x por ai em
f (x)
g(x)
.
uame
MACETE 1: O Método de Ocultar:
• Usado em funções racionais próprias
f (x)
g(x)
, onde a fatoração
do denominador g(x) = (x − a1)...(x − ak ) só possui fatores
de grau 1 distintos;
• Dada a decomposição
f (x)
(x − a1)...(x − ak )
=
c1
x − a1
+ ...+
ck
x − ak
,
Para achar a constante ci , oculte o fator (x − ai) de g(x) e
substitua x por ai em
f (x)
g(x)
.
uame
MACETE 1: O Método de Ocultar:
• Usado em funções racionais próprias
f (x)
g(x)
, onde a fatoração
do denominador g(x) = (x − a1)...(x − ak ) só possui fatores
de grau 1 distintos;
• Dada a decomposição
f (x)
(x − a1)...(x − ak )
=
c1
x − a1
+ ...+
ck
x − ak
,
Para achar a constante ci , oculte o fator (x − ai) de g(x) e
substitua x por ai em
f (x)
g(x)
.
uame
MACETE 1: O Método de Ocultar:
• Usado em funções racionais próprias
f (x)
g(x)
, onde a fatoração
do denominador g(x) = (x − a1)...(x − ak ) só possui fatores
de grau 1 distintos;
• Dada a decomposição
f (x)
(x − a1)...(x − ak )
=
c1
x − a1
+ ...+
ck
x − ak
,
Para achar a constante ci , oculte o fator (x − ai) de g(x) e
substitua x por ai em
f (x)
g(x)
.
uame
Exemplo 1: Calcule
∫
x − 4
x3 + 3x2 − 10x
dx .
x + 4
x3 + 3x2 − 10x
=
x + 4
x(x2 + 3x − 10)
=
x + 4
x(x − 2)(x + 5)
=
a
x
+
b
x − 2
+
c
x + 5
a =
x + 4
(x − 2)(x + 5)
]
x=0
=
4
−2.5
=
−2
5
b =
x + 4
x(x + 5)
]
x=2
=
6
2.7
=
3
7
c =
x + 4
x(x − 2)
]
x=−5
=
−1
−5.(−7)
=
−1
35
uame
Exemplo 1: Calcule
∫
x − 4
x3 + 3x2 − 10x
dx .
x + 4
x3 + 3x2 − 10x
=
x + 4
x(x2 + 3x − 10)
=
x + 4
x(x − 2)(x + 5)
=
a
x
+
b
x − 2
+
c
x + 5
a =
x + 4
(x − 2)(x + 5)
]
x=0
=
4
−2.5
=
−2
5
b =
x + 4
x(x + 5)
]
x=2
=
6
2.7
=
3
7
c =
x + 4
x(x − 2)
]
x=−5
=
−1
−5.(−7)
=
−1
35
uame
Exemplo 1: Calcule
∫
x − 4
x3 + 3x2 − 10x
dx .
x + 4
x3 + 3x2 − 10x
=
x + 4
x(x2 + 3x − 10)
=
x + 4
x(x − 2)(x + 5)
=
a
x
+
b
x − 2
+
c
x + 5
a =
x + 4
(x − 2)(x + 5)
]
x=0
=
4
−2.5
=
−2
5
b =
x + 4
x(x + 5)
]
x=2
=
6
2.7
=
3
7
c =
x + 4
x(x − 2)
]
x=−5
=
−1
−5.(−7)
=
−1
35
uame
Exemplo 1: Calcule
∫
x − 4
x3 + 3x2 − 10x
dx .
x + 4
x3 + 3x2 − 10x
=
x + 4
x(x2 + 3x − 10)
=
x + 4
x(x − 2)(x + 5)
=
a
x
+
b
x − 2
+
c
x + 5
a =
x + 4
(x − 2)(x + 5)
]
x=0
=
4
−2.5
=
−2
5
b =
x + 4
x(x + 5)
]
x=2
=
6
2.7
=
3
7
c =
x + 4
x(x − 2)
]
x=−5
=
−1
−5.(−7)
=
−1
35
uame
Exemplo 1: Calcule
∫
x − 4
x3 + 3x2 − 10x
dx .
x + 4
x3 + 3x2 − 10x
=
x + 4
x(x2 + 3x − 10)
=
x + 4
x(x − 2)(x + 5)
=
a
x
+
b
x − 2
+
c
x + 5
a =
x + 4
(x − 2)(x + 5)
]
x=0
=
4
−2.5
=
−2
5
b =
x + 4
x(x + 5)
]
x=2
=
6
2.7
=
3
7
c =
x + 4
x(x − 2)
]
x=−5
=
−1
−5.(−7)
=
−1
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uame
Exemplo 1: Calcule
∫
x − 4
x3 + 3x2 − 10x
dx .
x + 4
x3 + 3x2 − 10x
=
x + 4
x(x2 + 3x − 10)
=
x + 4
x(x − 2)(x + 5)
=
a
x
+
b
x − 2
+
c
x + 5
a =
x + 4
(x − 2)(x + 5)
]
x=0
=
4
−2.5
=
−2
5
b =
x + 4
x(x + 5)
]
x=2
=
6
2.7
=
3
7
c =
x + 4
x(x − 2)
]
x=−5
=
−1
−5.(−7)
=
−1
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Exemplo 1: Calcule
∫
x − 4
x3 + 3x2 − 10x
dx .
x + 4
x3 + 3x2 − 10x
=
x + 4
x(x2 + 3x − 10)
=
x + 4
x(x − 2)(x + 5)
=
a
x
+
b
x − 2
+
c
x + 5
a =
x + 4
(x − 2)(x + 5)
]
x=0
=
4
−2.5
=
−2
5
b =
x + 4
x(x + 5)
]
x=2
=
6
2.7
=
3
7
c =
x + 4
x(x − 2)
]
x=−5
=
−1
−5.(−7)
=
−1
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uame
Exemplo 1: Calcule
∫
x − 4
x3 + 3x2 − 10x
dx .
x + 4
x3 + 3x2 − 10x
=
x + 4
x(x2 + 3x − 10)
=
x + 4
x(x − 2)(x + 5)
=
a
x
+
b
x − 2
+
c
x + 5
a =
x + 4
(x − 2)(x + 5)
]
x=0
=
4
−2.5
=
−2
5
b =
x + 4
x(x + 5)
]
x=2
=
6
2.7
=
3
7
c =
x + 4
x(x − 2)
]
x=−5
=
−1
−5.(−7)
=
−1
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uame
Exemplo 1: Calcule
∫
x − 4
x3 + 3x2 − 10x
dx .
∫
x − 4
x3 + 3x2 − 10x
dx = −2
5
∫
dx
x
+
3
7
∫
dx
x − 2
− 1
35
∫
dx
x + 5
= −2
5
ln |x |+ 3
7
ln |x − 2| − 1
35
ln |x + 5|+ C.
uame
Exemplo 1: Calcule
∫
x − 4
x3 + 3x2 − 10x
dx .
∫
x − 4
x3 + 3x2 − 10x
dx = −2
5
∫
dx
x
+
3
7
∫
dx
x − 2
− 1
35
∫
dx
x + 5
= −2
5
ln |x |+ 3
7
ln |x − 2| − 1
35
ln |x + 5|+ C.
uame
MACETE 2: Limpeza de Denominadores
Este método consiste em eliminar os denominadores da
decomposição em frações parciais e usar derivação ou
atribuição de valores numéricos para achar as constantes.
uame
Exemplo 2: Decomponha
x − 1
(x + 1)3 em frações parciais.
x − 1
(x + 1)3 =
a
x + 1
+
b
(x + 1)2 +
c
(x + 1)3 .(x + 1)3
x − 1 = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c
Atribuindo x = −1: −2 = c
Derivando: 1 = 2a(x + 1) + b
Atribuindo x = −1: 1 = b
Derivando: 0 = 2a ⇒ a = 0.
x − 1
(x + 1)3 =
1
(x + 1)2 − 2
(x + 1)3
uame
Exemplo 2: Decomponha
x − 1
(x + 1)3 em frações parciais.
x − 1
(x + 1)3 =
a
x + 1
+
b
(x + 1)2 +
c
(x + 1)3 .(x + 1)3
x − 1 = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c
Atribuindo x = −1: −2 = c
Derivando: 1 = 2a(x + 1) + b
Atribuindo x = −1: 1 = b
Derivando: 0 = 2a ⇒ a = 0.
x − 1
(x + 1)3 =
1
(x + 1)2 − 2
(x + 1)3
uame
Exemplo 2: Decomponha
x − 1
(x + 1)3 em frações parciais.
x − 1
(x + 1)3 =
a
x + 1
+
b
(x + 1)2 +
c
(x + 1)3 .(x + 1)3
x − 1 = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c
Atribuindo x = −1: −2 = c
Derivando: 1 = 2a(x + 1) + b
Atribuindo x = −1: 1 = b
Derivando: 0 = 2a ⇒ a = 0.
x − 1
(x + 1)3 =
1
(x + 1)2 − 2
(x + 1)3
uame
Exemplo 2: Decomponha
x − 1
(x + 1)3 em frações parciais.
x − 1
(x + 1)3 =
a
x + 1
+
b
(x + 1)2 +
c
(x + 1)3 .(x + 1)3
x − 1 = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c
Atribuindo x = −1: −2 = c
Derivando: 1 = 2a(x + 1) + b
Atribuindo x = −1: 1 = b
Derivando: 0 = 2a ⇒ a = 0.
x − 1
(x + 1)3 =
1
(x + 1)2 − 2
(x + 1)3
uame
Exemplo 2: Decomponha
x − 1
(x + 1)3 em frações parciais.
x − 1
(x + 1)3 =
a
x + 1
+
b
(x + 1)2 +
c
(x + 1)3 .(x + 1)3
x − 1 = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c
Atribuindo x = −1: −2 = c
Derivando: 1 = 2a(x + 1) + b
Atribuindo x = −1: 1 = b
Derivando: 0 = 2a ⇒ a = 0.
x − 1
(x + 1)3 =
1
(x + 1)2 − 2
(x + 1)3
uame
Exemplo 2: Decomponha
x − 1
(x + 1)3 em frações parciais.
x − 1
(x + 1)3 =
a
x + 1
+
b
(x + 1)2 +
c
(x + 1)3 .(x + 1)3
x − 1 = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c
Atribuindo x = −1: −2 = c
Derivando: 1 = 2a(x + 1) + b
Atribuindo x = −1: 1 = b
Derivando: 0 = 2a ⇒ a = 0.
x − 1
(x + 1)3 =
1
(x + 1)2 − 2
(x + 1)3
uame
Exemplo 2: Decomponha
x − 1
(x + 1)3 em frações parciais.
x − 1
(x + 1)3 =
a
x + 1
+
b
(x + 1)2 +
c
(x + 1)3 .(x + 1)3
x − 1 = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c
Atribuindo x = −1: −2 = c
Derivando: 1 = 2a(x + 1) + b
Atribuindo x = −1: 1 = b
Derivando: 0 = 2a ⇒ a = 0.
x − 1
(x + 1)3 =
1
(x + 1)2 − 2
(x + 1)3
uame
Exemplo 2: Decomponha
x − 1
(x + 1)3 em frações parciais.
x − 1
(x + 1)3 =
a
x + 1
+
b
(x + 1)2 +
c
(x + 1)3 .(x + 1)3
x − 1 = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c
Atribuindo x = −1: −2 = c
Derivando: 1 = 2a(x + 1) + b
Atribuindo x = −1: 1 = b
Derivando: 0 = 2a ⇒ a = 0.
x − 1
(x + 1)3 =
1
(x + 1)2 − 2
(x + 1)3
uame
Exemplo 2: Decomponha
x − 1
(x + 1)3 em frações parciais.
x − 1
(x + 1)3 =
a
x + 1
+
b
(x + 1)2 +
c
(x + 1)3 .(x + 1)3
x − 1 = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c
Atribuindo x = −1: −2 = c
Derivando: 1 = 2a(x + 1) + b
Atribuindo x = −1: 1 = b
Derivando: 0 = 2a ⇒ a = 0.
x − 1
(x + 1)3 =
1
(x + 1)2 − 2
(x + 1)3
uame
uame
2.
∫ π/2
0
(x2 + 2x − 2)cos(2x)dx
uame
2.
∫ π/2
0
(x2 + 2x − 2)cos(2x)dx
uame
2.
∫ π/2
0
(x2 + 2x − 2)cos(2x)dx
[
x2 + 2x − 2
2
sen(2x) +
2x + 2
4
cos(2x)− 2
8
sen(2x)
]π/2
0
[
x + 1
2
cos(2x)
]π/2
0
= −π/2 + 1
2
− 1
2
= −π
4
− 1.
uame
2.
∫ π/2
0
(x2 + 2x − 2)cos(2x)dx
[
x2 + 2x − 2
2
sen(2x) +
2x + 2
4
cos(2x)− 2
8
sen(2x)
]π/2
0
[
x + 1
2
cos(2x)
]π/20
= −π/2 + 1
2
− 1
2
= −π
4
− 1.
uame
2.
∫ π/2
0
(x2 + 2x − 2)cos(2x)dx
[
x2 + 2x − 2
2
sen(2x) +
2x + 2
4
cos(2x)− 2
8
sen(2x)
]π/2
0
[
x + 1
2
cos(2x)
]π/2
0
= −π/2 + 1
2
− 1
2
= −π
4
− 1.
uame
2.
∫ π/2
0
(x2 + 2x − 2)cos(2x)dx
[
x2 + 2x − 2
2
sen(2x) +
2x + 2
4
cos(2x)− 2
8
sen(2x)
]π/2
0
[
x + 1
2
cos(2x)
]π/2
0
= −π/2 + 1
2
− 1
2
= −π
4
− 1.
uame
3.
∫ 6
5
2x + 1
x2 − 7x + 12
dx
2x + 1
x2 − 7x + 12
=
2x + 1
(x − 4)(x − 3)
=
a
x − 4
+
b
x − 3
a =
2x + 1
x − 3
]
x=4
= 9 b =
2x + 1
x − 4
]
x=3
= −7
∫ 6
5
2x + 1
x2 − 7x + 12
dx = 9
∫ 6
5
dx
x − 4
− 7
∫ 6
5
dx
x − 3
= [9 ln |x − 4| − 7 ln |x − 3|]65
= 9 ln2 − 7 ln3 − (9 ln1 − 7 ln2) = 16 ln2 − 7 ln3
uame
3.
∫ 6
5
2x + 1
x2 − 7x + 12
dx
2x + 1
x2 − 7x + 12
=
2x + 1
(x − 4)(x − 3)
=
a
x − 4
+
b
x − 3
a =
2x + 1
x − 3
]
x=4
= 9 b =
2x + 1
x − 4
]
x=3
= −7
∫ 6
5
2x + 1
x2 − 7x + 12
dx = 9
∫ 6
5
dx
x − 4
− 7
∫ 6
5
dx
x − 3
= [9 ln |x − 4| − 7 ln |x − 3|]65
= 9 ln2 − 7 ln3 − (9 ln1 − 7 ln2) = 16 ln2 − 7 ln3
uame
3.
∫ 6
5
2x + 1
x2 − 7x + 12
dx
2x + 1
x2 − 7x + 12
=
2x + 1
(x − 4)(x − 3)
=
a
x − 4
+
b
x − 3
a =
2x + 1
x − 3
]
x=4
= 9 b =
2x + 1
x − 4
]
x=3
= −7
∫ 6
5
2x + 1
x2 − 7x + 12
dx = 9
∫ 6
5
dx
x − 4
− 7
∫ 6
5
dx
x − 3
= [9 ln |x − 4| − 7 ln |x − 3|]65
= 9 ln2 − 7 ln3 − (9 ln1 − 7 ln2) = 16 ln2 − 7 ln3
uame
3.
∫ 6
5
2x + 1
x2 − 7x + 12
dx
2x + 1
x2 − 7x + 12
=
2x + 1
(x − 4)(x − 3)
=
a
x − 4
+
b
x − 3
a =
2x + 1
x − 3
]
x=4
= 9 b =
2x + 1
x − 4
]
x=3
= −7
∫ 6
5
2x + 1
x2 − 7x + 12
dx = 9
∫ 6
5
dx
x − 4
− 7
∫ 6
5
dx
x − 3
= [9 ln |x − 4| − 7 ln |x − 3|]65
= 9 ln2 − 7 ln3 − (9 ln1 − 7 ln2) = 16 ln2 − 7 ln3
uame
3.
∫ 6
5
2x + 1
x2 − 7x + 12
dx
2x + 1
x2 − 7x + 12
=
2x + 1
(x − 4)(x − 3)
=
a
x − 4
+
b
x − 3
a =
2x + 1
x − 3
]
x=4
= 9 b =
2x + 1
x − 4
]
x=3
= −7
∫ 6
5
2x + 1
x2 − 7x + 12
dx = 9
∫ 6
5
dx
x − 4
− 7
∫ 6
5
dx
x − 3
= [9 ln |x − 4| − 7 ln |x − 3|]65
= 9 ln2 − 7 ln3 − (9 ln1 − 7 ln2) = 16 ln2 − 7 ln3
uame
3.
∫ 6
5
2x + 1
x2 − 7x + 12
dx
2x + 1
x2 − 7x + 12
=
2x + 1
(x − 4)(x − 3)
=
a
x − 4
+
b
x − 3
a =
2x + 1
x − 3
]
x=4
= 9 b =
2x + 1
x − 4
]
x=3
= −7
∫ 6
5
2x + 1
x2 − 7x + 12
dx = 9
∫ 6
5
dx
x − 4
− 7
∫ 6
5
dx
x − 3
= [9 ln |x − 4| − 7 ln |x − 3|]65
= 9 ln2 − 7 ln3 − (9 ln1 − 7 ln2) = 16 ln2 − 7 ln3
uame
3.
∫ 6
5
2x + 1
x2 − 7x + 12
dx
2x + 1
x2 − 7x + 12
=
2x + 1
(x − 4)(x − 3)
=
a
x − 4
+
b
x − 3
a =
2x + 1
x − 3
]
x=4
= 9 b =
2x + 1
x − 4
]
x=3
= −7
∫ 6
5
2x + 1
x2 − 7x + 12
dx = 9
∫ 6
5
dx
x − 4
− 7
∫ 6
5
dx
x − 3
= [9 ln |x − 4| − 7 ln |x − 3|]65
= 9 ln2 − 7 ln3 − (9 ln1 − 7 ln2) = 16 ln2 − 7 ln3
uame
5. Calcule a integral
∫
sen(2x)cos(3x)dx .
uame