Apostila - Cálculo Numérico - 2016

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Cálculo Numérico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
UNIDADE 1 
Erros numéricos 
 
 
Seção 1 – Sistema de ponto flutuante 
 
Para garantir uma maior representatividade de números reais em um computador, 
usamos a notação de ponto flutuante (no Brasil, usamos a vírgula para separar a 
parte inteira da fracionária de um número. Portanto, poderíamos chamar esse sistema 
de vírgula flutuante). Nesta notação, um número real é escrito da seguinte forma: 
 
base 
d1d 2 d3...dk 
e 
 
mantissa 
0, d1d 2 d3 ...dk x , onde: k número de dígitos na mantissa 
0 d j (1); j 1,2,..., k e d1 0 
e expoente no intervalo[e1 ,e2 ] 
 
Usualmente podemos representar um sistema de ponto flutuante por: F (, k, e1 , e2 ) , 
onde: base; k precisão; e1 menor expoente e e2 maior expoente. 
 
 
 
Na tabela a seguir, apresentamos alguns exemplos de sistemas de ponto flutuante de 
algumas máquinas: 
Tabela 1.1 - Exemplos de sistemas de ponto flutuante 
 
F (, k, e1 , e2 )  k e1 e2 
HP25 10 9 -98 100 
HP 48G 10 12 -500 499 
HP 50G 10 12 -500 499 
IBM 3090 16 5 -65 62 
3 
 
Exemplo 1.1: vamos considerar uma máquina que opera no sistema F (10, 4, 4, 4) . Os 
 
números serão representados em notação de ponto flutuante da seguinte forma: 
 
0, d1d 2 d3 d 4 x 10
e 
; 0 d 9 ; d1 0 e e [4, 4] 
 
Exemplo 1.2: considere o sistema de ponto flutuante da máquina do exemplo 1.1. Qual 
o maior e o menor número, em valor absoluto, que essa máquina representa? 
No exemplo anterior, vimos que os dígitos d j podem ser 0 d j 9 , já que a base da 
 
máquina é 10. Portanto, para formar o maior número que essa máquina pode 
representar, vamos usar todos os dígitos iguais a 9 e o maior expoente do intervalo. 
Maior 0,9999x104 9999 
 
 
 
 
Já, para determinar o menor número em valor absoluto que essa máquina consegue 
representar, devemos tomar o menor número decimal entre 0 e 9, porém, devemos 
observar que o primeiro dígito tem que ser diferente de zero e o expoente, o menor do 
intervalo. Logo o menor número será: 
Menor 0,1000x104 0,00001 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: se nos cálculos com essa máquina aparecem números com magnitude menor do 
que 10
4 
teremos uma situação em que a capacidade mínima da máquina não é atingida 
(underflow), e esse número, é normalmente ajustado para zero. 
OBS: se nos cálculos com essa máquina, surgem números com magnitude maior do que 
10
4 
significa que a capacidade da máquina é excedida e se tem um estouro (overflow) 
que pode levar a falhas na computação. 
j 
4 
 
Seção 2 – Métodos de arredondamento e truncamento 
 
Na seção anterior verificamos que a representação de um número real nos computadores 
e calculadoras é feita na forma de ponto flutuante. Portanto, a mantissa do número é 
limitada em k dígitos, conforme o sistema F. 
Vamos apresentar dois métodos de limitar a mantissa de um número: um método 
chamado de truncamento que consiste em desprezar os dígitos que ultrapassam a 
quantidade k. 
Exemplo 1.3: vamos considerar uma máquina com o seguinte sistema de ponto 
flutuante, F (10, 4, 2, 3) e seja um número x 24,28976 . Usando o método de 
 
truncamento, essa calculadora vai fazer a leitura do número da seguinte maneira: 
 
x 24,28976 0,2428976x102 , como k 4 , a máquina está limitada a leitura de 
 
quatro dígitos, logo o número x para essa máquina, pelo método do truncamento, será: 
x 0,2428x102 24,28 , ou seja, você corta ou despreza os dígitos que ultrapassam a 
quantidade k. 
 
E, o outro método é o de arredondamento. Nesse método, você adiciona 1 ao último 
dígito do algarismo limitado por k, ou seja, dk , se dk 1 (próximo dígito a direita de dk ) 
 
for igual ou superior a 5 e, se 
de todos os dígitos seguintes. 
dk 1 for menor do que 5, simplesmente fazemos o corte 
 
Dizemos que, quando escolhemos o método de arredondamento, arredondamos para 
cima se dk 1 5 e arredondamos para baixo se dk 1 < 5. 
 
Exemplo 1.4: para o mesmo sistema do exemplo 1.3 e para o mesmo valor de x, 
usando o método de arredondamento, x seria representado nessa máquina, da seguinte 
forma: x 24,28976 0,2428975x102 0,2429x102 24,29 . 
 
Observe que arredondamos para cima, pois 
que nesse caso é 8. 
dk 1 = 9 e, portanto, acrescentamos 1 a dk , 
 
Exemplo 1.5: vamos fazer a representação dos números a seguir, usando os métodos 
de arredondamento e truncamento para um sistema de ponto flutuante F (10, 4, 2, 3) . 
5 
 
 
 
 X Número em ponto Método de Método de 
flutuante arredondamento truncamento 
 
 
2,3674 0,23674x10
1
 2,367 2,367 
 
-0,23478 0,23478x100 -0,2348 -0,2347 
 
29,8728 0,298728x10
2
 29,87 29,87 
 
3,987 0,3987x10
1
 3,987 3,987 
 
0,000002 0,2x10
5
 Observe que o expoente é 
menor do que -2 
Observe que o expoente 
é menor do que -2 
 
 
 
 
Na próxima seção daremos destaque a propagação do erro quando usamos uma 
máquina, para realizar uma sequência de operações em aritmética de ponto flutuante. 
 
 
Seção 3 – Propagação de erros 
 
Ao resolvemos um problema numérico, do tipo 2 2 , usando uma máquina, quando 
 
calculamos 2 2 e usamos  com a precisão dessa máquina, em cada uma dessas 
etapas, surgem diferentes tipos de erros que podem ser gerados por truncamento ou 
arredondamento. Estes erros se propagam e o resultado final obtido estará afetado por 
eles. 
 
 
Destacamos que, se uma pequena variação nos dados de entrada de um problema leva a 
uma grande diferença no resultado final, houve uma grande propagação de erros e, 
portanto essa operação é considerada mal-condicionada. Já, se essa pequena variação 
nos dados de entrada leva a apenas uma pequena diferença no resultado final, temos 
uma operação bem-condicionada. 
 
 
No exemplo a seguir, vamos fazer as operações indicadas em um sistema de ponto 
flutuante: F (10, 4, 10,10) , com o objetivo de verificar como o erro pode se propagar. 
6 
 
 
 
Exemplo 1.6: dados 
 
x 0,3956x105 e 
 
y 0,2345x102 , obter: x y; x.y e 
x 
. 
y 
 
Na operação da adição em ponto flutuante, devemos ajustar os pontos decimais dos dois 
números, ou seja: x 0,3956x105 e y 0,0002345x105 , logo: 
 
x y 0,3956x105 0,0002345x105 (0,3956 0,0002345)x105 0,3958345x105 
 
Como o sistema de ponto flutuante dessa máquina é: F (10, 4, 10,10) , o resultado da 
 
operação adição será: x y 0,3958x105 usando o método do truncamento e também 
 
usando o método de arredondamento, já que o dígito dk 1 = 3 e é menor do que 5. 
 
 
 
Na multiplicação, fazemos: 
 
x.y (0,3956x105 )x(0,2345x102 ) 0,0927682x107 
 
 
O resultado dessa operação será: 
x.y 0,9276x106 , no Truncamento 
x.y 0,9277x106 , no Arredondamento 
 
 
Na operação divisão, procedemos da seguinte maneira: 
 
𝑥
𝑦
=
0,3956 . 105
0,2345 . 102
= 1,68699360341 . 103 
 
O resultdo será: 
 
𝑥
𝑦
= 0,1686 . 104 , no Truncamento 
 
𝑥
𝑦
= 0,1687 . 104 , no Arredondamento 
 
 
Observe que nas operações perdemos dígitos significativos e, se esse resultado for ser 
usado em outra operação, esse erro será propagado. 
 
 
 
7 
 
A 
 
 
Seção 4 – Erros absolutos e relativosSe x



é uma aproximação para x , definimos o erro absoluto (EA ) 
 
como sendo a 
diferença entre o valor exato x e o seu aproximado 
absoluto da seguinte maneira: 
x

. Podemos representar o erro 
EA (x)  x x



O erro relativo (ER ) é definido como sendo a razão entre o erro absoluto pelo valor 
aproximado de x, ou seja: 
 
𝐸𝑅(𝑥) = 
|𝑥 − 𝑥∗|
𝑥∗
 
 
Exemplo 1.7: se x 0,2000x101 e x0,2100x101 , o erro absoluto e relativo são 
 
calculados da seguinte maneira: 
 
E (x) 0,2000x101 0,2100x101 0,01x101 0,1 
 
ER (x) 
0,1 
0,2100x10
1
 
0,047619 
 
 
Podemos escrever o erro relativo em termos percentuais, ou seja, um erro de 4,7619%. 
A análise desse erro é mais significativa do que o erro absoluto, pois leva em 
consideração a magnitude dos valores. 
 
 
Exemplo 1.8: para os valores x 0,0000009 e x0,0000007 o erro absoluto é igual 
 
a EA (x) 0,2x10
6
 que é muito baixo. Calcule o erro relativo. 
 
 
𝐸𝑅(𝑥) = 
|𝑥 − 𝑥∗|
𝑥∗
= 
0,2 . 10−6
0,7 . 10−6
≅ 0,2857 ≅ 28,57% 
 
 Pode ser considerado alto. 
8 
 
 
Exercícios 
 
 
 
1.1 Em uma máquina que tem o sistema de ponto flutuante F (10, 3, 3, 5) qual o menor 
 
e o maior número em valor absoluto representados nessa máquina? 
 
 
 
 
1.2 Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante F (10, 5, 10,10) . Dados os 
 
números: x 0,23402x103 ; y 0,32456x102 e z 0,21346x101 e, usando os métodos 
 
de truncamento e arredondamento, determine: 
 
a. x y z 
b. x.y z 
 
c. 
x 
y 
d. x y z 
 
 
 
1.3 Faça a representação sugerida dos números a seguir num sistema de aritmética de 
ponto flutuante F (10, 3, 5, 5) : 
 
X Representação em 
Ponto Flutuante 
Representação pelo Método 
de Arredondamento 
Representação pelo 
Método de Truncamento 
23,45678 
 
0,3489 
 
23456,789 
 
0,0000003 
 
345678,234 
 
34,5673 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
UNIDADE 2 
Polinômios 
Seção 1 – Introdução 
 
 
Nesta seção vamos discutir o conceito, determinar o grau, o valor numérico, a raiz ou 
zero de um polinômio e, ainda, classificá-lo quanto ao número de termos. 
 
 
1.1 Conceito de polinômio 
 
Um polinômio tem a forma: 
 
P(x) an x  an1 x 
n1 ... a2 x  a1 x a0 
 
na qual, os coeficientes ai são números reais e an 0 , n é um número natural e x é 
uma variável. 
 
 
Exemplos: 
 
P(x) x 4 2x3 x 2 x 9 
P(x) 2x2 x 3 
P(x) x3 3x 1 
 
1.2 Grau de um polinômio 
 
 
O polinômio P(x) an x  an1 x 
n1 ... a2 x  a1 x a0 que tem pelo menos um 
 
coeficiente ai 0 é de grau n se, e somente se, an 0 e todos os coeficientes ai com 
i n são nulos e denotamos por g(P) . 
 
 
 
Exemplos: 
 
No polinômio P(x) x 2 2x 1, o grau é: g(P) 2 
 
O polinômio P(x) 3 , tem grau: g(P) 0 
 
Já, no polinômio P(x) 3x 2 2x 5x 4 1 o grau é: g(P) 4 
 
 
 
 
 
n 2 
n 2 
10 
 
1.3 Valor numérico 
 
 
Seja x  e , o valor numérico do polinômio 
P(x) an x  an1 x 
 
n1 ... a2 x  a1 x a0 quando x  é dado por: 
 
P(x) an an1
n1 ... a2 a1a0 . 
 
Exemplo 2.1: determine o valor numérico do polinômio 
x 1; x 0; x 2 e x 
1 
. 
2 
 
 
 
Anotações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(x) 3x4 2x 2 x 1 para: 
n 2 
n 2 
11 
 
Podemos observar na expressão anterior de P(x) que para determinar o valor numérico 
 
de x  usando o método de Horner são necessárias um total de n operações de adição 
e n operações de multiplicação. 
 
Exemplo 2.2: determinar o valor numérico de 
x 2 , usando o método de Horner. 
P(x) 2x 4 3x3 2x 2 4x 5 para 
 
P(x) 2x 4 3x3 2x 2 4x 5 
(2x3 3x2 2x 4).x 5 
((2x 2 3x 2).x 4).x 5 
(((2x 3).x 2).x 4).x 5 
 
Logo: 
P(2) (((2.2 3).2 2).2 4).2 5 ((1).2 2).2 4).2 5 (4.2 4).2 5 8 5 13 
 
1.4 Raiz ou zero de um polinômio 
 
 
Se x  come P() 0 , então dizemos que é uma raiz ou zero do 
 
polinômio P(x) . 
 
Exemplo 2.3: verificar se x 1 e x 1 , são raízes ou zero do polinômio P(x) x 2 1 
 
Verificação: 
P(1) (1)2 1 1 1 0 
P(1) 12 1 1 1 0 
 
 
, logo 
 
 
x 1 e x 1 são raízes ou zeros de 
 
 
P(x) x 2 1. 
 
 
1.5 Expressão algébrica 
 
Uma expressão algébrica pode ser denominada como um conjunto de algarismos e 
letras, unidos por sinais de operações. Ela pode ser composta com duas ou mais letras, 
que são denominadas variáveis. 
Exemplos: 
2.10 Os polinômios 
algébricas na variável x . 
P(x) an x  an1 x 
 
n1 ... a2 x  a1 x a0 são expressões 
2.11 Os termos de um polinômio tais como: an x ; an1 x 
n1 ; ... ; a2 x ; a1 x; a0 de um 
polinômio, são expressões algébricas na variável x . 
2.12 4x 2 y 3 é uma expressão algébrica nas variáveis 
 
x e y . 
n 2 
n 2 
12 
 
 
2.13 Já, 2a 3b 2c é uma expressão algébrica nas variáveis a, b e c . 
 
 
Uma expressão algébrica com mais de uma variável, pode representar um polinômio. 
Vejamos o exemplo a seguir: 
Exemplo 2.4: a expressão 2x 
4 
y yx3 3y3 x 2 é um polinômio na variável x e o seu 
 
grau é g(P) 4 . Já a mesma expressão é um polinômio na variável y e o seu grau é 
 
g(P) 3 . Essa expressão, também representa um polinômio nas variáveis x e y e o seu 
 
grau é g(P) 5 
 
 
1.6 Termos semelhantes 
 
Quando dois ou mais termos de um polinômio diferem apenas nos seus coeficientes, 
dizemos que eles são semelhantes. Desta forma, podemos simplificar esses termos, 
efetuando a simplificação de termos semelhantes. 
Exemplo 2.5: no polinômio P(x) 3x 4 2x3 4x3 x 2x 1, os termos: 
2x
3 
e 4x
3 
; -x e 2x são semelhantes. Simplificando os termos semelhantes, podemos 
escrever o polinômio na forma reduzida P(x) 3x4 2x3 x 1 . 
 
1.7 Divisão de polinômios 
 
 
Dados dois polinômios P(x) e D(x) , com D(x) 0 . Efetuar a divisão de 
 
P(x) por D(x) é determinar os polinômios 
seguir: 
Q(x) e R(x) , que satisfaça as condições a 
1. P(x) D(x).Q(x) R(x) 
 
2. g(R) g(D) ou R(x) 0 
 
Podemos representar a divisão de polinômios por meio de um dispositivo prático, da 
seguinte forma: 
 
 
 
Quando 
 
R(x) 0 , dizemos que a divisão é exata. 
13 
 
Exemplo 2.6: dividir P(x) x 4 x3 8x 2 7x 2 por D(x) x 2 x 2 . 
Vamos usar o dispositivo prático: 
 
 
 
 
 
Ou seja: x 
4 x3 8x 2 7x 2 (x 2 x 2).(x 2 2x 8) (5x 14) 
 
 
 
 
1.6.1 Divisão de um polinômio P(x) por um binômio na forma x a 
 
 
Para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio na forma x a vamos 
 
usar o dispositivo prático do Briot-Ruffini. 
 
Exemplo 2.7: determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio 
P(x) 3x3 5x2 x 2 por (x 2). 
 
Para aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini seguimos os seguintes passos: 
 
1º) Colocamos a raiz do divisor (que nesse caso é: a 2 ) e os coeficientes do 
dividendo ( 3, - 5,1, - 2) ordenadamente na parte de cima conforme abaixo: 
 
 
 
2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
3º) Multiplicamos a raiz do divisorpor esse coeficiente repetido abaixo e somamos o 
produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste. Repete 
esse procedimento, ou seja, multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado 
abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o 
resultado abaixo deste, e assim sucessivamente. 
 
 
 
4º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que 
ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente. 
 
 
Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 
1. 
 
Logo, a resposta será: Q(x) 3x 2 x 3 e R(x) 4 . 
 
Exemplo 2.8: dividir o polinômio P(x) x3 8 por D(x) x 2 . 
O dispositivo do Briot-Ruffini pode ser usado para valores negativos ou positivos de a , 
pois podemos escrever x a x (a) . 
 
Resolvendo: 
 
 
 
 
Logo: Q(x) x 2 2x 4 e R(x) 0 . Nesse caso, o resto da divisão é igual a zero. 
 
Portanto, podemos concluir que a divisão é exata. 
 
 
 
 
15 
 
Exercícios 
 
 
 1.4 A divisão de P(x) x 2 x 6 por D(x) x 2 é exata, ou seja, o resto R(x) 0 . 
Encontre o polinômio Q(x) que satisfaz a relação: 
 
 
 
P(x) D(x).Q(x) R(x) . 
16 
 
 
Seção 2 – Equações polinomiais 
Nesta seção, vamos determinar o número de raízes e encontrar todas as raízes reais 
de uma equação polinomial. 
 
3.1 Introdução 
 
Seja o polinômio P(x) an x  an1 x 
n1 ... a2 x  a1 x a0 na variável x . A equação 
 
an x  an1 x 
n1 ... a2 x  a1 x a0 0 ou P(x) 0 com n 1, onde os coeficientes 
 
ai são números reais ou complexos e an 0 é dita uma equação polinomial ou 
algébrica. 
 
 
 
Definição 2.1 – Um número é dito uma raiz ou zero de uma equação polinomial de 
grau n (n 1) quando P() 0 . 
 
Exemplo 2.9: seja P(x) x 3 , 3 é uma raiz ou zero da equação P(x) 0 . 
 
 
 
3.2 Decomposição de um polinômio em um produto de fatores do 1° 
grau 
 
 
Uma equação polinomial ou algébrica pode ser escrita na forma de fatores lineares. 
Vejamos: 
Um polinômio P(x) é divisível por 
P() 0 . 
x  se, e somente se, é raiz de P(x) , ou seja, se 
 
Portanto, se1 é raiz de P(x) então: P(x) (x 1 ).q0 (x) 0 . Se 2 também é raiz de 
 
P(x) 0 temos: q0 (x) (x 2 ).q1 (x) . Continuando procedendo dessa forma, 
podemos obter a equação na forma fatorada em fatores lineares. 
 
P(x) an (x 1 ).(x 2 )...(x n1 ).(x n ) 0 
n 2 
n 2 
17 
 
 
 
Exemplo 2.10: obter as raízes de P(x) x3 x 2 9x 9 sabendo que uma das raízes é 
 
1 1. Apresentar a forma fatorada. 
 
Vimos que se 1 é raiz de P(x) então: P(x) (x 1 ).q0 (x) 0 ⇒ 
P(x) 
 
 
(x 1 ) 
0 . Logo: 
 
x
3 x 2 9x 9 

(x 1).(x  
9) 
x 2 9 0 . Resolvendo a equação x 2 9 0 , 
x 1 (x 1) 
 
teremos que as outras raízes da equação são: 2 3 e 3 3 . 
 
A forma fatorada do polinômio será: P(x) (x 1).(x 3).(x 3) 
3.3 Raízes racionais 
 
 
Exemplo 2.11: seja a 2x
3 7x 2 7x 2 0 . Se essa equação possui raiz racional 

p 
, ela será da forma que p é divisor de -2 e q é divisor de 2. Como os divisores de 
q 
2 são 1,1,2,2, as possíveis raízes são: {1,1, 
1 
,
1 
,2,2}. Realmente, as raízes da 
2 2 
 p 
equação dada são: 
equação. 
1; 0,5 ; 2 . Observe que nem todas as raízes 
 q 
são raízes da 
2 
18 
 
UNIDADE 3 
Equações algébricas e transcendentais 
 
 
 
Seção 1 – Introdução 
 
Determinar uma raiz real de equações polinomiais ou transcendentais significa 
determinar um número , com , de forma que f () 0 . Para encontrar esse 
 
valor fazendo uso de Métodos Numéricos devemos seguir duas etapas: 
 
 
Etapa I: Isolamento de raízes – que consiste em encontrar um intervalo [a, b], que 
contenha uma raiz  da equação f (x) 0 . 
 
 
Etapa II: Refinamento ou melhoramento – é a etapa na qual refinamos ou 
melhoramos a aproximação encontrada para a raiz estimada na etapa anterior até que 
atenda a uma precisão pré-fixada. 
 
 
1.1 Etapa I – Isolamento de raízes 
 
 
 
 
Interpretação Gráfica: 
 
 
 
 
f ' (x) 0, x [a, b] f '(x) 0, x [a, b] 
19 
 
Exemplo 3.1: fazendo uma análise gráfica, determine um intervalo [a, b], que contenha 
uma raiz da equação f (x) x3 2x 2 x 2 0 . 
 
 
 
 
 
Observando o gráfico da Figura 3.3, podemos perceber que ele intercepta o eixo dos “x” 
em três pontos. Portanto, concluímos que essa equação tem três raízes. Os intervalos 
[a, b] que contém as raízes podem ser: 1 [1,5; 0,5];2 [0,5;1,5] 
e  3 [1,6; 2,5] . 
 
 
 
 
Exemplo 3.2: construa o gráfico da equação transcendente 
determine um intervalo [a, b] que contenha uma raiz dessa equação. 
f (x) 
1 
ex 0 e 
x 
 
 
 
Observando o gráfico, podemos definir que a raiz da equação está no intervalo [0, 1].
 
 
20 
 
 
Exemplo 3.3: determinar um intervalo [a, b] para a equação f (x) 
1 
ex 0 
x 
 
que 
contenha uma raiz dessa equação, usando equações equivalentes. 
 
 
 
A equação 
1 
ex 0 pode ser escrita como: 
x 
1 
ex , onde 
x 
g(x) 
1
 
x 
e h(x) ex . 
 
 
 
Figura 3.5 
 
 
Observando a figura 3.5, verificamos que a abscissa do ponto de intersecção das duas 
curvas g(x) e h(x) está no intervalo [0, 1]. 
21 
 
 
 
1.2 Etapa II – Refinamento ou melhoramento 
 
Nesta etapa faremos o refinamento ou melhoramento do intervalo encontrado na etapa I, 
aplicando métodos numéricos. Esses métodos pertencem à classe dos métodos iterativos 
que consiste em uma seqüência de instruções executadas passo a passo, algumas das 
quais podem ser repetidas em ciclos. Em cada iteração realizada, usamos o resultado da 
iteração anterior. Para que se aponte um resultado final que atenda a tolerância pré- 
fixada, é necessário aplicar critérios de parada. Quando esses critérios forem atingidos, 
podemos anunciar a resposta aproximada para o problema. 
 
De uma forma geral podemos representar as etapas para a execução de um método 
iterativo como segue: 
 
Resumo dos passos para executar um método iterativo 
Passo a Passo Ação a ser realizada 
Estimativa inicial Iniciar a execução do método a partir da aproximação inicial. 
Gerando aproximações Aplicar os mais diversos métodos iterativos para gerar uma 
seqüência xk ; k 0,1, 2, 3,..., n de aproximações da raiz. 
Critério de parada Estabelecer um critério de parada que indica quando o processo 
 
iterativo deve parar, por exemplo, o critério x
  ou 
 
f (x

) , onde tolerância . 
 
Tolerância ou 
estimativa de exatidão 
Está associada ao critério de parada com o objetivo de estimar o 
erro cometido. 
22 
 
 
Seção 2 – Método da bissecção 
 
Seja uma função f (x) contínua no intervalo[a, b] e f (a). f (b) 0 de forma que, nesse 
 
intervalo, contenha uma única raiz  da equação f (x) 0 . 
 
 
O objetivo do método da bissecção ou partição é reduzir a amplitude do intervalo [a, b] 
que contém a raiz até que a precisão requerida seja atingida. Para isso, devemos 
dividir ao meio o intervalo inicial, em dois subintervalos [a, c] e[c, d ] a serem 
 
considerados. Se f (a). f (b) 0 , então [a, c] caso contrário, [c, d ] . 
 
 
O novointervalo que contém é dividido ao meio e obtém-se uma nova aproximação 
para a raiz. Esse processo se repete até que se obtenha uma aproximação da raiz exata 
 que atenda a tolerância  estabelecida. 
 
 
 
 
Interpretação geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 
 
 
0 
1 
 
 
 
 
 
2 
3 
Exemplo 3.4: a raiz ou zero da equação x 
2 ln(x) 0 está no intervalo [0,5; 1]. 
 
Determine uma aproximação para essa raiz que atenda a tolerância 
cálculos utilize o método de arredondamento. 
102 . Nos 
Vamos realizar as iterações para gerar a seqüência 
k 0,1, 2, 3,..., n : 
 
1ª Iteração: k 0 
xk , de aproximações, com 
 
 f (0,5) 0 
x 
0,5 1 
0,75 ⇒ 
 
f (1) 0 
 
⇒ (0,5; 0,75) 
2 
 f (0,75) 0 
Critério de Parada : CP 0,75 - 0,5 0,25 

 
2ª Iteração: k 1 
 
 
 
 
 f (0,5) 0 
x 
0,5 0,75 
0,63 ⇒ 
 
f (0,75) 0 ⇒ (0,63; 0,75) 
2 
 f (0,63) 0 
Critério de Parada : CP 0,75 - 0,63 0,12 

 
3ª Iteração: k 2 
 f (0,63) 0 
x 
0,63 0,75 
0,69 ⇒ 
 
f (0,75) 0 ⇒ (0,63; 0,69) 
2 
 f (0,69) 0 
Critério de Parada : CP 0,69 - 0,63 0,06 

 
4ª Iteração: k 3 
 
 
 
 f (0,63) 0 
x 
0,63 0,69 
0,66 ⇒ 
 
f (0,69) 0 ⇒ (0,63; 0,66) 
2 
 f (0,66) 0 
Critério de Parada : CP 0,66 - 0,63 0,03 


5ª Iteração: k 4 
 
0,63 0,66 
 
 
 f (0,63) 0 
 
x4  0,65 ⇒ f (0,66) 0 ⇒ (0,65; 0,66) 2 
 f (0,65) 0 
Critério de Parada : CP 0,66 - 0,65 0,01 102 
Logo, a aproximação da raiz que atende a tolerância é: 
 
x4 0,65 
 
 
24 
 
 
 
 
 
 
 
0 
1 
2 
Exemplo 3.5: determine uma aproximação para a raiz real da equação x5 2x3 2x 1 
que atenda a precisão 102 . Nos cálculos utilize o método de truncamento. 
 
 
 
Figura 3.8 
 
 
Analisando o gráfico, podemos definir o intervalo [-1, 0] como o que contém a raiz da 
equação. Lembramos que quanto menor for a amplitude do intervalo, menos cálculos 
serão realizados. 
 
1ª Iteração: k 0 
 
 
 f (1) 0 
x 
1 0 
0,5 ⇒ 
 
f (0) 0 ⇒ (0,5; 0) 
2 
 f (0,5) 0 
Critério de Parada : CP  - 0,5 - 0 0,5 

2ª Iteração: k 1 
 
 f (0,5) 0 
x 
0,5 0 
0,25 ⇒ 
 
f (0) 0 ⇒ (0,5; - 0,25) 
2 
 f (0,25) 0 
Critério de Parada : CP  - 0,25 0,5 0,25 

3ª Iteração: k 2 
 
 f (0,25) 0 
x 
0,25 0,5 
0,37 ⇒ 
 
f (0,5) 0 ⇒ (0,5; - 0,37) 
2 
 f (0,37) 0 
Critério de Parada : CP  - 0,37 0,5 0,13 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
4 
5 

4ª Iteração: k 3 
 
 
 f (0,37) 0 
x 
0,37 0,5 
0,43 ⇒ 
 
f (0,5) 0 ⇒ (0,43; - 0,37) 
2 
 f (0,43) 0 
Critério de Parada : CP  - 0,37 0,43 0,06 

5ª Iteração: k 4 
 
 f (0,43) 0 
x 
0,43 0,37 
0,40 ⇒ 
 
f (0,37) 0 ⇒ (0,43; - 0,40) 
2 
 f (0,40) 0 
Critério de Parada : CP  - 0,40 0,43 0,03 


6ª Iteração: k 5 
 
 f (0,43) 0 
x 
0,43 0,40 
0,41 ⇒ 
 
f (0,40) 0 ⇒ (0,43; - 0,41) 
2 
 f (0,41) 0 
Critério de Parada : CP  - 0,41 0,43 0,02 


7ª Iteração: k 6 
 
x 
0,43 0,41 
6 
2
 
 
 
 f (0,43) 0 
0,42 ⇒ 
 
f (0,41) 0 ⇒ (0,42; - 0,41) 
 f (0,42) 0 
Critério de Parada : CP  - 0,41 0,42 0,01 102 
 
 
Logo: x6 0,42 é a aproximação da raiz que atende a tolerância 

Resumos dos cálculos da equação x
5 2x3 2x 1 
 
26 
 
 
 
0 
 
Exemplo 3.6: determine a raiz da equação sen(x) ln(x) 0 que atenda uma tolerância 
105 . Nos cálculos use o método do arredondamento. 
 
 
A equação sen(x) ln(x) 0 pode ser escrita como: sen(x) ln(x) , onde 
 
h(x) sen(x) e g(x) ln(x) . 
 
Construindo os gráficos g(x) e h(x) no mesmo eixo cartesiano temos: 
 
 
 
Figura 3.9 
 
 
Observando os gráficos podemos verificar que a abscissa do ponto de intersecção está 
no intervalo [2; 2,5]. Portanto, podemos aplicar o método da bissecção a partir desse 
intervalo. 
 
1ª Iteração: k 0 
 
 
 f (2) 0 
x 
2 2,5 
2,25 ⇒ 
 
f (2,5) 0 ⇒ (2; 2,25) 
2 
 f (2,25) 0 
Critério de Parada : CP 2,25 - 2 0,25 

 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
 
2ª Iteração: k 1 
 
 f (2) 0 
x 
2 2,25 
2,125 ⇒ 
 
f (2,25) 0 
 
 
⇒ (2,125; 2,25) 
2 
 f (2,125) 0 
Critério de Parada : CP 2,25 2,125 0,125 

3ª Iteração: k 2 
 
 f (2,125) 0 
x 
2,125 2,25 
2,1875 ⇒ 
 
f (2,25) 0 ⇒ (2,1875; 2,25) 
2 
 f (2,1875) 0 
Critério de Parada : CP 2,25 - 2,1875 0,0625 

4ª Iteração: k 3 
 
 f (2,1875) 0 
x 
2,1875 2,25 
2,21875 ⇒ 
 
f (2,25) 0 ⇒ (2,21875; 2,25) 
2 
 f (2,21875) 0 
Critério de Parada : CP 2,25 - 2,21875 0,03125 

5ª Iteração: k 4 
 
 f (2,21875) 0 
x 
2,21875 2,25 
2,23438 ⇒ 
 
f (2,25) 0 ⇒ (2,21875; 2,23438) 
2 
 f (2,23438) 0 
Critério de Parada : CP 2,23438 - 2,21875 0,01563 


6ª Iteração: k 5 
 
 f (2,21875) 0 
x 
2,21875 2,23438 
2,22657 ⇒ 
 
f (2,23438) 0 ⇒ (2,21875; 2,22657) 
2 
 f (2,22657) 0 
Critério de Parada : CP 2,22657 - 2,21875 0,00782 

7ª Iteração: k 6 
 
 f (2,21875) 0 
x 
2,21875 2,22657 
2,22266 ⇒ 
 
f (2,22657) 0 ⇒ (2,21875; 2,22266) 
2 
 f (2,22266) 0 
Critério de Parada : CP 2,22266 - 2,21875 0,00391 

8ª Iteração: k 7 
28 
 f (2,21875) 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
8 
9 
x 
2,21875 2,22266 
2,22071 ⇒ 
 
f (2,22266) 0 ⇒ (2,21875; 2,22071) 
2 
 f (2,22071) 0 
Critério de Parada : CP 2,22071 - 2,21875 0,00196 

9ª Iteração: k 8 
 
 f (2,21875) 0 
x 
2,21875 2,22071 
2,21973 ⇒ 
 
f (2,22071) 0 ⇒ (2,21875; 2,21973) 
2 
 f (2,21973) 0 
Critério de Parada : CP 2,21973 - 2,21875 0,00098 


10ª Iteração: k 9 
 
 f (2,21875) 0 
x 
2,21875 2,21973 
2,21924 ⇒ 
 
f (2,21973) 0 ⇒ (2,21875; 2,21924) 
2 
 f (2,21924) 0 
Critério de Parada : CP 2,21924 - 2,21875 0,00049 

11ª Iteração: k 10 
 
 f (2,21875) 0 
x10 
2,21875 2,21924 
2,21900 ⇒ 
 
f (2,21924) 0 ⇒ (2,21900; 2,21924) 
2 
 f (2,21900) 0 
Critério de Parada : CP 2,21924 - 2,21900 0,00024 

12ª Iteração: k 11 
 
 f (2,21900) 0 
x11 
2,21900 2,21924 
2,21912 ⇒ 
 
f (2,21924) 0 ⇒ (2,21900; 2,21912) 
2 
 f (2,21912) 0 
Critério de Parada : CP 2,21912 - 2,21900 0,00012 

13ª Iteração: k 12 
 
 f (2,21900) 0 
x12 
2,21900 2,21912 
2,21910 ⇒ 
 
f (2,21912) 0 ⇒ (2,21910; 2,21912) 
2 
 f (2,21910) 0 
Critério de Parada : CP 2,21912 - 2,21910 0,00002 

14ª Iteração: k 13 
29 
 f (2,21910) 0 
 
 
 
x13 
2,21910 2,21912 
 
 
2 
2,21911 ⇒ 
 
f (2,21912) 0 ⇒ (2,21911; 2,21912) 
 f (2,21911) 0 
Critério de Parada : CP 2,21912 - 2,21911 0,00001 105 
 
Logo, a raiz da equação que atende a precisão do problemaé: x13 2,21911 
 
Resumos dos cálculos da equação sen(x) ln(x) 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
Exercícios 
 
 
 
 
3.1 Calcular a raiz real da equação transcendente cos(x) ln(x) 0 , pelo método da 
 
bissecção com uma precisão 102 . Nos cálculos, use o método de arredondamento. 
Sugestão: Use um recurso computacional para a construção do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 Usando o método da bissecção, determinar a raiz real da equação algébrica 
x
3 2x 2 x 1 0 que atenda uma tolerância para o erro 104 . Use o método de 
arredondamento nos cálculos. 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 Determinar, pelo método da bissecção, a primeira raiz real positiva da equação 
transcendente tg(x) 2x 0 sabendo que a tolerância exigida é 106 . Usar o 
 
método de arredondamento nos cálculos. 
 
 
 
31 
 
Seção 3 – Método da falsa posição 
 
Seja f (x) uma função contínua no intervalo [a, b] de forma que f (a). f (b) 0 e que no 
 
intervalo dado, exista apenas uma raiz  da equação f (x) 0 . No método da 
 
bissecção a raiz aproximada de é calculada fazendo a média aritmética de a e b, ou 
 
seja, x 
a b 
.
 
2 
 
Nas mesmas condições iniciais do método da bissecção, o método da falsa posição toma 
 
a média aritmética ponderada do intervalo [a, b] com pesos f (a) e f(b) que pode ser 
 
expressa da seguinte forma: 
 
xk  
a. f (b) b. f (a) 
f (b)  f (a) 
 
, já que 
 
f (a) e f (b) tem sinais opostos. 
 
 
Graficamente, esta média é o ponto x que é a intersecção da reta que une os pontos 
(a, f (a)) e (b, f (b)) com o eixo dos “x”. Após a divisão do intervalo, escolhe-se o novo 
subintervalo de acordo com a variação do sinal da curva f . 
Interpretação gráfica: 
 
 
a. f (b) b. f (a) 
f (b) f (a) 
32 
 
 
O método da falsa posição aplicado na figura 3.10 nos mostra que f (a). f (x0 ) 0 , logo 
o novo intervalo que contém a raiz  é dado por [a, x0]. Seguindo esse mesmo 
raciocínio, deve-se continuar o processo para determinar o novo intervalo que contém a 
raiz. 
Exemplo 3.8: o intervalo [0,5; 1] contém a raiz da equação x 
2 ln(x) 0 . Determine 
 
uma aproximação para essa raiz, usando o método da falsa posição, que atenda a 
tolerância 102 . Para critério de parada vamos usar f (xk ) , k 0,1, 2, 3..., n . 
 
Nos cálculos utilizar o método de arredondamento. 
 
Vamos determinar a seqüência de aproximações xk , com k 0,1, 2, 3..., n usando: 
 
x 
a. f (b) b. f (a) 
k 
f (b)  f (a) 
 
 
f (a) 
f (b) 
f (0,5) 0,52 ln(0,5) 0,44 0 
f (1) 12 ln(1) 1 0 
 
 
1ª Iteração: k 0 
x 
0,5.1 1.(0,44) 
0 
1 (0,44) 
 
Logo a raiz da equação é: 
x0 0,65
 
0,65 ; CP: 
 
f (x0 
 
 
 
 
) 0,01 0,01 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
0 
1 
2 
 
Exemplo 3.9: use o método da falsa posição para determinar a raiz da equação 
x
3 2x 1 0 que está no intervalo [0, 1] e que atenda a tolerância 103 . Use o 
método de truncamento no processo de resolução. 
 
Cálculos: 
f (a) 
f (b) 
f (0) 03 2.0 1 1 0 
f (1) 13 2.1 1 2 0 
 
 
1ª Iteração: k 0 
x 
0.2 1.(1) 
0 
2 (1) 
 
0,333 ; CP: 
 
f (x0 
 
) 0,297 
Definição do intervalo que contém a raiz: a raiz está no intervalo [a, x0] ou [x0, b]. 
Como f (x0 ) 0 significa que a raiz está no intervalo: [x0, b] = [0,333; 1] 
2ª Iteração: k 1 
x 
x0 . f (b) b. f (x0 ) 

1 
f (b)  f (x ) 
 
 
0,333.2 1.(0,297) 
2 (0,297) 
 
 
0,419 
 
 
; CP: 
 
 
f (x1 ) 0,088 

Definição do intervalo que contém a raiz: a raiz está no intervalo [x1, b] ou [x0, x1]. 
Como f (x1 ) 0 significa que a raiz está no intervalo: [x1, b] = [0,419; 1] 
 
 
3ª Iteração: k 2 
x 
x1 . f (b) b. f (x1 ) 
2 
f (b)  f (x ) 
 
 

0,419.2 1.(0,088) 
2 (0,088) 
 
 
0,443 
 
CP: f (x2 ) 0,027 
Definição do intervalo que contém a raiz: a raiz está no intervalo [x2, b] ou [x2, x1]. 
Como f (x2 ) 0 significa que a raiz está no intervalo: [x2, b] = [0,443 1 
 
 
4ª Iteração: k 3 
x 
x2 . f (b) b. f (x2 ) 
3 
f (b)  f (x ) 
 
 

0,443.2 1.(0,027) 
2 (0,027) 
 
 
0,450 
 
CP: f (x3 ) 0,008 
Definição do intervalo que contém a raiz: a raiz está no intervalo [x3 b]ou [x3, x2]. 
Como f (x3 ) 0 significa que a raiz está no intervalo: [x3, b] = [0,450; 1] 
34 
 
3 
3 
5ª Iteração: k 4 
x 
x3 . f (b) b. f (x3 ) 
4 
f (b)  f (x ) 
 
 

0,450.2 1.(0,008) 
2 (0,008) 
 
 
 
0,452 
 
CP: f (x4 ) 0,003 

6ª Iteração: k 5 
x 
x4 . f (b) b. f (x3 ) 
5 
f (b)  f (x ) 
 
 

0,452.2 1.(0,003) 
2 (0,003) 
 
 
0,452 
 
Observe que o resultado dessa iteração é igual ao resultado da iteração anterior, logo a 
raiz é x5 0,452 . 
 
 
Resumo dos cálculos da equação x
3 2x 1 0 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Exercícios 
 
 
 
 
3.4 Calcular a raiz real da equação transcendente log(x) x 0 , pelo método da falsa 
 
posição com uma precisão 102 . Nos cálculos, use o método de arredondamento. 
Sugestão: Use um recurso computacional para a construção do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.5 Usando o método da falsa posição, determinar a raiz real positiva da equação 
algébrica x
5 x3 2x 2 x 1 0 que atenda uma tolerância para o erro 104 . Use 
o método de arredondamento nos cálculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.6 Determinar, pelo método da falsa posição, a raiz real negativa da equação 
transcendente cos(x) x2 0 que atenda uma tolerância para o erro 103 . Use o 
 
método de arredondamento nos cálculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
k k 1 
k 
 
Seção 4 – Método da secante 
 
 
Quando na aplicação do método de Newton-Raphson o cálculo da derivada de f (x) for 
 
complicado podemos substituir a derivada f ' (xk ) por: 
 
f ' (x )  f (xk )  f (xk 1 ) 
xk xk 1 
 
Onde, xk e xk 1 são duas aproximações para a raiz  da equação f (x) 0 . 
 
Portanto a equação de iteração de Newton-Raphson passa a ser: 
 
x x  f (xk ) 
x . f (x ) x . f (x ) 
x k k k 1 k k 1 k f (x )  f (x ) k 
xk xk 1 
f (xk )  f (xk 1 ) 
 
Ou ainda: 
 
xk 1 
 
 
x . f (x ) x . f (x ) 
 k 1 k k k 1 , k 1, 2,..., n 
f (xk )  f (xk 1 ) 
 
Na aplicação dessa equação é necessário o uso de duas aproximações xk e xk 1 para a 
raiz  da equação f (x) 0 . Este método que é conhecido como Método da secante. 
37 
 
 
 
 
Interpretação geométrica 
 
 
 
Figura 3.14 
 
 
Na figura 3.14 percebe-se que traçamos uma reta secante à curva f (x) passando pelos 
 
pontos (x0 , f (x0 )) e (x1 , f (x1 )) para determinar a aproximação x2 que é a abscissa do 
ponto de intersecção da reta secante e o eixo dos “x”. Se essa aproximação atende a 
precisão estabelecida , x2 é a aproximação da raiz. Caso contrário traça-se outra reta 
secante a curva f (x), agora passando pelos pontos (x1 , f (x1 )) e (x2 , f (x2 )) para 
determinar a aproximação 
estabelecida. 
x3 e, assim sucessivamente até atingir a precisão 
 
 
Exemplo 3.10: determinar uma aproximação para a raiz real da equação 
x
3 x 2 2x 5 0 , que atenda a precisão 102 tendo como aproximações: 
x0 1,0 e x1 1,3 . Nos cálculos usar o método de arredondamento. 
 
Equação de iteração: 
 
xk 1 
x . f (x ) x . f (x ) 
 k 1 k k k 1 , k 1, 2,..., n 
f (xk )  f (xk 1 ) 
38 
 
1 0 
2 1 
3 2 
 
 
 
 
1ª Iteração: k 1 
 
x 
x0 . f (x1 ) x1. f (x0 ) 
2 
f (x )  f (x ) 
 

1,0.(1,89) 1,3.(3) 
1,89 (3) 
 
 
 
1,81 
 
Critério de Parada: CP  f (x2 ) 1,27 


2ª Iteração: k 2 
 
x 
x1. f (x2 ) x2 . f (x1 ) 
3 
f (x )  f (x ) 
 
 

1,3.1,27 1,81.(1,89) 
1,27 (1,89) 
 
 
 
1,61 
 
Critério de Parada: CP  f (x3 ) 0,20 


3ª Iteração: k 3 
 
x 
x2 . f (x3 ) x3 . f (x2 ) 
4 
f (x )  f (x ) 
 

1,81.(0,20) 1,61.1,27 
0,20 1,27 
 
 
 
1,64 
 
Critério de Parada: CP  f (x4 ) 0,001 10
2
 
 
Logo a raiz da equação que atende a precisão é: x4 1,64 
Tabela 3.6 – Resumo dos cálculos da equação x3 x 2 2x 5 0 
 
 
Fonte: produzido pelo autor, 2008 
 
 
Exemplo 3.11: fazendo uma análise gráfica, escolha as duas aproximações xk e xk 1 
 
para a raiz negativa da equação sen(x) x 2 0 que atenda a precisão 105 . Use o 
 
método de arredondamento nos cálculos. 
 
 
39 
 
1 0 
2 1 
3 2 
4 3 
 
 
 
Figura 3.15 
Observando o gráfico na figura 3.15 podemos tomar para as aproximações inicias os 
valores: xk 0,8 e xk 1 1,0 
 
 
1ª Iteração: k 1 
 
x 
x0 . f (x1 ) x1. f (x0 ) 

2 
f (x )  f (x ) 
 
 
1,0.(0,07736) (0,8).(0,15853) 
0,07736 0,15853 
 
 
 
0,86559 
 
Critério de Parada: CP  f (x2 ) 0,01223 


2ª Iteração: k 2 
 
x 
x1. f (x2 ) x2 . f (x1 ) 
3 
f (x )  f (x ) 
 

0,8.(0,01223) (0,86559).(0,07736) 
0,01223 (0,07736) 
 
 
 
0,87885 
 
Critério de Parada: CP  f (x3 ) 0,00237 


3ª Iteração: k 3 
 
x 
x2 . f (x3 ) x3 . f (x2 ) 

4 
f (x )  f (x ) 
 
 
0,86559.0,00237 (0,87885).(0,01223) 
0,00237 (0,01223) 
 
 
 
0,87670 
 
Critério de Parada: CP  f (x3 ) 0,00003 


4ª Iteração: k 4 
 
x 
x3 . f (x4 ) x4 . f (x3 ) 

5 
f (x )  f (x ) 
 
 
0,87885.(0,00003) (0,87670).(0,00237) 
0,00003 0,00237 
 
 
 
0,87673 
40 
 
 
 
Critério de Parada: CP  f (x3 ) 0,00001 10
5
 
 
 
Logo a raiz da equação que atende a precisão é: x5 0,87673 
 
 
Tabela 3.7 – Resumo dos cálculos da equação sen(x) x 2 0 
 
 
 
 
 
 
41 
 
Exercícios 
 
 
 
 
 
3.7 Determinar uma aproximação para a raiz real negativa da equação algébrica 
x
7 3x 2 1 0 pelo método da secante que atenda a precisão 102 . Use as 
aproximações iniciais 
arredondamento. 
x0 1 e x1 0,7 para a raiz da equação e o método de 
 
 
 
 
 
 
3.8 Após uma análise gráfica estimar as aproximações iniciais x0 e x1 para a primeira 
 
raiz real negativa da equação sen(x) e3 x 0 e, em seguida usando o método da 
 
secante encontre uma aproximação para a raiz que atenda a tolerância para o erro 
104 . Use o método de arredondamento nos cálculos. 
 
 
 
 
 
 
 
3.9 Determinar, pelo método da secante, a raiz real da equação 3x3 2x 2 x 1 0 
que atenda uma tolerância para o erro 103 . Use o método de arredondamento nos 
cálculos e as aproximações iniciais 
 
 
x0 0,2 e x1 0,5 . 
42 
 
UNIDADE 4 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
ALGÉBRICAS 
 
 
Seção 1 – Introdução 
 
Vários problemas de interesses práticos, nas mais diversas áreas das ciências exatas, 
podem ser modelados por um sistema de equações lineares algébricas como, por 
exemplo: sistema de destilação de misturas químicas, balanceamento de uma reação 
química, cálculo estrutural, circuitos elétricos, tratamento numérico de equações 
diferenciais etc. 
 
O objetivo dessa unidade é apresentar os métodos numéricos para a resolução de 
sistemas de equações lineares algébricas que podem estar divididos em dois grupos: 
 
• Métodos Diretos – fornecem a solução exata do sistema linear em uma 
quantidade finita de operações. Nesses métodos, os erros que por ventura 
surjam, são provenientes do método de arredondamento. 
• Métodos Iterativos – geram uma seqüência de aproximações x k , 
k 0,1, 2,..., n a partir de uma aproximação inicial x0 que, sob certas 
 
condições pode convergir para a solução do sistema, caso ela exista. 
 
 
Na seqüência, estaremos apresentando a definição de um sistema de equações lineares 
algébricas, classificação, sistemas triangulares e as transformações elementares que 
podem ser realizadas com as equações de um sistema linear algébrico. 
 
 
 
 
43 
 
 
Definição 4.1 – Um sistema de equações lineares algébricas é definido como um 
conjunto de m equações com n incógnitas que pode ser escrito na forma: 
 
 
 
onde xn são as incógnitas, aij são os coeficientes e b j são os termos independentes. 
 
 
Uma forma compacta de escrever o sistema Sm é: 
m 
Sm ∑ aij x j ; 
i 
j 1, 2, 3,.., n 
Um sistema de equações lineares também pode ser escrito na forma matricial AX b , 
onde: A é a matriz dos coeficientes; X a matriz das incógnitas e b é a matriz dos 
termos independentes, ou seja: 
 
 
Definição 4.2 – Definimos a matriz alongada [ A, b] do sistema Sm como sendo a 
matriz dos coeficientes acrescida dos termos independentes, ou seja: 
 
 
 
 
 
Definição 4.3 – A matriz X de ordem nx1 é dita solução do sistema Sm se, xi , 
i 1, 2, 3,.., n , verifique a equação 
 
 
 
 
 
AX b , ou seja: 
44 
 
 
 
 
 
 
1.1 Classificação dos sistemas quanto ao número de soluções 
 
Um sistema de equações lineares algébricas pode ser classificado quanto ao número de 
soluções em: 
 
• Compatível – quando admite soluções. 
• Incompatível – quando não admite soluções. 
 
 
Definição 4.4 – Um sistema compatível é dito determinado, quando possui uma única 
solução e indeterminado quando possui infinitas soluções. 
 
 
Exemplo 4.1: o sistema de equações lineares algébricas 
 x1 x2 3 
 2x1 3x2 4 
 
, tem apenas 
uma solução, ou seja, X 
T
 
determinado – SCD. 
 
 
Interpretação geométrica: 
[1 2] , portanto ele é dito – sistema compatível 
 
 
 
Figura 4.1 – retas das equações do sistema, no mesmo plano cartesiano 
45 
 
 
 
Observando a figura 4.1 podemos perceber que as retas que representam as equações do 
sistema, se interceptam apenas no ponto (1, 2) e, portanto, o sistema tem apenas uma 
solução. 
 
Exemplo 4.2: já o sistema de equações lineares algébricas 
x1 x2 0 
3x1 3x2 0 
 
, tem infinitas 
soluções, vejamos: os pares [0, 0]; [1, -1], [-1, 1]; [2, -2],... são soluções do sistema. 
Portanto podemos classificá-lo em – sistema compatível indeterminado – SCI 
 
Interpretação geométrica: 
 
 
Figura 4.2 – retas das equações do sistema, no mesmoplano cartesiano 
 
 
Observando a figura 4.2 podemos perceber que as retas que representam as equações do 
sistema, são coincidentes e, portanto, qualquer ponto da reta é uma solução para o 
sistema, logo ele tem infinitas soluções. 
 
Exemplo 4.3: o sistema 
x1 x2 2
 
 x1 x2 0 
interpretar esse fato geometricamente: 
 
 é incompatível. Portanto, não tem solução. Vamos 
46 
 
 
 
 
Figura 4.3 – retas das equações do sistema, no mesmo plano cartesiano 
 
 
Observando a figura 4.3 podemos perceber que as retas que representam as equações do 
sistema, são paralelas e, portanto, não existe nenhum ponto em comum, logo o sistema 
não tem solução. 
 
Definição 4.5 – Quando todos os termos independentes b j , j 1, 2, 3,..., m de um 
 
sistema de equações lineares algébricas são iguais a zero, ou seja, b j 0 dizemos que 
 
ele é homogêneo e possui a solução trivial, 
sistema homogêneo. 
 
1.2 Sistemas triangulares 
X 0 . O sistema do exemplo 4.2 é um 
 
Nessa unidade vamos estudar os sistemas de equações lineares algébricas onde o 
número de equações é igual ao número de incógnitas. Portanto, vamos denotar os 
sistemas por Snxn ou simplesmente Sn . 
 
Definição 4.6 – Um sistema de n equações lineares algébricas é dito triangular 
superior, quando os elementos da matriz dos coeficientes são tais que aij 0 para 
 
j i, i, j  1, 2, 3, ... , n . 
 
 
 
 
47 
 
a 
 
 
Definição 4.7 – Um sistema de n equações lineares algébricas é dito triangular 
inferior, quando os elementos da matriz dos coeficientes são tais que aij 0 para 
 
i  j, i, j  1, 2, 3, ... , n . 
 
 
 
 
Método de resolução – substituição retroativa, para os sistemas triangulares superiores 
e progressiva para os sistemas triangulares inferiores. Ou seja, no sistema triangular 
superior calcula-se x 
bn
 na última equação e em seguida leva-se esse valor para 
n 
nn 
 
equação imediatamente superior e encontra-se o valor da incógnita xn1 , e assim 
sucessivamente. O mesmo raciocínio serve para o sistema triangular inferior, ou seja, 
b 
calcula-se x  1 
 
na primeira equação e em seguida leva-se esse valor para a equação 
1 
11 
 
imediatamente inferior e encontra-se o valor da incógnita 
 
x2 , e assim sucessivamente. 
 
Exemplo 4.4: resolver o seguinte sistema de equações lineares algébrica: 
 
 
 
O sistema acima é triangular superior, portanto, vamos usar o método de resolução 
substituição retroativa. 
a 
48 
 
 
 
Na última equação calculamos o valor de x4 4 , substituindo na equação 
imediatamente superior, encontramos: 2x3 4 2 ⇒ x3 3 . Substituindo os valores de 
x4 4 e x3 3 na segunda equação, calculamos: x2 3.3 4 3 ⇒ x2 2 e, 
finalmente, na primeira equação determinamos o valor de: x1 2.2 3 4 4 ⇒ x1 1. 
Portanto, a solução do sistema é: [1 2 3 4]
T 
. Logo o sistema é compatível determinado 
(SCD). 
 
 
 
 Exemplo 4.5: determinar a solução do sistema: 
 
 
 
 
Para que o sistema seja triangular superior, devemos completar a segunda equação com 
o termo 0x2 , ou seja, o sistema fica: 
 
 
Nas duas últimas equações encontramos os valores de x4 4 e x3 3 . Substituindo 
 
esses valores na terceira equação temos: 0x2 3.3 4 5 ⇒ 0x2 0 ⇒ x2 , 
. Para encontrar o valor da incógnita x1 fazemos: 
x1 23 4 4 ⇒ x1 5 2. Logo a solução do sistema é: [5 2 
. Logo o sistema é compatível indeterminado (SCI). 
3 4]
T
 , onde 
 
 
 
 
Exemplo 4.6: determinar a solução do sistema: 
 
 
 
 
Usando o mesmo raciocínio do exemplo anterior, devemos escrever esse sistema como: 
49 
 
 
 
Como x4 4 e x3 3 vamos encontrar o valor de x2 na terceira equação: 
 
0x2 3.3 4 1 ⇒ 0x2 6 . Observando essa equação verificamos que não existe 
solução. Logo podemos concluir que o sistema é incompatível (SI). 
 
 
1.3 Transformações elementares 
 
Podemos realizar operações com as equações de um sistema linear de tal forma que o 
novo conjunto de equações mantém a solução do sistema inicial. A esse conjunto de 
operações damos o nome de transformações elementares. 
 
Exemplos de transformações elementares: 
• trocar a ordem de duas equações no sistema; 
• multiplicar ou dividir uma equação do sistema por uma constante , com 0 e 
; 
• somar duas equações do sistema e depois, substituir o resultado por uma delas. 
 
 
 
Definição 4.8 – Dizemos que dois sistemas S e S1 são equivalentes se um pode ser 
obtido do outro por meio de transformações elementares. Portanto, se S é equivalente a 
S1 eles têm a mesma solução ou são incompatíveis. 
 
 
 
Exercícios 
 
4.1 Determinar a solução dos sistemas de equações lineares algébricas, a seguir. Em 
seguida, faça a classificação dos mesmos quanto ao número de soluções: 
50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
 
Seção 2 – Métodos diretos 
 
Nesta seção, estudaremos os métodos diretos para a resolução de sistemas de equações 
lineares algébricas. Nesses métodos realizamos um número fixo de passos, estando 
sujeito apenas, a erros de arredondamento. 
 
2.1 Método de Gauss 
 
O método de Gauss consiste transformar o sistema de equações lineares algébricas 
AX b , em um sistema triangular equivalente, usando operações elementares com as 
equações do sistema. Portanto, a solução do sistema triangular também será solução do 
sistema AX b . 
 
 
Exemplo 4.7: resolver, usando o método de Gauss, o sistema de equações lineares 
algébricas a seguir: 
 
Para resolver o sistema pelo método de Gauss, devemos promover transformações 
elementares com as equações do sistema S de forma a gerar um sistema triangular 
superior S1 que é equivalente a S . 
Escrevendo a matriz inicial A
(0) 
, alongada do sistema S , temos: 
 
 
 
A(0) = 
1 
2 
3 
1 1 ' 
-1 3 ' 
- 3 1 ' 
6 
9 
 0
 
 em seguida, devemos promover operações com as linhas da 
 
matriz de maneira tal que os elementos abaixo da diagonal principal, fiquem iguais a 
zero. Dessa forma, geramos uma matriz triangular superior equivalente a matriz A(0) e 
em seguida, escrevemos o sistema triangular superior o qual resolveremos pelo método 
das substituições retroativas. 
 
Vejamos as operações: 
 
 
52 
 
3 3 
2 3 
3 
 
Vamos chamar as linhas da matriz inicial A
(0) 
de: l (0) ; l (0) e l (0) e realizar as seguintes 1 2 3 
 
operações com as linhas l 
(0) 
e l 
(0) 
: multiplicar a linha l (0) por -2 (chamado de 1 2 1 
multiplicador m21 ); somar o resultado com a linha 
 
(0) 
2 e em seguida substituir o 
resultado pela linha l 
(0) 
. Em seguida, multiplicar a linha l 
(0)
 por -3 (multiplicador m ), 
2 
 
somar o resultado com a linha l 
(0)
 
1 
 
e, depois substituir pela linha l 
(0)
 
31 
 
. A seguir faremos 
 
um resumo das operações realizadas com as linhas da matriz inicial A(0) que vai gerar a 
matriz equivalente A(1) : 
 
 
 
Para determinar o multiplicador m21 
 
fazemos: m21 
a21 
a11 
 
, onde a11 0 
 
e é chamado 
 
de pivô. Logo: m21 

2 
2 . 
1 
Devemos seguir o mesmo raciocínio para determinar o multiplicador m31 , ou seja, 
 
Resumo das operações: 
 
Observe que zeramos todosos elementos da matriz, na primeira coluna, abaixo do pivô 
a11 1. 
Para que a matriz fique triangular superior, devemos zerar o elemento abaixo do número 
-3 que passa a ser o novo pivô (elemento a22 da matriz A
(1) 
). Para tanto, vamos fazer a 
seguinte operação: multiplicar a segunda linha da matriz A(1) por -2 (multiplicador 
 
m32 
a32 
a22 

6 
3 
 
2 
 
) e adicionar com a terceira linha, ou seja, 
 
2.l (1) 
 
l (1) e 
substituir o resultado pela linha l 
(1) 
que vai gerar a matriz equivalente 
 
 
A(2) : 
l 
53 
 

 
Observe que a matriz 
sistema: 
 x1 x2 x3 6 
 
A(2) 
 
é triangular superior e, portanto, podemos escrever o 
S1  
 
 
 3x2 x3 3 
4x3 12 
Resolvendo S1 por substituições retroativas, temos: x3 3 ⇒ x2 2 ⇒ x1 1, logo a 
solução de S1 é [1 2 3]
T
 . Como S1 é equivalente a S podemos dizer que a solução de 
S é igual a solução de S1 . 
 
Podemos simplificar essas operações por meio de uma tabela que pode ser feita com o 
auxílio do software Excel®. 
 
Tabela 4.1 – Resolvendo um sistema de equações lineares – Método de Gauss 
 
 
Fonte: tela da planilha Excel®, produzida pelo autor, 2008 
 
Observando a planilha, podemos perceber que as linhas 1, 4 e 6 são as linhas que vão 
 x1 x2 x3 6 
formar o sistema triangular superior igual a: 
 
S1 3x2  x3 3 que já resolvemos 
 
anteriormente. 
 4x3 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
Exemplo 4.8: resolver o sistema de equações lineares, a seguir, usando o método de 
Gauss e, durante todas as etapas de resolução, inclusive as substituições retroativas, use 
duas casas decimais e a técnica de arredondamento. 
 
Na resolução desse sistema usaremos a tabela que pode ser feita com o auxílio do 
software Excel® do exemplo anterior, tendo o cuidado de formatar as células de cálculo 
para duas casas decimais, para em seguida determinar a solução do sistema. 
 
Tabela 4.2 – Resolvendo um sistema de equações lineares – Método de Gauss 
 
 
 
 
 
As linhas que formam o sistema triangular superior são: 1, 4 e 6. Portanto o sistema 
será: 
 
 
Resolvendo o sistema pelo método de substituições retroativas teremos a seguinte 
 
 
solução: X [1,35; - 2,87; 0,98]T , como S e S1 são sistemas equivalentes, podemos 
 
 
anunciar a solução do sistema como sendo: X [1,35; - 2,87; 0,98]T . 
55 
 
 
Exemplo 4.9: resolver o sistema de equações lineares, a seguir, e em seguida, avaliar a 
precisão 102 , determinando o resíduo gerado pelo erro de arredondamento adotado 
em todos os cálculos. 
 
 
 
A tabela a seguir, gera o sistema triangular superior S1 que é equivalente a S , levando- 
se em consideração duas casas decimais em todos os cálculos, ou seja, os erros de 
arredondamento produzidos em cada etapa se propagaram para as etapas seguintes: 
 
Tabela 4.3 – Resolvendo um sistema de equações lineares – Método de Gauss 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
56 
 
Resolvendo o sistema triangular acima, teremos: 
 
x4 
169,20 
41,88 
4,04 
x3 
5,28 1,45.4,04 
0,19 
3,04 
x2 
17,75 6,85.3,04 5,48.4,04 
8,20 
2,00 
x1 
14,68 3,21.2,00 0,87.3,04 2,01.4,04 
2,83 
0,98 
Logo a solução aproximada do sistema S é: X [0,98; 2,00; 3,04; 4,04]T . 
 
Para calcular o resíduo gerado pelo erro de arredondamento provocado em todos os 
cálculos em função da precisão 
Acompanhe. 
102 podemos usar a seguinte estratégia. 
Vamos chamar o resíduo de r que é dado por: r b AX , ou seja: 
 
 
 
 
57 
 
2.1.1 Melhoramento de Soluções 
 
No exemplo 4.9 você pôde observar que o resultado apontado para a solução de 
sistema de equações lineares está afetado de erros de arredondamentos provocados 
pelos cálculos realizados no decorrer das transformações elementares e nas substituições 
 
 
retroativas, gerando, portanto, uma solução aproximada X e um resíduo r para o 
sistema. 
É comum, na resolução de sistemas que envolvem problemas práticos, trabalharmos 
com coeficientes que não sejam números inteiros e, portanto, no processo de resolução, 
aplicando o método de Gauss, surgir erros de arredondamentos. Uma forma de 
minimizar a propagação dos erros de arredondamentos é determinar uma parcela de 
correção (0) que será adicionada a solução aproximada inicial 
(0) 
X , gerando uma 
 
solução melhorada 
 
(1) 
X , ou seja: 
 
(1) 
X 
 
(0) 
X (0) . 
 
 
Obtenção da solução melhorada: 
 
(0) 
Se X é uma solução aproximada do sistema AX b e (0) 
 
a parcela de correção e, 
 
ainda, se 
 
(1) 
X é uma solução melhorada, então 
 
(1) 
X 
 
(0) 
X (0) . 
 
 
Logo: 
(1) 
AX b ⇒ A( X 
(0) 
(0) ) b ⇒ AX 
(0) 
 A(0) b , como pretendemos 
encontrar a parcela de correção (0) , então A(0) b AX 
 
(0) 
. 
 
 
Observe que o segundo membro da equação acima é exatamente o cálculo do resíduo 
inicial r 
(0) 
, ou seja, r 
 
(0) 
 
b AX 
 
(0) 
, portanto, a parcela de correção (0) será calculada 
resolvendo o sistema: A(0) r (0) , onde: 
A matriz dos coeficientes; 

(0) 
parcela de correçãoinicial; 
r ( 0 ) resíduo produzido pela soluçàoaproximada X 
 
Esse processo pode ser repetido até que a precisão do problema seja atingida, ou seja: 
 
Para determinar a primeira solução melhorada: 
A(0) r (0) ; 
 
Para determinar a segunda solução melhorada: 
A(1) r (1) ; e assim sucessivamente. 
 
(1) 
X 
 
 
(2) 
X 
 
(0) 
X 
 
 
(1) 
X 
 
 
  (0) , resolve-se o sistema: 
 
 
 (1) , resolve-se o sistema: 
( 0 ) 
58 
 
Exemplo 4.10: determinar a solução melhorada para o sistema de equações do exemplo 
4.9. 
No exemplo 4.9, encontramos a solução aproximada �̅� = [0,98; 2,00; 3,04; 4,04]T e o 
resíduo inicial r 
(0) 
= [0,01; 0,04; 0,02; 0,08]
T 
. Portanto, para determinar a solução 
melhorada �̅�(1) devemos resolver o sistema: A(0) r (0) , ou seja: 
2,831 3,212 0,873 2,014 0,01 
 
3,211 4,572 5,873 3,214 0,04 
 
2,831 3,452 4,873 3,884 0,02 
0,981 3,412 4,333 5,874 0,08 
 
Resolvendo o sistema acima com o auxílio da tabela abaixo, teremos: 
Tabela 4.4 – Determinando uma parcela de correção – Método de Gaus 
 
 
 
Que gera o sistema triangular: 
 
 2,831 3,212 0,873 2,014 0,01 
 
 8,202 6,853 5,484 0,05 
 
 0,193 1,454 0,05 
 41,884 1,65 
 
Resolvendo o sistema acima pelo método de substituições retroativas, temos: 
 
1,65 


4 
41,88 
0,04 
3 
0,05 1,45.(0,04) 
0,19 
0,04 
2 
0,05 6,85.(0,04) 5,48.(0,04) 
8,20 
0,00 
1 
0,01 3,21.(0,00) 0,87.(0,04) 2,01.(0,04) 
2,83 
0,02 
 
Logo, a parcela de correção (0) [0,02; 0,00; - 0,04; - 0,04]T . 
 
Determinando a solução melhorada 
(1) (0) 
X X 
(1) 
(1) 
X : 
X [0,98; 2,00; 3,04; 4,04]  [0,02; 0,00; - 0,04; - 0,04] 
X 
(1) 
[1,00; 2,00; 3,00; 4,00 ]T 
(0) 
59 
 
 
Cálculo do resíduo r 
(1) 
: 
 
 
 
 
 
Como o resíduo: r 
(1) [0, 0, 0, 0]T podemos concluir que a aproximação �̅�(1) é a 
solução exata do sistema, já que gerou resíduo nulo. 
 
 
60 
 
Exercícios 
 
4.2 Resolver pelo método de Gauss,os sistemas de equações lineares algébricas a 
seguir, usando o método de arredondamento em todos os cálculos. Aponte uma solução 
que atenda a precisão 102 : 
 
 
3x1 x2 2x3 3 
 
a) x1 x2 3x3 6 
 
2x1 3x2 x3 7 
 
 
 
 
x1 2x2 1,8x3 1,64 
 
b) 2x1 x2 x3 3,10 
 
x1 3x2 2x3 0,90 
 
 
 
1,8x1 3,2x2 4,1x3 1,7x4 15,59 
 
 
3,1x1 4,2x2 3,3x3 2,2x4 3,17 


3,4x1 3,3x2 2,4x3 3,27x4 21,84 
 
4,85x1 3,26x2 2,72x3 4,31x4 9,81 
 
 
 
 
4.3 Determinar o resíduo provocado pelo erro de arredondamento no item c, da questão 
anterior. 
 
 
c) 
61 
 
Seção 3 – Métodos iterativos 
 
 
Os métodos iterativos para resolução de sistemas de equações lineares algébricas 
consistem em calcular uma seqüência de aproximações x (k ) k 0,1, 2,..., n para a 
solução aproximada �̅� do sistema, a partir de uma aproximação inicial 𝑥(0). O 
processo iterativo é repetido até que a solução aproximada 𝑥(𝑘) atenda a precisão  
estabelecida para o problema. 
 
Então, seja o sistema linear AX b, no qual: 
A matriz dos coeficientes de ordem n x n 
X vetor das variáveis de ordem n x 1 
b vetor dos termos independentes de ordem n x 1 
 
 
Nos métodos iterativos, esse sistema é convertido em um equivalente da forma 
x Sx c , onde S é uma matriz n x n; c e x são matrizes n x 1. 
 
 
Destacamos que (x) xS c é uma função de iteração na forma matricial. 
 
 
Partindo-se de uma aproximação inicial x(0) [x 
(0) 
x 
(0) 
x 
(0) 
... x 
(0) 
]T obtém-se: 
 
Primeira aproximação: 
Segunda aproximação: 
 
x(1) Sx(0) c 
x(2) Sx(1) c 
1 2 3 n 
. 
. 
. 
 
De uma forma geral: 
 
 
x
(k 1) Sx(k ) c ; k 0,1, 2,..., n 
 
Se a seqüência de aproximações x
(0) 
, x
(1) 
, x
(2) 
,..., x
(k ) 
,... é de tal forma que 
 
lim x
(k ) , então 
k 
Sc , logo  é a solução do sistema linear AX b . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
3.1 Método iterativo de Gauss-Seidel 
 
O método iterativo de Gauss-Seidel, segue a mesma linha de raciocínio do método de 
Gauss-Jacobi, ou seja, o sistema linear 
x Sx c . 
AX b é escrito na forma equivalente 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4.11: resolver o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss-Seidel, usando 
uma precisão 102 , o método de arredondamento, a aproximação inicial 
 
x
(0) [0, 0, 0]T e, tendo como critério de parada máx x 
(k 1) 
x 
( k )
 , i 2 .
 i i 
 
 3x1 x2 x3 1 
 x1 4x2 2x3 5 
x1 x2 5x3 3 
 
 
 
 
 
63 
 
 
 
 
64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
Exercícios 
 
4.3 Resolver pelo método de Gauss-Seidel os sistemas de equações lineares a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
UNIDADE 5 
Interpolação 
 
 
Seção 1 – Introdução 
 
Vamos considerar os dados tabelados a seguir: 
 
 
 
Observando os dados tabelados, podemos perguntar: 
 
Será que é possível determinar a população do Brasil no ano de 1985? E no ano de 
2010? 
 
Previsões desse tipo podem ser feitas por meio de uma função de ajuste dos dados 
tabelados, que é chamada de função de aproximação. Para responder a primeira 
pergunta, usaremos um processo chamado de Interpolação (que é tema de estudo dessa 
unidade), já que o dado solicitado está dentro do intervalo de dados que compõe a 
tabela, ou seja, 1985 (1940,1996) . Para responder a segunda pergunta, devemos usar 
um processo chamado Extrapolação (que será estudado na próxima unidade), observe 
que o ano de 2010 (1940,1996) . 
 
As funções de aproximação que substituem as funções tabeladas ou dadas na questão 
podem ser de vários tipos: exponencial, logarítmica, trigonométrica e polinomial. 
Usaremos as funções polinomiais algébricas nessa unidade porque elas aproximam de 
maneira uniforme funções contínuas. Dada uma função definida e contínua em um 
intervalo fechado, existe um polinômio que é uma aproximação da função dada. 
 
 
 
67 
 
Seção 2 – Interpolação de Lagrange 
 
Nessa seção, estudaremos a interpolação de Lagrange, que determina
polinômios de grau n , sendo dados (n 1) pontos distintos. Portanto, as interpolações 
 
estudadas anteriormente, passam a ser casos particulares da interpolação de Lagrange. 
 
 
Sejam dados (n 1) pontos (x , y )n , o polinômio de interpolação de Lagrange, de 
i i 
 
grau menor ou igual a é dado por: 
i0 
 
Pn (x) y0 .L0 (x) y1.L1 (x) ... yn .Ln (x) ou 
n 
Pn (x) ∑ yi Li (x) 
i0 
 
onde, Lk (x) são polinômios de grau n definidos por: 
 
n 
L (x) (x x j ) 
 
ou L 
 
(x)  (x x0 ).(x x1 )...(x x 
 
k 1 )...(x xn ) 
k 
jo 
jk 
(xk x j ) (xk  x0 ).(xk x1 )...(xk  xk 1 )...(xk  xn ) 
 
 
 
5.1 Erro de truncamento ( ET ) 
 
Seguindo o mesmo raciocínio das seções anteriores, para calcular o erro de truncamento 
na interpolação de Lagrange podemos usar uma das seguintes expressões: 
 
 
a) ET (x)  f (x) Pn (x) 
 
 
b) E 
 
(x) (x x 
 
).(x x )...(x x ). 
f
 
(n1) () 
, onde: (x , x ) 
T 0 1 n 
(n 1)! 
0 n
 
Teorema 5.1: (existência e unicidade do polinômio interpolador) Existe um único 
polinômio Pn (x) , de grau n , tal que: Pn (xk )  f (xk ) , k 1, 2, 3,..., n , desde que 
xk x j , j k . 
Vamos considerar o polinômio Pn (x) como sendo: Pn (x) an x ... a2 x a1 x a0 . 
Portanto, devemos determinar os coeficientes: an ,...,a2 , a1 , a0 . 
k 
n 2 
68 
 
 
 
Como Pn (xk )  f (xk ) , k 1, 2, 3,..., n , geramos o seguinte sistema: 
 
 
 
Essa a uma matriz de Vandermonde e, se 
o sistema linear acima tem solução única. 
x0 x1 x2 ... xn , o det( A) 0 . Portanto 
Exemplo 5.1: determinar o polinômio que interpola todos os pontos da tabela 5.11, a 
seguir: 
 
 
 
O polinômio interpolador de Lagrange é, já que temos três pontos: 
 
P(x) y0 L0 (x) y1 L1 (x) y2 L2 (x) 
 
Determinando os Lk (x) : 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5.2: determinar o polinômio interpolador de Lagrange para a função 
conhecida pelos pontos da tabela 5.12. Em seguida, determine: P0,4 . 
 
 
 
A tabela 5.12 tem quatro pontos distintos, portanto, o polinômio de Lagrange será de 
terceiro grau, ou seja: P3 (x) y0 L0 (x) y1 L1 (x) y2 L2 (x) y3 L3 (x) 
 
Determinando os Lk (x) : 
 
3 2 
k 0 ⇒ L0 (x)  (x x1 ).(x x2 ).(x x3 ) 
( x 0,3)(x 0,5).(x 0,7) 

x 1,5x 0,71x 0,105 
(x0 x1 ).(x0 x2 ).(x0 x3 ) (0 0,3).(0 0,5).(0 0,7) 0,105 
3 2 
k 1 ⇒ L1 (x)  (x x0 ).(x x2 ).(x x3 ) 
 ( x 0)(x 0,5).(x 0,7) 

x 1,2x 0,35x 
(x1 x0 ).(x1 x2 ).(x1 x3 ) (0,3 0).(0,3 0,5).(0,3 0,7) 0,024 
3 2 
k 2 ⇒ L2 (x)  (x x0 ).(x x1 ).(xx3 ) 
 ( x 0)(x 0,3).(x 0,7) 

x x 0,21x 
(x2 x0 ).(x2 x1 ).(x2 x3 ) (0,5 0).(0,5 0,3).(0,5 0,7) 0,02 
3 2 
k 3 ⇒ L3 (x)  (x x0 ).(x x1 ).(x x2 ) 
 ( x 0)(x 0,3).(x 0,5) 

x 0,8x 0,15x 
(x3 x0 ).(x3 x1 ).(x3 x2 ) (0,7 0).(0,7 0,3).(0,7 0,5) 0,056 
 
 
Logo: 
 
 
70 
 
 
3 
 
 
P (x) 4,45x3 6,93x 2 1,74x 
 
Para determinar 
 
P(0,4) , devemos substituir 0,4 em P3 (x) . Portanto P3 (0,4) 1,52 . 
 
Exemplo 5.3: usando a interpolação de Lagrange, determinar o polinômio de 
aproximação P2 (x) , usando os valores x0 0 ; x1 0,5 e x2 1,0 , dada a função 
 
f (x) x 4 3x3 2x 2 x 1 . Após encontrar o polinômio de aproximação, determinar 
 
o valor aproximado de P2 (0,8) e o erro de truncamento. 
 
Determinando os valores: 
f (0,0) 0,04 3.0,03 2.0,02 0,0 1 1,0000 
f (0,5) 0,54 3.0,53 2.0,52 0,5 1 0,6875 
f (1,0) 1,04 3.1,03 2.1,02 1,0 1 0,0000 
Portanto, podemos apresentar a tabela: 
 
 
 
O polinômio interpolador do 2 grau de Lagrange é: 
 
P2 (x) y0 L0 (x) y1 L1 (x) y2 L2 (x) 
 
Determinando os Lk (x) : 
 
 
 
Logo: 
 
 
71 
 
 
2 
2 
 
P (x) 0,75x2 0,25x 1 
 
Portanto, P (0,8) 0,75.0,82 0,25.0,8 1 0,32 
 
Cálculo do erro de truncamento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
 
Seção 3 – Interpolação de Newton 
 
 
Nessa seção estudaremos a fórmula de Newton para interpolação com diferenças 
divididas para (n 1) pontos distintos. Portanto, antes, se faz necessário estudarmos o 
 
conceito de diferenças divididas. 
 
 
5.1 Diferenças Divididas 
Vamos considerar a função 
 
 
f (x) 
 
que contêm os pontos distintos (x , y )n 
 
 
. Se 
 
 
f (x) 
i i i0 
 
é contínua em um intervalo [a, b] , a primeira derivada de 
é dada por: 
f (x) em x0 , onde x0 [a, b] 
f ' (x0 ) lim 
xx0 
f (x)  f (x0 ) 
 
x x0 
 
 
Definição 5.1: Define-se a diferença dividida de primeira ordem como uma 
aproximação da derivada primeira de f (x) , que pode ser expressa por: 
 
f [x, x0 ] 
f (x)  f (x0 ) .
 
x x0 
 
Tomando x x1 , teremos a diferença dividida de primeira ordem em relação a x1 e x0 . 
Logo, a expressão acima fica: 
 
f [x1 , x0 ] 
f (x1 )  f (x0 ) 
 
x1 x0 
 
Podemos observar facilmente, que f [x1 , x0 ]  f [x0 , x1 ] , já que: 
 
f (x1 )  f (x0 ) 

x1 x0 
f (x0 )  f (x1 ) , logo, concluímos que a diferença dividida é simétrica. 
x0 x1 
 
 
Definição 5.2: Define-se a diferença dividida de ordem zero de uma função f (x) como: 
 
f [xi ]  f (xi ) yi , i 0,1, 2, 3,..., n 
 
 
Definição 5.3: Define-se a diferença dividida de ordem dois de uma função f (x) como: 
 
f [x0 , x1 , x2 ] 
f [x1 , x2 ]  f [x0 , x1 ] 
 
x2 x0 
73 
 
 
 
 
 
Definição 5.4: De uma forma geral, define-se a diferença dividida de ordem n de uma 
função f (x) como: 
 
f [x0 
 
 
, x1 ,..., xn ] 


f [x1 , x2 ,...xn ]  f [x0 , x1 ,..., xn1 ] 
 
xn x0 
 
 
Podemos representar as diferenças divididas de uma função 
ordem n, como se segue: 
f (x) de ordem zero até a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5.4: Seja uma função f (x) tabelada a seguir, determinar todas as suas 
diferenças divididas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Devemos determinar as seguintes diferenças divididas: 
74 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
Resumindo: 
82 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 5.4: Vamos considerar f (x) uma função polinomial d grau n que passa pelos 
 
distintos pontos (xi , yi ) , i 1, 2, 3,..., k,..., n então a diferença dividida de ordem k, 
 
f [x, xi , xi1 ,..., xik 1 . 
 
é um polinômio de grau n k . 
 
 
5.2 Fórmula de Newton para interpolação com diferenças divididas 
Vamos considerar (n 1) pontos distintos (x , y )n e, P(x) o polinômio interpolador 
 
para estes pontos. 
i i i0 
 
Usando a definição de diferenças divididas, podemos escrever: 
 
 
 
 
Substituindo ( IV ) em ( III ), temos: 
75 
82 
 
 
 
 
 
Continuando com esse raciocínio, podemos escrever de uma forma geral: 
Pn (x) Pn [x0 ] (x x0 ).P[x0 , x1 ] (x x0 ).(x x1 ).P[x0 , x1 , x2 ] 
(x x0 ).(x x1 ).(x x2 ).P[x0 , x1 , x2 , x3 ] ... 
(x x0 ).(x x1 )...(x xn1 )P[x0 , x1 , x2 ,..., xn ] 
(x x0 ).(x x1 )...(x xn )P[x, x0 , x1 , x2 ,..., xn ] 
 
Sendo, P[x, x0 , x1 , x2 ,..., xn ] 0 e como definimos Pn (x0 ) y0 , o 
polinômio interpolador de Newton, usando diferenças divididas é: 
 
 
 
 
 
 
5.3 Erro de truncamento ( ET ) 
 
Na seção 2, usamos o polinômio interpolador de Lagrange para (n 1) pontos distintos 
 
que gera um polinômio de grau n. O polinômio interpolador de Newton usa as mesmas 
condições do de Lagrange. Portanto, a forma de calcular o erro de truncamento ( ET ) é a 
mesma da de Lagrange. 
 
Exemplo 5.5: Determinar o polinômio interpolador de Newton, usando os dados da 
tabela 5.17, do exemplo 5.4. 
 
Em primeiro lugar, vamos determinar as diferenças divididas: 
 
 
Pn (x) y0 (x x0 ).P[x0 , x1 ] (x x0 ).(x x1 ).P[x0 , x1 , x2 ] 
(x x0 ).(x x1 ).(x x2 ).P[x0 , x1 , x2 , x3 ] ... 
(x x0 ).(x x1 )...(x xn1 )P[x0 , x1 , x2 ,..., xn ] 
Pn (x) Pn [x0 ] (x x0 ).P[x0 , x1 ] (x x0 ).(x x1 ).P[x, x0 , x1 ] 
(x x0 ).(x x1 ).(x x2 ).P[x, x0 , x1 , x2 ] 
76 
87 
 
 
 
 
 
Para determinar o polinômio de Newton vamos usar: 
 
 
Exemplo 5.6: os dados da tabela abaixo foram obtidos a partir da função, 
f (x) x3 2x 2 x 1 . Determinar 
a fórmula de Newton. 
P2 (0,2) e o erro de truncamento ET (0,2) usando 
 
 
 
 
 
 
Determinando as diferenças divididas: 
 
 
77 
78 
 
 
 
Para determinar o polinômio de Newton vamos usar: 
P2 (x) y0 (x x0 ).P[x0 , x1 ] (x x0 ).(x x1 ).P[x0 , x1 , x2 ] 
Logo: 
P2 (0,2) 2,125 (0,2 0,5).2,25 (0,2 0,5).(0,2 0).(2,00) 
P2 (0,2) 1,33 
 
Determinando o erro de truncamento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
Exercícios 
 
 
5.1) Usando todos os dados da tabela 5.16, determinar uma aproximação para 
por meio do polinômio interpolador de Lagrange. 
x 0,4 
 
 
 
5.2) Determinar todas as diferenças divididas para os dados da 
função seguir. 
f (x) tabelada a 
 
 
 
 
 
 
 
5.3) Determinar o polinômio interpolador de Newton de quarta ordem, usando os 
dados da tabela 5.20, a seguir. 
 
 
 
5.4) A função f (x) x3 2x 2 x 1 gerou os dados da tabela 5.21 abaixo. Determine 
P2 (1,4) e o erro de truncamento usando a fórmula de Newton com diferenças divididas 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
UNIDADE 6 
Ajuste de curvas 
 
 
Seção 1 – Introdução 
Vamos considerar os dados tabelados abaixo, que são provenientes da relação 
comercial entre o Brasil e a China no período de 2000 a 2007. 
 
Tabela 6.1 – Exportação x Importação 
 
 
 
Observando a tabela 6.1, podemos considerar o seguinte problema: é possível fazer uma 
previsão para o valor das exportações