Otimização de Estruturas Contínuas

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Otimização de tamanho estático e dinâmico de 
estrutura contínua não linear com base em 
projeto totalmente tensionado
Introdução
Shan Wu, Haoxiang He e Yifei Chen
Avanços em Engenharia Estrutural 2021, 
Vol. 24(9) 1926–1940 O(s) autor(es) 
Diretrizes para 
reutilização de artigos de 
2021: sagepub.com/journals-permissions 
DOI: 10.1177/1369433220988627 
journals.sagepub.com/home/ase
Suas condições de carga são monótonas, portanto sua 
viabilidade de engenharia é fraca. Portanto, é de grande 
valor para a engenharia explorar a otimização teórica da 
seção e forma contínua.
Além disso, o critério de projeto totalmente tensionado 
é o mais preocupante entre os vários critérios de otimização.
Sua ideia principal é fazer com que cada componente da 
estrutura atinja a capacidade de carga máxima sob o modo 
de carregamento especificado, para que a resistência do 
componente possa ser totalmente utilizada (Hajirasouliha 
et al., 2004; Mergos, 2018). No estudo tradicional de 
otimização do tamanho da seção estrutural, os critérios de 
projeto totalmente tensionados devem ter prioridade para evitar
Nos últimos anos, a pesquisa sobre otimização de 
topologia contínua tem sido profunda e abundante, e 
algumas aplicações foram alcançadas (Chan e Zou, 2004; 
Chan et al., 1994, 2010; Zou e Chan, 2005).
Palavras-
chave critério totalmente tensionado, estruturas contínuas não lineares, distribuição ótima de rigidez, otimização do tamanho da seção, ação sísmica
condições, e o limite de forma otimizado precisa ser 
suficientemente produzível. A otimização topológica presta 
muita atenção à distribuição do material, mas não considera 
totalmente a limitação das condições reais.
Abstrato
Artigo de pesquisa
O projeto de otimização estrutural refere-se ao método de 
projeto para obter o esquema ideal de acordo com certos 
objetivos de otimização (como o peso mais leve, o menor 
custo, a rigidez máxima, etc.)
(Ahrari e Deb, 2016; Gil-Martÿ´n et al., 2017; Guan et al., 
1999; Hernández-Montes et al., 2018; San et al., 2020). Os 
métodos de otimização estrutural incluem método de 
critério, método de programação matemática e método de 
algoritmo inteligente (Bruyneel et al., 2012; Dilgen et al., 
2019; Gholizadeh e Mohammadi, 2017; Xu et al., 2005). O 
método de critério é o método mais básico para resolver 
problemas de otimização estrutural, que apresenta critérios 
mecânicos (como critério totalmente tensionado, critério de 
rigidez, critério de energia, etc.) de acordo com os requisitos 
de engenharia (Ahrari e Deb, 2016; Potra e Simiu, 2009).
No entanto, para estruturas práticas de engenharia, o limite 
da região precisa manter uma continuidade suave
A fim de realizar o critério totalmente tensionado, ou seja, a tensão da estrutura de engenharia não linear é uniforme ao longo da direção da altura 
sob a ação da carga do vento ou do movimento do solo, o tamanho da seção da estrutura contínua é otimizado com base na análise mecânica. . 
A estrutura de engenharia é simplificada como um cantilever contínuo com seção transversal variável e sua constituição material é não linear. A 
carga do vento e o movimento do solo são representados por três tipos de cargas estáticas horizontais: carga uniforme, carga de triângulo 
invertido e carga relacionada à força de inércia. Para atender às necessidades de diferentes projetos, são projetadas seções circulares ocas e 
seções em caixa, respectivamente. Ao estabelecer diferentes expressões de momento da seção, a distribuição ótima do tamanho da seção é 
resolvida. Em seguida, é proposta a distribuição ótima de rigidez da estrutura não linear. A correção da teoria é verificada pelo método dos 
elementos finitos. Os resultados são adequados para as fases elástica e elástico-plástica da estrutura, e são eficazes tanto para cargas estáticas 
como para ações dinâmicas. A distribuição ideal do tamanho da seção e a forma estrutural são diferentes sob diferentes cargas. Finalmente, é 
mostrado um exemplo prático de design.
Autor correspondente: 
Haoxiang He, Laboratório Principal de Engenharia Sísmica e Retrofit Estrutural de 
Pequim, Universidade de Tecnologia de Pequim, No. 100 Pingyuan, Distrito de 
Chaoyang, Pequim 100124, China.
E-mail: hhx7856@163.com
Universidade de Tecnologia, Pequim, China
Laboratório Principal de Engenharia Sísmica e Retrofit Estrutural de Pequim, Pequim
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Figura 1. Efeito de otimização.
carregar formulários
constitutivo
estruturas não lineares sob diferentes
Distribuição ideal do tamanho da seção de
Forma da seção da estrutura, modelo de carga e material
seção circular, retangular, circular oca e caixa
história. Na presente pesquisa, esse método geralmente é
para o projeto de otimização de estruturas de engenharia
os resultados também podem fornecer o esquema de otimização inicial
requisitos de engenharia de edifícios altos ou
vigas sob cargas simples está madura (Ahlawat
a pesquisa do mecanismo sobre a distribuição ideal do tamanho 
da seção da estrutura contínua é inadequada, o que não pode 
fornecer fórmulas analíticas rigorosas e precisas para
analisa o modelo simplificado e obtém as soluções analíticas da 
distribuição ótima de tamanhos de seção.
estado. Se a tensão da estrutura for uniforme quando for
estruturas de engenharia.
o design não foi realmente realizado. Portanto, é necessário 
otimizar estruturas não lineares com base em
torre de água, chaminé e outras estruturas de torre. Para
otimização da estrutura de engenharia. A princípio, o igual
então a hipótese de continuidade também é basicamente aplicável
Finalmente, os métodos teóricos acima são totalmente verificados 
pelo método dos elementos finitos.
critério de resistência ou critério de tensão igual. Um monte de
relacionado à sua rigidez e distribuição de massa. Estrutural
e melhorar a eficiência.
para o projeto de dano uniforme. No entanto, mais atual
o tamanho da seção é obtido. O polinômio quadrático
e Ramaswamy, 2004; Truman e Cheng, 1990).
projeto de otimização estrutural. Por fim, a pesquisa sobre
Avanços na Engenharia Estrutural 00(0)
a solução analítica da distribuição ótima de rigidez lateral a partir 
da otimização mecânica. Iterativo
edifícios altos e super altos, as restrições
cantilevers sob carga uniforme, carga de triângulo invertido
usado para otimizar a estrutura assumindo que a estrutura
critério estressado. O efeito de otimização é mostrado em
perto da falha crítica, o dano de cada peça irá
Neste artigo, estruturas de engenharia, como estruturas de torre 
contínua e edifícios altos, são simplificadas em seção transversal 
variável contínua não linear.
Os resultados podem ser usados para otimizar estruturas contínuas 
em balanço, como estruturas de torre. No mesmo
obtido ajustando os dados experimentais é usado para
O conceito de tensão é normalmente utilizado na otimização de 
componentes sob cargas simples. A otimização geral da estrutura 
sob cargas complexas não é intensiva e
(Barros, et al. 2004; Xu etal., 2017; Yardimoglu,
Deve-se ressaltar que devido à variedade de
conquistas foram alcançadas na otimização de tensões iguais de 
componentes ou estruturas simples. Por exemplo,
projeto totalmente tensionado de estruturas de materiais não lineares é
algoritmo é necessário para o projeto de otimização de profundidade.
Devido às estruturas de engenharia geralmente estão sujeitas
estudos não consideraram completamente o estágio elástico-plástico de
é sempre elástico. Nestas condições, a plena
Figura 1. a rigidez após um projeto razoável geralmente varia continuamente 
ao longo da direção da altura. Continuidade totalmente
e a carga relacionada à força de inércia são derivadas respectivamente.
seja semelhante. Portanto, a otimização totalmente estressada
cantiléver. Ao estabelecer diferentes expressões de
tempo, pode fornecer a solução de otimização inicial
o efeito do piso é pequeno e a estrutura principalmente
2010). De acordo com as diferentes formas estruturais e
membros estruturais reais de edifícios altos e o
a otimização totalmente estressada de simplesmente suportado
suficientemente abrangente. Em segundo lugar, a mecânica
materiais estruturais, isto é, otimização totalmente tensionada
a teoria da otimização estressada é aplicável principalmente a
caracterizar a lei constitutiva não linear do material. As fórmulas 
ideais de distribuição de tamanho de seção de
deformação causada pela concentração de tensão ou fraca
Portanto, com base na teoria mecânica, este artigo
a terremotos, ventos e outras cargas estocásticas, especialmente 
quando a amplitude de excitação é grande, o material da estrutura 
provavelmente entrará em condições elásticas-plásticas.
raro, e não pode atender à exigência de real
aparece deformação por flexão sob carga horizontal,
critério de projeto tensionado é equivalente ao igual
Em resumo, ainda existem diversas deficiências
A solução analítica completa e a solução analítica ótima de 
distribuição de rigidez são obtidas.
complexidade das formas estruturais, é difícil obter
O deslocamento e os danos às estruturas de engenharia sob 
excitação externa são geralmente intimamente relacionados.
momentos fletores, a solução analítica do ótimo
1927Wu et al. 2
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Figura 2. Modelo mecânico.
2s = sim
2
e ações de terremotos são desvantajosas comuns
materiais não lineares homogêneos são usados no
dos materiais são considerados lineares sem propriedades 
mecânicas não lineares, como degradação da rigidez. No entanto, 
a maioria das estruturas práticas são
mesmas propriedades de tração e compressão. As curvas tensão-
deformação sob tração e compressão são as
o concreto armado na estrutura pode ser equivalente a um material 
compósito com as mesmas propriedades
seção variável circular sob carga uniforme é resolvida.
apenas tensão igual no estágio elástico, mas também tensão igual ou
seções, que são a resposta abrangente do
As fórmulas de distribuição de tamanho ideal de circular e
A equação (2) pode ser expressa como
a tensão de flexão do cantilever otimizado é igual
a estrutura é extraída e a validade do método
carregar. Quando apenas o primeiro modo é considerado, a ação 
sísmica pode ser equivalente ao triângulo invertido
compressão. A equação completa da curva tensão-deformação sob 
compressão pode ser expressa pelo polinômio do concreto sugerido 
por Hognestad, que é
material pode ser expresso como
o eixo neutro é o eixo z. De acordo com o princípio de que
estruturas de concreto armado ou estruturas mistas.
mesmo, ou seja,
projeto prático de engenharia e revisão de códigos.
em tração e compressão, e sua relação tensão-deformação pode 
ser caracterizada por uma função não linear.
A estrutura é equivalente a um cantilever com material não linear 
homogêneo. A tensão completa
3
A fim de considerar plenamente a carga de vento e sísmica
ao longo da direção da altura. Porque a tensão principal
efeitos para estruturas de edifícios (Cui e Jiang, 2014;
cantiléver.
propriedades mecânicas reais. Para simplificar o
seções retangulares podem ser expressas pelas fórmulas
tensão semelhante no estado elástico-plástico. Atualmente, em
A distribuição ideal de tamanho de seção e a distribuição ideal 
de rigidez de estruturas de engenharia
Distribuição ideal do tamanho da seção do cantilever sob uniforme
carga horizontal; quando todos os modos são considerados, o
também aplicável ao concreto armado e outros materiais compósitos, 
isto é (Hognestad et al., 1955)
estruturas, as formas de seção cantilever equivalentes podem
ação, carga uniforme, carga de triângulo invertido e carga relacionada 
à força de inércia são consideradas neste estudo.
onde aeb são coeficientes indeterminados. O
É difícil aplicar a pesquisa de materiais lineares
o momento fletor formado pela carga externa é igual
Liu et al., 2019; Xu et al., 2018). Vento estático equivalente
a curva sob compressão é expressa pela equação (4).
Neste estudo, o concreto armado equivale a uma
derivação posterior, assume-se que o material tem a
Supõe-se que o eixo do cantilever é o eixo x,
de seção circular oca e seção caixa, portanto os casos de seção 
circular oca e caixa são analisados principalmente em
para simplificar o cálculo, as leis constitutivas
a seção transversal é a deformação por flexão, a deformação de Mises é
carregar. Um grande número de resultados experimentais mostram que
a ação sísmica pode ser simplificada para a carga uniforme ou
Em primeiro lugar, a distribuição ideal do tamanho da seção de tubos ocos
àquela expressa pelo tamanho e deformação fletora da seção 
arbitrária da viga, a equação de equilíbrio do momento fletor é 
estabelecida. De acordo com este princípio,
sob diferentes formas de carga são diferentes. Carga de vento
para praticar engenharia. Com o objetivo de melhorar a aplicabilidade 
e viabilidade da pesquisa em engenharia,
O modelo de cálculo é apresentado na Figura 2.
material compósito. A relação constitutiva do
O projeto de otimização totalmente estressado não requer
curva tensão-deformação mostra o movimento ascendente e descendente
ser oco circular, circular, caixa e retangular, etc.
Aproximadamente igual. No FEM posterior, a linhagem de Mises de
onde s e e são a tensão e a deformação do material sob
carga pode ser considerada como um triângulo invertido horizontal
a carga relacionada à força de inércia (Zhong e Lou, 2016).
o eixo de simetria da seção transversal é o eixo y, e o
este papel. Com base na distribuição ótima do tamanho da seção, 
são propostas a distribuição ótima da rigidez ao cisalhamento e à 
flexão, que pode fornecer referência para
1928 Wu et al. Avanços em Engenharia Estrutural 24(9)
seção variável circular oca
Distribuição ideal do tamanho da seção do cantilever com
= Sgn(e)ae ð4Þ+ ser
ð3Þf ( ÿ e) = ÿ f (e)
ð2Þ+ ser
= f ð Þe ou e = gð Þ s ð1Þ
é
é
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2g2ð Þ s1 ðg(s1)
d3
2
x
g0 (s1)
0 g0 (s1 )
e0
80qmáx(2H3 – 3H2x + x3)
ÿ2
d03 g0 (s1)
ðg0 (s1)
2
d0
2e1y
0
1ÿ1=3
e1
d3
2g02ðÞs1
ðde1
0
d0
x
ÿ1=3
0
1
d03
2
ÿ2
A
como
distribuição do tamanho da seção de uma estrutura cantilever com
deformação das paredes externas e internas na seção transversal. 
O momento fletor da seção transversal é expresso
Quando a é 0, a seção transversal é circular. De acordo com
equação
o momento gerado pela carga pode ser obtido
equação de equilíbrio de momento igual à equação (16),
dois pontos mais distantes do eixo neutro no exterior
pode ser resolvido separadamente. Quando a deformação do
por
é verificado. Solução analítica de tamanho de seção ideal
Assim, a equação (9) torna-se
onde A é área. De acordo com a equação (6), equação
carga triangular. A intensidade de carga superior do triângulo invertido
fórmula expressa pela carga externa. M1 e M2(x)
Alterar a variável
Devido às propriedades do material sob tração e compressão serem 
as mesmas, a equação (8) pode ser expressa por
a equação que satisfaz a estrutura (15) são iguais sob carga 
uniforme.
equação (5), equações (13) e (14), a distribuição ideal do tamanho 
da seção pode ser obtida
onde y é a coordenada longitudinal e r é o raio de curvatura. d e d' 
são o externo e o interno
onde M1 é a fórmula do momento expressa pelo
cargas, o momento fletor M2(x) causado por
A equação (17) é a solução analítica do ótimo
distribuição do cantilever é obtida resolvendo este
O momento fletor do cantilever com seção transversal circular oca é 
a equação (13). Ao estabelecer o
seção circular oca sob carga uniforme. A tensão e deformação 
máximas em cada seção do cantilever
a estrutura cantilever é pequena, a mancha pode ser expressa
Avanços na Engenharia Estrutural 00(0)
o cantilever está sujeito à carga do triângulo invertido,
A equação (15) é a solução analítica do ótimo
e paredes internas, ou seja, a tensão máxima e
(7) pode ser reescrito como
tamanho e deformação da seção da viga, e M2(x) é o momento
carga q em qualquer altura x é
distribuição dimensional da seção transversal de um cantilever com 
seção transversal circular oca sob carga de triângulo invertido.
a carga é qmax e a intensidade da carga inferior é 0. Quando
onde H é a altura total da estrutura. De acordo com
Quando a estrutura cantilever é submetida a movimentos horizontais
equação (12), equação (11) torna-se
A razão entre o diâmetro interno e o diâmetro externo é
a distribuição ideal do diâmetro da seção transversal é
Distribuição ideal do tamanho da seção do cantilever sob inversão
1929Wu et al. 4
passo 2
passo 2
e2
0
d
e 
ÿde
SydA
ð16Þ
q(Hÿ x)
d
M1 = M2(x)
ð11Þ
Q(x)dx =
ð6Þ
ð15Þ
d3g(s1) 32(1 ÿ a5 )ag(s1) + 15(1 ÿ a4 ½ ÿ )pb
d3g(s1)
2 + ser
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiff
ÿ
R
3 2 + ser
ÿ
ð8Þ
q(Hÿ x)dx= 2
=
ð17Þ
6H
é
M1 = 
4e2
d(x) =
=
g(s1)
480
e 
Hg(s1) 32(1 ÿ a5 ) ag(s1) +15(1 ÿ a4 ½ ÿ )pb
ÿdeÿ
ÿde
M1 = 
2
2e1
ð5Þ
cos2 usin2 u ag0 ½ ÿ ( s1) sen u+ b du2
ð10Þ
mas
M1 =ð
g(s1 )
M1 =
=
cos2 tsin2 t ag ½ ÿ ( s1) sen t + b dtÿ
M2(x) = ðH
e1 ÿ ÿ2 s
240q(Hÿx)
e=
ð13Þ
ÿ
3 mas
1ÿ
ÿ
e
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiff
½
ÿ
ð7Þ
M2(x) = ðH
ð12Þ
ð9Þ
M1 =
é
g(s1) 32(1 ÿ a5 )ag(s1) +15(1 ÿ a4 ÿ )pb
3 mas
+ ser
ð14Þ
a
qmáx(2H3 – 3H2x + x3)
e = gð Þ s1 sen t = g0 ð Þ s1 sen u
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiff
e 
d(x) =
=
1ÿ
1ÿ
e = 
e2 e s'1, s'2, e'1, e'2 são a tensão e a deformação do
diâmetro da seção transversal circular oca. s1, s2, e1,
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bÿÿ2n + 2 "
b ÿ ÿ3 n
120lrpbn(1 ÿ a2 )
bÿ
ÿ1=3 ð21Þ
h(x) =
ð Þ H ÿ x +
ð23Þ
4
H + hÿ x
4
ð25Þ
ð18Þ
ÿ2n +2 ) # = 0
ð24Þ
h
ÿ
ÿdx
bÿ
g(s1) 32(1 ÿ a5 )ag(s1) +15(1 ÿ a4 ÿ )pb
bilhões
lrp½
ð19Þ
lrp½
ð22Þ
ÿ
32(1 ÿ a5 )ag2 (s1) +15(1 ÿ a4 )bpg(s1) + 
ð Þ n+ 2
h
bÿ
480
Hÿ x
=
D(H) - D(x)
q(x) = lm(x) = 4
S(x) - D(H)x + D(H)H - S(H)
H + hÿ x
M1 =
( b ÿ n
ð20Þ
M2(x) = ðH
S00(x) =D0 (x) =d2 (x)
2n+2
½
n n
+2
ÿ1n
n
ÿ 
½ÿ
S(x) - D(H)x + D(H)H - S(H)120 lrp½
g(s1) 32(1 ÿ a5 )ag(s1)+ 15(1 ÿ a4 ÿ )pb
dxðÞ=
ÿ
( ÿ2n + 2#)
lrpbn(1 ÿ a2 )
bÿ
º
h
ÿ
4º n + 2
bÿÿn
ð Þ H ÿ x + 
2n + 2
h
M2(x) =
bilhões
bÿÿ2n +2 "
H + hÿ x
x
ÿÿ3n
Hÿx
lrpd2(x)
Figura 3. Modelo cantilever sob carga relacionada à força de inércia.
diferentes cargas foram propostas e o resultado foi verificado pelo 
método dos elementos finitos. A pesquisa mostra que
resolvido por He et al. (2018). A distribuição do tamanho da seção
O momento na seção circular oca pode ser
A equação (21) é uma equação diferencial de ordem superior de
seção en é o parâmetro para controlar a forma de
Portanto, o método de assumir o tamanho da seção transversal
seção transversal circular oca está sujeita à inércia
por carga, as seguintes suposições são feitas
De acordo com o critério de deslocamento uniforme, o
seção em qualquer altura x é
Defina a equação (24) igual à equação (23), então
carga pode ser obtida da seguinte forma
a carga está relacionada à área da seção, enquanto o tamanho da seção é
Distribuição ideal do tamanho da seção do cantilever sob inércia
onde h é o raio da seção superior da estrutura cantilever.
a distribuição do tamanho da seção transversal de acordo com
princípio do deslocamento uniforme sob a ação de
carga relacionada à força de inércia, o momento fletor no
onde D(x) e S(x) são integrais e integrais quadráticas
deslocamento igual ao longo da direção da altura sob
Figura 3.
expresso como equação (13). A distribuição ideal do tamanho da 
seção pode ser obtida pela equação de equilíbrio de momentos
carga relacionada à força de inércia, e a função de distribuição de 
seção ideal é (He et al., 2018)
b é o parâmetro para controlar o raio do fundo
desconhecido. Para resolver o momento fletor causado
carga relacionada à força. Quando a estrutura cantilever com
função do cantilever contínuo que pode realizar
y$ = f(x,y) que pertence ao tipo insolúvel.
amplitude. A concentração da força de inércia relacionada
5
estrutura em qualquer altura x sob força de inércia relacionada
distribuição ideal do tamanho da seção do cantilever foi
O momento da seção circular oca é dado por
Se o cantilever circular oco for submetido ao
onde r é a densidade superficial equivalente e l é o coeficiente de 
correlação de massa que é usado para controlar a carga
de d(x). Os momentos fletores na seção transversal de um
a seguinte fórmula é vantajosa para realizar o
função é considerada.
a estrutura. O modelo computacional é mostrado em
carga relacionada à força, a intensidade da carga é facilmente encontrada como
Avanços em Engenharia Estrutural 24(9)1930 Wu et al.
n nn
+2
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ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiff
Hÿ x
ð33Þ
ð37Þ
ÿ
h(x) =
ÿ
=
d(x) =
16q(Hÿx)
g(s1) =
ð34Þ
Bg(s1)3(1 ÿ mg4 )ag(s1) +4(1 ÿ mg3 ÿ )b
ð27Þ
= ser
ð31Þ
q
bÿ
ð30Þ
ÿ
h(x) =
ð36Þ
Hÿ x
h =g
ÿ15 1 ÿ a4 ð Þbp +
½
ÿ
ð28Þ
ð32Þ
Þ2 b2p2 + 512 1 ÿ a5 ð 225 1 ÿ a4 ð Þ 1 ÿ a2 ð
g(s1)(1 ÿ a4 )pb
bÿ
ð38Þ
ð29Þ
bÿ
d(x) =
d(x) =
Þalrpb2
ÿ
3g(s1)(1 ÿ a4 )bpH
=
h(x) =
ð35Þ
g(s1)
12q(Hÿx)
qmáx(2H3 – 3H2x + x3)
=
Hÿ x
HBg(s1) 3(1 ÿ mg4 )ag(s1) +4(1 ÿ mg3 ÿ )b
B
64 1 ÿ a5 ð Isso
h(x) =
3q(Hÿx)
Hÿ x
h(x) =
ð39Þ
d(x) =
h(x) =
ÿ
ð26Þ
bÿ
HBg(s1)(1 ÿ mg3 )b
ÿ
eu
½
ÿ
e1
ÿ2
1
ÿ1=2
2
Bg(s1)(1 ÿ mg3 )b
e0
ÿ1=2
4qmáx(2H3 – 3H2x + x3)
ÿ1=3
2
g0 (s1)
ÿ1=2
16qmáx(2H3 – 3H2x + x3)
ÿ2
2
ÿ1=3
ÿ1=2
ÿ2
B0
ÿ2
h0
estrutura de seção sob carga de triângulo invertido é
A função de distribuição ideal do tamanho da seção de
carga são respectivamente como
método é adotado, e o processo não precisa ser
e a fórmula de projeto da estrutura linear é apresentada. Em uma seção 
posterior, o efeito da aplicação da fórmula de projeto estrutural linear à 
estrutura não linear real
carga triangular e carga relacionada à força de inércia são
onde B' é a largura da parede interna e h' é a altura
As funções ideais de distribuição de tamanho de seção da estrutura 
linear de seção circular oca sob condições uniformes
com seção transversal circular oca sob força de inércia
satisfazer a demanda de otimização de estrutura linear
Quando h = 0 en = 0,5, tensão igual pode ser realizada,
Distribuição ideal do tamanho da seção do cantilever com caixa variável
estrutura linear de seção sob carga uniforme, invertida
distribuição do tamanho da seção transversal de uma estrutura cantilever
sob carga relacionada à força de inércia é
altura variando com a altura estrutural, e definido como
fórmula de projeto estrutural não linear. A relação constitutiva linear dos 
materiais pode ser expressa por
estrutura de seção sob carga relacionada à força de inércia é
projeto, o resultado da estrutura não linear é simplificado
seção. Para a pesquisa sobre a distribuição ideal do tamanho da seção 
em caixa e da seção circular, o mesmo
e a deformação máxima da seção transversal pode ser escrita como
estrutura de seção em caixa sob carga uniforme é
Simplificação de fórmulas em condições especiais. A fim de
Avanços na Engenharia Estrutural 00(0)
A função ideal de distribuição do tamanho da seção da caixa
da parede interna.
carga relacionada.
carga, carga de triângulo invertido e força de inércia relacionada
A equação (27) é a solução analítica do ótimo
Portanto, a distribuição ideal do diâmetro da seção transversal do 
cantilever com seção transversal circular oca
As funções ideais de distribuição de tamanho de seção da caixa
projeto estrutural é verificado e comparado com o
A função ideal de distribuição do tamanho da seção da caixa
descrito em detalhes. A largura B da seção externa da caixa permanece 
inalterada e a altura h da seção externa é otimizada. h(x) é uma função 
da seção
1931Wu et al. 6
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Figura 4. Fluxograma deste método.
80qmáx(2H3 – 3H2x + x3)
2
1=3
2
1=3
4qmáx(2H3 – 3H2x + x3)
1=2
2 1=2
2
Para verificar a exatidão do método teórico e
deve ser determinado. Em segundo lugar, a propriedade material
Na engenharia prática, também existem projetos
sob carga relacionada à força de inércia.
No projeto prático, em primeiro lugar, os parâmetros estruturais, como 
forma da seção e excitação externa
fórmula pode ser obtida. As funções ideais de distribuição do tamanho 
da seção da estrutura de seção circular sob
equação deve ser estabelecida. Finalmente, para continuidade
estrutura de seção circular oca e caixa, o design
pode ser determinado e equilíbrio de momento fletor
requisitos para estruturas não lineares de seção circular e seção 
retangular. De acordo com o não-linear
referência para design. O fluxograma deste método é
carga relacionada são as seguintes
carga uniforme, carga de triângulo invertido e força de inércia
7
obtido conforme equações (1) a (45). Para estruturas de edifícios, a 
distribuição ideal de rigidez pode fornecer
estrutura, a distribuição do tamanho da seção estrutural pode ser
Será visto a partir disso que a fórmula de projeto da estrutura linear é 
a mesma que a da estrutura não linear
resultados analíticos estabelecidos neste estudo, é
mostrado na Figura 4.
As funções ideais de distribuição do tamanho da seção da estrutura 
de seção retangular sob carga uniforme, carga triangular invertida e 
carga relacionada à força de inércia são as seguintes
Avanços em Engenharia Estrutural 24(9)1932 Wu et al.
ð42Þ
ð41Þ
240q(Hÿx)
h(x) =
h(x) =
d(x) =
ÿ
Hÿ x
ÿ
Hÿ x
g(s1)½ 32ag(s1) + 15pb
ð44Þ
b
d(x) =
Bg(s1)½ - 3ag(s1) +4b
Hg(s1)½ - 32ag(s1) +15pb
h(x) =
b
d(x) =
12q(Hÿx)
ð43Þ
HBg(s1)½ 3ag(s1) + 4b
ð40Þ
ð45Þ
método do elemento
Material não linear constitui
Análise de verificação baseada em finitos
Estrutura e fluxograma deste método
Machine Translated by Google
Carga uniforme da caixa 0,002
Carga relacionada à força de inércia da caixa 0,002
Carga relacionada à força de inércia do círculo oco 0,002
Formulário de Seção de Amostras Formulário de Carregamento
BI1
OI1
Carga de triângulo invertido de círculo oco 0,003
Caixa Carga triângulo invertido 0,003
HL3
B3
HU2
Tabela 1. Parâmetros de projeto e condições de trabalho de
BU2
Carga uniforme da caixa 0,003
Carga de triângulo invertido de círculo oco 0,002
Carga de triângulo invertido de caixa 0,002
HL2
B2
Círculo oco Carga uniforme 0,001
Carga uniforme da caixa 0,001
BI3
Círculo oco Carga uniforme 0,003
OI3
cantiléveres.
HU3
BU3
Carga relacionada à força de inércia do círculo oco 0,003
Carga relacionada à força de inércia da caixa 0,003
HU1
Figura 5. Efeito de ajuste.
Carga relacionada à força de inércia do círculo oco 0,001
Carga relacionada à força de inércia da caixa 0,001
BU1
Carga de triângulo invertido de círculo oco 0,001
Carga triângulo invertido da caixa 0,001
HL1
B1
AL2
BI2
g(s1)
Círculo oco Carga uniforme 0,002
Verificação para análise estática
curvas de materiais compósitos equivalentes para
modelo constitutivo é adotado, considerando a
O elemento é definido entre cada nó adjacente. De acordo com
módulo de materiais não lineares é 25,94 GPa, e
e a carga relacionada à força de inércia são resolvidas. No entanto, o
Em estudos anteriores, as fórmulas de tamanho de seção ideal de 
seção circular oca e seção em caixa não linear
ajustando os dados experimentais. Existem muitos eixos
prisma é 22,3 MPa. A resistência ao escoamento do longitudinal
nós dispostos uniformemente ao longo da direção da altura do
cantilever deve ser 0. No entanto, o elemento de viga ANSYS não 
pode ter uma seção com área 0, então oUm total de sete modelos cantilever são estabelecidos.
considerando o efeito da deformação por cisalhamento. Então é
deformação da seção transversal 0,001, 0,002 e 0,003. O
necessário para determinar os valores de materiais específicos
o tamanho da seção é 400 mm 3 400 mm. A magreza
Tabela 1.
experimento, oito corpos deprova com seção diferente
estruturas de concreto armado sob compressão. O
mostrado na Figura 5.
elemento pode ser usado para simular o feixe Timoshenko,
analisar a estrutura cantilever não linear com seção transversal 
variável de acordo com as fórmulas acima.
polinômio para determinar os coeficientes indeterminados
As respostas estruturais de cantilevers com cavidades
Assim, a equação (46) é a expressão da tensão-deformação
o modelo constitutivo, incluindo o ascendente, o pico,
chão. Uma seção é definida em cada nó, e a seção
verificado quando a estrutura é elástica e plástica
O sistema de carregamento é o carregamento estático. A tensão-estresse
de acordo com os dados de concreto armado em grande escala
cantilevers sob carga uniforme, carga de triângulo invertido
proporção é 4,5. A resistência à compressão do concreto
modelo constitutivo não linear e realizar análise de elementos finitos 
elástico-plásticos. Os parâmetros constitutivos não lineares na 
equação (4) podem ser determinados por
Efeito Bauschinger. Cerca de 11 pontos de dados são configurados emO índice de Poisson é 0,3. O modelo de elementos finitos tem 21
A amostra S30–400 tem 1800 mm de comprimento e o quadrado
Avanços na Engenharia Estrutural 00(0)
para a solução analítica, a área da seção superior do
carga triangular e carga relacionada à força de inércia são analisadas. 
Pode ser dividido em casos de máxima normalidade
parâmetros de projeto e condições de caso são mostrados em
a área da seção superior é ligeiramente maior que 0. O KINHA altura total da estrutura é de 20 m. A inicial
adotado neste artigo. Viga de seção variável cônica
estágios. O software geral de elementos finitos ANSYS é usado
o tamanho é definido de acordo com as fórmulas acima. Feixe 188
experimento de compressão axial em Du et al. (2010). Em
tamanhos foram estudados, cada amostra pode ser usada como um 
encaixe sem afetar a exatidão dos resultados.
a e b. O resultado adequado da equação (4) é
curvas de amostras S30–400 foram ajustadas por meio quadrático
comparação de dados experimentais e equação (46) é
a exatidão e a precisão das fórmulas precisam ser
estrutura. A parte inferior do cantilever é fixada ao
experimentos de compressão de pilares de concreto armado. Neste 
artigo, os parâmetros são determinados
a armadura é de 408,0 MPa, e a taxa de reforço equivalente da 
armadura longitudinal é de 2,51%.
seções circulares e em caixa sob carga uniforme, invertidas
e seções descendentes.
Wu et al. 8 1933
2 + 2:78 3 104 e s =ÿ4:6466 3 106 Sgn(e)e ð46Þ
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Figura 6. Nefograma de deformação das amostras: (a) HU1, (b) HU2, (c) HU3, (d) HI1, (e) HI2, (f) HI3, (g) BU1, (h) BU2, (i ) BU3, (j) 
BI1, (k) BI2 e (l) BI3.
1934 Wu et al. Avanços na Engenharia Estrutural 24(9) 9
Portanto, Mises deforma nefogramas do carregado
modelo de elementos finitos é obtido, conforme mostrado na Figura 6.Como a tensão e a deformação na lei constitutiva do material 
correspondem entre si, a distribuição de deformação pode ser usada 
para caracterizar a distribuição de tensão.
Pode-se observar pelos resultados que o estado totalmente tensionado 
pode ser alcançado em todas as seções do cantilever contínuo e é 
adequado para o estado elástico e plástico
Machine Translated by Google
as partes abaixo de 15 m são menores que o normal de projeto
é projetado. O diâmetro da seção circular superior e
parâmetros dos dois modelos de elementos finitos são os
extraído, e o resultado é mostrado na Figura 9. É evidente que os 
resultados de otimização da estrutura linear
aumentou de forma não linear desde a altura de 15 m, há
o volume da estrutura reforçada superior é de 85,56 m3
Sob a condição de deformação máxima de 0,001,
mais uniforme, o que comprova plenamente a superioridade do
Em seguida, verifique as fórmulas de projeto da estrutura linear.
formas de três cantilevers lineares de seção transversal variável
Tensão de Mises. A deformação normal da seção transversal é a principal
a seção transversal é obviamente irregular. A deformação na parte 
inferior é grande e tende a 0 gradualmente com o aumento
,
óbvio. O fenômeno da concentração de tensões em
mesmo, exceto pelo tamanho da seção transversal. Além disso,
deformação máxima de todos os elementos da estrutura carregada
são semelhantes aos da estrutura não linear. Portanto, o
uma certa concentração de tensão no topo, mas a deformação
e
Avanços na Engenharia Estrutural 00(0)
seções inferiores do elemento de viga de seção variável cônica
Três cantilevers lineares com seção transversal variável são
tensão g(s1). A deformação normal de projeto é a máxima
HU1 são 0,08 e 0,05 m, respectivamente. O resultado da comparação 
é mostrado na Figura 8.
,
método de otimização. Pode-se observar que o otimizado
etapas da estrutura. A exatidão da chave
o cantilever de seção constante sem otimização e a estrutura 
otimizada do cantilever de seção variável HU1 são comparados sob 
condições uniformes
é obtido, conforme mostrado na Figura 7. A tendência de deformação
a estrutura da seção é 100,48 m3
são mostrados na Tabela 2.
fator que afeta a cepa de Mises. Portanto, embora o
da altura estrutural. Embora a tensão do
variam linearmente, o que é diferente do analítico
abaixo de 15 m é quase o mesmo. O volume do uniforme
devido ao fenômeno de concentração de tensões no
o topo pode ser resolvido aumentando a área do topo
Como pode ser visto na Figura 8, a distribuição de deformação
deformação normal da seção transversal sob o especificado
o desvio padrão da distribuição de deformação é 3,07 e
a exatidão das fórmulas de projeto é verificada.
estrutura cantilever de seção transversal variável pode atender às
parâmetros nas fórmulas são verificados. A concentração de tensões 
ocorre no topo da estrutura porque um
carregar. O diâmetro inferior da estrutura de seção uniforme é de 8 
m, e o do HU1 é de 9,38 m. a é 0,9. O
simulado. A constituição material do cantil-ver linear pode ser 
expressa pela equação (33). Os demais parâmetros são iguais ao 
modelo de elementos finitos de
A deformação ao longo da direção da altura do cantilever é
A cepa de Mises é uniformemente distribuída, é diferente de
o cantilever de seção transversal variável otimizado HU1 possui
da distribuição de deformação é 4,5 3 1024 . Para comparação,
Deve-se salientar que a aparência estrutural do critério totalmente 
estressado é convexa sob o
seção.
nefogramas de todos os componentes são semelhantes. A tensão de
parte superior do HU1, um componente com uma seção superior ampliada
3 1026 . Após a otimização, o volume da estrutura é reduzido em 
14,8% e a distribuição de deformações é
o desvio padrão
solução de distribuição ideal de tamanho de seção.
estrutura não linear. Os parâmetros de projeto e carga
da estrutura cantilever não otimizada com igual
carregar. A razão é que a cepa extraída no FEM é
a deformação normal em valor. Além disso, a partesuperior e
critério totalmente estressado, e o efeito de otimização é
ação de carga uniforme e carga de triângulo invertido, mas
uma área ligeiramente maior é definida na parte superior do modelo. O
1935Wu et al. 10
Círculo oco
g(s1)
Carga de triângulo invertido 0,001
Carga relacionada à força de inércia 0,001
Formulário de Seção de Amostras Formulário de Carregamento
HLL
DELES
Figura 7. Distribuição de deformações de amostras não lineares.
Círculo oco Carga uniforme
ERA
estruturas cantilever.
0,001
estrutura otimizada.
Tabela 2. Parâmetros de projeto e condições de trabalho de lineares
Caixa
Figura 8. Comparação de estrutura não otimizada com
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Verificação para análise dinâmica A pesquisa 
anterior otimiza a distribuição do tamanho da seção da estrutura sob movimento 
do solo e carga de vento com base na estática. Para verificar a precisão dos 
resultados da otimização sob a ação dinâmica, é realizada a análise dinâmica 
do histórico temporal da estrutura cantilever com armadura de topo do artigo 
anterior. Os cantilevers ocos circulares e de seção em caixa otimizados são 
comparados com os cantilevers de seção igual, e a onda sísmica unidirecional 
El Centro é inserida em todas as bases estruturais. O intervalo de tempo é de 
0,02 s e a duração é de 15 s. Como o histórico do tempo de aceleração da 
onda sísmica atinge o valor de pico em 2,14 s e o histórico do tempo de 
deslocamento atinge o valor de pico em 5,50 s, a deformação de cada nó da 
estrutura nos dois tempos e seus quatro tempos adjacentes é extraída, e o os 
resultados são mostrados na Figura 11.
A rigidez correspondente às fórmulas sob diversas condições é calculada de 
acordo com as equações (48) e (49). Os resultados podem ser usados como 
referência em projetos de engenharia e revisão de códigos.
Sob carga uniforme, a rigidez ao cisalhamento e à flexão do cantilever 
com seção transversal circular oca
são
onde fW e fE são os coeficientes de peso da carga do triângulo invertido e da 
carga relacionada à força de inércia, respectivamente, e fW + fE = 1. Quando 
fW = 0,8 e fE = 0,2, o modelo cantilever é mostrado na Figura 10 (c).
As fórmulas ótimas de distribuição de tamanho de seção transversal de 
estruturas cantilever com seções circulares ocas e em caixa sob carga 
uniforme, carga de triângulo invertido e carga relacionada à força de inércia são 
derivadas. Com base no ANSYS verifica-se que o critério totalmente estressado 
pode ser realizado. As fórmulas para calcular a rigidez ao cisalhamento e à 
flexão do cantilever são
Os resultados mostram que a distribuição de deformações dos cantilevers 
circulares ocos e de seção em caixa reforçados no topo é uniforme sob o 
terremoto, de modo que o critério de tensão total é atendido. No entanto, a 
distribuição de deformação do cantilever não otimizado diminui de forma não 
linear de baixo para cima, e a discrição da distribuição de deformação é muito 
maior do que a do cantilever otimizado. Através de análises mais aprofundadas, 
pode-se confirmar que a lei de distribuição de deformações da estrutura 
otimizada é semelhante a qualquer momento, assim, o critério totalmente 
tensionado é completamente realizado. Em resumo, a estrutura otimizada de 
acordo com a carga relacionada à força de inércia realiza o critério de tensão 
total sob a ação dinâmica, e os resultados de otimização de diferentes seções 
são eficazes.
é côncavo sob a carga relacionada à força de inércia. Dois tipos de modelos de 
estrutura cantilever são mostrados na Figura 10. Em projetos práticos, a carga 
uniforme (carga triangular invertida) e a carga relacionada à força de inércia 
podem atuar na estrutura ao mesmo tempo, e podem receber pesos diferentes 
de acordo com diferentes requisitos de engenharia. . Por exemplo, a distribuição 
ideal do tamanho da seção de uma estrutura circular oca é calculada de acordo 
com a seguinte fórmula
2
1=3
+ fe
Figura 10. Forma otimizada com base no FEM: (a) para carga uniforme e carga 
de triângulo invertido, (b) para carga relacionada à força de inércia e (c) para 
carga uniforme e carga relacionada à força de inércia.
Figura 9. Distribuição de deformações de corpos de prova lineares.
Avanços na Engenharia Estrutural 24(9) 111936 Wu et al.
Análise de rigidez estrutural ideal
ð48Þ
ð47Þ
ð49Þ
GA= GA(x)
Hg(s1) 32(1ÿa5)ag(s1) +15(1 ÿ a4 ÿ )pb
b
Hÿ x
80qmax(2H3ÿ3H2x+x3) 
d(x)=fW 
½
NÃO = NÃO(x)
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Avanços na Engenharia Estrutural 00(0)Wu et al. 12 1937
distribuição de deformação em 2,20 s, (d) distribuição de deformação em 5,44 s, (e) distribuição de deformação em 5,50 s e (f) distribuição de deformação em 5,56 s.
Figura 11. Distribuição de deformações das estruturas em diferentes momentos: (a) distribuição de deformações em 2,08 s, (b) distribuição de deformações em 2,14 s, (c)
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Hÿ x
ð54Þ
ð53Þ
64
ð52Þ
Gp 1 ÿ a2 ð Þ
ð51Þ
ð50Þ
4
Hÿ x
b
b
ð55Þ
Ep 1 ÿ a4 ð Þ
Exemplo prático de design
240q(Hÿx)
Gp(1ÿa2)
Ep 1 ÿ a4 ð Þ
240q(Hÿx)
Hg(s1) 32(1 ÿ a5 ) ag(s1) + 15(1 ÿ a4 ÿ )pb
Gp 1 ÿ a2 Þ
64
g(s1) 32(1 ÿ a5 )ag(s1) + 15(1 ÿ a4 ÿ )pb
d
½
½
4
Hg(s1) 32(1 ÿ a5 ) ag(s1)+ 15(1 ÿ a4 ÿ )pb
g(s1) 32(1 ÿ a5 )ag(s1) + 15(1 ÿ a4 ÿ )pb
½
4
64
½
8
4
planta: (a) estrutura não otimizada e (b) estrutura otimizada.
Figura 12. Esquema da usina de chaminé solar
Figura 13. Modelos de elementos finitos de energia de chaminé solar
2=3
80qmáx(2H3ÿ3H2x+x3)
4=3
Ep(1 ÿ a4 )
4=32
2 2=3
80qmáx(2H3 – 3H2x + x3)
estruturas de torres e chaminés, bem como edifícios super altos. 
Para uma estrutura de engenharia prática, é
O método teórico e a otimização resultam em
uniforme. Porque o tamanho da seção transversal da chaminé
sistema de geração de energia. É composto por coletor e
gás, o tamanho da seção transversal da chaminé acima de 15 m é
diâmetro inferior e altura total do otimizado
Mas este fenómeno não reduzirá o impacto estrutural
não há necessidade de ser mostrado.
de acordo com a equação (27). A aparência do
Sob carga de triângulo invertido, o cisalhamento e a flexão
para o projeto de engenharia real.
de baixo para cima. A concentração de tensões na parte inferior 
pode causar sérios danos à chaminé sob o
pode ser projetado de acordo com a análise ideal
a estrutura cantilever da seção em caixa é a mesma, e há
a altura é de 20 m. Uma planta comparativa é otimizada
parâmetros de desempenho da estrutura são semelhantes a
14. A tensão da planta não otimizada diminui a partir do
projeto de otimização de estruturas contínuas, como
seção transversal é dada por
Uma planta tradicional não otimizada é mostrada na Figura
modelos. As cepas em 2,08, 2,14, 2,20, 5,44, 5,50 e
ajustando o reforço de resistência lateral
A estrutura é igual à da estrutura não otimizada. Para realizar a 
função de descarregar
Usina de chaminé solar é uma nova energia renovável
este artigosão aplicáveis aos estáticos e dinâmicos
acima de 15 m é ampliado, a deformação do topo diminui.
critério estressado pode ser realizado. Portanto, os resultados de 
otimização deste estudo têm significado norteador
13
rigidez do cantilever com seção transversal circular oca são
Sob carga relacionada à força de inércia, o cisalhamento e a rigidez 
à flexão do cantilever com circular oca
terremoto. A tensão da estrutura otimizada é quase
a estrutura otimizada é mostrada na Figura 13 (b). A transição entre 
o colector e a chaminé é suave. O
O princípio da rigidez ao cisalhamento e à flexão de
5,56 s são extraídos e comparados conforme mostrado na Figura
13(a). O fundo da planta é um coletor de 20 m de diâmetro. O 
diâmetro da chaminé é de 5 m. O total
membros e o tamanho da seção dos membros locais. Então o
os resultados teóricos da otimização e o total
solução do tamanho ou rigidez da seção. O
ampliado. A fim de comparar e analisar o desempenho estrutural e 
a distribuição de tensões sob excitação de terremoto, a onda El 
Centro é inserida nos dois
chaminé. O esquema da planta é mostrado na Figura 12.
distribuição da rigidez lateral pode ser ajustada de forma flexível
Avanços em Engenharia Estrutural 24(9)1938 Wu et al.
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O(s) autor(es) não declararam possíveis conflitos de interesse com relação à 
pesquisa, autoria e/ou publicação deste artigo.
Figura 14. Comparação de deformações das estruturas em diferentes tempos: (a) cerca de 2,14 se (b) cerca de 5,50 s.
Figura 15. Histórico de tempo de deslocamento e aceleração do topo das 
estruturas.
Conclusão
Sob carga uniforme e carga triangular invertida, a estrutura 
cantilever otimizada de acordo com o conceito de tensão 
uniforme apresenta a forma ''convexa'', enquanto a estrutura 
sob a carga relacionada à força de inércia apresenta a forma 
''côncava''. projeto de engenharia, a distribuição da rigidez 
lateral da 
estrutura pode referir-se aos resultados propostos neste artigo, 
ajustando a armadura e o tamanho da seção dos membros 
resistentes laterais, de modo a cumprir o critério de plena 
tensão. A distribuição de rigidez proposta neste artigo tem 
um importante significado orientador para o projeto prático de 
engenharia.
segurança. O histórico de deslocamento e aceleração dos modelos do 
topo da estrutura é mostrado na Figura 15.
Com base no ANSYS, as fórmulas de tamanho de seção 
ideal de estruturas cantilever sob várias condições são 
verificadas respectivamente. Sob carga estática, a estrutura 
cantilever otimizada pode atingir um estado totalmente 
tensionado, mas a concentração de tensão ocorre no topo. 
Este problema pode ser resolvido aumentando a área da 
seção superior. Sob a ação do terremoto, a tensão da 
estrutura canti-lever reforçada é uniforme ao longo da direção 
da altura.
No entanto, a segurança é significativamente melhorada e o volume 
pode ser ajustado alterando a espessura da parede.
A teoria de otimização da estrutura não linear também é 
aplicável à otimização da estrutura linear.
Após a otimização, as respostas dinâmicas estruturais obviamente 
diminuem. Embora o volume da planta otimizada seja ligeiramente 
maior que o da planta não otimizada.
Para estruturas não lineares, o critério totalmente tensionado 
pode ser realizado sob carga estática e terremoto. O método 
de otimização totalmente estressado proposto neste artigo é 
eficaz. Este método pode ser aplicado à engenharia prática.
Avanços na Engenharia Estrutural 00(0)
Assim, a eficácia do método é verificada por exemplo prático de design.
Declaração de interesses conflitantes
As estruturas de engenharia são simplificadas como estruturas 
cantilever com seções ocas circulares e em caixa, e o projeto de 
otimização é realizado com objetivo de tensão uniforme. A equação de 
equilíbrio de momentos é estabelecida e a solução analítica do tamanho 
ótimo da seção é resolvida. A distribuição ideal de rigidez ao 
cisalhamento e rigidez à flexão é obtida. As seguintes conclusões 
podem ser inferidas:
1939Wu et al. 14
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ID ORCIDA
Referências
Financiamento
15Avanços em Engenharia Estrutural 24(9)1940 Wu et al.
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