DEsenho geometrico

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DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Mariana Comerlato
Circunferências: 
elementos, divisões, 
tangentes e retificações
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir circunferência.
  Classificar os elementos e as divisões das circunferências.
  Determinar tangentes e retificações de circunferências.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar a circunferência, os seus conceitos funda-
mentais e os principais estudiosos do assunto. Você também vai aprender 
a identificar e classificar seus principais elementos e a desenvolver as 
construções geométricas da circunferência, desde seu traçado básico 
até suas divisões e retificações.
Conceitos fundamentais
A circunferência é um elemento formado por um conjunto de pontos distribu-
ídos no espaço que possuem como característica o fato de todos eles estarem a 
uma mesma distância de um ponto conhecido como centro, conforme mostra 
a Figura 1. Assim como existem infi nitos pontos ao redor do seu perímetro, a 
circunferência também possui infi nitos raios e infi nitos diâmetros que conectam 
esses pontos do perímetro, conforme leciona Januário (2010).
Figura 1. Conceito geométrico da circunferência: um ponto central e infinitos pontos 
equidistantes do centro pela medida conhecida como raio.
A circunferência é considerada uma curva, então não podemos medi-la com 
uma régua. Para isso, estudiosos matemáticos da Antiguidade desenvolveram 
uma forma de calcular o comprimento de uma circunferência, representado 
da seguinte maneira:
C = 2 ∙ π ∙ r
onde:
  π = número que representa a relação métrica constante entre o com-
primento da circunferência e o seu diâmetro — segundo Reis (2014), 
π é um número irracional cujo valor é 3,141592, aproximadamente;
  r = raio da circunferência.
Ao longo deste capítulo, veremos que existe uma maneira precisa de reti-
ficar a circunferência por meio do desenho geométrico. Com a circunferência 
retificada, é possível medir o seu comprimento em linha reta.
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações2
Quando falamos em geometria, não podemos deixar de fora Euclides de Alexandria, 
grande matemático da Antiguidade e o primeiro a estudar a geometria. Uma das suas 
obras mais importantes é o tratado intitulado Os elementos, composto por 13 livros 
que serviram de base para diversos outros estudos e para o que ficou conhecido até 
hoje como geometria euclidiana. A publicação de Euclides é baseada em axiomas 
(verdades incontestáveis sobre a ciência) e postulados (verdades incontestáveis sobre 
um determinado assunto), conforme explica Boyer (1991). É nesse tratado que Euclides 
vai definir os elementos principais da geometria, como ponto, reta, arco, superfície, 
ângulo e diâmetro. Euclides também vai afirmar que, com um ponto e uma distância 
quaisquer, é possível construir uma circunferência com centro naquele ponto e raio igual 
àquela distância, conforme leciona Costa (2011). Além de ser uma das publicações mais 
antigas de que se tem registro, Os elementos também é uma das obras mais traduzidas 
da história da humanidade.
Elementos da circunferência
Junto com o centro e o raio, outros elementos são importantes para as demais 
construções geométricas da circunferência, como a sua divisão em partes 
iguais e a sua retifi cação, conforme leciona Carvalho (2008). Vejamos abaixo 
e, também, na Figura 2, a defi nição desses elementos.
  Arco: é uma porção da circunferência, ou seja, do seu perímetro, com-
preendida entre dois pontos. O arco pode apresentar tamanhos diversos. 
  Corda: é o segmento de reta que une as extremidades de um arco.
  Diâmetro: é a única corda que passa pelo centro da circunferência, 
tendo a dimensão equivalente ao dobro do raio. O diâmetro é a maior 
corda da circunferência.
  Flecha: é o trecho do raio que é limitado pela corda e pelo arco e que 
é perpendicular à corda.
3Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações
Figura 2. Elementos da circunferência: arco, corda, diâmetro e flecha.
Vejamos também outros elementos importantes — as retas e as suas posi-
ções relativas em relação à circunferência — abaixo e na Figura 3.
  Reta secante: reta que corta a circunferência em dois pontos, formando 
o segmento de reta conhecido como corda. Quando a secante corta a 
circunferência pelo seu centro, ela gera o seu diâmetro.
  Reta tangente: reta que toca a circunferência em apenas um ponto e que 
é perpendicular ao raio que passa por esse ponto. O encontro entre a reta 
tangente e a circunferência é chamado de ponto de tangência. Além de 
saber identificar uma tangente, é importante desenhá-la de forma correta. 
Mais adiante veremos como construir uma reta tangente à circunferência.
Figura 3. Elementos da circunferência: retas secante e tangente.
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações4
As circunferências também possuem ângulos relevantes, que podem ser 
os seguintes (Figura 4).
  Ângulo central: é o ângulo cujo vértice é o centro (O) da circunferência 
e que gera um arco correspondente (AB).
  Ângulo inscrito: ângulo que possui o vértice (D) na circunferência e 
seus lados são cordas (DE e CD). Ângulo encontrado em situações de 
inscrição de polígono em circunferência.
  Ângulo circunscrito: ângulo formado quando o vértice (G) está fora 
da circunferência e seus lados a tangenciam.
Figura 4. Elementos da circunferência: ângulos.
A geometria é um grande campo de estudo que possui muitos enfoques, como a 
geometria analítica, a descritiva e a espacial. Neste capítulo, estudamos a circunferência 
a partir do tema do desenho geométrico, mas a circunferência também pode ser 
observada e representada a partir de outras abordagens da geometria. A geometria 
analítica, por exemplo, estuda os lugares geométricos (retas, circunferência, parábolas, 
etc.) por meio de representações algébricas relacionadas a produtos cartesianos. Nesse 
caso, pela geometria analítica, a circunferência é caracterizada por uma expressão 
matemática que representa, em um plano cartesiano, as coordenadas x e y de seu 
centro (Xc e Yc), as coordenadas x e y de algum ponto genérico de sua formação, e 
a dimensão de seu raio (r). Portanto, segundo Santos e Ferreira (2009), na geometria 
analítica, a circunferência é dada por:
5Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações
Construções geométricas e divisões
Pode-se dizer que são dois os elementos mais importantes para a construção 
geométrica da circunferência: o ponto correspondente ao seu centro e o raio, 
que determina a distância do centro à borda composta pelos demais pontos. 
Essa é a lógica inicial para traçar uma circunferência. No desenho geométrico, 
o instrumento utilizado para o traçado de uma circunferência é o compasso, 
cuja ponta seca é posicionada no centro da circunferência, e cuja abertura 
representa o raio. Com o grafi te do compasso, desenha-se a circunferência, 
conforme leciona Giovanni (2016) e demonstra a Figura 5.
Figura 5. Desenho da circunferência por meio do 
instrumento compasso.
Fonte: FERNANDO BLANCO CALZADA/Shutterstock.com.
Além da construção básica da circunferência, é importante para o desenho 
geométrico saber determinar e construir outros elementos. A seguir, veremos 
o passo a passo dessas construções. É importante ressaltar a necessidade de 
instrumentos adequados para as construções, como régua, compasso e dupla 
de esquadros. 
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações6
Identificação do centro de uma circunferência
Para identifi car o centro de uma circunferência dada, é necessário traçar duas 
cordas quaisquer (AB e BC) e as suas mediatrizes. O centro da circunferência 
será o ponto O, localizado no encontro das mediatrizes, conforme leciona 
Carvalho (2008) e demonstra a Figura 6.
Figura 6. Passo a passo para determinar o centro de uma circunferência.
A mediatriz é uma reta que corta outra reta ou segmento de reta em seu ponto médio. 
Veja nolink abaixo um vídeo que mostra como traçar uma mediatriz.
https://goo.gl/U66GJ3
Divisão da circunferência em três partes iguais 
e inscrição de um triângulo
A divisão de uma circunferência em três partes iguais inicia com o traçado 
de um eixo qualquer que passa pelo centro da circunferência (O) e corta o seu 
perímetro (A). Com a ponta seca do compasso em A e a abertura da dimensão 
do raio, desenha-se um arco que cruza a circunferência marcando os pontos B 
e C. Estes já são os dois primeiros pontos da divisão. O terceiro ponto (D) se 
encontra no cruzamento do eixo traçado inicialmente com a outra extremidade 
da circunferência.
7Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações
O triângulo inscrito em uma circunferência dividida em partes iguais 
é chamado de triângulo equilátero, pois possui três lados e três ângulos 
internos iguais. Os ângulos internos do triângulo são considerados ângulos 
inscritos da circunferência (Figura 7). Para dividir uma circunferência em seis 
ou 12 partes iguais, basta traçar as mediatrizes dos lados e criar os pontos de 
intersecção das mediatrizes com a circunferência.
Figura 7. Passo a passo para dividir uma circunferência em três partes iguais e inscrever 
um polígono regular.
O lado de um hexágono inscrito em uma circunferência é igual ao raio dessa circun-
ferência. Sendo assim, para dividir uma circunferência em seis partes iguais, basta ter 
um compasso em mãos com sua abertura na mesma medida do raio. Marque seis 
pontos consecutivos na circunferência e a divisão estará completa.
Divisão da circunferência em quatro partes iguais 
e inscrição de um quadrado
Para dividir uma circunferência em quatro partes iguais é necessário traçar 
dois diâmetros perpendiculares entre si (AB e CD). Os pontos dos diâmetros 
na circunferência formam o polígono, conforme mostra a Figura 8. Para 
dividir a circunferência em oito ou 16 partes, basta traçar as mediatrizes dos 
lados do polígono.
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações8
Figura 8. Passo a passo para dividir uma circunferência em quatro partes iguais e inscrever 
um polígono regular.
Divisão da circunferência em cinco partes iguais 
e inscrição de um pentágono
Para dividir uma circunferência em cinco partes iguais, inicialmente deve-
-se traçar dois diâmetros perpendiculares entre si (AB e CD) e, em seguida, 
traçar a mediatriz do raio CO, achando o ponto médio (M). Com a ponta seca 
do compasso em M e a abertura do compasso MA, traçar o arco e localizar 
o ponto N no raio OD. A distância AN corresponde a 1/5 da circunferência, 
e essa medida pode ser transferida com o compasso marcando-se os vértices 
(F, G, H e I) do polígono iniciando em A, conforme mostra a Figura 9. Para 
divisões em partes múltiplas de cinco, é necessário traçar a mediatriz dos 
lados do polígono. 
Figura 9. Passo a passo para dividir uma circunferência em cinco partes iguais e inscrever 
um polígono regular.
9Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações
Traçado de uma tangente
Conforme já vimos no início deste capítulo, a tangente é uma reta que toca a 
circunferência em apenas um ponto (ponto de tangência), sendo perpendicular 
ao raio que passa naquele ponto. Portanto, para traçar uma reta tangente a 
uma circunferência dada, é necessário, primeiramente, determinar o ponto 
de tangência (A) e seu respectivo raio (AO). Em seguida, com o auxílio de 
esquadros, deve-se traçar uma reta perpendicular (t) ao raio determinado, no 
ponto A, conforme mostra a Figura 10.
Figura 10. Passo a passo para o traçado de uma reta tangente.
Retificações de circunferência
Retifi car a circunferência signifi ca transformar sua curva em uma linha 
reta que possua a mesma extensão do perímetro original da circunferência. 
A retifi cação da circunferência é importante para defi nirmos grafi camente 
seu comprimento. Como já vimos no início deste capítulo, é possível defi nir 
o comprimento de uma circunferência por meio da álgebra, com a expressão 
C = 2 ∙ π ∙ r. Trata-se, portanto, de duas formas diferentes e complementares 
de se obter o mesmo resultado, sendo o cálculo o modo mais preciso, pois 
trabalha com casas decimais que, muitas vezes, a régua não abrange.
Existem vários métodos de retificação de circunferências, sendo o método 
de Arquimedes o mais conhecido deles. Arquimedes foi um matemático da 
Antiguidade Clássica inspirado por Euclides e que, dentre muitos estudos 
relevantes, encontrou uma aproximação apurada do número π que é a relação 
entre comprimento da circunferência e diâmetro. A Figura 11 representa essa 
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações10
relação; ela demonstra que, se uma circunferência tem diâmetro de 1 unidade, 
o seu comprimento é de aproximadamente 3,14 unidades, valor da razão π.
Figura 11. Número π: relação entre o diâmetro e o com-
primento da circunferência.
Nos seus estudos algébricos, Arquimedes chegou à conclusão de que o 
comprimento de uma circunferência se dava a partir da seguinte combinação, 
baseada no número π: 
C = 3 ∙ d + 1/7 ∙ d
onde d é o diâmetro da circunferência.
A retificação da circunferência pelo método de Arquimedes segue, então, 
a lógica da fórmula desenvolvida por ele. Em uma circunferência dada, para 
retificarmos seu comprimento, necessitamos traçar três unidades inteiras do seu 
diâmetro mais um sétimo dessa mesma unidade. Para achar 1/7 do diâmetro, 
traçamos inicialmente um diâmetro AB e, em seguida, traçamos uma reta 
auxiliar (a), iniciando no ponto A desse diâmetro. Nessa reta, marcamos com 
o compasso, sempre na mesma abertura, 7 pontos. Unimos o sétimo ponto 
à outra extremidade do diâmetro (ponto B), formando um triângulo. Com 
os esquadros, traçamos uma reta paralela à reta do ponto 7 para transferir o 
ponto 6 para o diâmetro AB. A distância entre os pontos 6 e 7 no diâmetro AB 
equivale a 1/7 desse diâmetro. Por fim, é necessário marcar três dimensões do 
diâmetro e mais 1/7 do mesmo. Utilizamos o compasso para transferir essas 
medidas com precisão para um segmento de reta. Nesse caso, a retificação da 
11Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações
circunferência de diâmetro AB equivale ao segmento de reta AE, conforme 
mostra a Figura 12. Para efeitos de segurança, é possível medir a retificação e 
conferir se as dimensões estão corretas por meio da fórmula do comprimento 
da circunferência: C = 2 ∙ π ∙ r. 
Figura 12. Método de Arquimedes para retificação da circunferência.
Existem vários métodos de retificação de circunferências, mas todos se baseiam no 
estudo de Arquimedes sobre a relação entre comprimento e diâmetro da circunferência. 
Confira no link abaixo um vídeo que demonstra o método de Kochansky, matemático 
do século XVII.
https://goo.gl/CffRMi
Para finalizar, é importante ressaltar que, apesar de se tratar de um elemento 
simples, e talvez justamente por causa disso, o estudo da circunferência é de 
grande relevância. Sua simplicidade faz como que ela seja a base de muitos 
outros elementos. O fácil entendimento da circunferência e a compreensão 
de seus processos nos auxiliam em inúmeras questões do nosso dia a dia.
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações12
BOYER, C. B. A history of mathematics. 2. ed. New York: John Wiley & Sons, 1991.
CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. 2. ed. Rio de Janeiro: Imperial, 2008.
COSTA, D. M. B. Apostila geometria descritiva. Curitiba: Universidade Federal do Paraná, 
2011.
GIOVANNI, J. R. Desenho geométrico. São Paulo: FDT, 2016. v. 1. 
JANUÁRIO, A. J. Desenho geométrico. 3. ed. Florianópolis: UFSC, 2010.
REIS, A. G. Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura. Porto 
Alegre: Bookman, 2014.
SANTOS, F. J. S.; FERREIRA, F. S. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
13Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações
Conteúdo:
DESENHO 
GEOMÉTRICO
Mariana Comerlato 
Jardim
Sistemas de projeção 
ortogonais: desenhodas 
vistas a partir de sólidos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Descrever a lógica das projeções ortogonais.
  Reconhecer vistas ortográficas a partir de sólidos.
  Aplicar as vistas ortográficas em design de interiores.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar a representação das projeções ortogonais 
do objeto tridimensional nos planos bidimensionais. Além disso, você vai 
verificar as principais convenções de desenho das vistas ortográficas — a 
composição dos diedros e a planificação da épura. Por fim, vai analisar 
a aplicação desses conceitos na arquitetura e no design de interiores.
Projeções ortogonais
A projeção, em geometria descritiva, consiste na representação de um objeto 
por meio de pontos projetados por retas que intersectam o plano de projeção. O 
resultado dessa projeção é a própria imagem do objeto no plano. A geometria 
descritiva tem como objetivo representar o espaço geométrico tridimensional 
em uma superfície bidimensional. Dessa forma, ela está relacionada à solução 
de problemas espaciais bidimensionais utilizando um processo reversível — 
por meio de vistas bidimensionais, constrói-se um volume tridimensional e, 
a partir de um volume geométrico, desenham-se vistas no plano.
O sistema de representação abrange um conjunto de técnicas para pro-
jeção de elementos tridimensionais em um plano bidimensional. Ou seja, é 
a planificação do sólido em três dimensões. Cada tipo de projeção — isto é, 
cada modo como as retas se projetam no objeto e incidem no plano — gera 
um resultado específico, que é adotado para seu melhor uso. Por exemplo, 
o sistema cônico apresenta semelhança com a visão humana, enquanto o 
sistema cilíndrico auxilia na representação do objeto em verdadeira grandeza 
(Figura 1), de onde se pode obter medidas reais do objeto, conforme explicam 
Bornancini, Petzold e Orlandi Júnior (1987).
Figura 1. A distinção entre as duas representações: à esquerda, a projeção cônica; 
à direita, a projeção cilíndrica, cuja vista está representada em verdadeira grandeza.
Os sistemas são estudados com base em duas operações fundamentais: 
projeção e seção. As projeções são também chamadas de vistas, pois repre-
sentam as faces externas do objeto. As seções são cortes na peça, que mostram 
o interior do objeto e como ele se comporta ao longo do comprimento.
Sistema de projeções ortogonais
A representação de objetos tridimensionais por meio de desenhos bidimensionais, 
utilizando projeções ortogonais, foi idealizada por Gaspar Monge, no século 
XVIII, dando origem à geometria descritiva. Nesse contexto, considerando-se 
os planos vertical e horizontal prolongados além de suas interseções, o espaço 
é dividido em quatro partes, os diedros, cada um com duas faces, conforme 
lecionam Speck e Peixoto (2003). Como a representação de uma única projeção do 
objeto em um plano, muitas vezes, não é sufi ciente, qualquer objeto, seja qual for 
a sua forma, posição ou dimensão, pode ser representado no plano bidimensional 
pelas suas projeções cilíndricas ortogonais. Os quatros ângulos são numerados 
no sentido anti-horário e denominados 1º, 2º, 3º e 4º diedro, respectivamente 
(Figura 2). Dessa forma, o conjunto de vistas ou projeções consegue defi nir, por 
completo, o objeto, conforme leciona Curtis e Roldo (2015).
Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos2
Figura 2. Montagem dos dois planos de projeções sobre 
os eixos X e Y, configurando os quatro diedros. 
O tipo de projeção cilíndrico-ortogonal define que as retas projetantes 
incidem no plano de forma perpendicular, de forma que as retas do objeto 
perpendiculares ao plano são representadas por pontos, e as retas paralelas 
a ele são linhas exatamente iguais às linhas reais do objeto. Nesse tipo de 
representação, a fonte das linhas projetantes se encontra longe do objeto, 
de forma que as distorções do olho, a projeção cônica, é reduzida a zero. As 
retas são paralelas entre si e não concorrentes ao ponto, assim como ocorre 
na representação cônica, conforme explica Asensi (1990).
Vistas ortográficas
As vistas ortográfi cas desenvolvidas por Gaspar Monge consistem em um 
conjunto de projeções que buscam defi nir o objeto tridimensional planifi cado. 
Nesse tipo de projeção, a fi nalidade é representar os objetos em verdadeira 
grandeza, já que que as retas se projetam com um ângulo de 90º no plano, 
evitando distorção na imagem do objeto. Dessa forma, na projeção cilíndrica 
ortogonal de um objeto, quando posicionado com uma das faces paralelas ao 
plano, temos uma representação em verdadeira grandeza da face. As faces 
perpendiculares a esse mesmo plano, diferentemente, se resumem a linhas.
3Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos
Em resumo, na área do desenho técnico, vista ortográfica é a figura 
resultante da projeção cilíndrica ortogonal do objeto sobre um plano de 
projeção de referência. Essa vista apresenta um aspecto particular do ob-
jeto a partir da direção adotada pelo observador. Vale lembrar que, pelas 
definições mongeanas, esse observador se encontra distante do objeto, de 
modo que as linhas cônicas são corrigidas e se tornam perpendiculares ao 
plano, conforme leciona Asensi (1990).
Já que apenas uma vista não é suficiente para representar um objeto, 
conforme demonstra a Figura 3, utilizamos o sistema de vistas ortográficas, 
obtidas sobre três planos de projeção perpendiculares entre si: um vertical, 
um horizontal e um de perfil. Caso o objeto possua as faces ortogonais, terá 
também elas paralelas aos planos de projeção, ou seja, todas elas representadas 
por figuras em verdadeira grandeza. Essas três vistas geralmente garantem a 
plena representação do objeto, e são denominadas vista anterior (VA), vista 
lateral esquerda (VLE) e vista superior (VS). Desdobrando esses planos, 
temos a vista lateral à direita e a superior abaixo da vista anterior.
Figura 3. No caso dos objetos da figura, apenas uma vista 
não é suficiente para representá-los, já que ela é igual para 
os três objetos. 
Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos4
É importante ressaltar que a representação das vistas ortográficas de Gaspar Monge 
normalmente ocorre em apenas dois planos de projeção, sem o plano de perfil. Porém, 
no desenho técnico, é praticamente inviável definir um objeto com apenas duas 
figuras — por isso, é utilizado outro plano. Outra definição importante é que, quando 
posicionamos um objeto com a face paralela ao plano de projeção, conseguimos 
fazer com que as vistas estejam em verdadeira grandeza. Na geometria descritiva, os 
objetos estão em qualquer lugar do espaço, sem relação com os planos de projeção. 
Veja a figura abaixo:
Diedros
Como vimos, dois planos, um horizontal e outro vertical, no momento em que 
se intersectam, formam quatro diedros. A aresta comum entre eles é chamada 
linha de terra (LT). A nomenclatura desses planos se inicia pelo diedro 
superior direito e segue em sentido anti-horário. Seguindo a lógica de um 
paralelepípedo, que possui seis faces, é possível representar o objeto por meio 
de seis vistas, resultando em seis fi guras. No diedro, a lógica é a mesma: de 
acordo com o posicionamento do observador, temos as seis vistas ortográfi cas 
que, segundo a ABNT, são dispostas da seguinte maneira (ASSOCIAÇÃO 
BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, 1988):
  vista anterior ou de frente (VA);
  vista lateral esquerda (VLE), localizada à direita da VA;
5Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos
  vista superior (VS), abaixo da VA;
  vista posterior (VP), à direita da VLE e simétrica à VA em relação a VLE;
  vista lateral direita (VLD), à esquerda da VA e simétrica à VLE em 
relação à VA;
  vista inferior (VI), acima da VA e simétrica à VS em relação à VA.
O desmembramento desse cubo de projeção, isto é, a planificação das vistas 
com o posicionamento dentro da normativa,é chamado de épura. Dessa forma, 
independentemente do país em que se faz a leitura do desenho, sabendo em 
qual diedro ocorreram as projeções, é possível indicar qual a vista do objeto, 
conforme leciona Boni (2017).
A épura é uma representação planificada de qualquer entidade geométrica a partir 
das projeções ortogonais, utilizada na geometria descritiva e no desenho técnico. 
Conforme varia o diedro em que o objeto é utilizado, altera-se o posicionamento das 
vistas na épura. As coordenadas dos respectivos pontos projetados são marcadas 
nos planos a partir da LT, a fim de identificá-los no espaço. O posicionamento do 
observador é o que determina em qual diedro o objeto será projetado e quais vistas 
serão representadas na épura. Veja a figura abaixo:
Essa denominação se refere à projeção de um objeto no 1º diedro. Essa é 
a utilização mais comum na Europa e no Brasil. Nos Estados Unidos e no 
Canadá, por exemplo, a projeção mais usual é a que ocorre no 3º diedro. Já 
as projeções no 2º e 4º diedros não são utilizadas porque ocorre a superposição 
Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos6
de projeções quando os planos são rebatidos na épura, conforme lecionam 
Speck e Peixoto (2003).
No 3º diedro, devemos considerar que os planos são transparentes para 
visualizar o objeto através deles. As vistas ortográficas são as mesmas que 
no 1º diedro, porém, no rebatimento da épura, essas vistas assumem novas 
posições, conforme mostra a Figura 4.
Figura 4. Como funciona a projeção no 3º diedro e sua épura.
Embora não tão utilizada no Brasil, a projeção do objeto no 3º diedro é mais 
intuitiva, já que a denominação das vistas e sua disposição na épura equivalem 
à posição das faces do objeto. Além disso, a projeção ocorre no plano à frente 
do objeto, e não posterior, como no 1º diedro, conforme explicam Bornancini, 
Petzold e Orlandi Júnior (1987). 
Acesse o link a seguir para saber mais sobre diedros e posicionamento do objeto em 
relação aos planos.
https://goo.gl/XzimBo
7Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos
Modos de representação
A representação na técnica usual é plana e linear, ou seja, é feita por meio 
de linhas em um espaço bidimensional. Os aspectos do objeto aparecem, 
no plano, a partir do contorno aparente, representado pelas arestas. Esse 
contorno é percebido quando os raios de visão tangenciam a superfície do 
objeto. A interseção das retas projetantes, que cruzam o objeto, com o plano 
de projeção, determina as vistas ortográfi cas desse elemento tridimensional. 
Assim, uma aresta projetada no plano pode representar uma aresta do objeto, 
uma geratriz da superfície curva, uma reta inclinada ou o acúmulo de outras 
linhas, conforme mostra a Figura 5.
Figura 5. A projeção de uma geratriz, de uma aresta em verdadeira grandeza e de um 
plano inclinado acumulado (aresta reduzida).
Quando existe uma linha a ser projetada no plano, porém não visível, a 
representamos com uma linha tracejada. Elas são representadas porque 
existem — e devemos representar todos os elementos do objeto —, mas 
não estão visíveis nessa projeção. Porém, quando as linhas invisíveis são 
sobrepostas pelas visíveis, elas não são representadas. Por essa mesma 
convenção, não é necessária a representação de duas vistas opostas de 
um mesmo contorno, conforme lecionam Bornancini, Petzold e Orlandi 
Júnior (1987).
Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos8
Seguindo as normas de desenho técnico, a linha tracejada deve ser composta por 
segmentos de mesmo tamanho, cujo espaçamento entre eles é menor que a metade 
do seu comprimento. Outro detalhe a ser observado é que a linha tracejada não deve 
encostar em outra aresta que esteja no mesmo alinhamento. Assim, existe um espaço 
entre elas, conforme mostra a imagem abaixo.
Outra norma de representação é que nunca devemos escrever o nome 
da vista que estamos representando, já que existe uma convenção que de-
fine a projeção em função do seu posicionamento. Assim, em um objeto, 
a vista anterior corresponde à face do objeto com a maior medida no eixo 
horizontal; seguindo a convenção, à direita dessa vista estará a vista lateral 
esquerda e, abaixo dela, a vista superior. Sempre que possível, essas serão 
as vistas representadas. Caso haja algum detalhe maior, que será mostrado 
com melhor qualidade em outra vista, podemos alterar essas projeções, 
conforme leciona Boni (2017).
Acesse o link a seguir para saber mais sobre as vistas auxiliares, utilizadas quando as 
seis vistas não são suficientes para representar as peculiaridades do objeto.
https://goo.gl/NLj6V3
9Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos
Aplicação das vistas ortográficas
O uso das vistas ortográfi cas nas profi ssões de arquiteto e designer é de suma 
importância, já que elas representam o espaço ou o objeto com maior nível de 
detalhamento. A partir delas, torna-se possível planifi car os elementos tridi-
mensionais, conforme explicam Bornancini, Petzold e Orlandi Júnior (1987).
Na arquitetura, a partir de um espaço tridimensional, é possível gerar a 
planta baixa do espaço (vista superior) e as vistas laterais (quando externas, são 
chamadas de fachadas). Também existem as seções ou cortes, que são vistas 
especiais que atravessam o interior do objeto. Esse recurso está relacionado 
à materialidade da construção e é empregado na área da construção civil no 
detalhamento de peças hidráulicas, em detalhes de maquinário, nas formas 
de lajes, entre outros.
Na área do design, as vistas são fundamentais para a elaboração do projeto 
de qualquer objeto produzido industrialmente, para a execução correta dos 
produtos. Essas vistas ortográficas podem ser cotadas, no caso de produtos à 
venda, por exemplo, para que o comprador entenda o produto.
Não importa se as vistas estão dispostas sobre uma folha de papel, desenha-
das à mão, ou na tela do computador em um aplicativo tipo CAD (Computer 
Aided Design); a questão é que, por mais realista que seja uma representação em 
perspectiva, as vistas ortográficas são insuperáveis em termos de praticidade 
e quantidade de informações.
Geralmente os estudantes não conseguem ver as questões teóricas sendo 
aplicadas na prática. Muitos se perguntam: “Para que vou usar isso na minha 
vida?”. Assim, um exemplo de representação de vistas bastante usual são os 
desenhos infantis. As crianças planificam os objetos, já que não conhecem as 
características da construção tridimensional. Seguindo essa ideia, os desenhos 
animados mais antigos, até o fim dos anos 1990, trabalhavam apenas com 
as imagens planificadas, conforme explicam Bornancini, Petzold e Orlandi 
Júnior (1987). Outro exemplo da aplicação das vistas ortográficas na prática 
é a especificação de peças das áreas da engenharia. No caso de um encaixe 
de canos de PVC, por exemplo, uma luva é a peça que serve de união entre 
eles — assim, precisa ter uma seção de entrada maior do que a seção de saída. 
Isso fica difícil de representar na perspectiva; por isso, usamos as vistas e os 
cortes, que apresentam essas áreas de forma mais definida, conforme mostra 
a Figura 6.
Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos10
Figura 6. Imagem de uma luva redutora em perspectiva, vista lateral e seção. Observe que 
todas as representações do objeto se fazem necessárias para a compreensão do objeto.
Fonte: Adaptado de Luva... ([2018]).
Na arquitetura, o espaço tridimensional é representado por meio das plani-
ficações em planta baixa (vista superior), além das fachadas (vistas externas) 
e cortes (seções ou vistas internas). Não existe projeto arquitetônico sem a 
utilização desses recursos — são eles os responsáveis pelo projeto sair do 
papel e se tornar real. Além disso, a vista ortográfica consiste na representação 
exata do espaço, mesmo que, para os leigos, seja mais difícil de compreender.
Uso de software
Atualmente, a maior parte dagrafi cação nas áreas de construção civil e de-
sign ocorre pelo meio digital. Assim, a utilização de software de modelagem 
tridimensional facilita o processo de criação do objeto. Diferentemente do 
papel, alguns desses programas já desenvolvem as vistas ortográfi cas a partir 
do objeto tridimensional, ou vice-versa.
O software da Trimble, SketchUp, permite que o profissional desenvolva 
um espaço ou produto e, sem novos desenhos, consiga a projeção das vistas 
ortográficas. Por possuir um leiaute interativo e de fácil entendimento, é um 
dos softwares mais utilizados no mundo. Depois do objeto modelado, todas 
as vistas ortográficas ficam sob uma aba específica (Figura 7). Dessa forma, 
se desejado, elas podem ser exportadas como imagens ou como linhas para 
edição no AutoCAD, por exemplo. Isso permite que o trabalho ganhe anda-
mento e maior rigor técnico.
11Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos
Figura 7. Interface do software SketchUp com a modelagem de um sólido e as vistas 
ortográficas retiradas do desenho a partir da ferramenta do software. A disposição das 
vistas segue a épura do 1º diedro.
Existem inúmeros softwares de modelagem, como o Rhinoceros, que 
dispõe de telas de visualização do processo em perspectiva, vista superior, 
lateral e frontal (Figura 8). Dependendo do modelo a ser desenhado, é possível 
escolher e expandir as vistas que mais convêm. Esse é um software voltado 
para o design, em que a modelagem paramétrica permite maiores edições em 
superfícies.
Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos12
Figura 8. Leiaute do software Rhinoceros, com as quatro janelas de visualização do modelo: 
perspectiva e outras três vistas ortográficas, conforme for pertinente na modelagem.
Existem diversos outros software de modelagem que permitem um desenho 
mais técnico, como o AutoCAD, o 3dMAX e o Revit, por exemplo. O primeiro 
permite um desenho técnico, mas sem que as vistas derivem diretamente do 
modelo. O segundo possui um sistema de modelagem mais complexo, mas 
com um resultado satisfatório, principalmente se conter superfícies mais 
complexas, como curvas. O terceiro trabalha com o desenvolvimento plano e 
tridimensional simultaneamente, de forma que é possível agregar informações 
descritivas ao modelo e elas gerarem o modelo tridimensional, como pé-direito, 
vão de esquadria, materialidade, entre outros.
Enfim, em profissões que trabalham com a tridimensionalidade, é impor-
tante entender como o objeto ou o espaço são planificados e se comportam 
quando representados apenas por pontos e linhas. A partir de planos de pro-
jeção que se intersectam perpendicularmente, Gaspar Monge criou o plano de 
perfil, que permitiu o desenvolvimento das seis principais vistas ortográficas 
e, dessa maneira, possibilitou representar com rigor os objetos tridimensionais 
planificados.
13Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos
ASENSI, F. I. Ejercícios de geometría descriptiva. Madrid: Editorial Dossat, 1990. 505 p.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 1026: Cotagem em desenho 
técnico. Rio de Janeiro, 1988. Disponível em: <http://www.abntcatalogo.com.br/norma.
aspx?ID=4578>. Acesso em: 17 set. 2018.
BONI, F. Desenho técnico 1A. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 2017.
BORNANCINI, J. C.; PETZOLD, N.; ORLANDI JÚNIOR, H. Desenho técnico básico: funda-
mentos teóricos e exercícios a mão livre. 4. ed. Porto Alegre: Sulina, 1987.
CURTIS, M C. G.; ROLDO, L. Desenho técnico à mão livre: um instrumento didático. 
Educação Gráfica, v. 19, n. 3, p. 55-66, 2015.
LUVA soldável 25mm marrom. Casa&contrução, São Paulo, [2018]. Disponível em: 
<https://www.cec.com.br/material-hidraulico/tubos-e-conexoes/luvas/luva-solda-
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SPECK, J. H.; PEIXOTO, V. V. Manual básico de desenho técnico. Florianópolis: Editora da 
UFSC, 2003. 180 p.
Leitura recomendada
MACHADO, A. Geometria descritiva. 26. ed. São Paulo: Projeto Editores Associados, 
1986. 306 p.
Sistemas de projeção ortogonais: desenho das vistas a partir de sólidos14
Conteúdo:
DESENHO 
GEOMÉTRICO
Tiago Giora
Triângulos: elementos, 
construções, pontos 
notáveis e triângulos órticos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Descrever os elementos e as características dos triângulos.
  Construir triângulos utilizando instrumentos de desenho.
  Reconhecer os pontos notáveis e triângulos órticos em triângulos.
Introdução
Os triângulos são formas geométricas estáveis e rígidas que apresentam 
três vértices e uma base. São figuras de grande importância histórica 
nos campos da matemática, astronomia, arquitetura e arte, estudadas e 
utilizadas por civilizações antigas, como a egípcia, a babilônica e a grega. 
O triângulo é o menor entre os polígonos e admite uma circunferência 
inscrita e circunscrita em seu perímetro.
Neste capítulo, você vai estudar as classificações de triângulos de 
acordo com seus lados e ângulos, as operações gráficas executadas a 
partir da forma do triângulo e os elementos e pontos notáveis como 
incentro, circuncentro, baricentro e ortocentro, além dos instrumentos 
utilizados para desenhá-los.
Elementos e características dos triângulos
Dentre os polígonos, os triângulos se destacam e são de fundamental importância 
para o desenho geométrico por apresentarem uma série de propriedades especí-
fi cas. O triângulo é o polígono que apresenta o menor número de lados e resulta 
da interligação de três segmentos de reta consecutivos e não colineares. Para que 
três segmentos de reta, AB, BC e AC, formem um triângulo, é necessário que:
AB + BC > AC
AB − BC < AC
A forma e o tamanho de um triângulo ficam determinados quando se 
conhecem os tamanhos de pelo menos três dos seus elementos — lados, ân-
gulos, medianas, alturas, razão entre dois lados, etc. —, sendo que um desses 
elementos conhecidos deve ser um comprimento, conforme lecionam Albrecht 
e Oliveira (2013). A Figura 1 apresenta os elementos notáveis dos triângulos.
Figura 1. Elementos notáveis do triângulo. 
Fonte: Adaptada de triangulo-divisoes.png ([2018]).
  Altura: medida da reta imaginária que faz ângulo de 90° com a base e vai até o 
seu vértice oposto.
  Bissetriz: reta que divide o ângulo pela metade.
  Mediana: segmento de reta imaginário que conecta o vértice ao ponto médio 
do lado oposto a ele.
  Mediatriz: reta que passa pelo ponto médio de um segmento fazendo ângulo 
de 90° com este.
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos2
Quando combinamos as informações de medidas de lados e ângulos de 
um triângulo, obtemos uma figura estável e rígida. Não é possível construir 
dois triângulos diferentes a partir das mesmas medidas; trata-se de uma fi-
gura plana indeformável. Por isso utilizamos o termo “triangular” para fazer 
referência ao processo de obtenção ou de conferência de medidas por meio 
do desenho de triângulos.
Um exemplo de triangulação de medidas pode ser observado quando se 
faz o levantamento métrico de um espaço construído: depois de medir duas 
paredes ou a distância entre dois pilares, verifica-se o ângulo e a precisão 
dessas medidas por meio do traçado de uma diagonal, que também é medida 
fechando-se um triângulo, conforme mostra a Figura 2.
Figura 2. Levantamento métrico e triangulação de medidas.
Fonte: Imagem... [2018]).
A Figura 2 mostra um esboço de planta baixa em que algumas paredes 
da edificação não são ortogonais. Assim, para garantir a correção das me-
3Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos
didas de paredes e os seus ângulos de inclinação, a pessoa responsável pelo 
levantamento tirou as medidas das paredes e, além disso, mediu as diagonais, 
desenhando triângulos imaginários nessa planta. Combinando essas medidas 
e sabendo que, para cada três medidas de lados, apenas um triângulo pode 
ser desenhado, garante-seque as paredes levantadas terão os seus ângulos e 
medidas em correspondência com a realidade.
Os triângulos podem ser classificados quanto aos seus lados ou ângulos, 
conforme mostra a Figura 3.
Figura 3. Tipos de triângulo.
Fonte: Adaptada de udaix/Shutterstock.com.
Portanto, quanto aos lados:
  Equilátero — possui lados iguais.
  Isósceles — possui dois lados iguais.
  Escaleno — possui lados desiguais.
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos4
E quanto aos ângulos:
  Retângulo — possui dois ângulos agudos e um ângulo reto.
  Acutângulo — possui três ângulos agudos.
  Obtusângulo — possui um ângulo maior do que 90º.
Mesmo sabendo que o triângulo é uma figura fechada, devemos sempre lembrar que, 
na sua definição, ele não se configura como uma área de superfícies — pelo contrário, 
os seus elementos constitutivos são três segmentos de reta e três pontos. Ou seja, um 
triângulo é diferente de um plano triangular.
A noção intuitiva de plano apoia-se na ideia de superfícies como um quadro ou uma 
parede. O plano é uma figura ideal e deve-se entendê-lo como formado por infinitos 
pontos — ou seja; ele é aberto e infinito. A identificação do plano é dada por letras 
minúsculas do alfabeto grego: α, β, δ, Φ, ψ, etc.
A construção de triângulos utilizando 
instrumentos de desenho
Lápis, régua, esquadros e compasso são os instrumentos básicos para trabalhar 
com desenho geométrico. Para a construção de triângulos, normalmente 
iniciamos com o desenho do segmento de reta que defi ne sua base e, então, 
defi nimos os outros dois lados a partir dos ângulos formados com esta, ou 
triangulamos suas medidas com o uso do compasso.
Abaixo podemos analisar três exemplos que ilustram maneiras diferentes 
de desenhar um triângulo equilátero e nos mostram como a prática do desenho 
geométrico permite que o desenhista encontre soluções variadas para um 
problema, desde que conheça a lógica geral da geometria plana.
1. Construir um triângulo equilátero de lado ⎯ AB = 3 cm usando somente 
a régua e o par de esquadros.
 ■ 1º passo: Traçar o lado – AB = 3cm.
 ■ 2º passo: Posicionar os esquadros de forma a obter, a partir de A 
e B, ângulos de 60º, cruzando-os e obtendo-se o ponto C (vértice 
oposto à base AB).
5Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos
2. Construir um triângulo equilátero de lado ⎯ AB = 3cm utilizando régua 
e compasso (Figura 4).
 ■ 1º passo: Traçar o lado ⎯ AB = 3cm.
 ■ 2º passo: Abrir o compasso com a distância ⎯ AB e colocar a sua 
ponta seca em A, traçando um arco a partir de B. Com a ponta seca 
em B e a mesma abertura, traçar um arco a partir de A, encontrando, 
assim, o ponto C; assim é possível ligar os pontos e definir o triângulo 
desejado.
Figura 4. Desenho com instrumentos. 
Fonte: Adaptada de 4.jpg ([2018]).
3. Construir um triângulo equilátero inscrito, sendo dada a circunferência 
de raio = 1,25 cm (Figura 5). 
 ■ 1º passo: Traçar a circunferência e o seu diâmetro.
 ■ 2º passo: Com a ponta seca do compasso em uma das extremidades 
do diâmetro e abertura igual ao raio, traçar um arco cruzando a cir-
cunferência duas vezes, definindo-se, assim, os dois pontos (vértices) 
que geram o triângulo.
 ■ 3º passo: Por fim, ligam-se os pontos e define-se o triângulo.
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos6
Figura 5. Desenho com instrumentos, a partir de uma circunferência.
Fonte: Adaptada de Bola (2012).
Aplicação no design
No design de interiores, o uso de triângulos é normalmente associado com 
a criação de superfícies — pisos, ladrilhos ou estampas. Por formar ângulos 
mais agudos do que as outras formas planas perfeitas, o triângulo é menos 
utilizado na defi nição de áreas e compartimentações. A prevalência do ângulo 
reto, que, via de regra, defi ne espaços retangulares, tem conexão com as 
formas do corpo humano. Portanto, no design de mobiliário, os triângulos 
podem aparecer como fi gura defi nidora de posições do corpo, mas raramente 
são construídos como partes do mobiliário que interagem diretamente com 
as noções de conforto e ergonomia.
Na Figura 6, podemos observar um exemplo de como a definição de triân-
gulos pode auxiliar o designer nos projetos de leiaute de interiores.
7Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos
Figura 6. Aplicação de triângulos no leiaute de interiores. 
Fonte: Adaptada de 2011-06-09_112308.png ([2011]).
O caráter simbólico dos triângulos
Paralelamente às questões do desenho e da geometria como conhecimentos ligados 
à matemática, podemos olhar para as muitas e profundas significações simbólicas 
atribuídas ao triângulo ao longo da história de diferentes culturas.
No cristianismo, o triângulo equilátero é vinculado à Santa Trindade e serviu como 
elemento de composição pictórica para artistas, sobretudo na Idade Média e no Renas-
cimento, que tinham como intenção vincular a percepção das imagens representadas 
na arte com as relações hierárquicas estabelecidas no evangelho. Em culturas menos 
figurativas, como na Mesopotâmia e no Egito, o triângulo equilátero é muitas vezes 
interpretado como seta, com o seu vértice apontando para o Sol, fazendo referência à 
divindade atribuída a ele e à conexão entre a Terra e o plano superior. Além disso, por 
ser a figura geométrica fechada com menor número de lados, o triângulo configura 
uma ponta mais aguda do que em outras figuras — quanto maior o número de lados 
de uma figura plana regular, mais obtuso o ângulo formado por esses lados, tendendo à 
circunferência. Portanto, o triângulo tem sido usado como símbolo fálico, em oposição 
ao feminino e à maternidade, representados pelo círculo (NUNES E FAINGUELERNT, 2015).
Fonte: image.jpg ([2018].
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos8
Pontos notáveis e triângulos órticos 
em triângulos
Além de seus vértices e lados, os triângulos carregam consigo outros pontos, 
formas inscritas, circunscritas e interseções, que têm sido estudados desde 
as origens da geometria. Esses pontos e relações notáveis são descritos aqui 
com o intuito de aprofundar a análise da forma dos triângulos e investigar suas 
interações com outras aplicações do desenho geométrico. Para entender e ser 
capaz de aplicar o conhecimento dos pontos notáveis do triângulo, deve-se 
ter em mente as operações de traçado de bissetrizes, mediatrizes, medianas 
e alturas, conceitos descritos anteriormente neste capítulo.
  Incentro do triângulo — é o centro da circunferência inscrita no tri-
ângulo. Esse ponto é a intersecção das bissetrizes dos ângulos internos 
do triângulo (Figura 7).
Figura 7. Incentro do triângulo.
Fonte: 1200px-Inradius.svg.png ([2018]).
  Circuncentro do triângulo — é o centro da circunferência circunscrita 
no triângulo. Esse ponto é a intersecção das mediatrizes dos lados do 
triângulo (Figura 8).
9Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos
Figura 8. Circuncentro do triângulo. 
Fonte: Circuncentro_en_triángulo_acutángulo.png ([2018]).
  Baricentro ou centro de gravidade do triângulo — é a intersecção 
das medianas do triângulo (Figura 9).
Figura 9. Baricentro do triângulo. 
Fonte: Adaptada de bari.jpg ([2018]).
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos10
  Ortocentro do triângulo — é a intersecção das alturas do triângulo 
(Figura 10).
Figura 10. Ortocentro. 
Fonte: 279px-Altitudes_and_orthic_triangle_SVG.svg.png ([2018]).
Ao unirmos os pés dessas alturas, obtemos um novo triângulo, denominado 
triângulo órtico, justamente por ser obtido a partir da construção do ortocentro. 
Assim, chama-se órtico um triângulo ABC qualquer cujos vértices são os pés 
das alturas do triângulo ABC.
O ortocentro existe em qualquer triângulo, seja ele acutângulo, obtu-
sângulo ou retângulo. No entanto, o triângulo órtico só existe no triângulo 
acutângulo e no triângulo obtusângulo, pois no triângulo retângulo os pés 
dastrês alturas coincidem em um mesmo ponto, que é o vértice do triângulo 
que contém o ângulo reto. Todo triângulo não retângulo possui um único 
triângulo órtico. Porém, um mesmo triângulo órtico pode ser obtido de 
quatro triângulos diferentes: um acutângulo e três obtusângulos, conforme 
mostra a Figura 11.
11Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos
Figura 11. Triângulos órticos iguais obtidos de quatro triângulos diferentes. 
Fonte: Figura3_triangulos_orticos.png ([2018]).
A figura acima mostra os quatro triângulos que possuem o mesmo triângulo 
órtico. Note que o triângulo acutângulo ABC contém os outros três triângulos 
obtusângulos; por esse motivo, o triângulo acutângulo é denominado triângulo 
fundamental do triângulo órtico. As alturas de um triângulo acutângulo são 
as bissetrizes dos ângulos internos do triângulo órtico, conforme leciona 
Kilhian (2015). 
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos12
1200PX-INRADIUS.SVG.PNG. [2018]. Largura: 587 pixels. Altura: 296 pixels. Formato: 
PNG. Disponível em: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/
Inradius.svg/1200px-Inradius.svg.png>. Acesso em: 14 set. 2018.
2011-06-09_112308.PNG. Minha Casa Minha Cara, [2011]. Largura: 587 pixels. Altura: 
198 pixels. Formato PNG. Disponível em: <http://www.minhacasaminhacara.com.
br/wp-content/uploads/2011/06/2011-06-09_112308.png>. Acesso em: 14 set. 2018.
279PX-ALTITUDES_AND_ORTHIC_TRIANGLE_SVG.SVG.PNG. [2018]. Formato: PNG. 
Disponível em: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/
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4.JPG. Universidade Estadual de Londrina, [2018]. Largura: 260 pixels. Altura: 247 pixels. 
Formato GIF. Disponível em: <http://www.uel.br/cce/mat/geometrica/php/img/gif/
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ALBRECHT, C. F.; OLIVEIRA, L. B. Desenho geométrico [recurso eletrônico]. Viçosa: Editora da 
UFV, 2013. Disponível em: <https://www2.cead.ufv.br/serieconhecimento/wp-content/
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BOLA de natal com cartolina. Conteúdos Didáticos EVT, 15 nov. 2012. Disponível em: 
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IMAGEM de levantamento métrico. Fórum da Casa, [2018]. Largura: 587 pixels. Altura: 
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13Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos
KILHIAN, K. Triângulos órticos. O Barcicentro da Mente, 24 jun. 2015. Disponível em: 
<https://www.obaricentrodamente.com/2015/06/triangulos-orticos.html>. Acesso 
em: 14 set. 2018.
NUNES, K. R. A.; FAINGUELERNT, E. K. Fazendo arte com a matemática. 2. ed. Porto 
Alegre: Penso, 2015.
TRIANGULO-DIVISOES.PNG. Matematica.pt, [2018]. Largura: 269 pixels. Altura: 236 pi-
xels. Formato PNG. Disponível em: <https://www.matematica.pt/images/resumos/
triangulo-divisoes.png>. Acesso em: 14 set. 2018.
Leituras recomendadas
CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. Rio de Janeiro: Imperial Novo Milênio, 2005.
CARVALHO, B. Desenho geométrico. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1959.
JANUÁRIO, A. J. Desenho geométrico. Florianópolis: UFSC, 2000.
JORGE, S. Desenho geométrico: ideias e imagens. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 1998.
NEVES, J. M. C. Desenho geométrico plano. São Paulo: Nacional, 1943.
PUTNOKI, J. C. Desenho geométrico. Porto Alegre: Scipione, 1991.
RIVEIRA, F. Traçados em desenho geométrico. Rio Grande: FURG, 1986.
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos14
Conteúdo:
DESENHO 
GEOMÉTRICO
Mariana Comerlato Jardim
Sólidos em três dimensões
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir sólidos em três dimensões.
  Esquematizar sólidos em três dimensões.
  Ilustrar aplicações de sólidos em três dimensões em design de interiores.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar a geometria, a parte da matemática que 
estuda as figuras planas e espaciais, focando nos objetos tridimensionais, 
nas características desses sólidos e nas suas aplicações práticas, princi-
palmente nas áreas de arquitetura e design de interiores.
Matemática e a visualização 
tridimensional do espaço
Quando pensamos em sólidos em três dimensões, evocamos a matemática e, 
mais especifi camente, a geometria. Essa ciência busca estudar as formas de 
fi guras planas ou espaciais, bem como a posição relativa dessas fi guras no 
espaço e as suas demais propriedades. Conforme Rezende e Queiroz (2000), 
“geometria” é uma palavra de origem grega que vem da união de geo, que 
signifi ca terra, e métron, que signifi ca medir; assim, geometria, literalmente, 
signifi ca “medir a terra”, o que refl ete o seu objetivo primordial de estudar e 
medir as formas da natureza.
Ao longo dos séculos, o estudo da geometria passou por evoluções e con-
quistas cujo entendimento é essencial para compreendermos a geometria 
moderna. Vejamos a seguir alguns fatos e figuras históricas importantes 
relacionadas a essa ciência:
  Arquimedes foi responsável pela descoberta do cálculo do volume de 
superfícies de revolução.
  Descartes desenvolveu o sistema de coordenadas, que serve para lo-
calizar um ponto no espaço, tendo como base a determinação dos 
quadrantes (Figura 1). Utilizam-se os eixos x e y para a determinação 
das coordenadas de cada ponto: o eixo x contém as abcissas, e o y, as 
ordenadas. A indicação da posição do ponto é dada pelo par (x,y), e o 
ponto em que os dois eixos se encontram é dado pela coordenada (0,0). 
Esse geômetra também foi responsável por unir a geometria com a 
álgebra, dando origem à geometria analítica.
Figura 1. O plano cartesiano, com seus eixos (x e y) e a 
divisão dos quadrantes.
  Tales de Mileto foi o primeiro a usar o raciocínio lógico dedutivo 
aplicado à geometria. A ele são atribuídas as descobertas de que 
os ângulos da base dos triângulos isósceles são iguais e de que todo 
diâmetro divide um círculo em duas partes iguais, além do teorema de 
Tales da intersecção. Quando duas retas são transversais a um conjunto 
de três ou mais retas paralelas, a razão entre os comprimentos de dois 
segmentos quaisquer determinados sobre uma delas é igual à razão 
entre os comprimentos dos segmentos correspondentes determinados 
sobre a outra. (Figura 2).
Sólidos em três dimensões2
Figura 2. Segundo o teorema de Tales de Mileto, AB/A’B’ = AC/A’C’ = BC/B’C’.
  Mileto também constatou que ângulos adjacentes são suplementares, 
somando 180º, e ângulos opostos pelo vértice são congruentes, isto é, 
são iguais.
Ângulo é a medida da abertura formada por duas semirretas que partem da mesma 
origem. Assim, o encontro entre duas retas forma quatro ângulos. Quando observados 
dois a dois, conclui-se queos ângulos podem estar lado a lado, consistindo em ângulos 
adjacentes, ou podem se opor um ao outro, consistindo em ângulos opostos. Os 
ângulos adjacentes somam 180º, sendo suplementares um ao outro. Nessa mesma 
lógica, os ângulos opostos são iguais, ou seja, congruentes.
3Sólidos em três dimensões
  Por fim, foi na geometria euclidiana, proposta por Euclides, que se 
compilou o maior número de informações a respeito das figuras planas 
e tridimensionais, dando origem ao livro chamado Os elementos, no 
qual essas informações foram agrupadas e que serviu de referência 
principal e inquestionável até meados do século XIX, conforme leciona 
Dolce (2013).
Seguindo essas pesquisas no campo dos elementos tridimensionais, en-
tendeu-se que toda figura tem uma dimensão. O substantivo “dimensão” se 
origina do latim dimensĭo, que significa um aspecto ou uma faceta de algo. Em 
matemática, a dimensão de um espaço é o número de parâmetros necessários 
para identificar um ponto desse espaço. Um objeto que possui três dimensões 
é constituído de três grandezas geométricas:
  largura;
  comprimento;
  profundidade. 
Frequentemente abstraímos figuras em três dimensões apenas observando 
a sua representação plana, como na televisão, nos desenhos animados, nos 
desenhos de gibis, entre outros meios de representação bidimensional, conforme 
lecionam Rezende e Queiroz (2000).
Entes geométricos
Os entes geométricos fundamentais são entidades que compõem as fi guras e 
os elementos: a linha, os polígonos e os sólidos geométricos. A distinção entre 
eles está no número de planos que ocupam e, por consequência, na quantidade 
de dimensões que possuem.
O ponto é uma entidade geométrica que não tem altura, comprimento 
ou largura, ou seja, é adimensional, isto é, não tem tamanho. Uma sucessão 
contínua de pontos constrói uma linha, que possui apenas uma dimensão, o 
comprimento. As retas podem se intersectar em qualquer dos seus pontos 
ou com planos. Planos são entendidos como conjuntos infinitos de pontos.
O polígono é uma figura geométrica representada por meio de pontos que 
se situam em um mesmo plano, como o triângulo, o quadrado, o retângulo, o 
trapézio, o hexágono, o pentágono, o paralelogramo, o losango, entre tantos 
outros. O cálculo para o tamanho dessas figuras é a área, e cada figura tem 
uma fórmula estipulada.
Sólidos em três dimensões4
O sólido geométrico é uma figura que tem os pontos em mais de um plano 
de representação, como o cilindro, a esfera, o cone e os prismas. Esses sólidos 
possuem três dimensões — altura, largura e comprimento —, e o volume é 
a denominação do espaço que eles ocupam. São constituídos por vértices, 
que ligam arestas, que constroem faces. Essas faces são, em geral, figuras 
geométricas, excluindo-se raros casos, como a esfera. As faces dos sólidos 
geométricos podem ser entendidas como planos, conforme leciona Dante 
(2011). A Figura 3 traz a representação de determinados entes geométricos.
Figura 3. Os entes geométricos: a reta, o polígono e o sólido geomé-
trico. Nesse exemplo, a reta indica um cateto do triângulo, o polígono 
apresenta três lados e o sólido é um prisma triangular.
Como pode-se observar na Figura 3, toda figura geométrica é composta 
por retas, assim como o sólido é gerado a partir de um polígono. Ou seja, a 
reta possui uma dimensão, o comprimento, enquanto o polígono apresenta 
duas dimensões, a largura e o comprimento. Com essas duas dimensões, 
pode-se calcular a área que a figura ocupa. Já no sólido geométrico, temos 
três dimensões: a largura, o comprimento e a altura. Assim, o espaço que ele 
ocupa é calculado por meio do volume, obtido pela área da base (polígono) 
multiplicada pela altura. A unidade padrão do volume é o metro cúbico (m³) 
e seus derivados (cm³, mm³, etc.).
Sólidos geométricos
Como vimos, os sólidos geométricos são exemplos de elementos que têm três 
dimensões: largura, altura e profundidade. Trata-se de objetos presentes nos 
três planos de projeção, compostos por pontos, linhas e planos, e nos quais o 
5Sólidos em três dimensões
ponto de partida das linhas (retas) são os vértices. Para o cálculo do volume 
que um sólido ocupa, é preciso entender as relações matemáticas das fi guras 
planas e tridimensionais, que veremos abaixo, com base em Dante (2011).
  Cubo: é um prisma em que todas as faces têm forma de quadrado. 
Esse sólido possui oito vértices (ou cantos), 12 arestas e seis faces. Sua 
apresentação mais conhecida é o dado. Assim, a área de qualquer face 
desse sólido é lado × lado, ou lado². Para calcular o volume, multipli-
camos a área da face pela altura, que também é igual a qualquer lado 
do quadrado; ou seja, V = lado³, conforme mostra a Figura 4.
Figura 4. Exemplo de um cubo com lado (l) igual a 2; 
ou seja, todas as arestas do sólido medem 2.
  Paralelepípedo ou bloco retangular: é a designação dada a um prisma 
cujas faces são paralelogramos. Um paralelepípedo tem seis faces, sendo 
que sempre duas são idênticas e paralelas entre si; ou seja, ele possui 
três dimensionamentos de faces distintos. Esse prisma possui 12 arestas 
e oito vértices. Assim, a área da base é calculada pela multiplicação 
das duas medidas distintas do retângulo. Para se obter o volume desse 
paralelepípedo, o cálculo é V = A × h (Figura 5). Os paralelepípedos 
podem ser retos ou oblíquos, dependendo de suas faces laterais serem 
perpendiculares ou não à base. Para o volume do paralelepípedo oblíquo, 
devemos considerar a altura e a distância entre os dois planos da base, 
e não o comprimento da aresta inclinada.
Sólidos em três dimensões6
Figura 5. Exemplo de um paralelepípedo cujas faces são 
paralelogramos iguais a cada dois.
  Prismas: são sólidos geométricos que fazem parte dos estudos de geo-
metria espacial. O prisma é caracterizado por ser um poliedro convexo 
com duas bases — dois polígonos iguais, congruentes e paralelos —, 
além das faces planas laterais (paralelogramos). A altura do prisma é a 
distância entre as duas bases. Os prismas podem ser regulares — aqueles 
sólidos cujas bases são polígonos regulares, resultando, assim, em prismas 
retos —, ou oblíquos — quando as arestas verticais das faces laterais não 
formam um ângulo de 90º com a base. Se for um prisma reto, a altura é 
igual à dimensão da aresta lateral. Caso seja um prisma oblíquo, devemos 
desconsiderar essa informação e calcular a distância entre os planos 
horizontais. De acordo com o formato da base — triangular, quadrado, 
pentágono, hexágono, etc. —, teremos um prisma triangular, quadran-
gular, pentagonal, hexagonal, respectivamente, conforme leciona Safier 
(2013). A Figura 6 mostra os polígonos e os seus prismas correspondentes.
Figura 6. Esquema dos polígonos e os seus prismas correspondentes.
7Sólidos em três dimensões
Os prismas e suas bases geométricas são o foco do vídeo 
disponível no link abaixo: 
https://goo.gl/wuvnuY 
Aqui surgem figuras mais complexas, para as quais o cálculo da área da 
base não se dá somente pela multiplicação dos lados. Por exemplo, para se 
obter a área de um triângulo, o resultado da multiplicação da base pela altura 
deve ser dividido por dois, já que é a metade de um retângulo. No pentágono, 
a área pode ser definida de várias maneiras, sendo mais simples quando trans-
formamos o polígono em cinco triângulos. Assim, a área de cada triângulo 
é a metade da multiplicação do lado pela metade da altura total. O resultado 
é cinco vezes essa área: A = 5 × [(l × h/2)2)]. A mesma lógica dos triângulos 
pode ser utilizada para os polígonos de mais lados, como o hexágono e o 
heptágono, por exemplo.
Para o cálculo do volume dos prismas, devemos obter a área da base 
pela distância entre os dois planos horizontais, que pode ou não corres-
ponder ao tamanho da aresta lateral. No caso dos sólidos oblíquos, a aresta 
inclinada não deve ser considerada como altura, conforme leciona Venturi 
(2003). É importante salientar que o cilindro é também um prisma, mas com 
base circular. Ele éuma das formas geométricas mais comuns na prática 
dos arquitetos, engenheiros e decoradores, e o único objeto curvo regular. 
É uma forma que possui o mesmo diâmetro ao longo de toda a altura. Assim, 
para o cálculo do volume do cilindro, precisamos encontrar a área do círculo 
a partir do raio ou do diâmetro. Assim, A = πr². Para o volume, deve-se 
multiplicar a área pela altura do sólido, que é determinada pela geratriz do 
cilindro (Figura 7).
Sólidos em três dimensões8
Figura 7. Representação de um cilindro, cuja determinante da 
área e do volume é a constante matemática π (pi).
Sólidos de revolução
Os sólidos de revolução são gerados a partir da rotação de uma fi gura plana ao 
redor de um eixo imaginário estipulado. Assim, um cone pode ser construído a 
partir da rotação de um triângulo retângulo em um eixo sobre um dos catetos. 
Seguindo essa lógica, a base do cone seria um círculo de raio igual à base do 
triângulo, e sua altura seria a outra lateral do triângulo, perpendicular à base 
(Figura 8). As geratrizes desse cone são retas correspondentes à hipotenusa, 
a linha inclinada da fi gura geométrica, conforme leciona Venturi (2003).
Figura 8. O cone é um sólido de rotação obtido a partir de um 
triângulo retângulo.
9Sólidos em três dimensões
O tronco de cone segue esse mesmo princípio, porém a figura que sofre 
a rotação no eixo é um trapézio. Existe um polígono circular na base, outro 
semelhante, mas menor, na parte superior, e a aresta inclinada é a geratriz do 
objeto tridimensional.
A esfera é um sólido em que nenhuma das faces é plana ou paralela a um 
plano de projeção. É obtida a partir da rotação de um semicírculo a partir de 
um eixo central. Assim, a partir do ponto central, qualquer ponto na superfície 
da esfera está equidistante. Essa relação tridimensional equivale ao raio na 
circunferência, que é a planificação da esfera. Como a esfera apresenta ca-
racterísticas distintas dos demais sólidos, seu volume não é calculado a partir 
da área da base. Sua fórmula é V = 4/3(πr³), conforme leciona Dolce (2013). 
No vídeo disponível no link abaixo, podemos entender 
melhor como funciona a superfície de uma esfera e sua 
relação volumétrica no espaço:
https://goo.gl/aazr6V 
Aplicação dos sólidos tridimensionais
Quando tratamos de arquitetura e design de interiores, estamos falando de 
lugares, que nada mais são do que espaços tridimensionais. Assim, a melhor 
forma de representar esses espaços é por meio de perspectivas, nas quais os 
elementos são representados em três dimensões. A planifi cação dos espaços, 
por meio da planta baixa e das vistas, representa esses mesmos espaços, só 
que em duas dimensões — o que corresponde aos polígonos ou às fi guras 
geométricas.
É a partir dos objetos tridimensionais básicos que os profissionais projetam 
edificações e mobiliários, das formas mais simples às mais complexas. Todo 
objeto é tridimensional, desde a folha de papel, até o vidro e a película. Por 
menor que seja sua espessura, tudo o que existe no espaço é tridimensional, 
presente nos três planos de projeção e possuindo três medidas: largura, altura 
e profundidade.
Sólidos em três dimensões10
Outra utilização de sólidos e suas propriedades é na área de produtos e 
embalagens. Com conceito estético, é possível desenvolver e otimizar a en-
velopagem de materiais, calculando-se uma capacidade maior com a menor 
utilização de material. Isso é muito vantajoso para as empresas, porque reduz 
o custo do produto e mantém a quantidade fornecida de material.
Uso de software 
Quando pensamos na representação de sólidos, como citado acima, usamos as 
perspectivas. Por muitos anos, as perspectivas eram desenhadas à mão livre 
ou com o uso de ferramentas como esquadro, compasso e réguas. Além de 
demandarem tempo para serem feitas corretamente, qualquer correção levava 
ainda mais tempo. Nesse sentido, o uso do computador como ferramenta de 
desenho facilitou a representação gráfi ca. Os softwares, aplicativos e progra-
mas de desenho tridimensional facilitam o desenvolvimento dessas formas, 
simples ou complexas, e, principalmente, a sua edição. 
Um dos softwares mais utilizados para modelagem tridimensional é o 
SketchUp. O antigo produto da Google, hoje pertencente à Trimble, possui uma 
interface acessível (Figura 9) que permite desde a construção de sólidos simples 
até a modelagem paramétrica, cuja construção exige maior conhecimento. Ele 
é usado para o desenvolvimento de modelos arquitetônicos e protótipos de 
produtos e dispõe de uma ampla biblioteca de produtos já modelados.
Figura 9. Adaptação da interface do software SketchUp, que permite a modelagem rápida 
e precisa dos sólidos.
11Sólidos em três dimensões
O download do software SketchUp, para uso institucional, é gratuito e está disponível 
no link abaixo.
https://goo.gl/VWBsBb
Outro programa bastante utilizado na criação de objetos, principalmente 
voltado à área de atuação do designer, é o Rhinoceros. Seu uso é mais es-
pecializado, já que a construção do objeto é feita de forma paramétrica, ou 
seja, deve-se atribuir valores ao objeto, que podem ser alterados ao longo do 
trabalho (Figura 10). O SketchUp, ao contrário, possui uma modelagem livre, 
em que se altera a forma pura de qualquer forma. Os parâmetros exigem maior 
cuidado inicialmente, mas resultam em uma modelagem mais correta no fi nal. 
O Rhinoceros permite a visualização do modelo em perspectiva e em três 
vistas planifi cadas, ajudando na edição do plano correto.
Figura 10. Adaptação do leiaute do software Rhinoceros, com as quatro janelas de visuali-
zação do modelo, além dos diversos ícones de modelagem e edição. No lado direito estão 
os parâmetros do objeto.
Existem diversos outros softwares de modelagem, como o AutoCAD e 
o 3dMAX, porém de desenho mais complexo e de utilização mais indicada 
para outras áreas. No entanto, todos têm o mesmo propósito: representar 
tridimensionalmente objetos no espaço, com maior proximidade da realidade.
Sólidos em três dimensões12
Os sólidos básicos que geram figuras planas, originados do arranjo de pontos 
e retas, são de extrema importância para as representações de arquitetura e 
design. A edição dessas formas cria um universo de possibilidades na indústria 
da construção e de desenvolvimento de produtos, de proporções muito maiores 
do que Descartes e Tales de Mileto poderiam imaginar. 
DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. São Paulo: Ática, 2011. v. 1.
DOLCE, O. Fundamentos de matemática elementar. 7. ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 10.
REZENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. Geometria euclidiana plana e construções geométricas. 
Campinas: UNICAMP, 2000.
SAFIER, F. Teoria e problemas de pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2003.
VENTURI, J. J. Cônicas e quádricas. Curitiba: Unificado, 2003.
Leituras recomendadas
BAYER, A.; BATISTA, M. L. Matemática: tópicos básicos. Porto Alegre: Editora da ULBRA, 
1998.
BENEZ, L. Sistemas de coordenadas. Inape, Araçatuba, SP, 20 mai. 2010. Disponível em: 
<http://www.inape.org.br/astronomia-astrofisica/sistemas-de-coordenadas>. Acesso 
em: 4 set. 2018.
13Sólidos em três dimensões
Conteúdo:
DESENHO 
GEOMÉTRICO
Mariana Jardim
Concordância de retas, 
arcos e circunferência
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir concordância em desenho geométrico.
  Descrever os passos para concordar retas, arcos e circunferências.
  Usar concordâncias para resolver problemas de desenho geométrico.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar a maneira de dar continuidade a linhas, 
sejam elas retas ou arcos, de forma suave e sem a formação de ângulos. 
Você vai verificar os conceitos de concordância e os seus princípios fun-
damentais, além de aprender a concordar retas, arcos e circunferências 
para resolver questões relacionadas à construção de ovais e arcos.
Conceitos e princípios da concordância
No desenho geométrico, concordância signifi ca unir duas ou maislinhas 
de diferentes espécies de forma que nos pontos de contato haja suavidade ao 
passar de uma linha para outra, sem reversão ou ângulo, conforme lecionam 
Albrecht e Oliveira (2012). A concordância pode ocorrer entre retas, arcos 
e circunferências. É possível destacar alguns elementos de sua composição, 
mostrados também na Figura 1:
  Ponto de concordância — considerado o ponto de transição entre uma 
forma e outra. Dependendo do tipo de concordância, pode haver um ou 
mais pontos de contato e transição entre curvas, retas e circunferências.
  Centro e raio de concordância — elementos do arco que foi traçado 
para concordar com outro raio ou outra reta.
Figura 1. Elementos principais da concordância.
As concordâncias seguem a lógica das aplicações de tangência. Na tan-
gência, reta e circunferência se tocam em apenas um ponto, conhecido como 
ponto de tangência. Na concordância, o ponto de tangência se torna o ponto 
de concordância e o centro perpendicular ao raio. Além disso, o centro da 
circunferência tangente à reta ou à outra circunferência se torna o centro de 
concordância.
Além dos elementos presentes na concordância, existem alguns princípios 
fundamentais para o entendimento e a construção de concordâncias, descritos 
a seguir.
1. A concordância entre uma reta e um arco (ou uma circunferência) ocorre 
quando a reta é tangente ao mesmo. Nesse caso, o ponto de concordância 
é coincidente ao ponto de tangência; pode-se dizer também que o centro 
do arco ou da circunferência e o ponto de concordância estão sobre uma 
reta perpendicular à reta concordante.
2. Dois arcos concordantes possuem centros e ponto de concordância 
colineares, ou seja, estão sobre uma mesma reta. Além disso, no ponto 
de concordância entre dois arcos é possível traçar uma tangente comum, 
conforme leciona Costa (2011). 
3. A concordância entre duas retas ocorre por meio de pelo menos um 
arco entre elas e pelo menos dois pontos de concordância. As retas 
podem ser concorrentes, convergentes ou paralelas entre si, conforme 
afirma Januário (2010).
Ao longo do capítulo, veremos que existe uma maneira precisa de retificar 
a circunferência por meio do desenho geométrico. Com a circunferência 
retificada, é possível medir seu comprimento em linha reta.
Concordância de retas, arcos e circunferência2
Construções de concordâncias
Existem inúmeras situações de concordância entre retas, arcos e circunferências 
que dependem de posições relativas entre os objetos, raios e curvaturas deseja-
das. Nos itens a seguir, será demonstrado como são construídas determinadas 
concordâncias, apresentando-se os passos necessários e os desenhos.
Concordar uma reta conhecida com um arco
Dada uma reta (r), para se concordar um arco em determinado ponto (C) 
dessa reta, é necessário, inicialmente, traçar uma perpendicular (p) nesse 
ponto determinado. Nessa perpendicular, deve-se marcar o segmento de reta 
referente ao raio do arco, encontrando o centro (O) do arco a ser traçado. Por 
fi m, com a ponta seca do compasso no centro do arco e uma abertura com 
a dimensão do raio, resta traçar o arco desejado concordando com a reta, 
conforme leciona Carvalho (2008) e mostra a Figura 2.
Figura 2. Passos para a concordância entre uma reta e um arco.
Concordar uma reta conhecida com um arco que passa 
especificamente por um ponto fora da reta
A situação descrita aqui é uma variação do item anterior, com a particulari-
dade de que o arco deve passar por um ponto específi co, que também é dado 
no problema. Da mesma forma mostrada anteriormente, deve-se iniciar a 
construção da concordância com o traçado de uma perpendicular (p) no ponto 
de concordância (C). Em seguida, é necessário traçar um segmento (CD) 
que une o ponto de concordância ao ponto especifi cado do arco. Traça-se a 
mediatriz (m) desse segmento, que vai cruzar a perpendicular (p) da reta dada. 
3Concordância de retas, arcos e circunferência
O cruzamento entre a mediatriz e a perpendicular é onde se localiza o centro 
(O) do arco a ser traçado, e seu raio é a distância do centro encontrado até o 
ponto de concordância (C). Então, o arco é traçado concordando com a reta, 
colocando-se a ponta seca do compasso em O e a abertura em CO, conforme 
leciona Carvalho (2008) e mostra a Figura 3.
Figura 3. Passos para a concordância entre uma reta e um arco que passa por um ponto 
específico.
A mediatriz é uma reta que divide um segmento de reta ao meio, a partir de seu ponto 
médio. Para traçar uma mediatriz, você vai precisar de compasso e régua. Inicialmente, 
coloque a ponta seca do compasso em uma das extremidades do segmento a ser 
dividido. A abertura do compasso deve ser maior que a metade do segmento. Agora 
é só traçar arcos em cima e embaixo do segmento e repetir a operação na outra 
extremidade.
Atenção! Mantenha sempre a mesma abertura de compasso! Com uma régua ou 
esquadro, trace a mediatriz unindo os cruzamentos dos arcos desenhados. É importante 
perceber que a mediatriz é uma reta perpendicular ao segmento que está sendo 
dividido.
Concordar duas retas convergentes com um círculo
Para concordar duas retas convergentes (a e b), é necessário prolongar essas 
retas até o ponto de cruzamento (V) entre elas. Em seguida, deve-se traçar a 
bissetriz do ângulo formado entre os prolongamentos. Com a ponta seca do 
Concordância de retas, arcos e circunferência4
compasso no vértice do ângulo, traça-se um arco com um raio que alcance os 
trechos das retas a serem concordados, marcando os pontos de concordância (A 
e B). Em um dos pontos de concordância, deve-se desenhar uma perpendicular 
à respectiva reta, que cruzará a bissetriz, resultando, então, no centro do arco 
de concordância (O). Com a ponta seca do compasso em O e a abertura até 
um dos pontos de concordância, traça-se o arco de concordância, conforme 
mostra a Figura 4.
Figura 4. Passos para concordar duas retas convergentes com um círculo.
Caso não seja possível determinar o ponto de encontro entre as retas, 
é necessário construir um ângulo auxiliar interior e com lados paralelos e 
equidistantes às retas que se deseja concordar. Deve-se traçar a bissetriz 
desse ângulo e, em seguida, construir uma perpendicular a uma das retas 
no ponto que se deseja concordar (A). Assim como nos passos anteriores, 
o cruzamento da bissetriz com a perpendicular resulta no centro do arco 
de concordância. O traçado do arco é feito com o compasso no centro (O) 
e a abertura até o ponto de convergência (A), conforme leciona Carvalho 
(2008) e mostra a Figura 5.
5Concordância de retas, arcos e circunferência
Figura 5. Passos alternativos para concordar duas retas conver-
gentes com um círculo.
A bissetriz é uma semirreta que divide um ângulo pela metade no seu vértice, for-
mando dois ângulos congruentes, ou seja, iguais. A bissetriz pode ser traçada com 
o compasso. Inicialmente deve-se colocar a ponta seca do compasso no vértice do 
ângulo e desenhar um arco de raio qualquer que cruze os dois lados do ângulo. Em 
seguida, deve-se encontrar o ponto médio entre os pontos gerados pelo cruzamento 
dos lados do ângulo com o arco traçado. Por último, traça-se a bissetriz, partindo do 
vértice e passando pelo ponto médio encontrado.
Concordar um arco com outro de sentido contrário 
e que passa por um ponto específico
Dado o arco AB de centro O, para concordar outro arco a BP, sendo B o ponto 
de concordância e P um ponto do arco, é necessário, inicialmente, traçar uma 
reta passando pelo centro O e o ponto de concordância. Como princípio da 
concordância, o centro do novo arco a ser concordado deverá estar sobre essa 
reta. A posição exata desse centro é determinada pela mediatriz do segmento 
formado pelo ponto de concordância e o ponto em que o novo arco deve passar, 
conforme mostra a Figura 6.
Concordância de retas, arcos e circunferência6
Figura 6. Passos para concordar dois arcos de sentido contrário.
Concordância e desenho geométrico de ovais 
e arcos
Existem elementos conhecidosna geometria e no desenho geométrico que são 
formados por arcos de circunferência e retas concordantes. Entender o processo 
e os passos de concordância é importante para a compreensão da formação 
e do traçado desses elementos. É o caso das ovais e dos arcos arquitetônicos, 
elementos geométricos formados pelo processo de concordância. Cada qual tem 
suas particularidades e variações conforme suas características geométricas.
As ovais são curvas fechadas compostas por arcos de circunferência con-
cordantes entre si e com dois eixos, um maior e outro menor. Não existe um 
número único de arcos concordantes para a formação de ovais, mas o número 
é sempre par. Sendo assim, conforme a quantidade de arcos, as ovais possuem 
desenhos diferentes, o que diferencia também seus processos de desenho. A 
seguir demonstraremos alguns problemas de desenho geométrico de ovais e 
como resolvê-los. Mas, antes, é importante verificar a classificação das ovais 
conforme a natureza da composição de seus arcos, podendo ser regulares ou 
irregulares.
  Ovais regulares: formadas por arcos simétricos dois a dois, tendo dois 
eixos de simetria. São consideradas falsas elipses.
  Ovais irregulares: possuem apenas um eixo de simetria; também são 
conhecidas como óvulos.
A construção de uma oval deve levar em conta quantos arcos vão compor 
o desenho, sendo necessário determinar os centros desses arcos para poder 
desenhá-los. Nas ovais regulares, é importante que a construção também 
inicie a partir de um de seus eixos. Para construir uma oval com quatro arcos 
e centros partindo do eixo maior, deve-se, inicialmente, dividir o eixo dado 
7Concordância de retas, arcos e circunferência
(AB) em quatro partes iguais, criando os pontos A, B, C, D e E. Com os pontos 
C e E originados dessa divisão e os centros de concordância, o próximo passo 
é construir um triângulo equilátero (CEF), sendo um dos lados o segmento 
CE. O outro vértice do triângulo (F) é um dos centros de concordância. Por 
ser uma oval regular, basta repetir a mesma construção de triângulo do outro 
lado do eixo e encontrar o outro centro de concordância (G). Os arcos dos 
respectivos centros C, E, F e G têm os pontos de concordância nos cruzamentos 
com os prolongamentos dos lados dos triângulos, conforme leciona Carvalho 
(2008) e mostra a Figura 7.
Figura 7. Passos para a construção de uma oval regular com quatro 
centros a partir de seu eixo maior.
Para desenhar uma oval irregular com quatro centros, ou seja, formada por 
quatro arcos concordantes, é necessário traçar, inicialmente, uma circunferên-
cia e dois diâmetros ortogonais (AB e CD). O primeiro arco concordante é a 
semicircunferência que vai de A até B. Depois, deve-se traçar duas retas (a e 
b): uma saindo do ponto A e passando por D, e outra saindo de B e também 
passando por D. Agora, com a ponta seca do compasso em A e abertura AB, 
traça-se o segundo arco concordante, partindo de B até cruzar com a reta 
prolongada (a), criando-se o ponto de concordância E. Repetindo a mesma 
operação com a ponta seca do compasso em B, encontra-se o outro ponto de 
Concordância de retas, arcos e circunferência8
concordância F. Por fim, com o centro em D e abertura DE ou DF, resta traçar 
o último arco concordante para finalizar a oval, conforme mostra a Figura 8.
Figura 8. Passos para a construção de uma oval irregular de quatro centros.
Além das ovais, os arcos são linhas encontradas em elementos arquitetô-
nicos, como abóbodas, pontes e aberturas de portas. Compõem-se de um ou 
mais arcos ou circunferências concordantes apoiadas em segmentos de reta 
paralelos entre si. Existe uma infinidade de formas de arcos, dos mais simples 
aos mais elaborados e complexos, conforme mostra a Figura 9.
Figura 9. Exemplos de arcos arquitetônicos.
Fonte: Rvector/Shutterstock.com.
9Concordância de retas, arcos e circunferência
O arco mais comum é conhecido como arco pleno, ou romano, denomi-
nação que remete ao período histórico de sua criação. Ele se caracteriza pela 
concordância de um arco com dois segmentos de reta paralelos. Sua construção 
inicia pelo traçado de uma perpendicular aos segmentos em suas extremidades, 
criando-se dois pontos de concordância (C1 e C2). Em seguida, é necessário 
construir a mediatriz que divide o segmento desses pontos de concordância, 
criando-se o centro de concordância (O) no ponto médio do segmento. Nesse 
caso, os pontos de concordância e o centro do arco são colineares. Por fim, com 
o compasso no centro de concordância, deve-se desenhar o arco concordante, 
conforme leciona Januário (2010) e mostra a Figura 10.
Figura 10. Passos para a construção de um arco pleno ou romano.
Outro arco amplamente conhecido é chamado de arco ogival, arco comum 
na arquitetura gótica da Alta Idade Média. A sua versão mais simples se ca-
racteriza pela concordância de dois arcos simétricos entre si a dois segmentos 
de reta paralelos. Nesse caso, o centro de concordância de um arco coincide 
com o ponto de concordância do outro arco com o segmento. Pela simetria, a 
mesma situação ocorre em ambos lados, conforme mostra a Figura 11.
Figura 11. Passos para a construção de um arco ogival.
Concordância de retas, arcos e circunferência10
Os arcos e as ovais são formas presentes em muitos projetos de arquite-
tura, engenharia, mecânica e design, seja na construção de uma ponte, nas 
curvas de uma estrada, no desenho de uma engrenagem, em tipografias ou em 
mobiliários. Assim, a concordância entre arcos, retas e circunferências acaba 
por ser um conhecimento fundamental para os projetos, sendo a solução de 
muitos problemas que envolvem o desenho geométrico e diversas situações 
do âmbito profissional.
ALBRECHT, C.; OLIVEIRA, L. Desenho geométrico. Viçosa: UFV, 2012.
CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. 2. ed. Rio de Janeiro: Imperial, 2008.
COSTA, D. M. B. Apostila geometria descritiva. Curitiba: UFPR, 2011.
JANUÁRIO, A. J. Desenho geométrico. 3. ed. Florianópolis: UFSC, 2010.
11Concordância de retas, arcos e circunferência
Conteúdo:
NOME DA
DISCIPLINA
Nome da Prof
Verdadeira grandeza
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir verdadeira grandeza e as suas aplicações.
  Ilustrar as posições e os sistemas envolvidos na utilização de verdadeira 
grandeza.
  Aplicar a verdadeira grandeza no design de interiores.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar a representação das projeções ortogo-
nais do objeto tridimensional nos planos bidimensionais, de forma que 
apresentem a mesma medida que o objeto real. Além disso, você vai 
identificar as principais posições e meios envolvidos na projeção com 
o plano auxiliar (PA), essencial para casos mais complexos em que há a 
necessidade de representação em verdadeira grandeza (VG) da face oblí-
qua. Por fim, você vai conferir as aplicações da VG no design de interiores.
Verdadeira grandeza na geometria descritiva
VG é um termo usado na geometria descritiva quando buscamos representar 
a dimensão real de um ente geométrico. Distâncias, ângulos e áreas apresen-
tarão VG se as entidades — pontos, retas, fi guras — estiverem paralelas a um 
plano de projeção. Para facilitar esse resultado, são utilizados processos como 
rotação e mudança de plano de projeção (ou dupla mudança), que permitem 
determinar as verdadeiras grandezas.
Estão em VG as medidas angulares e lineares reais de uma das arestas ou 
faces de um objeto, como as dimensões — altura, largura e profundidade. 
O uso das verdadeiras grandezas de um objeto está atrelado ao cálculo de 
perímetros e áreas. Sem o conhecimento da real medida dos entes geométricos 
que compõem um objeto, seja ele um parafuso ou um telhado, é impossível 
realizar o cálculo da sua área, por exemplo, com precisão. Assim, é essencial 
que se saiba extrair as verdadeiras grandezas de um objeto representado no 
sistema mongeano, não somente para o cálculo de áreas, mas também para 
o exercício da prática profissional,como na análise de projetos e pareceres 
técnicos, por exemplo, conforme leciona Asensi (1990).
A extração direta das medidas do objeto em VG nem sempre é possível, 
pois depende das características geométricas do objeto. Em algumas situações, 
mesmo que o objeto seja representado nas seis vistas principais, nenhuma delas 
apresenta todas as partes dele em VG. Para resolver situações como essa, é 
permitido o uso de operações gráficas para determinar a VG de superfícies e 
arestas. Na geometria descritiva, utilizam-se operações gráficas como mudança 
de plano, rotação e rebatimento. Embora tratem de aplicações distintas, todas 
elas buscam determinar a VG de objetos geométricos.
A rotação busca mover o objeto por um eixo, a ponto de deixar a face in-
clinada paralela ao plano de projeção. Porém, se várias faces forem inclinadas, 
essa operação deverá ser repetida diversas vezes, o que torna o trabalho mais 
extenso. O rebatimento funciona como um espelhamento: um plano novo precisa 
ser criado a partir do eixo, na intersecção dos planos, para onde o objeto será 
rebatido. Porém, quanto mais aumenta o número de arestas e faces, mais difícil 
é esse sistema. Neste capítulo, vamos nos aprofundar no estudo da mudança 
de plano, com a intenção de determinar a VG de faces e arestas. Essa operação 
é a mais versátil, já que, com ela, resolve-se qualquer caso de obtenção de VG. 
Três posições básicas: paralela, perpendicular e oblíqua
Para compreender o conceito de VG, é necessário conhecer as três posições 
básicas de referência entre os elementos geométricos que compõem um objeto — 
pontos, arestas ou faces — e entre esses elementos e os planos de projeção. 
As três posições básicas que um ente geométrico pode assumir são: paralela, 
perpendicular e oblíqua. Em resumo, arestas e faces podem estar paralelas, 
perpendiculares ou oblíquas entre si ou entre si e os planos de projeção, conforme 
leciona Pinheiro (1971).
Na Figura 1, é possível observar a superfície ABCD como um plano incli-
nado em relação aos demais planos do objeto. Considere a aresta AC e suas 
projeções nas vistas frontal, superior e nas laterais: na vista superior, essa 
aresta é representada por uma reta; na vista anterior, AC está representada por 
um único ponto; finalmente, na vista lateral esquerda, AC aparece novamente 
sendo representada por um segmento de reta. Em uma análise conjunta das 
vistas, percebe-se que a aresta AC está perpendicular ao plano de projeção 
da vista anterior; dessa forma, é representada por um ponto.
Verdadeira grandeza2
Figura 1. Épura contendo objeto com superfície ABCD, na qual o segmento AC se encontra 
acumulado na vista anterior e em VG nas demais vistas. Já o segmento AB aparece em VG 
na vista anterior e acumulado (com redução) nas demais vistas.
Assim, todas as vezes que um ente geométrico está perpendicular a um 
plano de projeção, diz-se que ele está em vista básica (VB) nesse plano. Ou 
seja, a aresta AC está em VB na vista anterior. Já com relação aos outros 
planos de projeção, a aresta AC está paralela a eles, aparecendo com as 
dimensões reais do objeto. Assim, na vista superior e nas laterais, a aresta AC 
está em VG. Com isso, vale ressaltar que o objeto só estará em VG quando 
ele estiver paralelo ao plano em que ele será projetado ortogonalmente.
Seguindo esse mesmo desenho, a aresta AB aparece representada por um 
segmento de reta em todas as vistas. Porém, ela não está na mesma posição 
em todos os planos de projeção: na vista frontal, a aresta AB está em VG, já 
que se encontra paralela ao plano vertical; nas outras três vistas, essa aresta 
aparece com dimensões reduzidas em relação às suas medidas reais. Isso 
ocorre porque o plano e as arestas não se encontram paralelas aos planos de 
projeção. Nessa situação, para que a face inclinada fosse representada em VG, 
precisaríamos criar um PA.
3Verdadeira grandeza
Resumindo:
  objeto paralelo ao plano de projeção = objeto em VG;
  objeto perpendicular ao plano de projeção = objeto em VB;
  objeto oblíquo ao plano de projeção = objeto com dimensões reduzidas.
Sistema mongeano e plano auxiliar
Considerando a Figura 1 — na qual o plano inclinado, apresentado na épura, 
representa o telhado de uma habitação —, caso seja desejado calcular a área 
da superfície a ser coberta por telhas, percebe-se que nem na vista superior 
da casa (projeção no plano horizontal), tampouco na vista frontal (projeção 
no plano vertical), as medidas da superfície da cobertura são as medidas reais. 
Nota-se que, na superfície ABCD, o telhado de meia água (como se denomina 
o telhado constituído por apenas um plano inclinado) aparece nas projeções 
com medidas deformadas. Na vista superior e nas duas laterais, a face aparece 
com suas medidas reduzidas, já na vista frontal, ela aparece em VB. Ou seja, 
comparando-se os resultados das vistas ortográfi cas, nenhuma delas fornece 
as medidas reais da face ABCD. 
Isso ocorre porque o plano em que a superfície do telhado se apoia é oblíquo 
tanto ao plano de projeção horizontal (superior) quanto aos planos verticais 
— principal (anterior) e auxiliares (vistas laterais). Para que o plano ABCD 
estivesse representado em VG, seria necessário que estivesse em posição 
paralela a um dos planos mongeanos. Entretanto, mesmo que o plano em 
questão não apareça em VG em nenhuma das projeções, algumas arestas do 
mesmo estão representadas em VG em algumas das vistas. Essa compreensão 
do que está representado em VG vai auxiliar no método de mudança de plano, 
a fim de encontrar a VG da face ABCD.
A vista frontal da cobertura ABCD está representada em VB, que, como 
vimos, é quando o objeto representado está perpendicular ao plano de projeção. 
Consequentemente, se o objeto for uma reta, sua representação em VB será 
um ponto e, caso seja um plano, sua representação em VB será uma reta, como 
ocorre com o plano ABCD. Observe também que os segmentos AB e CD estão 
paralelos ao plano vertical de projeção (vista frontal); portanto, estão em VG 
nessa vista. Os segmentos AC e BD estão paralelos tanto ao plano horizontal 
(vista superior) como aos planos verticais de projeção (vistas laterais), estando 
em VG nessas vistas. Nesse pensamento, caso fosse possível unir essas partes 
Verdadeira grandeza4
que estão em VG do plano ABCD, chegaríamos ao plano ABCD em VG, 
conforme lecionam Bornancini, Petzgold e Orlandi Júnior (1987). 
Entretanto, mesmo partindo de um raciocínio lógico, é um sistema muito 
difícil de ser aplicado em situações de faces com muitas arestas, ou arestas 
de medidas diferentes, por exemplo. Em casos como esses, existe a operação 
de mudança de plano, pela qual podemos reunir as partes da face da qual 
se quer obter a VG que estão com as suas medidas reais representadas em 
planos mongeanos diferentes. Dessa forma, para conhecer as reais medidas 
desse plano oblíquo, é necessário produzir mais uma projeção.
Porém, uma condição essencial para se trabalhar no sistema mongeano 
é que ele seja operado dentro de diedros. Assim, o primeiro passo de uma 
operação de mudança de plano é criar um diedro, já que nenhum dos diedros 
já conhecidos (que têm projetadas as seis vistas mongeanas) colocam o plano 
em posição necessária para obter a face que se quer a VG. De forma mais clara, 
é preciso criar um diedro em que o novo plano seja perpendicular a um dos 
planos mongeanos conhecidos e, simultaneamente, paralelo à face ABCD. Só 
assim encontraremos as informações dessa face inclinada em VG. A Figura 
2 mostra a criação desse PA.
Figura 2. Criação de um PA perpendicular a um dos seis planos mongeanos e paralelo à 
face e às arestas inclinadas.
5Verdadeira grandeza
No exemplo da Figura 2, o novo diedro é composto pelo plano vertical e 
por um novo plano, chamado de PA. Essa operação de geometria descritiva 
é chamada de mudança de plano, na qual um novo diedro é criado, e esse PA 
é, obrigatoriamente, perpendicular (ortogonalmente) a um dos seis planos 
mongeanos. Com isso, a face inclinadaaparece em VG no PA e em VB na 
vista lateral, como explicam Bornancini, Petzgold e Orlandi Júnior (1987).
Mudança de plano
Resumidamente, na mudança de plano, utilizamos um novo PA, que deve ser 
paralelo à face da qual desejamos encontrar a VG. Sabemos que esse novo plano 
deve criar um diedro com um dos planos mongeanos, inserido em VB em um 
dos seis planos. Assim, portanto, para encontrar a VG de uma aresta ou face, 
a partir da mudança de plano, devemos levar em consideração dois pontos:
  para encontrar a VG, a face ou aresta precisa ser projetada em um PA 
paralelo a ela; 
  o PA sempre será inserido ortogonalmente a um dos seis planos monge-
anos. Essa condição de perpendicularidade ocorre porque é necessário 
criar um diedro.
Com isso, visto que o PA deve estar em VB em um dos seis planos mongea-
nos e, simultaneamente, estar paralelo à face da qual se busca encontrar a VG, 
esse plano ou aresta do qual se deseja obter a VG deve estar em VB em uma 
das vistas. Nessa lógica da mudança de planos, existem três situações possíveis 
de posicionamento entre os entes geométricos e os planos de projeção. Vale 
ressaltar que essa classificação é didática, a fim de facilitar a compreensão do 
assunto, já que absorve todas as possibilidades de posicionamento de uma aresta 
ou face em relação aos planos de projeção, conforme leciona Pinheiro (1971).
No caso 1, apresentado na Figura 3, a face da qual se quer a VG aparece 
em VB em pelo menos uma das seis vistas mongeanas. Assim, é preciso criar 
apenas um PA para resolver esse problema.
Verdadeira grandeza6
Figura 3. Épura do caso 1, em que a face inclinada aparece em 
VB em uma das vistas propostas por Monge.
1
1’
2 2’ 2=2’
1=1’
π2π3
π1π2
1’
2’
1 2
No caso 2, mostrado na Figura 4, a face da qual se quer a VG não está em 
VB em nenhuma das seis vistas mongeanas, mas pelo menos uma de suas 
arestas aparece em VG em pelo menos uma das seis vistas mongeanas. Com 
isso, devemos encontrar um plano em que as arestas ou o plano se encontre em 
VG para, a partir disso, gerar um PA ortogonal a ele. Nesse caso, a metodologia 
de mudança de plano deve ocorrer em duas etapas.
7Verdadeira grandeza
Figura 4. Épura do caso 2, em que as arestas da face inclinada 
aparecem em VG em uma das vistas.
1
1’
2
2’
π2π3
π1π2
1’
2’
1
2
1 2
2’1’
No caso 3, apresentado na Figura 5, a face da qual se quer a VG não está 
em VB em nenhuma das seis vistas mongeanas, e nenhuma de suas arestas 
aparece representada em VG em nenhuma das seis vistas mongeanas. Nessa 
situação, assim como no caso 2, são necessários dois procedimentos para 
extrair a VG da face. Primeiramente, é preciso que a face esteja em VB 
em algum dos seis planos mongeanos; só assim poderemos inserir o PA, 
também em VB, em paralelo à face da qual se quer a VG, conforme leciona 
Pinheiro (1971).
Verdadeira grandeza8
Figura 5. Épura do caso 3, em que nem as arestas, nem a face 
inclinada aparecem em VG em alguma das vistas.
1
1’
2 2’ 2=2’
1=1’
π2π3
π1π2
1’
2’
1 2
Um aspecto relevante sobre as linhas de chamada é o fato de que estas estabelecem 
uma relação de ortogonalidade dentro do diedro. As linhas de chamada transportam 
medidas de um plano a outro dentro do diedro formado por ambos. Portanto, as 
linhas de chamada sempre estão perpendiculares à linha de terra do diedro ao qual 
pertence (BORNANCINI, PETZGOLD E ORLANDI JÚNIOR, 1987).
Outro aspecto que merece atenção é o transporte das medidas para o PA. Há uma 
dúvida recorrente com relação ao transporte de medidas no momento de rebater 
o PA. Existem duas maneiras de visualizar de que lugar devemos extrair as medidas 
para o transporte:
1. Observar os eixos coordenados. Se, por exemplo, o PA foi inserido no plano vertical, 
estamos trabalhando com larguras (x) e alturas (z); portanto, quando rebatermos 
o PA, as medidas que aparecerão serão as profundidades (y).
9Verdadeira grandeza
Escala
Embora digamos que se pode tirar as medidas do objeto no desenho caso 
esteja representado em VG, isso pode não acontecer exatamente assim, já que 
o desenho pode estar em escala. Dessa forma, a projeção pode ser semelhante 
ao objeto, porém com diferente taxa de projeção, o que também chamamos 
de escala. Quando nos é solicitado representar um desenho em proporção 
maior ou menor, devemos encontrar a taxa de redução adequada e multiplicar 
todas as dimensões do objeto de forma igual; ou seja, todas as distâncias serão 
alteradas uniformemente. Se esse valor já estiver estabelecido a um referencial 
(por exemplo, para um móvel, as defi nições sendo laje e paredes), devemos 
aplicar a escala a todas as coordenadas, conforme leciona Pinheiro (1971).
Na prática, escala é a taxa pela qual o objeto teve suas distâncias multipli-
cadas, tendo sua distância real diminuída ou aumentada. Ou seja:
  em uma escala 1:2, cada centímetro do desenho corresponde a 2 cm 
na vida real;
  em uma escala 1:10, cada centímetro do desenho corresponde a 10 cm 
na vida real;
  em uma escala 1:50, cada centímetro do desenho corresponde a 50 cm 
na vida real;
  em uma escala 1:0,1, cada 10 cm do desenho correspondem a 1 cm na 
vida real, e pode ser representada por 10:1.
Por exemplo, se tivermos uma medida de 150 cm e quisermos desenhá-la 
em uma escala de 1:5? Nesse caso, devemos dividir 150 por 5, o que dá 30 cm. 
O caminho inverso é igual: se, no papel, tivermos uma medida de 20 cm e qui-
sermos saber a distância real, sabendo que a escala é 1:5, temos que multiplicar 
20 por 5, o que dá 100 cm. A Figura 6 traz um exemplo de escala em uma planta 
baixa residencial.
2. Observar a relação do diedro. Se fecharmos os diedros do desenho, voltando 
à relação em 3D, podemos, facilmente, observar de onde deveremos extrair as 
medidas que queremos.
É importante lembrar que esse transporte deve ser feito com o compasso e utilizando 
as distâncias de plano a ponto, para evitar erros. Quando se trata de desenho à mão 
livre, essas medidas devem ser transportadas por módulos (BORNANCINI, PETZGOLD 
E ORLANDI JÚNIOR, 1987).
Verdadeira grandeza10
Figura 6. Planta baixa na escala 1:150. Como podemos ver, a cota apresenta a medida 
de 278 cm (vão da porta), o que, no papel, mede 18,5 cm.
É essencial perceber que, sempre que o valor após os dois pontos (:) for 
maior do que o anterior a esse símbolo, trata-se de uma redução do original; 
do contrário, trata-se de uma ampliação, conforme explica Machado (1980).
Verdadeira grandeza na prática 
Conforme apresentado, as vistas ortográfi cas são de suma importância para 
objetos e espaços, os principais meios de trabalho de arquitetos, engenheiros 
e designers. Essas vistas planifi cam os elementos tridimensionais a fi m de 
representá-los com a maior precisão possível. Porém, como vimos, conforme a 
complexidade do objeto, quando apresentam superfícies inclinadas e oblíquas, 
é necessário criar um PA que permita que essas superfícies sejam representadas 
em VG. Essa informação é muito importante quando tratamos do desenho 
técnico, que fornece informações relevantes para os projetos e que exige um 
rigor nas medidas, conforme explica Boni (2017).
Quando representamos um telhado, por exemplo, nas suas vistas, ele está em 
VB na vista anterior, onde sua representação é apenas uma reta inclinada. Nas 
demais vistas, o plano aparece deformado, reduzido em relação ao seu tamanho 
11Verdadeira grandeza
real. Com isso, não é possível determinar a área dessa face, por exemplo. Aí é 
que surge a necessidade de se criar um PA para determinar essa projeção em VG. 
Em estudos volumétricos, de simulação do espaço, a vista superior é também 
chamada de planta baixa. Nela, obtemos todas as informações do objeto, assim 
como medidas, espessuras e afastamentos. Essa vista é essencial na arquitetura 
e no design de interiores e deve ser representada em VG para possibilitar a 
correspondência de medidas. Outro fator que aplicamos nas vistas ortográficas 
e que trazemos para a vida profissional são os conceitosde alinhamentos: eles 
permitem a construção das vistas seguindo essas linhas de construção, além 
de permitir que, caso se deseje ampliar ou reduzir o tamanho das vistas, esse 
princípio permaneça existindo.
No software SketchUp, existe uma ferramenta que permite uma seção do 
objeto em qualquer plano; assim, é possível criar uma vista paralela à face 
inclinada e visualizá-la em VG. Porém, para considerá-la uma vista auxiliar, 
deve-se seguir as orientações citadas anteriormente no capítulo, como a per-
pendicularidade com um dos planos de projeção mongeanos.
Um exemplo da relevância da VG para os desenhos de arquitetura é o 
projeto do Museu Iberê Camargo, em Porto Alegre, que foi desenvolvido 
com passarelas suspensas compostas de planos inclinados, conforme mostra 
a Figura 7. Nas vistas dessa edificação, esses planos não são representados em 
VG nas vistas principais — frontal e laterais. Na vista superior, eles aparecem 
acumulados em uma linha, em VB.
Figura 7. No sentido horário, da esquerda para a direita: foto do museu, plantas baixas 
com os planos inclinados em VG, vistas ortográficas com os planos inclinados reduzidos.
Fonte: Vieira (2008).
Verdadeira grandeza12
Outro exemplo de aplicação da VG são as peças de design, como a cadeira 
ZIGZAG, mostrada na Figura 8. Como vamos executá-la se existem diversos 
planos inclinados? Nas vistas ortográficas mongeanas, esses planos estão 
acumulados, reduzidos, e não representam o seu tamanho original. Assim, 
precisamos inserir informações nessas vistas, como ângulos e cotas, permitindo 
uma leitura mais correta do desenho, além das vistas auxiliares.
Figura 8. Cadeira ZIGZAG e suas vistas ortográficas.
Fonte: Cadeira ([2018]).
Que as vistas ortográficas são importantes para a atividade profissional, 
isso é inegável. Mas, levando-se em consideração que trabalhamos com pro-
dutos reais e que essa representação deve ser correta a ponto de executá-los, é 
preciso reconhecer também a importância da representação de arestas e faces 
em VG. Sem isso, o desenho pode gerar equívocos de interpretação, como 
se aqueles entes geométricos fossem menores que a realidade (acumulados). 
Dessa forma, a leitura das vistas ortográficas, desde o entendimento do 
posicionamento nos diedros, passando pela escolha das vistas que melhor 
representam o objeto, até o reconhecimento das arestas em VG para criar o 
PA, é mais complexa e necessária do que os profissionais imaginam.
13Verdadeira grandeza
ASENSI, F. I. Ejercicios de geometría descriptiva. Madrid: Editorial Dossat, 1990. 505 p.
BONI, F. Desenho técnico 1A. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 2017.
BORNANCINI, J. C.; PETZOLD, N.; ORLANDI JÚNIOR, H. Desenho técnico básico: funda-
mentos teóricos e exercícios a mão livre. 4. ed. Porto Alegre: Sulina, 1987.
CADEIRA Zig Zag. Artesian, Campo Largo, [2018]. Disponível em: <http://www.artesian.
com.br/cadeira-zig-zag/p>. Acesso em: 24 set. 2018.
MACHADO, A. Desenho aplicado à engenharia e arquitetura. São Paulo: Editora do Autor 
1980.
PINHEIRO, V. A. Noções de geometria descritiva. 2. ed. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 
1971. v. 3.
VIEIRA, A. S. Sede Fundação Iberê Camargo. Vitruvius, 8 set. 2008. Disponível em: <http://
www.vitruvius.com.br/revistas/read/projetos/08.093/2924>. Acesso em: 27 set. 2018.
Leituras recomendadas
ASENSI, F. I. Geometria descriptiva. Madrid: Editorial Dossat, 1982.
MACHADO, A. Geometria descritiva. 26. ed. São Paulo: Projeto Editores Associados, 
1986. 306 p.
Verdadeira grandeza14
Conteúdo:
DESENHO 
GEOMÉTRICO
Tiago Giora
Ponto, reta e ângulos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Conceituar os entes geométricos ponto, reta e ângulo.
  Descrever as aplicações do ponto, da reta e dos ângulos no design 
de interiores.
  Definir os instrumentos utilizados na construção do ponto, da reta 
e dos ângulos.
Introdução
A geometria teve origem na observação da natureza, das formas nela con-
tidas e das relações existentes entre essas formas, e foi fundamental para o 
desenvolvimento do conhecimento matemático, permitindo ao homem 
compreender e controlar o espaço utilizando o sistema de pontos, linhas, 
superfícies e sólidos. Os seus fundamentos remontam à Grécia Antiga, 
aproximadamente no século VII a.C., e aparecem nos estudos de filósofos 
como Tales de Mileto, Pitágoras, Eudoxio e Euclides. Nesse sentido, o desenho 
geométrico é o conhecimento criado para resolver graficamente problemas 
de natureza teórica e prática ligados aos espaços de vida do ser humano.
Neste capítulo, você vai estudar três elementos fundamentais do 
desenho geométrico: o ponto, a reta e o ângulo. Você vai verificar desde 
conceitos básicos e normas de representação até a sua aplicação nas 
dinâmicas de projeto em design de interiores e arquitetura. Tal estudo 
visa iniciar o aluno no uso do vocabulário geométrico relacionado às 
definições das formas em geral e a exemplos específicos da vida pro-
fissional. Trata-se de uma linguagem que, apesar de histórica, continua 
intimamente ligada ao pensamento contemporâneo.
Conceito de ponto, reta e ângulo
O ponto é a fi gura geométrica mais simples, uma vez que é adimensional, isto 
é, não tem largura, altura ou profundidade. É determinado pelo cruzamento 
de duas linhas, que podem ser retas ou curvas, e identifi cado por uma letra 
maiúscula do alfabeto latino. O artista plástico russo Wassily Kandinsky 
(1866–1944), precursor da pintura abstrata e professor de design na icônica 
escola Bauhaus, dizia que o ponto de partida para a teoria das formas é o ponto, 
como afi rma no seu livro Ponto e linha sobre plano (KANDINSKY, 2001). 
Assim, em resumo, o ponto é a unidade mais simples e mínima da forma.
A reta, por sua vez, é uma figura de uma dimensão, consistindo em uma 
sucessão de pontos, ou um ponto em movimento (KANDINSKY, 2001). Da 
mesma forma que o ponto, a reta não tem definição. A ideia de linha reta é a 
de um ponto que se move em uma mesma direção. Indicamos a reta utilizando 
letras minúsculas do alfabeto latino. As retas podem ter diferentes arranjos 
entre si (Figura 1), sendo:
  retas paralelas aquelas que, mesmo que se prolonguem, nunca se cruzarão;
  retas concorrentes aquelas que se cruzarão em um determinado ponto;
  retas perpendiculares aquelas que formam um ângulo reto (90º) ao 
se cruzarem. 
Figura 1. Retas paralelas, concorrentes e perpendiculares. 
Ponto, reta e ângulos2
Quando um ponto qualquer de uma reta a divide em duas partes distintas, 
essas partes são chamadas semirretas, e esse ponto recebe o nome de origem. 
Por fim, denomina-se segmento de reta o conjunto formado por dois pontos 
tomados sobre uma reta e todos os pontos da reta compreendidos entre os dois. 
A reta à qual pertence o segmento é chamada de reta suporte do segmento.
Ângulos
Ângulo é a fi gura plana formada por duas semirretas de mesma origem. A 
origem comum se chama vértice, e as semirretas se chamam lados. A medida 
usual do ângulo é o grau, e o instrumento usado para medi-lo é o transferidor. 
Ângulos de mesma medida são chamados de congruentes. Indica-se o ângulo 
utilizando-se letras do alfabeto grego, α, β, γ, por exemplo, ou três letras 
minúsculas ou maiúsculas do alfabeto latino, com a letra do meio indicando 
o vértice do ângulo, levando um acento circunfl exo, e as outras duas os lados 
(por exemplo, AÔB) (JORGE, 1998). A Figura 2 mostra as diferentes aberturas 
de ângulos e as suas classifi cações.
Lugares geométricos
Tão importantes quanto os elementos que estudamos até agora são as re-
lações estabelecidas entre eles para a confi guração de diferentes lugares 
geométricas. A sequência de termos exibida a seguir descreve algumas 
das mais importantes relações de posições e medidas estabelecidas entre 
pontos, retas e ângulos. 
  Circunferência: é o lugar geométrico dos pontos do plano que equi-
distam de um ponto desse mesmo plano. O ponto central do plano 
chama-se centro da circunferência,e a distância é seu raio (Figura 3).
3Ponto, reta e ângulos
Figura 2. Diferentes aberturas de ângulos.
Fonte: attaphong/Shutterstock.com.
Ponto, reta e ângulos4
Figura 3. Circunferência. 
  Mediatriz: é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam 
de dois pontos A e B desse mesmo plano.
A mediatriz contém o ponto médio do segmento e é perpendicular ao segmento.
  Paralela: é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de 
uma reta (r) desse mesmo plano.
  Bissetriz: é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de 
duas retas desse mesmo plano (Figura 4).
5Ponto, reta e ângulos
Figura 4. Bissetriz. 
Fonte: kavalenkava/Shutterstock.com.
Ao resolver graficamente um problema, é obrigatório nomear, ou seja, colocar letras, 
nos dados e nas respostas, mas é facultativo nomear os pontos e as linhas auxiliares. 
Cada figura geométrica possui uma convenção específica, como segue:
  Ponto: A — qualquer letra latina maiúscula
  Reta: a — qualquer letra latina minúscula
  Segmento de reta: AB — duas letras maiúsculas latinas
  Ângulo: α — qualquer letra do alfabeto grego
  Igual: =
  Diferente: ≠
  Coincidente: ≡
  Semelhante: ~
  Equivalente: ≈
  Diâmetro: d
  Perpendicular: ⊥
  Paralelo: //
Ponto, reta e ângulos6
Aplicações do ponto, da reta e dos ângulos 
no design de interiores
O conhecimento da geometria plana e da prática do desenho geométrico 
são instrumentais para a criação em design. A habilidade de entender as 
formas, organizá-las e interpretá-las segundo padrões geométricos permite 
ao designer traduzir qualquer estímulo visual em formas que podem ser 
compreendidas racionalmente, representadas em padrões geométricos e 
recriadas no contexto de um projeto de edifi cação, um objeto, um mobiliário 
ou uma estampa.
A partir do significado da palavra geometria (“medir a terra”), pode-se 
inferir que essa ciência tem, desde sua origem mais remota, uma ligação 
muito forte com a realidade, com o mundo que, desde então, tem se tornado 
cada vez mais caótico e superpovoado de informações visuais. Assim, por 
mais que a geometria pareça ter autonomia em relação ao mundo — um 
quadrado é apenas um quadrado, ele não precisa ser uma janela ou uma 
piscina, basta-se como forma abstrata independente —, ela sempre retorna ao 
cotidiano pelas mãos de profissionais como designers e arquitetos. Segundo 
Ocvirk et al. (2014, p. 55):
Até certo ponto, a estrutura dos elementos visuais conduz a experiência do 
observador, do mesmo modo que uma partitura guia os músicos. Assim como 
a partitura indica o tempo (a velocidade ou ritmo da música), a posição das 
notas, pausas e o grau do som a ser reproduzido, a composição visual controla 
os movimentos dos olhos na velocidade e na direção, fornece pausas e até 
manipula o volume [...].
Trazendo o foco para o uso de pontos, retas e ângulos, e buscando des-
crever situações relacionadas com a prática profissional, podemos falar, 
por exemplo, sobre a organização dos espaços. Uma reta descreve um 
alinhamento, uma organização serial; se pensarmos que essa reta é composta 
por pontos, podemos alternar o espaçamento dos pontos criando ritmos 
diferentes, capazes de orientar a percepção visual ou até o movimento e 
a velocidade dos corpos que percorrem esse espaço, tendo como base um 
leiaute linear (Figura 5). 
7Ponto, reta e ângulos
Figura 5. Leiaute com organização linear. 
Fonte: Yurii Andreichyn/Shutterstock.com.
Considerando a diferença entre uma área — espaço que define um am-
biente, com medidas lineares em duas direções e, comumente, descrevendo 
um retângulo — e um ponto — entidade adimensional que descreve uma 
posição estática dentro de uma superfície plana —, podemos abordar a 
estratégia compositiva conhecida como pontuação do espaço. Em design 
de interiores, essa lógica consiste em criar pontos de atenção visual em 
posições definidas do espaço, de modo a orientar a atenção do observador, 
ou simplesmente como recurso para quebrar a monotonia e dar mais di-
namismo ao ambiente que se oferece à percepção sensorial. Muitas vezes 
esses pontos são criados por meio do contraste cromático (Figura 6) ou 
da utilização de materiais destoantes em relação ao contexto mais amplo. 
É um recurso que se aproxima bastante da composição pictórica e tende a 
estabelecer pontos de observação mais favorecidos, à medida que a pessoa 
se desloca pelo ambiente.
Ponto, reta e ângulos8
Figura 6. Pontuações de cor no espaço. 
Fonte: Antoha713/Shutterstock.com.
Com relação aos ângulos, é importante considerar que, desde as mais 
primitivas construções executadas pela espécie humana, observa-se que a 
adoção do ângulo reto tem um caráter muito forte de regularidade e decisão 
consciente, que replica, em muitos aspectos, a racionalidade humana, posta 
em contraste com a organicidade mais espontânea e aparentemente caótica 
das formas da natureza. Desse modo, no que se refere às formas edificadas, e 
talvez, principalmente, em relação aos espaços interiores, temos convivido por 
milênios com o ângulo reto e as formas retangulares como signo de normali-
dade, do lógico, daquilo que não chama a atenção. Nesse raciocínio, quando 
o designer faz uso de ângulos agudos, linhas diagonais ou curvas, ele está 
desviando dessa “normalidade” ortogonal e criando elementos de atenção no 
seu projeto. Sobretudo, os ângulos agudos tendem a gerar uma sensação que 
pode ser descrita como desconforto ou como excitação da percepção, e podem 
ser usados pelo projetista para tornar o ambiente mais dinâmico, sugerindo 
movimento e capturando a visão do observador (Figura 7).
9Ponto, reta e ângulos
Figura 7. Linhas diagonais e curvas. 
Fonte: Robert Kneschke/Shutterstock.com.
Objetos e superfícies
Além dos espaços, quando se fala de aplicações do desenho geométrico no 
design de interiores, devemos mencionar os projetos de criação de mobiliário 
e, no campo bidimensional, o design de superfície, com estampas em tecido, 
tapetes e papéis de parede. 
No mobiliário, a tradição da linguagem geométrica remonta às vanguardas 
abstratas, como o construtivismo e a Bauhaus, juntamente com o movimento 
moderno na arquitetura. Todos esses antecedentes marcam uma tendência 
estática e filosófica que se apresenta esteticamente pela valorização da sim-
plicidade e da pouca ornamentação em favor de uma visualidade puramente 
geométrica. Quadrados, retângulos áureos, triângulos equiláteros, bem como 
a preponderância do ângulo reto são características observáveis em peças de 
mobiliário desde os primórdios da era industrial até os dias de hoje. 
Muitos exemplos de mobiliário produzido durante as primeiras fases da 
Bauhaus (Figura 8) exibem uma abordagem rigidamente conceitual que se 
expressa na materialização de ideias simples, desornamentadas e fortemente 
geométricas. Esse mobiliário e o design do período, em termos mais gerais, 
embora tenham assumido um caráter icônico e escrito uma página muito 
importante na história da arte e da arquitetura, foram muitas vezes criticados, 
mais adiante, por aproximarem-se mais a um manifesto do que a objetos 
cotidianos, úteis à vida humana. 
Ponto, reta e ângulos10
Figura 8. Mobiliário Bauhaus. 
Fonte: Alizada Studios/Shutterstock.com.
Ainda com relação às tendências contemporâneas, devemos somar a esse 
desejo de simplicidade geométrica (Figuras 9 e 10), herdado das vertentes 
modernistas e da Bauhaus, a grande importância dada à ergonomia, à repre-
sentação simbólica e à pesquisa e à tecnologia dos materiais.
Figura 9. Linhas e ângulos no mobiliário contemporâneo. 
Fonte: Room27/Shutterstock.com. 
11Ponto, reta e ângulos
Figura 10. Linhas e ângulos no mobiliário contemporâneo. 
Fonte: archideaphoto/Shutterstoc.com
Divisão de segmentos de reta
Além do desenho de mediatrizes, bissetrizes, retas paralelas e perpendiculares, uma 
operação importante dentro dos fundamentos do desenho geométrico é a divisão de 
segmentos de reta em partes iguais utilizando o teorema de Tales. O procedimentoconsiste em:
1. desenhar uma reta auxiliar a partir de um dos extremos do segmento que se quer 
dividir;
2. marcar uma medida aleatória sobre a reta auxiliar e repeti-la no número de vezes 
que se deseja dividir o segmento;
3. traçar uma nova reta ligando a última divisão da reta auxiliar ao segundo extremo 
do segmento principal;
4. copiar por paralelismo essa última reta em cada uma das divisões marcadas na auxiliar.
Os pontos em que essas retas cruzam com o segmento principal determinam as 
suas partes igualmente divididas. Para saber mais, acesse o link a seguir:
https://goo.gl/st1n3z
Instrumentos utilizados na construção 
do ponto, da reta e dos ângulos 
Pode-se dizer que o desenho geométrico é um capítulo da geometria que, com 
o auxílio de dois instrumentos, a régua e o compasso, propõe-se a resolver 
Ponto, reta e ângulos12
grafi camente problemas de natureza teórica e prática. Os mesmos instrumentos 
são usados para desenhar pontos, retas, ângulos e quaisquer outras fi guras 
geométricas. É interessante descrever esses instrumentos, dado que a matéria 
tem um viés prático. Afi nal, saber os teoremas e conceitos elaborados por 
fi lósofos e matemáticos contribui para o entendimento da geometria e para 
justifi car escolhas de procedimentos, mas a tarefa normalmente se completa 
com a atividade prática de desenhar à mão sobre papel.
A lista de materiais para o desenho à mão é bastante simples:
  lápis com grafite HB para os traçados de letras, contornos e esboços;
  lapiseiras com grafites 0.5 mm, pois elas têm grossura ideal para o 
desenho de precisão;
  borracha macia para não deixar marcas no papel;
  régua de acrílico graduada em centímetros e milímetros, que tenha um 
corte transversal chanfrado para facilitar a leitura;
  esquadros de 45º e de 60°, que são utilizados para traçados de paralelas 
e de perpendiculares e para a construção de ângulos;
  transferidor de acrílico graduado de 0º a 180°, usado para medir e 
construir ângulos;
  compasso usado para traçados de arcos de circunferência, transporte 
de medidas e construções de ângulos.
O compasso é o instrumento mais versátil e importante do desenho geométrico; ele 
é também o utensílio que o aluno deve ser mais cuidadoso ao adquirir — uma régua 
ruim não afetará muito a qualidade do desenho, mas um compasso ruim pode impos-
sibilitar a atividade. Assim, o aluno deve se assegurar de que os braços do compasso 
mantenham a sua abertura firme e que o grafite não se retraia no momento do uso.
Mesmo em uma matéria tão antiga e tradicional como a geometria, é 
difícil não fazer menção ao instrumento mais dominante no desenho apli-
cado à arquitetura e à engenharia nos últimos 50 anos: o computador. Ainda 
assim, o desenho geométrico mantém a sua relevância e se aplica ao desenho 
auxiliado por computador no que tange às ações de planejamento. Conhecer 
os elementos mínimos com os quais é possível desenhar até figuras muito 
complexas e as operações gráficas com as quais se executa essas tarefas são 
13Ponto, reta e ângulos
habilidades importantes para o desenhista, indiferentemente das ferramentas 
com as quais o desenho é produzido. De fato, até mesmo os comandos de 
software de desenho por computador recebem o nome das operações geomé-
tricas executadas no desenho à mão, por exemplo: rotacionar, copiar, ampliar, 
encolher, esticar, rebater, etc.
JORGE, S. Desenho geométrico: ideias e imagens. São Paulo: Saraiva, 1998.
KANDINSKI, V. Linha e ponto sobre o plano. São Paulo: Martins Fontes, 2001.
OCVIRK, O. G. et al. Fundamentos de arte: teoria e prática. 12. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
Leituras recomendadas
CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. Rio de Janeiro: Imperial Novo Milênio, 2005.
CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1959.
JANUÁRIO, A. J. Desenho geométrico. Florianópolis: UFSC, 2000.
NEVES, J. M. C. Desenho geométrico plano. São Paulo: Cia. Editora Nacional, 1943.
RIVEIRA, F. Traçados em desenho geométrico. Rio Grande: FURG, 1986.
Ponto, reta e ângulos14
Conteúdo:
DESENHO 
GEOMÉTRICO
Tiago Giora
Quadriláteros: elementos 
e construções
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Identificar as características construtivas dos quadriláteros.
  Distinguir os elementos dos quadriláteros.
  Ilustrar aplicações de quadriláteros no design de interiores.
Introdução
No estudo do desenho geométrico, o capítulo dedicado aos quadrilá-
teros se distingue pela preponderância que damos à ortogonalidade. 
Malhas xadrezes, retângulos e quadrados dominam o vocabulário da 
arquitetura e do design de forma ampla, com antecedentes históricos que 
remontam às primeiras construções humanas. As variantes resultantes 
dos ângulos e das diagonais traçadas no encontro de seus quatro lados 
geram paralelogramos, losangos e trapézios, que analisaremos a partir 
de suas características específicas.
Neste capítulo, você vai estudar os tipos e características dos quadri-
láteros, analisando as suas diferenças e investigando os seus princípios 
geradores. No trabalho com quadriláteros, pontos, retas e ângulos assu-
mem novas configurações, que são acompanhadas de nomenclatura e 
simbologia próprias. Somando-se à abstração geométrica, o estudo dos 
quadriláteros nos levará a observar muitas aplicações na área do design 
de interiores.
Características construtivas 
dos quadriláteros 
Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Pode-se também dizer que 
é a porção do plano limitada por uma forma poligonal fechada.
Os quadriláteros apresentam os elementos indicados na Figura 1 e as 
seguintes propriedades:
  a soma dos seus ângulos internos é 360°;
  a soma dos seus ângulos externos é 360°.
Figura 1. Elementos dos quadriláteros. 
Fonte: Elementos-de-um-quadrilatero.JPG ([2018], documento on-line).
Classificação dos quadriláteros
Os quadriláteros são classifi cados quanto aos seus lados e ângulos e dividem-
-se em paralelogramos (dois pares de lados opostos paralelos), trapézios (um 
par de lados opostos paralelos) e quadriláteros quaisquer ou não trapézios 
(não têm lados paralelos). A partir daí, apresentam subdivisões, conforme 
mostra a Figura 2. Veremos a seguir as características de cada tipo de 
quadrilátero.
Quadriláteros: elementos e construções2
Figura 2. Tipos de quadriláteros. 
Fonte: Adaptada de Olga Bolbot/Shutterstock.com.
Quadrado
  As diagonais são iguais e perpendiculares nos seus pontos médios.
  Todos os ângulos internos são retos.
3Quadriláteros: elementos e construções
  Seus lados são iguais.
  O quadrado pode ser inscrito em uma circunferência de raio igual à 
metade de sua diagonal, conforme mostra a Figura 3.
Figura 3. Quadrado. 
Fonte: 220px-Regular_polygon_4_annotated.svg.png 
([2018], documento on-line).
Retângulo
  As diagonais são oblíquas, iguais e se cortam nos seus pontos médios.
  Todos os ângulos internos são retos.
  Seus lados opostos são iguais.
  O retângulo pode ser inscrito em uma circunferência de raio igual à 
metade da sua diagonal.
Losango
  As diagonais são diferentes, perpendiculares, cortam-se nos seus pon-
tos médios e são bissetrizes dos ângulos internos, conforme mostra a 
Figura 4.
  Nenhum ângulo interno é reto.
  Seus lados são iguais.
  Não é inscritível.
Quadriláteros: elementos e construções4
Figura 4. Losango. 
Fonte: 437px-Losango_e_bissetriz.svg.png ([2018], documento 
on-line).
Paralelogramo
  As diagonais são diferentes, oblíquas e se cortam nos seus pontos 
médios, conforme mostra a Figura 5.
  Nenhum ângulo interno é reto.
  Seus lados opostos são iguais.
  Não é inscritível.
Figura 5. Paralelogramo.
Fonte: 1200px-Parallelogram.svg.png ([2018], documento 
on-line).
5Quadriláteros: elementos e construções
Trapézio
Chama-se trapézio o quadrilátero que possui somente dois lados opostos 
paralelos, e estes recebem a denominação de bases do trapézio. Eles se 
subdividem em retângulo, isósceles e escaleno. Trapézio retângulo:
 ■ apresenta dois ângulos de 90°.
  Trapézio isósceles:
 ■ os lados opostos não paralelos são congruentes;
 ■ as diagonais são congruentes;
 ■ os ângulos de uma mesma base são congruentes.
  Trapézio escaleno:
 ■ os lados opostos não paralelos não são congruentes.
Um quadrilátero é inscritível quando os quatro vértices pertencem a uma mesma 
circunferência, conforme mostra a figura abaixo. Teorema: em um quadrilátero inscritível, 
os ângulos opostos são suplementares (WAGNER, [2018]).
Fonte: 0000007149.png ([2018], documento on-line).
Quadriláteros: elementos e construções6
Elementos dos quadriláteros 
Os elementos dos quadriláteros são os elementos gráfi cos que os constituem, 
conforme mostra a Figura 6.
  Os lados são os segmentos de reta que delimitam o perímetro do qua-
drilátero e definem uma área interna.
  Os vértices são formados pelo encontro de dois lados — o quadrilátero 
tem quatro lados e quatro vértices.
  Os ângulos internos são aberturas definidas por dois lados consecutivos, 
e os ângulos externos são formados pelo prolongamento de um dos 
lados da figura. Estes são suplementares aos ângulos internos, ou seja, 
a soma deles resulta em 180°.
Um quadrilátero é circunscritível a uma circunferência se seus quatro lados 
são tangentes à circunferência, conforme mostra a figura abaixo. A construção 
dessa figura tem grande semelhança com o processo para encontrar o incentro 
de triângulos.
Fonte: 339px-Quadrilatero_circunscrito_1.svg.png ([2018]).
7Quadriláteros: elementos e construções
Figura 6. Lados, vértices, ângulos internos e externos. 
Fonte: Figura_25.png ([2018], documento on-line).
Os vértices do quadrilátero são pontos e, como tal, são representados por 
letras latinas maiúsculas. Conectando dois vértices opostos, traçamos as duas 
diagonais do quadrilátero. O cruzamento das duas diagonais divide a área do 
quadrilátero, formando quatro triângulos.
Chama-se retângulo áureo qualquer retângulo ABCD com a seguinte propriedade: 
se dele suprimirmos um quadrado, como ABFE, o retângulo restante, CDEF, con-
servará as proporções de um retângulo áureo, conforme mostra a figura abaixo 
(ÁVILA, [2018]).
Fonte: Retangulo+aureo.jpg ([2018], documento on-line).
Quadriláteros: elementos e construções8
Aplicações de quadriláteros no design 
de interiores 
Ao pensar a respeito do uso dos quadriláteros no design, salta aos olhos, 
inicialmente, a importância dos retângulos. O uso do ângulo reto pelo ser 
humano, seja em construções de ambientes e objetos, seja na representação 
gráfi ca e pictórica, é um marco na evolução da espécie. Diz-se isso porque, 
em seu impulso de alterar a natureza para, assim, aumentar suas chances de 
sobrevivência, o homem primitivo partiu da observação da própria natureza, 
tomando suas formas como inspiração: árvores, folhas, pedras, raízes e todo 
o mundo animal. Na natureza praticamente não se encontram ângulos retos. 
Assim, o desenho de duas retas cruzadas a 90°, criando uma aresta viva e 
fechando uma fi gura com lados retos homogeneamente inclinados, pode ser 
considerado um dos primeiros e mais importantes capítulos na história do 
homem como um ser capaz de criar de maneira abstrata, independentemente 
Ainda conforme Ávila ([2018], documento on-line):
Se a + b e a são os comprimentos dos lados do retângulo original, a 
definição acima se traduz na relação 
a / a + b = b / a 
Esse tipo de retângulo tem muitas propriedades interessantes que 
justificam o qualificativo “áureo”. Ele tem sido considerado por ar-
quitetos e artistas como o retângulo mais bem proporcionado e de 
grande valor estético. 
O autor complementa:
Na antiguidade, a divisão de um segmento em média e extrema razão 
tornou-se tão familiar que era conhecida simplesmente como “seção”, 
em qualquer qualificativo. O nome “divisão áurea” lhe foi dado por 
Kepler (1571–1630), que escreveu: “A Geometria possui dois grandes 
tesouros: um é o Teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um 
segmento em média e extrema razão. Podemos comparar o primeiro 
a uma porção de ouro e o segundo a uma joia preciosa” (ÁVILA, 
[2018], documento on-line).
9Quadriláteros: elementos e construções
da realidade concreta que o cerca. Dessa capacidade dependem fortemente 
a arte, a arquitetura, o design e outras aplicações de nossa mente inventiva.
A aplicação do pensamento geométrico no design de interiores revela 
o desejo de criar uma noção de ordenação que dá sentido às imagens e aos 
objetos em uma composição criativa e funciona como anteparo racional para 
a definição de padrões de beleza e de eficiência na vida cotidiana e em suas 
interações com o ambiente arquitetônico.
O estudo da geometria é extremamente importante na formação de designers, 
artistas e arquitetos: não há divisão de espaços sem a modulação geométrica; 
não há sistemas construtivos sem suportes geométricos que definam a 
localização virtual de elementos. A divisão pela utilização de módulos 
concerne não somente ao plano, mas também, a outras dimensões do espaço 
(A GEOMETRIA..., [2018], documento on-line).
Derivados do ângulo reto, o quadrado e o retângulo vêm sendo desenhados 
desde então, definindo a forma dos objetos e dos espaços que nos cercam. 
Pode-se pensar que essa preponderância deriva do fato de o retângulo ser 
tão facilmente subdivisível, de seus lados se oferecerem à justaposição reta 
de outros retângulos, ou mesmo porque a divisão em quatro lados distantes 
um do outro em 90° faz referência aos pontos cardeais. Mas, na verdade, 
é difícil dissociar a predileção humana pelo retângulo de fatores culturais 
e históricos.
Atualmente o ângulo reto aparece na malha das ruas das cidades, na 
modulação de estruturas das edificações, em portas, janelas, assentos e 
colchões e na grande maioria dos objetos projetados para serem adaptados 
ao corpo humano. Não surpreende que, no desenvolvimento histórico do 
pensamento ocidental, encontremos tentativas de adaptar a organicidade das 
formas do corpo humano a um padrão geométrico, no qual se destacam os 
quadrados e retângulos. Essa tendência tem como exemplos mais conhecidos 
o homem de Vitrúvio, redesenhado no renascimento por Leonardo da Vinci, 
e o Modulor modernista de Le Corbusier, mostrado na Figura 7. Segundo 
Crescenti (2005):
A mente humana, bem como a própria cultura dos povos, desenvolveu método 
de formalizar as observações da natureza de modo a reconhecer, classificar e 
explorar os padrões existentes. [...] a matemática é um sistema de representação, 
construído a partir da realidade e a partir do qual se constrói o significado 
dos objetos. 
Quadriláteros: elementos e construções10
Figura 7. Modelos de posições e proporções humanas conforme o Modulor, criado 
por Le Corbusier.
Fonte: Le Corbusier (2011, documento on-line).
Apesar de todos esses antecedentes históricos, não se pode dizer em 
absoluto que um projeto de design centrado nas aplicações do ângulo reto 
tenha tendência a ser visto hoje como algo ultrapassado, isto é, engessado 
a um passado clássico. Nas linguagens contemporâneas de design, pode-se 
identificar vertentes mais organicistas ou desconstrutivas, mas um projeto de 
matriz retangular conserva um lugar de destaque, constantemente reeditado 
por designers de todas as épocas, conforme mostram as Figuras 8 e 9.
Figura 8. Design contemporâneo ortogonal.
Fonte: Cinematographer/Shutterstock.com.
11Quadriláteros: elementos e construções
Figura 9. Retângulos no desenho de mobiliário.
Fonte: Angel_Vasilev77/Shutterstock.com.
Por conta dessa tradição cultural e de um padrão fortemente baseado na 
reprodução de formas retangulares, a aplicação dos trapézios e paralelogramos 
no design de interiores ocorre de maneira mais pontual e tende a se configurar 
como elemento de atenção, destoando da regra da ortogonalidade. No entanto, 
é digno de nota o uso de losangos em padrões de estamparia e as aplicações de 
trapézios isósceles e trapézios retângulos na criação de mobiliário modulado,conforme mostra a Figura 10.
Figura 10. Mobiliário trapezoidal modulado. 
Fonte: 18.jpg ([2018], documento on-line).
Quadriláteros: elementos e construções12
0000007149.PNG. Portal do Professor, [2018]. Altura: 373 pixels. Largura: 403 pixels. For-
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LE CORBUSIER. El Modulor. Le Corbusier, 12 jun. 2001. Disponível em: <http://lecorbus.
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AAAVM/P4KFUVKpq50/s1600/Retangulo+aureo.jpg>. Acesso em: 27 set. 2018.
WAGNER, E. Quadriláteros inscritíveis e circunscríveis II. Unidade 7. PROFMAT, [2018]. 
Disponível em: <http://moodle.profmat-sbm.org.br/MA13/2014-2/unidade7-2.pdf>. 
Acesso em: 27 set. 2018.
Leituras recomendadas
CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. Rio de Janeiro: Imperial Novo Milênio, 2005.
CARVALHO, B. Desenho geométrico. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1959.
JANUÁRIO, A. J. Desenho geométrico. Florianópolis: UFSC, 2000.
JORGE, S. Desenho geométrico: ideias e imagens. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 1998.
KANDINSKI, V. Linha e ponto sobre o plano. São Paulo: Martins Fontes, 2001.
NEVES, J. M. C. Desenho geométrico plano. São Paulo: Cia. Editora Nacional, 1943.
OCVIRK, O. et al. Fundamentos de arte: teoria e prática. 12. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
RIVEIRA, F. Traçados em desenho geométrico. Rio Grande: FURG, 1986.
Quadriláteros: elementos e construções14
Conteúdo:
DESENHO 
GEOMÉTRICO
Mariana Comerlato Jardim
Projeções cônicas 
e cilíndricas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Identificar as projeções cônicas e cilíndricas.
  Caracterizar as projeções cônicas e cilíndricas.
  Definir as aplicações das projeções cônicas em design de interiores.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar a parte da matemática destinada à repre-
sentação dos objetos tridimensionais, a geometria descritiva, bem como 
os tipos de projeções cônica e cilíndrica. Você vai verificar as características 
dessas projeções e como elas são aplicadas nas áreas de arquitetura e 
design de interiores.
A geometria descritiva e as projeções
As projeções são métodos de representação de um objeto tridimensional em um 
plano bidimensional; a área da matemática que trata desse tipo de representação 
é a geometria descritiva. Gaspard Monge, um político e desenhista francês, 
foi o criador da geometria descritiva e grande teórico da geometria analítica, 
no período entre o século XVIII e o início do século XIX. Além disso, foi um 
dos fundadores da Escola Politécnica Francesa e pode ser considerado o pai 
da geometria diferencial, que trata das curvas e superfícies do espaço. Monge 
defi niu a geometria descritiva como a parte da matemática responsável por 
representar as fi guras do espaço planifi cadas, em um espaço bidimensional, a 
fi m de resolver, com a geometria plana, todos os questionamentos das fi guras 
tridimensionais, conforme leciona Machado (1986).
Filho de Jacques Monge, mascate amolador de facas, Gaspard Monge era o gênio da 
família. Na escola em que estudava, de ordem religiosa, ganhava todos os prêmios que 
disputava. Hoje conhecido como o pai da geometria descritiva, é um dos responsáveis 
pela expansão industrial do século XIX. Sem esses avanços matemáticos — original-
mente empregados na engenharia militar —, a inovação da maquinaria desse período 
teria, provavelmente, sido impossível. Aos 14 anos, Monge construiu um carro de 
bombeiros e respondeu assim quando questionado como fez aquilo sem receber 
orientações: “Eu uso dois trunfos infalíveis: uma tenacidade invencível e mãos que 
traduzem meu pensamento com fidelidade geométrica” (MACHADO, 1986, p. 112).
Em meio a problemas de representação relacionados à projeção em um 
único plano, Monge desenvolveu um sistema duplo de projeção, que ficou 
conhecido pelo seu nome. No sistema mongeano, qualquer objeto, inde-
pendentemente da forma, posição ou dimensão, pode ser representado no 
plano bidimensional pelas projeções cilíndricas ortogonais, em razão de 
dois planos, um vertical e outro horizontal, se interceptarem no espaço, 
perpendiculares entre si. Essa interseção determina os quatro diedros em 
que ocorrerão as projeções (Figura 1) e delimita a linha de terra (LT), como 
explicam Cruz e Amaral (2012).
Projeções cônicas e cilíndricas2
Figura 1. Os quatro diedros propostos por Monge para facilitar o entendimento dos sólidos 
prismáticos.
Mas, enfim, para que serve a geometria descritiva? Segundo Montenegro 
(2005, p. 67):
A GD desenvolve a habilidade de imaginar objetos ou projetos no espaço, e 
não apenas a leitura ou interpretação de desenhos. Algumas profissões exigem 
a capacidade de pensar em 3 dimensões; sem este tipo de pensamento, mais 
a habilidade de transportá-lo para o desenho, é impraticável a criatividade, a 
inteligência para criar coisas novas.
Os conceitos da geometria descritiva servem como base para o desenho 
técnico, de onde se originam os desenhos arquitetônico, industrial, mecânico, 
e tantos outros.
A geometria é o ramo da matemática responsável por estudar as formas e 
dimensões das figuras da natureza. A geometria descritiva, mais especifica-
3Projeções cônicas e cilíndricas
mente, é a parte da matemática aplicada queestuda os prismas tridimensionais 
em razão das suas projeções nos planos. Nesse contexto, dois conceitos são 
fundamentais para um bom entendimento do assunto:
  forma — característica de um objeto;
  dimensão — grandeza que determina a medida do objeto.
Além disso, temos alguns elementos fundamentais dentro da geometria:
  Ponto — é o elemento mais simples, já que não possui forma nem 
dimensão. Porém, a partir dele, é possível construir qualquer forma 
geométrica e referenciá-la. Por exemplo, uma reta perpendicular ao 
plano de projeção é representada por um ponto. Ou, ainda: uma reta é 
definida por uma sequência de pontos no espaço que, unidos, conformam 
uma única forma.
  Reta — como enunciado acima, é composta por pontos unidos linear-
mente e possui apenas uma dimensão — o comprimento.
  Superfície — é o conjunto de posições de uma linha. Quando a super-
fície é feita de retas em deslocamento retilíneo e paralelas entre si, ela é 
considerada plana. Caso isso não aconteça, e a superfície seja o resultado 
da trajetória de uma reta curva no espaço, teremos um plano curvo.
Assim, a geometria descritiva é a ciência que estuda os métodos de re-
presentação gráfica das formas geométricas espaciais sobre um plano, por 
meio da construção de vistas, da construção em verdadeira grandeza de cada 
face do objeto pelos métodos descritivos, além da construção de protótipos 
do objeto a ser representado. Dessa forma, a técnica de representação em-
pregada primordialmente pelos egípcios foi aprimorada, já que eles apenas 
representavam a planta baixa, a elevação e a vista lateral (perfil), conforme 
explicam Cruz e Amaral (2012).
A geometria descritiva também pode ser resumida como o processo de 
representação de um objeto qualquer a partir das retas projetantes que passam 
por determinados pontos da forma e intersectam um plano de projeção, de 
forma a resumir as três dimensões a duas dimensões, contidas nos eixos x 
e y. Ou seja, dessa forma, a figura tridimensional se torna plana, em duas 
dimensões. As características do desenho resultante variam de acordo com 
o sistema de projeção adotado, conforme leciona Asensi (1990). Porém, pode 
ocorrer de uma única projeção não ser suficiente para representar o objeto, 
Projeções cônicas e cilíndricas4
como mostra a Figura 2. Por isso, os estudos subsequentes de Monge foram 
importantes para aprimorar a representação dos prismas.
Figura 2. Casos em que apenas uma projeção não é suficiente 
para diferenciar os três prismas, que possuem a mesma projeção 
frontal.
As projeções
A palavra projeção, do latim projectione, signifi ca o processo no qual os 
raios de um objeto incidem sobre um plano de projeção. Essa projeção nada 
mais é do que a representação gráfi ca desse objeto no papel, ou seja, a sua 
representação bidimensional, conforme leciona Asensi (1990). Na prática, 
esse conceito pode ser entendido como um fenômeno que acontece na natureza 
e que é reproduzido pelo ser humano. Uma dessas situações é a sombra de 
um objeto projetada em uma superfície qualquer. Outro exemplo ocorre no 
cinema: as imagens projetadas na tela são resultado da incidência do feixe de 
luz sobre as imagens contidas em uma película ou fi lme, conforme explicam 
Cruz e Amaral (2012).
Esses artifícios usados para transformar algo em três dimensões (3D) 
em um desenho plano envolvem alguns conceitos elementares, conforme 
lecionam Speck e Peixoto (1997):
  Plano de projeção — é onde as retas projetantes do objeto incidem e 
determinam o desenho planificado.
5Projeções cônicas e cilíndricas
  Objeto — é um sólido geométrico, um prisma, que existe nos três 
eixos geométricos e possui altura, largura e profundidade (y, x e z, 
respectivamente). Esse objeto, quando planificado, terá as arestas e 
as faces perpendiculares ao plano representadas por um ponto e uma 
reta, respectivamente.
  Raio projetante — é o segmento de reta que passa pelos pontos-limite 
do objeto e intersecta o plano de projeção. Essa “chegada” no plano 
pode ser oblíqua ou ortogonal, conforme a direção adotada.
  Centro de projeção — é o ponto fixo de onde partem ou por onde passam 
os raios projetantes. É ele que determina o tipo de projeção do objeto, 
se esses raios serão perpendiculares ou inclinados ao plano.
Considerando A um ponto no objeto e O um ponto no plano de projeção, 
o segmento que passa por esses dois pontos é o raio projetante, sendo C a sua 
origem, que também é o centro de projeção, conforme mostra a Figura 3. A 
partir da posição ocupada por esse centro, é possível classificar os sistemas 
de projeções. Sendo finito ou infinito, o centro de projeção determina os 
sistemas cônico e cilíndrico.
Figura 3. Raios que partem do centro de projeção (C), passam pelo objeto (A) e se projetam 
no plano (O). O que varia entre eles é a inclinação em relação ao plano.
Projeções cônicas e cilíndricas6
Projeções cônicas
Considere um plano π e um ponto fi xo C não pertencente a esse plano. Deno-
mina-se projeção central, ou cônica, no plano π, a projeção de um ponto A, 
distinto de C, no ponto A’, produzido sobre o plano, formando a reta projetante do 
ponto A a partir do ponto C. Nessa situação e com base na Figura 4, temos que:
  π é denominado plano de projeção;
  C é o centro ou vértice, já que é desse ponto que partem as retas ou 
raios projetantes;
  A é um ponto no objeto, sendo A’ a sua projeção no plano.
O mesmo ocorre com os demais pontos do objeto (B e D).
Figura 4. Raios que partem do centro C, passam pelos pontos do objeto (A, D e B) e se 
projetam no plano. Na projeção cônica, todas as retas concorrem ao mesmo ponto C.
A projeção cônica ocorre quando os raios que incidem no objeto e no plano 
de projeção são todos concorrentes ao centro de projeção. Assim, podemos 
considerar esses raios como geratrizes de um cone, cujo vértice é o centro de 
projeção (Figura 5).
7Projeções cônicas e cilíndricas
Figura 5. A projeção cônica é um cone, cujo vértice é o centro de projeção e as retas são 
as geratrizes desse prisma.
Uma boa analogia é pensar em um objeto iluminado por uma lanterna. A 
sombra que ele projeta sobre uma superfície lisa é a projeção do objeto; os raios 
luminosos são equivalentes aos raios projetantes, ou geratrizes; a lanterna, que 
emite a luz, é o centro de projeção; e a superfície lisa, um muro ou calçada, é 
o plano de projeção, já que é ela que recebe os raios projetantes. Considerando 
essa situação, esses raios são finitos, já que conhecemos o ponto de partida, 
e todos eles partem desse local, ou seja, são convergentes.
Na projeção cônica, os pontos do objeto são projetados em um plano a partir 
de retas que passam pelo observador, o centro, para onde convergem todas 
elas. O resultado é uma adequação para a visão humana, como a diminuição 
de tamanho em relação à distância e a existência de pontos de fuga. Os pontos 
de fuga são origens de retas que tendem ao infinito, para onde convergem as 
retas de construção da imagem projetada, conforme leciona Asensi (1990).
Uma das características dessa projeção é a relação de escala da sombra 
em relação ao objeto, conforme a distância do mesmo em relação ao centro 
e ao plano de projeção. Ou seja, quanto mais perto do plano está o objeto, 
menor a diferença de escala entre a realidade e a projeção. Porém, se o centro 
de projeção, o ponto para onde todas as retas convergem, está muito distante 
do objeto, a projeção será proporcionalmente maior que as medidas reais 
Projeções cônicas e cilíndricas8
(Figura 6). Nota-se que, nesse tipo de projeção, nunca teremos as medidas em 
verdadeira grandeza, somente com proporção entre as dimensões do objeto, 
conforme explica Costa (2016).
Figura 6. Na figura da esquerda, por o objeto estar mais longe do plano de projeção do 
que na figura da direita, a projeção do objeto é ampliada, isto é, a diferença de escala entre 
a realidade e a projeção é maior.
Projeções cilíndricas
A projeção cilíndrica, também chamada de projeção paralela, temraios proje-
tantes paralelos entre si incidindo no objeto e no plano de projeção. Ou seja, os 
raios projetantes atuam como geratrizes de um cilindro. Esse tipo de projeção 
pode ser ortogonal ou oblíqua — o que varia é o ponto do centro de projeção 
e como ele lança as retas projetantes em relação ao plano.
Caso as retas projetantes incidam perpendicularmente no plano, ou seja, 
formando um ângulo de 90º, trata-se de uma projeção cilíndrica ortogonal. 
Se as retas projetantes incidirem no objeto e no plano com qualquer outro 
ângulo diferente de 90º, trata-se de uma projeção cilíndrica oblíqua, conforme 
mostra a Figura 7.
9Projeções cônicas e cilíndricas
Figura 7. Em ambos os desenhos, as retas são paralelas entre si, como geratrizes de um 
cilindro. Na figura da esquerda, os raios são perpendiculares ao plano, formando um ângulo 
de 90º entre eles; assim, chamamos a projeção de cilíndrica ortogonal. Na figura da direita, 
os raios formam um ângulo diferente de 90º com o plano, ou seja, são inclinadas; assim, 
chamamos essa projeção de cilíndrica oblíqua.
Um bom exemplo desse tipo de projeção é o Sol projetando raios em um 
objeto. O local em que a sombra é projetada é o plano, os raios solares são 
as retas projetantes e o centro de projeção é o Sol. Porém, como ele está tão 
distante da superfície terrestre, podemos considerar que os raios são paralelos 
e que esse centro está a uma distância infinita do objeto. Vale ressaltar que, 
se considerarmos os raios paralelos, eles nunca serão convergentes, conforme 
leciona Asensi (1990).
As projeções cilíndricas possuem algumas propriedades, listadas abaixo 
e representadas na Figura 8, com base em Costa (2016):
1. A projeção de uma reta não paralela aos raios projetantes é representada 
por uma reta no plano de projeção. Uma reta paralela ao raio projetante 
é representada por um ponto.
2. Se duas retas r e s são paralelas, então suas projeções cilíndricas serão 
paralelas, coincidentes ou pontuais.
3. Qualquer figura que estiver contida em um plano paralelo às retas 
projetantes terá sua representação no plano de projeção como uma reta.
4. Se uma figura está contida em um plano paralelo ao plano de projeção, 
então sua projeção será idêntica à forma real, com todas as dimensões 
em verdadeira grandeza.
Projeções cônicas e cilíndricas10
5. Se o segmento de reta é oblíquo ao plano de projeção, então sua reta 
projetada é menor que o tamanho real, também chamado de verdadeira 
grandeza.
6. Se duas retas são perpendiculares ou ortogonais entre si, sendo uma delas 
paralela ao plano de projeção e a outra não perpendicular a esse plano, 
então as projeções ortogonais dessas retas são perpendiculares entre si.
Figura 8. Propriedades da projeção cilíndrica.
Uma forma muito utilizada na representação de objetos é a múltipla pro-
jeção ortogonal em três projeções; ou seja, representa-se o elemento em três 
perspectivas (ou até mais, dependendo do nível de detalhamento). Utilizar a 
projeção cilíndrica ortogonal na representação de prismas significa representar 
o objeto em verdadeira grandeza, o que permite tirar medidas desse objeto 
por essas projeções. Tudo isso porque as retas, paralelas entre si, incidem 
perpendicularmente no plano de projeção.
Outra forma de representação de objetos que utiliza a projeção cilíndrica 
é a perspectiva axonométrica (axon — eixo; metreo — medida). Esse tipo 
de projeção apresenta as figuras referenciadas a um sistema ortogonal de três 
eixos, que formam um diedro (Figura 9). Ela é bastante utilizada por ser de 
11Projeções cônicas e cilíndricas
fácil construção e também permitir que se tire medidas a partir do desenho. 
No entanto, o desenho resultante é distorcido em relação à visão humana, 
conforme lecionam Taton e Flocon (1979).
Figura 9. Esquema da perspectiva axonométrica isométrica, que segue a projeção cilíndrica.
Fonte: Attaphong/Shutterstock.com.
Projeções aplicadas
Um dos campos que utiliza bastante a questão das projeções, tanto cônicas como 
cilíndricas, é a Geografi a. A maior parte da cartografi a se utiliza desse meio 
para representar, nos mapas, a visão do globo terrestre. Nomes como Mercator, 
Robinson e Peters foram de suma importância para o desenvolvimento da 
geometria no meio geográfi co. Porém, é na arquitetura e na engenharia que a 
aplicação das projeções é mais usada na prática profi ssional cotidiana. Para a 
representação de um edifício, do mobiliário ou de instalações complementares, 
as projeções aparecem como ferramenta indispensável de desenho.
Quando se trata de ambientes internos, as projeções são utilizadas na 
construção de vistas dos espaços, para melhor especificação de materiais, 
acabamentos e texturas, além da projeção de luz pelas luminárias. A vista 
superior, chamada de planta baixa, não é suficiente para expressar os detalhes 
necessários para a execução do projeto.
Na área de objetos e mobiliário, as projeções são essenciais para o entendi-
mento da peça por meio das chamadas vistas. A partir da peça tridimensional, 
podemos gerar as vistas anterior, lateral, posterior e inferior. Na Figura 10, a 
cadeira icônica desenhada por Charles Eames está representada em perspectiva. 
Porém, é na projeção dela que vemos os principais detalhes, como a curvatura 
do assento, a inclinação dos pés, entre outros.
Projeções cônicas e cilíndricas12
Figura 10. Projeção na representação de mobiliário.
Nos projetos luminotécnicos, as projeções de iluminação sobre mobiliário 
ou barreiras verticais (paredes) e horizontais (tetos e pisos) são importantes de 
serem calculadas, a fim de mostrar a intenção do profissional na montagem 
desse cenário. Existem softwares que auxiliam nesse cálculo, além da descrição 
das lâmpadas e luminárias existentes no mercado. O software DiaLux, por 
exemplo, foi desenvolvido para profissionais da área da construção/design, a 
fim de auxiliar nos cálculos de iluminação artificial dos espaços. Nele, além 
de muitas outras funções, é possível indicar a projeção da iluminação desejada 
nas paredes (em quadros ou revestimentos) e nos objetos (como em uma mesa, 
para não gerar sombra da pessoa sobre o prato de comida, por exemplo), como 
mostra a Figura 11.
13Projeções cônicas e cilíndricas
Figura 11. Imagens desenvolvidas no DiaLux para o cálculo da iluminação. Aqui, é possível 
calcular a projeção de luz no plano desejado.
Fonte: Imagens retiradas do software DiaLux®.
Como podemos observar, a teoria das projeções, a partir da geometria des-
critiva, auxilia na representação dos objetos. Seja com a intenção de ampliar um 
objeto ou de representá-lo em verdadeira grandeza para permitir a verificação 
de suas medidas reais, as projeções cônica e cilíndrica estão presentes na vida 
dos profissionais da geografia, da topografia, na construção civil, na arquitetura 
e no design. É importante compreender como cada projeção funciona, a fim 
de não gerar equívocos na representação. Além disso, é possível desenvolver 
relações entre as retas e os planos que facilitem o entendimento dos objetos.
No vídeo disponível no link abaixo ou código ao lado, 
é possível aprender mais sobre a relação da geometria 
descritiva com o desenho técnico e a aplicação da teoria 
das projeções na prática.
https://goo.gl/37bQsX
Projeções cônicas e cilíndricas14
ASENSI, F. I. Geometria descriptiva. Madrid: Editorial Dossat, 1990.
COSTA, D. M. B. Apostila de geometria descritiva. Curitiba: Universidade Federal do 
Paraná, 2016.
CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H. Apostila de geometria descritiva. Barreiras: Universidade 
Federal da Bahia, 2012.
MACHADO, A. Geometria descritiva. 26. ed. São Paulo: Projeto Editores Associados, 1986.
MONTENEGRO, G. A inteligência visual e o 3D: compreendendo conceitos básicos da 
geometria espacial. São Paulo: Edgar Blücher, 2005.
SPECK, J. H.; PEIXOTO, V. V. Manual básico de desenho técnico. Florianópolis: Editora da 
UFSC, 1997.
TATON, R.; FLOCON, A. A perspectiva. São Paulo: Difusão Européia do Livro, 1979.
Leituras recomendadasKOPKE, R. C. M. Geometria e desenho: mais fragmentos para a escola? In: Encontro 
Regional de Expressão Gráfica, 4., 2006, Salvador. Anais... Bahia, 2006.
PDCA: a prática levando sua gestão à perfeição. Endeavor Brasil, 16 jul. 2016. Disponível 
em: <https://endeavor.org.br/pdca/>. Acesso em: 30 ago. 2018.
15Projeções cônicas e cilíndricas
Conteúdo:
FRANCIS D.K. 
CHING
REPRESENTAÇÃO
GRÁFICA
EM ARQUITETURA
QUINTA EDIÇÃO
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
C539r Ching, Francis D. K. 
 Representação gráfi ca em arquitetura [recurso eletrônico] /
 Francis D. K. Ching ; tradução técnica: Alexandre Salvaterra. –
 5. ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2011.
 Editado também como livro impresso em 2011.
 ISBN 978-85-7780-913-4
 1. Arquitetura – Representação gráfi ca. I. Título. 
CDU 72
FRANCIS D.K. CHING é arquiteto e Professor Emérito da University of Washington, 
em Seattle. Ele é o autor de inúmeros best-sellers sobre arquitetura e projeto, todos 
publicados pela Wiley. Suas obras já foram traduzidas em mais de 17 idiomas e são 
consideradas clássicos em virtude de sua apresentação gráfica primorosa.
9
Desenhos de 
Apresentação
Os desenhos de apresentação são aqueles em que normalmente 
pensamos quando o termo “representação gráfica” é usado. Estes 
desenhos descrevem uma proposta de projeto de modo gráfico, com 
a intenção de persuadir um público sobre o valor do projeto. O público 
pode ser um cliente, um comitê ou simplesmente alguém avaliando 
uma ideia. Seja produzido para ajudar a imaginação de um cliente, 
seja para obter a contratação como arquiteto, em esfera privada ou 
em um concurso, os desenhos de apresentação devem comunicar, da 
maneira mais clara e precisa possível, as qualidades tridimensionais 
de um projeto. Embora os desenhos que compreendem a apresenta-
ção possam ser excelentes representações bidimensionais que mere-
çam exibição, eles são apenas ferramentas para comunicar uma ideia 
de projeto, nunca um fim em si mesmo.
204
Uma apresentação será fraca e pouco efetiva, a 
menos que os desenhos de apresentação sejam 
completos e persuasivos (com convenções com-
preendidas e conteúdo significativo). Entretanto, 
uma apresentação efetiva também possui impor-
tantes características de conjunto.
Ponto de vista
Seja claro a respeito da intenção do desenho. 
Uma apresentação deve comunicar a ideia ou o 
conceito central de um projeto. Diagramas grá-
ficos e textos são meios eficazes de articulação 
e esclarecimento dos aspectos essenciais de um 
esquema de projeto, especialmente quando eles 
estão visualmente relacionados com os tipos mais 
comuns de representação gráfica.
Eficiência
Seja econômico nos meios, utilizando apenas o 
necessário para comunicar uma ideia. Se algum 
elemento gráfico de uma apresentação se tornar 
excessivo ou um fim em si mesmo, ele ofuscará a 
intenção e a proposta da apresentação.
Clareza
Seja articulado. Com o mínimo de elementos, os 
desenhos de apresentação devem explicar um 
projeto claramente e com detalhes suficientes, de 
modo que as pessoas não familiarizadas com ele 
sejam capazes de entender a proposta de projeto. 
Elimine distrações não intencionais, como as cau-
sadas por relações ambíguas de figura e fundo ou 
agrupamentos de desenhos inadequados. Muitas 
vezes, não identificamos esses erros, pela dificul-
dade de ler o próprio trabalho de maneira objetiva, 
já que sabemos bem o que queremos comunicar.
Precisão
Evite distorcer ou apresentar informações incor-
retas. Desenhos de apresentação devem simular 
com precisão a realidade projetada e as conse-
quências de ações futuras, para que as decisões 
tomadas com base nas informações apresenta-
das sejam racionais e fundamentadas.
DESENHOS DE APRESENTAÇÃO
205
Unidade
Seja organizado. Nenhum segmento deve ser incon-
sistente ou destoar do conjunto. A noção de unida-
de, que não deve ser confundida com uniformidade, 
depende de:
 • Distribuição lógica e abrangente de informações 
gráficas e verbais
 • Síntese de formato, escala, meio e técnica ade-
quada ao projeto, ao lugar e ao público para a qual 
a apresentação é dirigida
Continuidade
Cada etapa de uma apresentação deve estar rela-
cionada à precedente e à seguinte, reforçando as 
demais partes da apresentação.
Os princípios de unidade e continuidade estão 
inter-relacionados: um não pode ser alcançado sem 
o outro. Os fatores que produzem um invariavelmen-
te reforçam o outro. Ao mesmo tempo, podemos 
reforçar a ideia central de um projeto por meio da 
distribuição e do ritmo dos elementos principais e 
de suporte presentes na apresentação.
DESENHOS DE APRESENTAÇÃO
206
Um desenho isolado não pode explicar total-
mente um projeto. O caráter tridimensional e 
a forma de um projeto podem ser comunica-
dos apenas por meio da apresentação coor-
denada de desenhos relacionados. De modo a 
explicar e esclarecer aspectos que escapam 
às possibilidades do desenho, recorremos a 
diagramas, símbolos gráficos, títulos e tex-
tos. Em qualquer apresentação de projeto, 
portanto, devemos planejar cuidadosamente 
a sequência e a distribuição de todos os ele-
mentos seguintes:
Imagens gráficas
 • Desenhos
 • Diagramas
Símbolos gráficos
 • Setas de norte
 • Escalas gráficas
Fonte
 • Títulos
 • Legendas
 • Texto
Todos os elementos acima têm as seguintes 
propriedades, que devem ser consideradas 
ao compor uma apresentação visualmente 
equilibrada:
 • Formato, tamanho, valor tonal e peso vi-
sual
 • Posição, direção e intervalo
ELEMENTOS DE APRESENTAÇÃO
207
Geralmente lemos uma apresentação de projeto 
da esquerda para a direita e de cima para baixo. 
As apresentações em diapositivos ou em compu-
tador, entretanto, envolvem sequências no tempo. 
Em qualquer caso, a temática apresentada deve 
progredir em sequência, de uma escala pequena a 
uma escala grande, das vistas gerais e de contexto 
para as específicas.
ELEMENTOS DE APRESENTAÇÃO
 • Planta de localização/
planta de situação
 • Vistas de linhas 
paralelas
 • Detalhes
 • Plantas baixas
 • Diagramas • Elevações da edificação • Cortes da edificação
 • Vistas em perspectiva
208
A sequência e o alinhamento dos desenhos de-
vem reforçar suas relações previstas.
 • Oriente todas as plantas de maneira similar. 
Sempre que possível, oriente os desenhos em 
planta, na folha, com o norte para cima ou 
para baixo.
 • A planta do segundo pavimento ou do pa-
vimento térreo pode estender-se e incluir 
espaços e características externas, como 
pátios, obras de paisagismo e jardins.
 • Relacione as plantas baixas de edifícios com 
pavimentos múltiplos, tanto vertical, um 
sobre o outro, quanto horizontalmente, lado 
a lado.
 • Os arranjos verticais devem começar com os 
níveis de pavimento mais baixos estando na 
parte inferior da folha de desenho, subindo 
para os níveis mais altos.
 • Os arranjos horizontais devem começar 
com os níveis de pavimento mais baixos à 
esquerda e seguir para os níveis mais altos 
à direita.
 • Sempre que possível, alinhe as plantas bai-
xas por suas dimensões maiores.
 • Disponha as elevações dos edifícios, tanto 
vertical quanto horizontalmente, correlacio-
nando-as, sempre que possível, às plantas 
baixas.
 • De modo semelhante, organize os cortes dos 
edifícios, tanto vertical quanto horizontal-
mente, e relacione-os, sempre que possível, 
às plantas baixas e elevações.
 • Desenvolva o leiaute de uma série de vistas 
de linhas paralelas relacionadas vertical ou 
horizontalmente. Quando cada desenho se 
baseia no anterior, trabalhe de baixo para 
cima ou siga da esquerda para a direita.
 • Relacione vistas em perspectiva e de linhas 
paralelas o mais diretamente possível ao pla-
no do desenho para mostrar de modo mais 
vantajoso seu contexto ou ponto de vista.
 • Inclua pessoas e mobiliário para mostrar a 
escala e o uso de espaços em todos os de-
senhos.
RELAÇÕES DE DESENHO
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na BibliotecaVirtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
COMUNICAÇÃO
GRÁFICA MODERNA
COMUNICAÇÃO
GRÁFICA MODERNA
Frederick E. Giesecke
Alva Mitchell / Henry Cecil Spencer
Ivan Leroy Hill / John Thomas Dygdon / James E. Novak
Shawna Lockhart
G455c Giesecke, Frederick E.
Comunicação gráfica moderna [recurso eletrônico] /
Frederick E. Giesecke ... [et al.] ; traduçãoAlexandre Kawano ...
[et al.]. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2008.
Editado também como livro impresso em 2002.
ISBN 978-85-7780-375-0
1. Engenharia gráfica – Desenho técnico. I. Título.
CDU 744
Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/Prov-021/08
CAPÍTULO 4 • CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS E FUNDAMENTOS DO MODELAMENTO 81
4.8 TRAÇANDO UM TRIÂNGULO DADAS AS
MEDIDAS DOS LADOS
Sejam os lados a, b e c, como na Figura 4.9:
I. Desenhe um dos lados, por exemplo c. Desenhe um arco
com raio igual ao lado a.
II. Desenhe um segundo arco com raio igual ao lado b.
III. Desenhe os lados a e b a partir da interseção dos arcos. FIGURA 4.9 Traçando um triângulo dados os lados.
a
b
c
a
c
bb
c
Um triângulo também pode ser definido pelas medidas de
dois lados e o ângulo entre eles, ou pela medida de um lado e os
dois ângulos adjacentes. Uma vez que estas são construções fa-
cilmente executadas usando um sistema CAD ou um transferi-
dor, não serão apresentadas.
4.9 TRAÇANDO UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
DADOS A HIPOTENUSA E UM LADO
Para desenhar um triângulo retângulo conhecendo-se a hipotenu-
sa e um dos lados, como na Figura 4.10, desenhe um semicírculo
com o diâmetro igual ao lado dado s. Usando A como centro
e a medida de r como raio, desenhe um arco ou círculo que inter-
cepta o primeiro semicírculo em C. Desenhe os segmentos de re-
ta e para completar o triângulo retângulo.
4.10 CONSTRUINDO UMA MEDIATRIZ
Uma mediatriz é uma linha perpendicular que divide um seg-
mento em duas partes iguais. Esta é uma construção muito útil
porque a mediatriz de qualquer corda de um círculo passa no seu
centro. A Figura 4.11 mostra um segmento a ser dividido em
duas partes iguais por uma linha perpendicular.
I. Com centro em A e em B, desenhe arcos iguais com raio
maior que a metade de .
II. Una os pontos de interseção dos arcos (D e E) através de
uma reta. A linha DE intercepta o segmento em C, seu
ponto médio.
III. A linha DE será a perpendicular no ponto médio de .AB
AB
AB
AB
CBAC
AB
82 COMUNICAÇÃO GRÁFICA MODERNA
Passo a passo 4.1
A figura da direita mostra o
ângulo BAC a ser dividido.
1. Crie um arco de raio
grande r. 
2. Crie arcos com raios r’ li-
geiramente maiores que
metade do segmento BC,
para se encontrarem em
D.
3. Crie a linha AD, que é a
bissetriz do ângulo.
Passo a passo 4.1
Obtendo a bissetriz de um ângulo
BISSETRIZ
ÂNGULOS IGUAIS
QUALQUER RAIO
CONVENIENTE
ÂNGULO DADO
r
r' = r' r'
r'
FIGURA 4.10 Traçando um triângulo retângulo.
LADOS
DADOS
s
s
r
c
ba
r
FIGURA 4.11 Dividindo um segmento de reta e um arco de cir-
cunferência em duas partes iguais.
SEGMENTO OU
ARCO DADOS
CENTRO
PERPENDICULAR
CAPÍTULO 4 • CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS E FUNDAMENTOS DO MODELAMENTO 83
Os sistemas CAD permitem o traçado rápido de mediatrizes.
Uma maneira de traçar a mediatriz é desenhar uma reta perpen-
dicular ao segmento dado em um ponto qualquer. Depois, basta
movê-la para o ponto médio do segmento usando uma ferramen-
ta tal como snap-to-midpoint.
4.11 CONSTRUÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIAS
A maioria dos sistemas CAD possuem ferramentas fáceis de us-
ar para o traçado de uma circunferência que passe por três pon-
tos, para determinar o centro de um círculo ou traçar uma tan-
gente. A familiaridade com as seguintes construções de circun-
Passo a passo 4.2Passo a passo 4.2
Dividindo um segmento em partes iguais
Dicas práticasDicas práticas
Partes proporcionais
1. Desenhe uma linha de construção verti-
cal em um dos extremos do segmento
dado.
2. Fixe o zero da escala no outro extremo
do segmento.
3. Gire a escala até que o número de divi-
sões necessárias coincida na linha ver-
tical (por exemplo, três unidades para
dividir em três partes).
4. Faça marcas leves em cada posição.
Dividindo um segmento em partes
proporcionais
Imagine que seja necessário dividir um seg-
mento em três partes proporcionais a
2, 5 e 9.
Desenhe uma linha vertical no ponto B. Es-
colha uma escala conveniente para um total
de 9 unidades e fixe o zero da escala em A.
AB
Rotacione a escala até que a nona unidade
coincida com a linha vertical. Ao longo da
escala, marque as posições corresponden-
tes a 2, 5 e 9 unidades. Desenhe linhas ver-
ticais por esses pontos.
SEGMENTO DADO
3 SEGMENTOS IGUAIS
5. Desenhe linhas de construção verticais passando em
cada posição.
A divisão de segmentos em partes iguais tem aplicação,
por exemplo, para o desenho de (a) roscas de parafusos,
(b) arranjo de estruturas e (c) degrau de escadas.
84 COMUNICAÇÃO GRÁFICA MODERNA
ferências podem ajudar a interpretar melhor os desenhos, a criar
esboços à mão livre e a produzir a geometria em um sistema
CAD com precisão.
UMA CIRCUNFERÊNCIA QUE PASSA POR TRÊS
PONTOS
I. Sejam A, B e C três pontos dados, como na Figura 4.12.
Desenhe os segmentos e , que serão cordas do cír-
culo.
II. Trace as mediatrizes EO e DO que se interceptam no pon-
to O.
III. Com centro em O e raio , ou , desenhe a cir-
cunferência que passa pelos pontos dados.
O CENTRO DE UM CÍRCULO
Por princípio, qualquer triângulo retângulo inscrito em uma cir-
cunferência determina um semicírculo. Desenhe uma corda
qualquer , preferencialmente horizontal, como na Figura
4.13. Construa perpendiculares em A e B, que interceptam a cir-
cunferência em D e E. A interseção entre DB e EA se dá no cen-
tro do círculo.
Outro método é desenhar quaisquer duas cordas não-parale-
las e traçar suas mediatrizes. A interseção entre as mediatrizes
será o centro do círculo.
4.12 TANGÊNCIA
Linhas, circunferências e arcos de um mesmo plano são ditos
tangentes quando têm apenas um ponto comum, mesmo que ne-
cessitem ser prolongados. Podemos comprovar se uma reta é
tangente a uma circunferência ou arco, prolongando-a. Se, quan-
do prolongada, a reta ainda interceptar a circunferência ou arco
em apenas um ponto, é uma tangente. Caso contrário, a reta é se-
cante. Figuras tridimensionais também são tangentes a uma reta
se a tocarem em apenas um ponto. A Figura 4.14 mostra exem-
plos de tangentes na geometria bi e tridimensional.
AB
OCOBOA
BCAB
FIGURA 4.12 Traçando uma circunferência que passa por 3 pontos.
FIGURA 4.13 O centro de uma circunferência. FIGURA 4.14 Tangência.
A linha de tangência intercepta
a circunferência em apenas 1 ponto, 
mesmo que necessite ser prolongada
Secante
(Interseções)
Tangente
 Secantes
(Interseções)
CAPÍTULO 4 • CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS E FUNDAMENTOS DO MODELAMENTO 85
FIGURA 4.15 Traçando uma circunferência tangente a uma reta.
LINHA DADA
RAIODADO
CENTRO DA 
CIRCUNFERÊNCIAPONTO DE
TANGÊNCIA DADO
FIGURA 4.16 Traçando um arco tangente a duas re-
tas ortogonais.
ÂNGULO
RETO
EXEMPLO
r
r
r r
Dada uma reta tangente a uma circunferência ou um arco,
uma reta radial (linha que passa pelo centro do círculo) é per-
pendicular à reta tangente no ponto de tangência.
DESENHANDO UMA TANGENTE A UMA 
CIRCUNFERÊNCIA QUE PASSA EM UM PONTO
DETERMINADO
Conforme mostra a Figura 4.15, dada uma reta AB e um ponto P
pertencente à reta, uma circunferência de raio r tangente a AB no
ponto P pode ser desenhado da seguinte maneira:
I. Desenhar uma perpendicular à reta, no ponto P.
II. Com centro no ponto P, traçar um arco com raio r e marcar
o ponto C na perpendicular.
III. Traçar o círculo com raio r e centro em C.
DESENHANDO UM ARCO TANGENTE A DUAS RETAS
PERPENDICULARES
I. São dadas duas retas perpendiculares como na Figura 4.16.
II. Trace um arco com raio r que intercepta as retas dadas nos
pontos de tangência T.
III. Com o mesmo raio e tomando os pontos T como centros,
trace os arcos que se interceptam em C.
IV. Com centro em C e raio r, o arco tangente às retaspode en-
tão ser traçado.
Muitos programas de CAD possuem o comando fillet que
possibilita o traçado de arcos tangentes a retas e arcos rapida-
mente. Entender essas técnicas pode ajudar a desenvolver a habi-
lidade em esboços, mesmo que não seja necessário construir uma
geometria CAD.
DESENHANDO UM ARCO TANGENTE A DUAS RETAS
QUE FORMAM ENTRE SI ÂNGULO AGUDO OU OBTU-
SO
I. Sejam duas retas que se interceptam não perpendicular-
mente, como na Figura 4.17.
II. Trace retas paralelas às retas dadas a igual distância, r, en-
tre elas. A interseção dessas retas, C, será o centro do arco
tangente.
III. Em C, trace perpendiculares às retas dadas para determinar
os pontos de tangência T.
IV. Com centro em C e com o raio r, trace o arco tangente às
retas.
TRAÇANDO UM ARCO TANGENTE A DOIS ARCOS
I. São dados os arcos com centros A e B e o raio r, como na
Figura 4.18.
II. Com A e B como centros, trace arcos concêntricos aos ar-
cos dados com raios iguais aos dos arcos dados acrescidos
de r; a interseção C é o centro do arco tangente procurado.
III. Trace retas dos centros AC e BC para determinar os pontos
de tangência T e trace o arco tangente entre os pontos de
tangência.
TRAÇANDO ARCOS TANGENTES CONCORDANTES
EM UMA CURVA.
Esboçe uma curva suave, como mostrada na Figura 4.19. Deter-
mine o radio r e o centro C que produzirá o arco AB que se apro-
xima daquela porção da curva. Os demais centros, D, E e assim
por diante, estarão nas retas que unem os centros com os pontos
de tangência.
FIGURA 4.17 Traçando arcos tangentes.
ÂNGULO
AGUDO
ÂNGULO
OBTUSO
EXEMPLO
EXEMPLO
r
r
r
r
r
r
86 COMUNICAÇÃO GRÁFICA MODERNA
TRAÇANDO UMA CURVA “ARCO DE GOLA”
CONCORDANTE COM DUAS LINHAS PARALELAS
Curvas que concordam com duas retas paralelas são denomina-
das “arco de gola” se cada uma tiver 90 graus como medida do
ângulo central. A Figura 4.20a mostra as linhas paralelas NA e
BM. Para desenhar um arco de gola, trace a reta AB e escolha T
como ponto de inflexão (no ponto médio de para dois arcos
iguais). Em A e B, trace as perpendiculares AF e BC e, a seguir, as
mediatrizes de e . As interseções F e C entre as mediatrizes
e as perpendiculares são os centros dos arcos tangentes.
BTAT
AB
FIGURA 4.18 Traçando um arco tangente a dois outros arcos.
EXEMPLO
EXEMPLO
r
FIGURA 4.19 Traçando uma curva formada para uma série de
arcos concordantes.
r
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
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da Instituição, você encontra a obra na íntegra.