P A e P G

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PROGRESSÕES ARITMÉTICAS 
 
A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a 
diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença 
constante é chamada de razão da P.A. 
As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de 
termos (P.A. finita) ou um número infinito de termos (P.A. infinita). 
EXEMPLOS 
a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A. 
a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. 
 
Termo geral da PA 
 
Sabendo que cada termo de uma PA é igual ao seu anterior somado a uma 
constante, podemos escrever os termos da PA em função do primeiro termo. 
Na progressão A = (1, 3, 5, 7, 9), por exemplo, teremos: 
 
a1 = 1 
 
a2 = 3 = 1 + 2 
 
a3 = 5 = 3 + 2 = (1 + 2) + 2 = 1 + 2·2 
 
a4 = 7 = 5 + 2 = (1 + 2 + 2) + 2 = 1 + 2·3 
 
a5 = 7 = 5 + 2 = (1 + 2 + 2 + 2) + 2 = 1 + 2·4 
 
 Assim podemos escrever os termos dessa PA em função do primeiro da 
seguinte maneira: 
 
a1 = a1 
 
a2 = a1 + r 
 
a3 = a1 + r + r = a1 + 2r 
 
a4 = a1 + r + r + r = a1 + 3r 
 
… 
 
an = a1 + r + r + r … + r = a1 + r(n – 1) 
 
 
Reescrevendo a última igualdade e reorganizando os termos do último 
membro, teremos: 
 
an = a1 + (n – 1)r 
 
com n sendo número de termos 
 
 
Soma de Termos da P.A 
 
Dada a P.A (1, 2, 3, ..., 98, 99, 100), determine a soma dos seus 100 primeiros 
termos. 
 
S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 
 
Observe que, do número 1 até o número 100, existem exatamente 100 números. 
Se somar os números extremos da sequência dois a dois, obteria 50 resultados iguais 
a 101. Por isso, essa multiplicação foi feita por metade do total de termos. 
 
 Assim podemos generalizar esse resultado para uma P.A qualquer, tendo: 
 
Sn = (a1 +an)
n
2
 = 
(a1+ an)n
2
 
 
EXERCICIOS 
 
01. Em um experimento, uma planta recebe a cada dia 5 gotas a mais de água do que 
havia recebido no dia anterior. Se no 65º dia ela recebeu 374 gotas de água, no 1º dia 
do experimento ela recebeu: 
 
A) 64 gotas. 
B) 49 gotas. 
C) 59 gotas. 
D) 44 gotas. 
E) 54 gotas. 
 
02. Uma empresa possui duas fábricas para produzir o mesmo item. Em novembro de 
2017 a fábrica A produz 500 unidades e a fábrica B produz 1100 unidades. A empresa 
então decide incrementar mensalmente a produção da fábrica A em 65 unidades e a 
da fábrica B em 25 unidades. Desta forma, em dezembro de 2017 a fábrica A 
produzirá 565 unidades e a fábrica B produzirá 1125 unidades. Qual o primeiro mês (e 
ano) que a produção mensal na fábrica A superará a produção mensal na fábrica B? 
 
A) Janeiro de 2019 
B) Fevereiro de 2019 
C) Março de 2019 
D) Abril de 2019 
E) Dezembro de 2018 
 
03. Para que a sequência (4x-1, x²-1, x-4) forme uma progressão aritmética, x pode 
assumir, dentre as possibilidades abaixo, o valor de: 
 
a) -0,5 b) 1,5 c) 2 d) 4 e) 6 
 
04. O número de múltiplos de 7 entre 1.000 e 10.000 é: 
 
A) 1280 B) 1284 C) 1282 D) 1286 E) 1288 
 
05. Em um treinamento de condicionamento físico, um soldado inicia seu primeiro dia 
correndo 800 m. No dia seguinte corre 850 m. No terceiro 900 m e assim 
sucessivamente até atingir a meta diária de 2.200 m. Ao final de quantos dias, ele terá 
alcançado a meta? 
A) 31 B) 29 C) 27 D) 25 E) 23 
 
 
06. Numa progressão aritmética de 100 termos, a3 = 10 e a98 = 90, a soma de todos os 
termos é: 
 
A) 10.000 B) 9.000 C) 4.500 D) 5.000 E) 7.500 
 
07. A soma de todos os números inteiros de 1 a 100, divisíveis por 3, é igual a: 
 
A) 1382 B) 1200 C) 1583 D) 1683 E) 1700 
 
08. A soma dos termos de PA é dada por Sn = n2 – n, para n= 1, 2, 3, ... Então o 100º 
termo dessa PA vale: 
 
A) 198 B) 900 C) 810 D) 1020 E) 998 
 
GABARITO 
 
01.E 
02.C 
03.B 
04.D 
05.B 
06.D 
07.D 
08.A
 
PROGRESSÕES GEOMETRICAS 
Progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que, após o primeiro 
termo, os termos posteriores da sequência são construídos a partir da multiplicação de 
uma razão q pelo termo antecessor. 
Termo Geral 
Temos a sequência (2,6,18,54,162) 
Os termos da sequência são representados por (a1, a2, a3, a4, a5 …). Notamos também 
que a razão (q) vale 3 pois: 
Se a1 = 2, então: 
a2 = a1 . q = 2.3 = 6 
Agora se a3 = a2 . q 
a3 = 6.3 = 2.3.3 = 18 = a1 . q2 
se a4 = a3 . q = 18.3 = 2.3.3.3 = 54 = a1 . q3 
a5 = a4 . q = 54.3 = 2.3.3.3.3 = 162.= a1 . q4 
Logo, podemos concluir que para encontrar um termo dessa sequência precisaremos 
do primeiro termo e da razão (q) e essa razão será sempre um numero a menos do 
termo (n) que queremos encontrar. 
Assim 
an = a1 . q(n - 1) → TERMO GERAL DA P.G 
Soma de termos de P.G 
1º) P.G finita 
Vamos trabalhar com a sequência (a1, a2, a3, a4, a5 …) que é uma PG de razão igual a 
q. Chamando a soma de n termos da P.G de Sn: 
Sn = 
an∙q- a1
q-1
 = 
a1∙(qn- 1)
q-1
 
2º) P.G infinita 
S
∞= 
a1
1-q
 
EXERCICIOS 
01. Numa cultura de bactérias, o número de indivíduos triplica a cada hora. Se, 
inicialmente, o número de indivíduos é igual a 9, ao final de 12 horas será igual a: 
 
a) 39 b) 310 c) 311 d) 313 e) 314
02. Inserindo cinco meios positivos entre 4 e 2916, nesta ordem, obtém-se uma 
progressão geométrica de razão: 
 
a) 3 b) 1/3 c) 2 d) 1/2 e) 1/4 
 
03. Durante os dois primeiros minutos do lançamento de um foguete, ele consome 2% 
do combustível remanescente no tanque a cada 15 segundos. Se esse foguete foi 
lançado com q litros de combustível, após 2 minutos, a quantidade de combustível em 
seu tanque, em litros, será igual a 
 
a) q . 0,020,125 
b) q . 0,028 
c) q . 0,988 
d) q . 0,9815 
e) q . 0,84 
 
04. Determine a razão da P.G. em que a4 + a6 = 160 e a5 + a7 = 320 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 
 
05. Uma pintura de grande importância histórica foi comprada em 1902 por 100 
dólares, e, a partir de então, seu valor tem dobrado a cada 10 anos. O valor dessa 
pintura, em 2002, era de 
 
a) 100 000 dólares. 
b) 200 000 dólares. 
c) 51 200 dólares. 
d) 102 400 dólares. 
e) 150 000 dólares 
 
06. Uma empresa resolveu divulgar um evento pela internet. Para isso, enviou uma 
mensagem por e-mail para 2 pessoas, as quais deveriam retransmiti-la a outras 2 
pessoas no dia seguinte, e assim por diante. Suponha que este processo tenha sido 
seguido à risca pelas pessoas, sempre enviando a mensagem para outras 2 pessoas 
no dia seguinte. Em uma semana, o número total de pessoas que terá recebido esta 
mensagem será de: 
 
a) 14 b) 49 c) 126 d) 254 e) 508 
 
07. Quantos termos da progressão geométrica (1, 2, 4, ...) devemos somar para que a 
soma seja 1023? 
 
a) 5 b) 8 c) 10 d) 15 e) 20 
 
08. Na figura abaixo, o lado do quadrado maior mede 1 e os outros quadrados foram 
construídos de modo que a medida do respectivo lado seja a metade do lado do 
quadrado anterior. Imaginando que a construção continue indefinidamente, a soma 
das áreas de todos os quadrados será: 
 
a) 2 b) 4/3 c) 3/2 d) 3 e) 15/8 
 
 
 
GABARITO 
 
01. E 
02. A 
03. C 
04. A 
05. D 
06. D 
07. C 
08. B