2024-SF Aula 02 - C - Ciclos Ideais - Processos Isoentrópicos

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Universidade Paulista
Sistemas Fluidotérmicos
Aula 02 – 28.02.24
Gases Ideais – Processos 
Isoentrópicos
Curso Engenharia Mecânica
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Muitas equações para processos isoentrópicos de gases ideais podem ser obtidas igualando-se a
equação de variação de entropia a zero. Isto é feito primeiramente para o caso do calor específico
constante e depois para o caso em que o calor específico varia com a temperatura.
Gases Ideais – Processos Isoentrópicos
Quando a hipótese de calor específico constante é válida as equações para gases ideais são obtidas
como segue:
Calor específico constante – Análise aproximada
𝑠2 − 𝑠1 = 𝑐𝑣 𝑚é𝑑. 𝑙𝑛
𝑇2
𝑇1
+ 𝑅. 𝑙𝑛
𝑣2
𝑣1
𝑘𝐽/(𝑘𝑔𝐾)
𝑠2 − 𝑠1 = 𝑐𝑝 𝑚é𝑑 . 𝑙𝑛
𝑇2
𝑇1
− 𝑅. 𝑙𝑛
𝑃2
𝑃1
𝑘𝐽/(𝑘𝑔𝐾)
7-33 (1)
7-34 (2)
Processos Isoentrópicos (slide 01/11)
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𝑙𝑛
𝑇2
𝑇1
= −
𝑅
𝑐𝑣
𝑙𝑛
𝑣2
𝑣1
A qual pode ser rearranjada como:
𝑙𝑛
𝑇2
𝑇1
= 𝑙𝑛
𝑣1
𝑣2
Τ𝑅 𝑐𝑣
ou:
𝑇2
𝑇1 𝑠=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
=
𝑣1
𝑣2
𝑘−1
𝐺á𝑠 𝐼𝑑𝑒𝑎𝑙
Uma vez que 𝑅 = 𝑐𝑝 − 𝑐𝑣 e 𝑘 = Τ𝑐𝑝 𝑐𝑣 e portanto Τ𝑅 𝑐𝑣 = 𝑘 − 1.
A equação (4) é a primeira equação isoentrópica para gás ideal sob a consideração de calor específico
constante. A segunda equação isoentrópica é obtida numa maneira similar da equação (2) com o
seguinte resultado:
𝑇2
𝑇1 𝑠=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
=
𝑃2
𝑃1
Τ𝑘−1 𝑘
𝐺á𝑠 𝐼𝑑𝑒𝑎𝑙
(3)
(4)
(5)
Processos Isoentrópicos (slide 02/11)
𝑐𝑝 − 𝑐𝑣
𝑐𝑣
=
𝑐𝑝
𝑐𝑣
−
𝑐𝑣
𝑐𝑣
= 𝑘 − 1
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A terceira equação isoentrópica é obtida pela substituição da equação (5) na (4):
A constante adiabática 𝑘, em geral, varia com a temperatura e portanto um valor médio de 𝑘 deve ser
usado.
𝑃2
𝑃1 𝑠=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
=
𝑣1
𝑣2
𝑘
𝐺á𝑠 𝐼𝑑𝑒𝑎𝑙
Quando a variação de temperatura é grande durante um processo e o calor específico do gás ideal varia
não linearmente dentro da faixa de temperatura a consideração de calor específico constante pode levar
a erros consideráveis nos cálculos de variação de entropia. Para estes casos, a variação do calor
específico com a temperatura deve ser considerada pelo uso de equações exatas para o calor específico
em função da temperatura. A variação de entropia durante um processo é determinada pela substituição
do 𝑐𝑝(𝑇) ou 𝑐𝑣(𝑇) nos termos de valores médios das equações (1) ou (2) e realizando-se as integrações.
Ao invés de executar integrais trabalhosas para cada novo processo, é conveniente efetuar-se esta
integral uma vez e tabular os resultados.
Calor específico variável – Análise exata
(6)
Processos Isoentrópicos (slide 03/11)
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Obviamente, 𝑠𝑜 é uma função da temperatura apenas e seu valor é zero na temperatura zero. Os valores
de 𝑠𝑜 são calculados em várias temperaturas e os resultados são tabelados como função da temperatura
do ar. Dadas estas definições a integral na equação (7) torna-se
𝑠𝑜 = න
0
𝑇
𝑐𝑝(𝑇)
𝑑𝑇
𝑇
Onde 𝑠2
0 é o valor de 𝑠𝑜 em T2 e 𝑠1
0 é o valor de 𝑠𝑜 em T1 . Assim,
න
1
2
𝑐𝑝(𝑇)
𝑑𝑇
𝑇
= 𝑠2
0 − 𝑠1
0
𝑠2 − 𝑠1 = 𝑠2
0 − 𝑠1
0 − 𝑅. 𝑙𝑛
𝑃2
𝑃1
Note que diferentemente da energia interna ou da entalpia, a entropia de um gás ideal varia com o
volume específico e com a pressão, assim como com a temperatura. Portanto, a entropia não pode ser
tabelada como função da temperatura somente.
(7)
(8)
(9)
Com este objetivo, escolhe-se a temperatura de zero absoluto como a temperatura de referência e
define-se a função 𝑠𝑜 como:
Processos Isoentrópicos (slide 04/11)
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝐴𝑟: 𝐶𝑃 𝑇 = 𝐶0 + 𝐶1𝜃 + 𝐶2𝜃
2 + 𝐶3𝜃
3 [Borgnakke]
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Ar é comprimido a partir de um estado inicial de 100 kPa e 17oC até um estado final de 600 kPa e 57oC.
Determine a variação de entropia do ar durante este processo de compressão utilizando-se:
a) Valores adequados da tabela do ar;
b) Calor específico médio.
Exercício 1
Processos Isoentrópicos (slide 05/11)
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Quando a abordagem do calor específico constante não é apropriada, as equações isoentrópicas (3) a
(6) concebem resultados que não são tão exatos. Nestes casos, deve-se utilizar uma equação (9) que
considere a variação de calor específico com a temperatura. Colocando-se esta equação igual a zero,
obtém-se:
0 = 𝑠2
0 − 𝑠1
0 − 𝑅. 𝑙𝑛
𝑃2
𝑃1
ou
𝑠2
0 = 𝑠1
0 + 𝑅. 𝑙𝑛
𝑃2
𝑃1
Onde 𝑠2
0 é o 𝑠0 no fim do processo isoentrópico.
(10)
Processos Isoentrópicos (slide 06/11)
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Com o objetivo de se remediar esta situação, são definidas duas novas quantidades adimensionais
associadas a processos isoentrópicos.
A definição da primeira é baseada na equação (10) a qual pode ser rearranjada como:
𝑃2
𝑃1
= 𝑒
𝑠2
0−𝑠1
0
𝑅
𝑃2
𝑃1
=
𝑒( Τ𝑠2
0 𝑅)
𝑒 Τ(𝑠1
0 𝑅)
A quantidade 𝑒 Τ𝑠0 𝑅 é definida como a pressão relativa Pr.. Com esta definição a relação torna-se:
𝑃2
𝑃1 𝑠=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
=
𝑃𝑟2
𝑃𝑟1
(11)
Pressão Relativa e Volume Específico Relativo
A equação (10) fornece uma maneira refinada de avaliar a variação de propriedades de gases ideais
durante processos isoentrópicos, uma vez que ela considera a variação do calor específico com a
temperatura. Contudo, isto envolve iterações tediosas quando a razão de volume é dada ao invés da
relação de pressões. Isto é muito inconveniente em estudos de otimização, os quais exigem cálculos
numerosos repetitivos.
Processos Isoentrópicos (slide 07/11)
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𝑃1𝑣1
𝑇1
=
𝑃2𝑣2
𝑇2
⇒
𝑣2
𝑣1
=
𝑇2𝑃1
𝑇1𝑃2
=
𝑇2𝑃𝑟1
𝑇1𝑃𝑟2
=
Τ𝑇2 𝑃𝑟2
Τ𝑇1 𝑃𝑟1
A quantidade T/Pr é uma função da temperatura somente e é definida como volume específico relativo 𝑣r.
Portanto,
𝑣2
𝑣1 𝑠=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
=
𝑣𝑟2
𝑣𝑟1
(12)
As equações (11) e (12) são válidas somente nos processos isoentrópicos de gases ideais. Elas
contabilizam a variação do volume específico com a temperatura e fornecem resultados mais exatos que
as equações (3) a (6). Os valores Pr e 𝑣r são apresentados na tabela A-17.
Note que a pressão relativa é uma quantidade adimensional que é função da temperatura somente.
Portanto, valores de Pr. podem ser tabelados em função da temperatura.
Às vezes, razões de volumes específicos são dadas ao invés de razões de pressões. Este é o caso
particularmente quando motores automotivos são analisados.
Nestes casos é necessário o cálculo com relação de volumes. Portanto, é definida uma nova quantidade
relacionada à razão de volumes para os processos isoentrópicos. Isto é feito utilizando-se a equação de
gás ideal e a equação (11):
Processos Isoentrópicos (slide 08/11)
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Processo isoentrópico (Tabela A-17):
𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑃1, 𝑇1, 𝑒 𝑃2 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑇2:
𝑇 𝑃𝑟
𝑇2 𝑃𝑟2 =
𝑃2
𝑃1
𝑃𝑟1
𝑇1 𝑃𝑟1
𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑣1, 𝑇1, 𝑒 𝑣2 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑇2:
𝑇 𝑣𝑟
𝑇2 𝑣𝑟2 =
𝑣2
𝑣1
𝑣𝑟1
𝑇1 𝑣𝑟1
Processos Isoentrópicos (slide 09/11)
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Ar é comprimido num motor automotivo de 22oC a 95 kPa de maneira adiabática e reversível. Se a taxa
de compressão V1/V2 deste motor é 8, determine a temperatura final do ar.
Exercício 2
Processos Isoentrópicos (slide 10/11)
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Çengel, Y.A. e Boles, M.A., “Termodinâmica”, 5ª Ed., Editora McGraw-Hill, 2007.
Bibliografia
Processos Isoentrópicos (slide 11/11)
Borgnakke, C. e Sonntag, R.E., “Fundamentos da Termodinâmica”, 7ª Ed., Editora Edgard Blucher, 2010.