Problemas de Matemática

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73. Questão: Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{45} (4k - 3) \). 
 Resposta: O valor é \( 4 \times \frac{45(45 + 1)}{2} - 3 \times 45 = 9453 \). 
 
74. Questão: Se \( A = \{a, b, c, d\} \), quantos subconjuntos podem ser formados 
contendo pelo menos 2 elementos? 
 Resposta: O número de subconjuntos é \( 2^4 - \binom{4}{1} - \binom{4}{0} = 14 \). 
 
75. Questão: Se \( n = 16 \), qual é o valor de \( \binom{n}{2} - \binom{n}{3} + \binom{n}{4} 
\)? 
 Resposta: O valor é \( \binom{16}{2} - \binom{16}{3} + \binom{16}{4} = 120 - 560 + 1820 = 
1380 \). 
 
76. Questão: Qual é o número mínimo de cores necessárias para colorir um grafo 
completo com 10 vértices? 
 Resposta: O número mínimo de cores é 10. 
 
77. Questão: Se \( A = \{1,2,3,4,5\} \), quantos subconjuntos podem ser formados 
contendo no máximo 3 elementos? 
 Resposta: O número de subconjuntos é \( 2^5 - \binom{5}{4} - \binom{5}{5} = 26 \). 
 
78. Questão: Determine o número de soluções inteiras não negativas da equação \( x_1 + 
x_2 + x_3 = 16 \). 
 Resposta: O número de soluções é \( \binom{16 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{18}{2} = 153 \). 
 
79. Questão: Se \( |A| = 14 \) e \( |B| = 15 \), quantos elementos existem em \( A \times B \)? 
 Resposta: O número de elementos em \( A \times B \) é \( 14 \times 15 = 210 \). 
 
80. Questão: Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{50} k^2 \). 
 Resposta: O valor é \( \frac{50(50 + 1)(2 \times 50 + 1)}{6} = 42925 \). 
 
81. Questão: Se \( n = 17 \), qual é o valor de \( \binom{n}{3} - \binom{n}{4} + \binom{n}{5} - 
\binom{n}{6} \)?