Matematica todos os anos e idades-107

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75. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Dividimos o numerador e o denominador por \( x 
\) e aplicamos a propriedade do limite. 
 
76. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + y = \sin(x) \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) - \frac{1}{2}\cos(x) \), onde \( 
C_1 \) e \( C_2 \) são constantes arbitrárias. Explicação: Usamos o método da solução 
particular mais a solução geral da equação homogênea. 
 
77. Problema: Determine o valor de \( \sin(7\pi/6) \). 
 Resposta: \( \sin(7\pi/6) = -\frac{1}{2} \). Explicação: Usamos as propriedades do 
triângulo equilátero ou do círculo unitário. 
 
78. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) \) 
no intervalo \( [1, e] \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \). Explicação: Calculamos a integral da diferença entre as 
duas funções no intervalo de interseção. 
 
79. Problema: Determine a solução da equação diferencial \( y' + y = e^x \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = Ce^{-x} + e^x \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Usamos o método da solução particular mais a solução geral da equação 
homogênea. 
 
80. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \tan(x)\sin(x) \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \sec^2(x)\sin(x) + \tan(x)\cos(x) \). Explicação: Aplicamos 
a regra do produto e a derivada da tangente e do seno. 
 
81. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to \pi/3} \frac{\cos(x) - 1/2}{\sin(2x)} \). 
 Resposta: O limite é \( 1/2 \). Explicação: Utilizamos as identidades trigonométricas 
para simplificar a expressão. 
 
82. Problema: Resolva a equação \( 2^x = 8 \) para \( x \). 
 Resposta: A solução é \( x = 3 \). Explicação: Aplicamos a função inversa do logaritmo 
natural para encontrar o valor de \( x \).