Matematica na pratica (91)

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+ 5y' + 6y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-2x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes arbitrárias. Explicação: Utilizamos o método da solução geral para equações 
diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. 
 
132. Problema: Determine o valor de \( \sin(2\pi/3) \). 
 Resposta: \( \sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2 \). Explicação: Usamos as propriedades do triângulo 
equilátero ou do círculo unitário. 
 
133. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) \) 
no intervalo \( [1, e] \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \). Explicação: Calculamos a integral da diferença entre as 
duas funções no intervalo de interseção. 
 
134. Problema: Determine a solução da equação diferencial \( y' - 4xy = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = Ce^{2x^2} \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Usamos o método da solução geral para equações diferenciais lineares de 
primeira ordem. 
 
135. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2} \). Explicação: Aplicamos a 
regra do quociente e a derivada do seno. 
 
136. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Usamos a definição de \( \tan(x) \) em termos de 
sua série de Taylor centrada em \( x = 0 \). 
 
137. Problema: Resolva a equação \( \log_2(x) = 5 \) para \( x \). 
 Resposta: A solução é \( x = 32 \). Explicação: Usamos a definição de logaritmo para 
resolver a equação. 
 
138. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 3x + 1}{3x^3 + 2x + 5} 
\).