Matematica todos os anos e idades-512

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414. Questão: Se \( |A| = 60 \) e \( |B| = 61 \), quantos elementos existem em \( A \times B 
\)? 
 Resposta: O número de elementos em \( A \times B \) é \( 60 \times 61 = 3660 \). 
 
415. Questão: Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{275} k^2 \). 
 Resposta: O valor é \( \frac{275(275 + 1)(2 \times 275 + 1)}{6} = 11075625 \). 
 
416. Questão: Se \( n = 82 \), qual é o valor de \( \binom{n}{3} - \binom{n}{4} + \binom{n}{5} 
- \binom{n}{6} \)? 
 Resposta: O valor é \( \binom{82}{3} - \binom{82}{4} + \binom{82}{5} - \binom{82}{6} = 
102340 - 1820780 + 27511080 - 363242880 = -335344440 \). 
 
417. Questão: Qual é o número máximo de arestas em um grafo simples com 57 vértices? 
 Resposta: O número máximo de arestas é \( \binom{57}{2} = 1596 \). 
 
418. Questão: Se \( A = \{1,2,3,4\} \) e \( B = \{3,4,5,6\} \), qual é a interseção entre \( A \) e \( 
B \)? 
 Resposta: A interseção entre \( A \) e \( B \) é \( \{3,4\} \). 
 
419. Questão: Determine o número de permutações de 31 elementos com 3 elementos 
repetidos. 
 Resposta: O número de permutações é \( \frac{31!}{3!} = 1.633.722.630.240.000 \). 
 
420. Questão: Se \( |A| = 61 \) e \( |B| = 62 \), qual é o número máximo de elementos em \( A 
\cap B \)? 
 Resposta: O número máximo de elementos em \( A \cap B \) é 61. 
 
421. Questão: Qual é o resultado da operação \( 62! \mod 63 \)? 
 Resposta: O resultado é \( 62! \mod 63 = 62 \). 
 
422. Questão: Se \( n = 83 \), qual é o valor de \( \binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \binom{n}{5} 
+ \binom{n}{7} \)?