Material de Matematica (2)

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71. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \tan^2(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = 2\tan(x)\sec^2(x) \). Explicação: Use a regra do produto para derivar a 
função. 
 
72. Problema: Encontre a solução para a equação \( 2^{x + 2} = 16 \). 
 Resposta: \( x = 2 \). Explicação: \( 2^{2 + 2} = 2^4 = 16 \), então \( x = 2 \). 
 
73. Problema: Determine o valor de \( \csc^{-1}(2) \). 
 Resposta: \( \frac{\pi}{6} \). Explicação: \( \csc\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \), então \( 
\csc^{-1}(2) = \frac{\pi}{6} \). 
 
74. Problema: Resolva a equação \( 2\cos(x) - 1 = 0 \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \) ou \( x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n \). Explicação: Use a 
definição de cosseno e encontre os valores em que \( \cos(x) \) é igual a \( \frac{1}{2} \). 
 
75. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \tan(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \sec^2(x) \). Explicação: Use a definição de tangente e encontre a 
derivada. 
 
76. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = 2x \). 
 Resposta: \( e^2 - 1 \). Explicação: Encontre os pontos de interseção das curvas e 
calcule a integral definida entre esses limites. 
 
77. Problema: Resolva a equação \( \frac{x - 1}{x + 2} = 2 \). 
 Resposta: \( x = -3 \). Explicação: Isolare \( x \) combinando termos semelhantes. 
 
78. Problema: Determine a solução para a equação \( \log_2(x - 1) = 3 \). 
 Resposta: \( x = 9 \). Explicação: Use as propriedades dos logaritmos para isolar \( x \). 
 
79. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^3} \). 
 Resposta: \( f'(x) = -\frac{3}{x^4} \). Explicação: Use a regra do quociente e a regra da 
potência para derivar a função.