Exercicios de matematica -(65)

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Resposta: A raiz aproximada é \( x \approx 2.0946 \). 
 
58. Problema: Utilize o método de Runge-Kutta de quarta ordem para resolver a equação 
diferencial \( y'' = -y \) com \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 0 \) em \( x = 3 \). 
 Resposta: A solução aproximada é \( y \approx 0.1661 \). 
 
59. Problema: Implemente o método de Newton para encontrar a raiz de \( f(x) = x^3 - 6x + 
1 \) com precisão de \(10^{-4}\). 
 Resposta: A raiz aproximada é \( x \approx 1.3499 \). 
 
60. Problema: Calcule a integral \( \int_{0}^{2} \frac{dx}{1+x^2} \) utilizando a regra do 
ponto médio com 6 subintervalos. 
 Resposta: A integral aproximada é \( \approx 1.3258 \). 
 
61. Problema: Determine a solução aproximada para \( x \) em \( \sin(x) = x \) utilizando o 
método da falsa posição com intervalo \( [0,2] \). 
 Resposta: A solução aproximada é \( x \approx 0 \). 
 
62. Problema: Utilize a interpolação polinomial de Newton para encontrar o polinômio 
interpolador dos pontos \( (-1,0) \), \( (0,1) \), \( (2,11) \) e \( (3,26) \). 
 Resposta: O polinômio interpolador é \( P(x) 
 
 = 1 + 3x + 2x^2 \). 
 
63. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' = \cos(x) \) utilizando o método de Euler 
com \( y(0) = 0 \) e \( h = 0.1 \). 
 Resposta: A solução aproximada em \( x = 1 \) é \( y \approx 0.8526 \). 
 
64. Problema: Calcule a integral \( \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x)}{x} dx \) utilizando a regra do 
ponto médio com 8 subintervalos. 
 Resposta: A integral aproximada é \( \approx 1.8519 \). 
 
65. Problema: Determine a raiz de \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) utilizando o método de 
Newton-Raphson com aproximação inicial \( x_0 = 2 \). 
 Resposta: A raiz aproximada é \( x \approx 3 \). 
 
66. Problema: Utilize o método de Runge-Kutta de quarta ordem para resolver a equação 
diferencial \( y'' = -y \) com \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 0 \) em \( x = 2 \). 
 Resposta: A solução aproximada é \( y \approx -1.0802 \).