teorema de Pitágoras

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40 2.4. Generalizações do Teorema de Pitágoras
“A área do hexágono regular construído sobre a
hipotenusa é igual à soma das áreas dos hexágonos
regulares construídos sobre os catetos.”
2.4.2 Generalização de Thabit ibn-Qurra (séc. IX)
Thabit ibn Qurra (826 a 901) nasceu em Harran e é considerado o melhor
geômetra do mundo islâmico. Dentre seus feitos, há trabalhos sobre trigonometria
esférica e uma generalização do Teorema de Pitágoras.
Thabit considerou um triângulo △ABC, retângulo em A qualquer e construiu
três quadrados sobre seus lados.
Figura 2.20: Quadrados a partir do triângulo central △ABC e a generalização do
teorema
Em seguida considerou M e N os pontos de BC tais que os ângulos BM̂A e
CN̂A fossem iguais ao ângulo BÂC; e considerou P e Q as projeções de M e N
sobre DE.
Nessas condições verificou que a soma das áreas dos quadrados construídos
sobre os lados AB e AC é igual à soma das áreas dos retângulos BMQE e NCDP .
Assim, obteve
AB2 + AC2 = (BM +NC) ·BC.
41 2.4. Generalizações do Teorema de Pitágoras
2.4.3 Generalizando Geral
De acordo com o enunciado do Teorema de Pitágoras, a área do quadrado
construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas
dos quadrados construídos sobre os catetos.
Agora será demonstrado que esse resultado pode ser generalizado para quais-
quer figuras semelhantes construídas sobre os lados de um triângulo retângulo.
Para isso, vamos considerar figuras semelhantes quaisquer construídas sobre os
lados de um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c .
Figura 2.21: Figuras semelhantes construídas sobre os lados de um triângulo retân-
gulo
Sejam A , B e C as áreas dessas figuras, conforme está indicado na figura
acima. Pela propriedade da razão entre áreas de figuras semelhantes, sabemos que
ela é igual ao quadrado da razão de semelhança. Daí temos :
A
B
=
(
a
b
)2
e
A
C
=
(
a
c
)2
⇐⇒ A
a2
=
B
b2
e
A
a2
=
C
c2
.
Portanto,
A
a2
=
B
b2
=
C
c2
.