2013 1-AP2-GP-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AP2 – Gabarito
Questão 1 [2,0 pts]: Calcule o lado e o apótema do hexágono regular inscrito no triângulo equilátero
cujo lado mede 12 cm.
Solução: Considere o hexágono regular ABCDEF de centro O inscrito no triângulo equilátero
GHI:
Note que o hexágono regular é composto de 6 triângulos
equiláteros e BÂF = 120◦, logo GÂF = 60◦ e ∆AGF
é equilátero. Podemos concluir que temos 9 triângulos
equiláteros de lado OA. O lado do hexágono é
l6 =
l3
3
=
GI
3
=
12
3
= 4 cm.
E o apótema do hexágono é a6 =
EF
√
3
2
=
4
√
3
2
= 2
√
3 cm.
Outra solução: usando Teorema de Pitágoras, já que ∆OFM é retângulo. Assim a2 = 42−22 ⇒
a2 = 16− 4 = 12 ⇒ a =
√
12 = 2
√
3 cm.
Questão 2 [2,0 pts]: Um prefeito quer construir uma praça quadrada de 10 metros de lado, que
terá quatro canteiros triangulares congruentes de pedras e um canteiro quadrado de grama, como
na figura:
A Bx
grama
pedrapedra
pedra pedra
O prefeito ainda não decidiu qual será a área do canteiro
de grama, e por isso o comprimento do segmento AB está
indicado por x na figura.
a) Calcule a área do canteiro de grama para x = 3.
b) Escreva a expressão da área do canteiro de grama
em função de x.
Geometria Plana – Gabarito AP2 2
Solução:
a) Cada canteiro de pedra é um triângulo retângulo de catetos x e 10−x. Para x = 3 esses catetos
valem 3 e 7. Logo a área de cada canteiro de pedra é
3 · 7
2
=
21
2
= 10, 5 m2.
Como a área total da praça é 102 = 100 m2, segue que a área do canteiro de grama é 100−4 ·10, 5 =
100− 42 = 58 m2.
b) Cada canteiro triangular é um triângulo retângulo de catetos x e 10− x, cuja área é
x(10− x)
2
m2. Como a área total da praça é 102 = 100 m2, segue que a área do canteiro de grama é
100− 4x(10− x)
2
=
200− 40x+ 4x2
2
= (2x2 − 20x+ 100) m2.
Questão 3 [2,0 pts]: Os lados de um triângulo medem AC = 17 metros, AB = 13 metros e
BC = 24 metros. Os pontos M e N dividem o lado BC em três partes iguais. Calcule a medida de
AM ou AN .
Solução:
132 + 172 = 169 + 289 = 458 < 576 = 242,então o triângulo ABC é obtusângulo em A.
BC
3
=
24
3
= 8. Considere BM = 8 e BN = 16.
Para calcular as medidas de AM e AN , encontre cos B̂.
172 = 132 + 242 − 2 · 13 · 24 · cos B̂ ⇒
289 = 169 + 576− 2 · 13 · 24 · cos B̂ ⇒
2 · 13 · 24 · cos B̂ = 456 ⇒ cos B̂ =
456
2 · 13 · 24
=
24 · 19
24 · 26
=
19
26
Assim
AM
2
= 132 + 82 − 2 · 13 · 8 · cos B̂ = 169 + 64− 2 · 13 · 8 · 19
26
= 233− 152 = 81 ⇒ AM = 9
Ou se escolheu AN .
AN
2
= 132+162−2 ·13 ·16 ·cos B̂ = 169+256−2 ·13 ·16 · 19
26
= 425−304 = 121 ⇒ AN = 11
Questão 4 [2,0 pts]: A figura mostra o funcionamento de uma porta de garagem, representada pelo
segmento XY . Ao mover o ponto X o ponto A desliza por um trilho vertical, representado pelo seg-
mento BD. Algumas das medidas na figura são AC = BC = CY = 0, 5 metros e AX = 1 metro.
frente
lateral
B
A
C
X
Y
X
Y
C
B
A
D
D
B
D
X
Y
A
C
0,2 m
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Geometria Plana – Gabarito AP2 3
Conforme figura o ponto X está a 0,2 metros do trilho BD. Qual é a distância de C ao trilho BD?
Solução:
Considere a seguinte figura:
B
D
X
Y
A
C
R
S
Note na figura queXS = 0, 2 e o que queremos encontrar é a medida de CR.
RĈA = AX̂S pois CR//SX
RÂC = SÂX pois são opostos pelo vértice.
Logo ∆ARC ∼ ∆ASX, então
CR
XS
=
AC
AX
⇒ CR = XS · AC
AX
= 0, 2 · 0, 5
1
=
2
10
· 5
10
=
2
10
· 1
2
= 0, 1
Portanto a distância de C ao trilho é 0, 1 metros.
Questão 5 [2,0 pts]: A figura mostra quatro ćırculos de raio 1 cm dentro de um triângulo. Os
pontos marcados são pontos de tangência, bem como os centros dos ćırculos.
a) Mostre que o triângulo ABC é retângulo e o ângulo B̂ = 60◦.
b) Qual é o comprimento do menor lado desse triângulo?
Solução:
a)Seja o triângulo ABC e os quatro ćırculos, de raio r = 1, como dado no enunciado.
Denomine P,Q,R e S os centros dos ćırculos como na figura:
PQ = QR = PR = 2r = 2 · 1 = 2,
logo o triângulo PQR é equilátero de lado 2 cm.
SR = 2 cm, então o triângulo SRP é isósceles de base PS.
PR̂S = 120◦ pois é externo e suplementar a PR̂Q = 60◦.
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Geometria Plana – Gabarito AP2 4
Então RŜP = RP̂S = 30◦.
Logo o triângulo SPQ é retângulo em P , com PQ̂S = 60◦ e PŜQ = 30◦.
Portanto o triângulo ABC é retângulo, já que seus lados são paralelos aos lados do∆PQS e B̂ = 60◦.
b) O seu menor lado é AB, oposto ao menor ângulo.
AB = 3 + TB
pois AT = 1 + 2 = 3. O triângulo BQT é retângulo pois T é ponto de tangência. Como QB é
bissetriz de AB̂C temos que
TB̂Q = 30◦ ⇒ sen 30◦ =
QT
BQ
⇒ 1
2
=
1
BQ
⇒ BQ = 2
Usando o Teorema de Pitágoras temos que TB
2
= BQ
2 − 12 = 4− 1 = 3 ⇒ TB =
√
3.
Logo
AB = 3 + TB = 3 +
√
3
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