ÁREA DO TRIÂNGULO

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CASD Vestibulares Geometria 1 
Matemática 2 
Pedro Paulo 
GGEEOOMMEETTRRIIAA PPLLAANNAA XXVVII 
 
1 – ÁREA DO TRIÂNGULO 
 
 Neste capítulo, estamos encerrando o nosso 
estudo de Geometria Plana que, como o nome diz, é 
sobre figuras planas. E uma grandeza muito 
importante relacionada a uma figura plana é o seguinte 
problema: como calcular a sua área? 
 Basicamente, existem dois tipos de figuras 
planas: polígonos e não-polígonos. Primeiro, vamos 
ver como calcular as áreas dos polígonos. E como 
sempre fazemos em Geometria Plana, vamos começar 
pelos triângulos, pois eles são os polígonos mais 
simples, e sempre é possível dividir um polígono em 
triângulos. 
 
1.1 – Fórmula clássica 
 
 A maneira mais famosa de calcular a área de 
um triângulo envolve a sua base e a sua altura, como 
está ilustrado na figura abaixo: 
 
 
Figura 1 – fórmula clássica da área do triângulo 
 
Nesse caso, a área do triângulo é: 
 
 
 
 
 
 
Essa fórmula pode ser bastante simples, mas a 
partir dela podemos deduzir outras fórmulas para os 
triângulos. Veja os casos a seguir: 
 
1.2 – Triângulo retângulo 
 
 Nesse caso, podemos escolher um cateto 
como base, e o outro será a altura, como está ilustrado 
na figura abaixo: 
 
 
Figura 2 –base e altura em um triângulo retângulo 
 
1.3 – Fórmula trigonométrica 
 
 Usando a formula clássica e um pouco de 
trigonometria, também podemos calcular a área de um 
triângulo a partir de dois de seus lados e do ângulo 
entre eles. Veja a figura abaixo: 
 
 
 
Figura 3 – fórmula trigonométrica da área do triângulo 
 
 No triângulo retângulo , temos que: 
 
 
 
 
 
 
Além disso, da fórmula clássica, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vale ressaltar: o ângulo é o ângulo entre os 
lados e ! 
 
1.4 – Triângulo equilátero 
 
 A partir da fórmula trigonométrica, podemos 
deduzir a fórmula da área de um triângulo equilátero, 
que está ilustrado na figura abaixo: 
 
 
 
Figura 4 – fórmula da área do triângulo equilátero 
 
 Na figura, o ângulo entre dois lados iguais a 
sempre é . Então, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
2 Geometria CASD Vestibulares 
1.5 – Fórmula em função dos lados e do raio 
da circunferência circunscrita 
 
A partir da fórmula trigonométrica e da Lei dos 
senos, é possível calcular a área de um triângulo em 
função dos seus lados , e e do raio da 
circunferência circunscrita, como está ilustrado na 
figura abaixo. 
 
 
 
Figura 5 – fórmula da área do triângulo em função dos lados 
e do raio da circunferência circunscrita 
 
 Da fórmula trigonométrica da área, tem-se: 
 
 
 
 
 ̂ 
 
 Da lei dos senos, tem-se que: 
 
 
 ̂
 ̂ 
 
 
 
 
Substituindo ̂ em , tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6 – Fórmula em função dos lados e do raio 
da circunferência inscrita 
 
A partir da fórmula clássica e da idéia de 
incentro, é possível calcular a área de um triângulo em 
função dos seus lados , e e do raio da 
circunferência inscrita. Lembre-se que a circunferência 
inscrita é tangente aos lados , e do triângulo, 
portanto o raio é perpendicular a cada um desses 
lados. Se é o incentro, o triângulo pode ser 
dividido nos triângulos , e , como está 
ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 
Figura 6 – fórmula da área do triângulo em função dos lados 
e do raio da circunferência inscrita 
 
Da fórmula clássica da área, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em um triângulo, dizemos que o seu perímetro 
 é a soma dos seus lados e o seu semiperímetro é 
a metade da soma dos lados. Então, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 Logo, pode-se escrever a área em função do 
semiperímetro e do raio da circunferência inscrita : 
 
 
 
 
 
 
 
1.7 – Fórmula de Heron 
 
 Uma característica bem interesseante da 
fórmula de Heron é que ela permite calcular a área de 
um triângulo sabendo apenas os seus lados , e 
(não é necessário conhecer nenhum raio) 
 
 
 
Figura 7 – fórmula clássica de Heron 
 
Lembrando que é o semiperímetro do triângulo, a 
fórmula de Heron afirma que: 
 
 √ 
 
 
 
CASD Vestibulares Geometria 3 
 
2 – ÁREA DO QUADRILÁTERO 
 
 Continuando a sequência de áreas de 
polígonos, vale a pena recordar as áreas dos 
quadriláteros notáveis (trapézio, paralelogramo, 
losango, retângulo, quadrado) 
 
2.1 – Área do trapézio 
 
Se um trapézio possui base maior , base 
menor e altura , como está ilustrado na figura 
abaixo, a sua área será: 
 
 
 
Figura 8 – área do trapézio 
 
 
 
 
 
 
2.2 – Área do paralelogramo 
 
 Sejam e os lados de um paralelogramo, a 
sua altura e um dos seus ângulos, como está 
ilustrado na figura abaixo. Notando que o 
paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos 
congruentes, tem-se: 
 
 
Figura 9 – área do paralelogramo 
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 ou 
 
 
2.3 – Área do losango 
 
Sejam a diagonal maior e a diagonal 
menor de um losango, como está ilustrado na figura 
abaixo. Notando que o losango pode ser dividido em 
dois triângulos congruentes de base e altura , 
tem-se: 
 
 
Figura 10 – área do losango 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4 – Área do retângulo 
 
Se um retângulo possui base e altura , 
como está ilustrado na figura abaixo, a sua área será: 
 
 
 
Figura 11 – área do retângulo 
 
 
 
2.5 – Área do quadrado 
 
Se um quadrado possui lado , como está 
ilustrado na figura abaixo, a sua área será: 
 
 
 Figura 12 – área do quadrado 
 
 
 
 
 
 
4 Geometria CASD Vestibulares 
3 – ÁREA DO HEXÁGONO REGULAR 
 
 Para encerrar a sequência de áreas dos 
polígonos mais comuns, deve-se recordar a fórmula da 
área do hexágono regular de lado . Notando que o 
hexágono pode ser dividido em seis triângulos 
equláteros de lado , conforme está ilustrado na figura 
abaixo, tem-se: 
 
Figura 13 – área do hexágono regular 
 
 
 √ 
 
 
 
 
Exercício Resolvido 1: 
 
No triângulo da figura, a mediana , 
relativa ao lado , é perpendicular ao lado . 
Sabe-se também que e . Se é a 
medida do ângulo ̂ , determine: 
 
 
Figura 14: figura do exercício resolvido 1 
 
a) . 
 
b) o comprimento . 
 
c) a altura do triângulo relativa ao lado 
 
d) a área do triângulo . 
 
Resolução: 
 
a) é mediana 
 
No triângulo retângulo , tem-se: 
 
 ̂ 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O valor de é 
 
 
 
b) No triângulo retângulo , tem-se: 
 
 ̂ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 √ 
 
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo : 
 
 
 
 √ 
 
 √ 
√ 
 
 
 
 √ 
 
Resposta: O valor de é √ 
 
c) A altura relativa ao lado deve passar por . 
Prolongando o lado , tem-se: 
 
 
Figura 15: figura 14 com o lado prolongado 
 
No triângulo retângulo maior, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) O ângulo ̂ é externo ao triângulo : 
 
 ̂ ̂ ̂ ̂ 
 
 ̂ 
 
 Usando a fórmula trigonométrica da área: 
 
 
 
 
 ̂ 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
Resposta: A área do triângulo é √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASD Vestibulares Geometria 5 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Nível I 
 
1. (UFMG - 13) Um quadrado tem área igual à área 
de quadrados de área unitária de , mais a área 
de um quadrado . 
Considerando essas informações, responda às 
questões abaixo em seus contextos. 
a) Suponha que e que a área do quadrado é 
de . CALCULE a medida do lado do 
quadrado . 
b) Suponha que o lado do quadrado mede e 
que . CALCULEa medida do lado do 
quadrado . 
 
2. (ENEM - 11) Em uma certa cidade, os moradores 
de um bairro carente de espaços de lazer reinvidicam à 
prefeitura municipal a construção de uma praça. A 
prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá 
construí-la em formato retangular devido às 
características técnicas do terreno. Restrições de 
natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no 
máximo, de tela para cercar a praça. A 
prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as 
medidas dos terrenos disponíveis para a construção da 
praça: 
 
Terreno 01: por 
Terreno 02: por 
Terreno 03: por 
Terreno 04: por 
Terreno 05: por 
 
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às 
restrições impostas pela prefeitura, os moradores 
deverão escolher o terreno 
 
a) b) c) d) e) 
 
3. (ENEM - 13) Uma fábrica de fórmicas produz placas 
quadradas de lados de medida igual a centímetros. 
Essas placas são vendidas em caixas com unidades 
e, na caixa, é especificada a área máxima que pode 
ser coberta pelas placas. 
Devido a uma demanda do mercado por placas 
maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas 
placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal 
forma que a área coberta não fosse alterada. 
 
A quantidade , de placas do novo modelo, em cada 
nova caixa será igual a: 
 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 d) e) 
 
 
 
 
 
4. (UFMG - 10) Nesta figura plana, há um triângulo 
equilátero, , cujo lado mede , e um quadrado, 
 , cujo lado também mede : 
 
 
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar 
que a área do triângulo é 
 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
√ 
 
 d) 
√ 
 
 
 
5. (FUVEST - 10) Na figura, os pontos , , 
pertencem à circunferência de centro e . A 
reta ⃡ é perpendicular ao segmento ̅̅ ̅̅ e o ângulo 
 mede radianos. Então, a área do triângulo 
 vale: 
 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 d) 
 
 
 e) 
 
6. (ENEM - 12) Um forro retangular de tecido traz em 
sua etiqueta a informação de que encolherá após a 
primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. 
A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e 
o tamanho do encolhimento no comprimento e 
na largura. A expressão algébrica que representa a 
área do forro após ser lavado é . 
 
 
 
Nessas condições, a área perdida do forro, após a 
primeira lavagem, será expressa por: 
 
a) b) c) 
d) e) 
 
 
 
6 Geometria CASD Vestibulares 
7. (UFRGS - 13) Na figura abaixo, os triângulos 
retângulos são congruentes e possuem catetos com 
medidas e 
 
 
 
A área da região sombreada é 
 
a) b) c) 
d) e) 
 
8. (UFRGS - 13) Dois círculos tangentes e de mesmo 
raio têm seus respectivos centros em vértices opostos 
de um quadrado, como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
Se a medida do lado do quadrado é , então a área do 
triângulo mede 
 
a) √ b) √ c) √ 
d) ( √ ) e) ( √ ) 
 
 9. (UNIFESP - 08) Na figura, os triângulos e 
são isósceles. O triângulo é retângulo, com o 
ângulo reto, e , , estão alinhados. 
 
a) Dê a medida do ângulo em graus. 
 
b) Se , obtenha a área do triângulo em 
função de . 
10. (FUVEST - 07) Na figura a seguir, os segmentos 
 ̅̅ ̅̅ e ̅̅ ̅̅ são paralelos, o ângulo mede 
 , 
 e . Sabendo ainda que a área do 
triângulo vale √ . 
 
a) calcule a área do triângulo . 
b) determine e . 
 
11. (UNESP - 07) A figura representa um triângulo 
retângulo de vértices , e , onde o segmento de 
reta é paralelo ao lado do triângulo. 
 
Se , e , a área do 
trapézio , em , é 
 
a) b) c) d) e) 
 
12. (ENEM - 09) O governo cedeu terrenos para que 
 famílias construíssem suas residências com a 
 condição de que no mínimo da área do terreno 
fosse mantida como área de preservação ambiental. 
 Ao receber o terreno retangular , com 
 , Antônio demarcou uma área quadrada no 
 vértice , para a construção de sua residência, de 
 acordo com o desenho, no qual é lado do 
 quadrado. 
 
 
 
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria 
exatamente o limite determinado pela condição se ele 
 
a) duplicasse a medida do lado do quadrado. 
b) triplicasse a medida do lado do quadrado. 
c) triplicasse a área do quadrado. 
d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. 
e) ampliasse a área do quadrado em 4%. 
 
 
 
CASD Vestibulares Geometria 7 
 
13. (FUVEST - 13) O mapa de uma região utiliza a 
escala de A porção desse mapa, contendo 
uma Área de Preservação Permanente (APP), está 
representada na figura, na qual ̅̅ ̅̅ e ̅̅ ̅̅ são 
segmentos de reta, o ponto está no segmento ̅̅ ̅̅ o 
ponto está no segmento ̅̅ ̅̅ , é um retângulo e 
 é um trapézio. Se , , , 
 e √ indicam valores em centímetros no 
mapa real, então a área da APP é 
 
 
 
a) b) c) 
d) e) 
 
14. (ENEM - 12) Jorge quer instalar aquecedores no 
seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus 
clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades 
de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 
 (gramas por hora) de gás propano e cobre 
 de área, ou modelo B, que consome de 
gás propano e cobre de área. O fabricante indica 
que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente 
com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai 
instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o 
mínimo possível com gás. A área do salão que deve 
ser climatizada encontra-se na planta seguinte 
(ambientes representados por três retângulos é um 
trapézio). 
 
 
Avaliando-se todas as informações, serão necessários 
 
a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do 
tipo B. 
b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. 
c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. 
d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. 
e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do 
tipo B. 
 
 
 
15. (ENEM - 10) A loja Telas & Molduras cobra 
reais por metro quadrado de tela, reais por metro 
linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 
reais. 
Uma artista plástica precisa encomendar telas e 
molduras a essa loja, suficientes para quadros 
retangulares ( ). Em seguida, fez uma 
segunda encomenda, mas agora para quadros 
retangulares ( ). 
 
O valor da segunda encomenda será 
 
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a 
altura e a largura dos quadros dobraram. 
b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas 
não o dobro. 
c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a 
altura e a largura dos quadros dobraram. 
d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas 
não a metade. 
e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o 
custo de entrega será o mesmo. 
 
16. (ENEM - 09) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, 
constitui preocupação constante nos períodos 
chuvosos. Em alguns trechos, são construídas 
canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas 
canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um 
trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na 
figura . Neste caso, a vazão da água é de . 
O cálculo da vazão em , envolve o produto da 
área do setor transversal (por onde passa a água), 
em , pela velocidade da água no local,, em , 
ou seja, . 
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as 
dimensões especificadas na figura , para evitar a 
ocorrência de enchentes. 
 
 
 
Na suposição de que a velocidade da água não se 
alterará, qual a vazão esperada para depois da 
reforma na canaleta? 
 
a) b) c) 
d) e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 Geometria CASD Vestibulares 
Nível II 
 
17. (UERJ - 14) Considere uma placa retangular 
de acrílico, cuja diagonal mede . Um 
estudante, para construir um par de esquadros, fez 
dois cortes retos nessa placa nas direções e , de 
modo que e conforme ilustrado 
a seguir: 
 
 
Após isso, o estudante descartou a parte triangular 
 restando os dois esquadros. 
Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível 
e que √ a área, em do triângulo 
equivale a: 
 
a) b) c) d) 
 
18. (ENEM - 08) O tangram é um jogo oriental antigo, 
uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete 
peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 
paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas 
recortando-se um quadrado de acordo com o esquema 
da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é 
possível representar uma grande diversidade de 
formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3. 
 
 
 
Se o lado do hexágono mostrado na figura 2 mede 
 então a área da figura 3, que representa uma 
"casinha", é igual a 
 
a) b) c) 
d) e) 
 
 
 
 
 
 
 
19. (UNIFESP - 09) O hexágono cujo interior aparece 
destacado em cinza na figura é regular e origina-se da 
sobreposição de dois triângulos equiláteros. 
 
Se é a área do hexágono, a soma das áreas desses 
dois triângulos é igual a: 
 
a) b) c) d) e) 
 
20. (FUVEST - 14) Uma das piscinas do Centro de 
Práticas Esportivas da USP tem o formato de três 
hexágonos regulares congruentes, justapostos, de 
modo que cada par de hexágonos tem um lado em 
comum, conforme representado na figura abaixo. A 
distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 
 metros. 
 
 
 
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da 
piscina. 
 
a) b) c) 
d) e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASD Vestibulares Geometria 9 
 
21. (UNESP - 10) A figura representa uma chapa de 
alumínio de formato triangular de massa gramas. 
Deseja-se cortá-la por uma reta paralela ao lado ̅̅ ̅̅ 
e, que intercepta o lado ̅̅ ̅̅ em e o lado ̅̅̅̅ em , de 
modo que o trapézio tenha gramas de 
massa. A espessura e a densidade do material da 
chapa são uniformes. Determine o valor percentual da 
razão de ̅̅ ̅̅ por ̅̅ ̅̅ . Dado: √ 
 
 
 
a) b) c) d) e) 
 
22. (UFMG - 11) Considere esta figura: 
 
 
 
Nessa figura, 
• o triângulo é equilátero, de lado ; 
• o triângulo é equilátero, de lado ; 
• os pontos , e estão alinhados; e 
• o segmento intersecta o segmento no ponto ; 
 
Com base nessas informações, 
a) determine o comprimento do segmento ; 
b) determine o comprimento do segmento ; 
c) determine a área do triângulo sombreado 
 
23. (UNICAMP - 13) Os lados do triângulo da 
figura abaixo têm as seguintes medidas: 
 ̅̅ ̅̅ , ̅̅ ̅̅ e ̅̅̅̅ . 
 
 
a) Sobre o lado marca-se um ponto tal que 
 ̅̅ ̅̅ e traça-se o segmento paralelo ao lado . 
 Ache a razão entre a altura do triângulo relativa 
 ao lado e a altura do triângulo relativa ao 
 lado , sem explicitar os valores de e . 
 
b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo 
em relação ao lado . 
24. (FUVEST - 13) 
 
 
Percorre-se o paralelogramo em sentido anti-
horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do 
percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, 
construindo-se um segmento de mesmo comprimento 
que esse lado. As extremidades dos prolongamentos 
são denotadas por , , e , de modo que os 
novos segmentos sejam, então, ̅̅ ̅̅ ̅, ̅̅ ̅̅ ̅, ̅̅̅̅̅ e ̅̅ ̅̅ ̅. 
Dado que e que a distância de à reta 
determinada por e é , calcule a área do 
 
a) paralelogramo ; 
b) triângulo ’; 
c) quadrilátero . 
 
25. (FUVEST - 12) O segmento ̅̅ ̅̅ é lado de um 
hexágono regular de área √ . O ponto pertence à 
mediatriz de ̅̅ ̅̅ de tal modo que a área do triângulo 
 vale √ . Então, a distância de ao segmento ̅̅ ̅̅ 
é igual a 
 
a) √ b) √ c) √ d) √ e) √ 
 
26. (ENEM - 12) Para decorar a fachada de um 
edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais 
compostos de quadrados de lado medindo , 
conforme a figura a seguir. 
 
 
Nesta figura, os pontos , , e são pontos médios 
dos lados do quadrado e os segmentos e 
medem da medida do lado do quadrado. Para 
confeccionar um vitral, são usados dois tipos de 
materiais: um para a parte sombreada da figura, que 
custa o , e outro para a parte mais clara 
(regiões e ), que custa o . 
 
De acordo com esses dados, qual é o custo dos 
materiais usados na fabricação de um vitral? 
 
a) b) c) 
d) e) 
 
 
 
10 Geometria CASD Vestibulares 
27. (ENEM CANCELADO - 09) Uma fotografia tirada 
em uma câmera digital é formada por um grande 
número de pontos, denominados pixels. 
Comercialmente, a resolução de uma câmera digital é 
especificada indicando os milhões de pixels, ou seja, 
os megapixels de que são constituídas as suas fotos. 
Ao se imprimir uma foto digital em papel fotográfico, 
esses pontos devem ser pequenos para que não sejam 
distinguíveis a olho nu. A resolução de uma impressora 
é indicada pelo termo (dot per inch), que é a 
quantidade de pontos que serão impressos em uma 
linha com uma polegada de comprimento. Uma foto 
impressa com , que corresponde a cerca de 
 pontos por centímetro, terá boa qualidade visual, já 
que os pontos serão tão pequenos, que o olho não 
será capaz de vê-los separados e passará a ver um 
padrão contínuo. 
 
Para se imprimir uma foto retangular de por 
 , com resolução de pelo menos , qual é o 
valor aproximado de megapixels que a foto terá? 
 
a) megapixel. b) megapixels. 
c) megapixels. d) megapixels. 
e) megapixels. 
 
28. (UNICAMP – 07 ADAPTADA) Analisamos, nesta 
questão, a colheita de uma plantação de cana-de-
açúcar, cujo formato é fornecido na figura a seguir. 
Para colher a cana, pode-se recorrer a trabalhadores 
especializados ou a máquinas. Cada trabalhador é 
capaz de colher por dia, enquanto uma 
colhedeira mecânica colhe, por dia, uma área 
correspondente a . 
 
a) Se a cana precisa ser colhida em dias, quantos 
trabalhadores são necessários para a colheita, 
supondo que não haja máquinas? 
 
b) Suponha, agora, que a colheita da parte mais clara 
do desenho só possa ser feita manualmente, e que 
o resto da cana seja colhido por quatro colhedeiras 
mecânicas. Neste caso, quantos trabalhadores são 
necessários para que a colheita das duas partes 
tenha a mesma duração? Em seus cálculos, 
desconsidere os trabalhadores que operam as 
máquinas. 
 
29. (ENEM CANCELADO - 09) Um fazendeiro doa, 
como incentivo, uma área retangular de sua fazenda 
para seu filho, que está indicada na figura como 
cultivada. De acordo com as leis, deve-se ter uma 
reserva legal de de sua área total. Assim, o pai 
resolve doar mais uma parte para compor a reserva 
para o filho, conforme a figura.De acordo com a figura anterior, o novo terreno do filho 
cumpre a lei, após acrescentar uma faixa de largura 
metros contornando o terreno cultivado, que se 
destinará à reserva legal (filho). O dobro da largura 
da faixa é 
 
a) 
 
b) 
 
c) √ 
 
d) √ 
 
e) √ 
 
 
30. (UNIFESP - 07) Dois triângulos congruentes e 
 , de ângulos , e , estão colocados como 
mostra a figura, com as hipotenusas coincidentes. 
 
 
Se , a área comum aos dois triângulos, em 
centímetros quadrados, é igual a 
 
a) b) √ c) √ d) e) √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASD Vestibulares Geometria 11 
 
31. (FUVEST - 09) 
 
O triangulo da figura ao lado é equilátero de lado 
 . Os pontos , e pertencem, respectivamente, aos 
lados , e do triângulo. Além disso, os ângulos 
 ̂ e ̂ são retos e a medida do segmento é . 
 
Assim, determine: 
a) A área do triangulo em função de . 
b) O valor de para o qual o angulo também é 
reto. 
 
32. (FUVEST - 08) No retângulo da figura tem-
se ℓ e ℓ. Além disso, o ponto pertence à 
diagonal , o ponto pertence ao lado e é 
perpendicular a . Sabendo que a área do retângulo 
 é cinco vezes a área do triângulo , então 
mede 
 
a) ℓ
√ 
 
 b) ℓ
√ 
 
 c) ℓ
√ 
 
 d) ℓ
√ 
 
 e) ℓ√ 
 
33. (UNIFESP - 08) Na figura, o ângulo é reto, é 
ponto médio de , é perpendicular a , 
 e . 
 
 
A área do quadrilátero , em centímetros 
quadrados, é 
 
a) b) c) d) e) 
34. (FUVEST - 07) A figura representa um retângulo 
 , com e . O ponto está no 
segmento de maneira que , e é o ponto de 
interseção da diagonal com o segmento . 
 
 
 
Então a área do triângulo vale 
 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 d) 
 
 
 e) 
 
 
 
 
35. (UNICAMP – 09 - Adaptada) A figura mostra um 
sapo de origami, a arte japonesa das dobraduras de 
papel. A figura à direita mostra o diagrama usado para 
a confecção do sapo, na qual se utiliza um retângulo 
de papel com arestas iguais a e . As linhas 
representam as dobras que devem ser feitas. As partes 
destacadas correspondem à parte superior e à pata 
direita do sapo, e são objeto das perguntas a seguir. 
 
 
 
Quais devem ser as dimensões, em centímetros, do 
retângulo de papel usado para confeccionar um sapo 
cuja parte superior tem área igual a ? 
 
36. (FUVEST - 08) No triângulo , tem-se que 
 , e ̂ . Sabendo-se que o 
ponto pertence ao segmento ̅̅ ̅̅ e é tal que 
e , calcule 
 
a) a altura do triângulo relativa ao lado ̅̅ ̅̅ . 
 
b) a área do triângulo . 
 
 
 
. 
 
 
 
12 Geometria CASD Vestibulares 
DICAS E FATOS QUE AJUDAM 
 
1. Se é o lado do quadrado e é o lado do 
quadrado , note que 
 
 
 
 
2. Se as dimensões do retângulo são e , a sua área 
é e o seu perímetro é . Então: 
 
 
 
3. Inicialmente, a área de cada placa é . Assim, a 
área máxima que pode ser coberta pelas placas é 
 . Após triplicar as medidas dos lados, a nova 
área de cada placa é . A área coberta 
pelas novas placas é . Como a área coberta 
pelas novas placas continua sendo , tem-se: 
 
 
 
4. Note que ̂ e que ̂ , logo 
 ̂ ̂ ̂ . Use a fórmula 
trigonométrica para calcular a área do triângulo 
 
5. Como a reta ⃡ é perpendicular ao segmento ̅̅ ̅̅ , o 
triângulo é isósceles, logo . E como o 
ângulo é um ângulo central, o arco ̂ 
também vale . Assim, como ̂ é um ângulo 
inscrito, ̂ ̂ . Use a fórmula 
trigonométrica para calcular a área do triângulo 
 
6. A área original do forro é e a área final do 
forro é . Logo a área perdida do forro é 
 
 
7. Note que a figura sombreada é um quadrado com 
lado 
 
8. Seja o raio dos círculos. Note que a distância 
entre os centros dos círculos é , e também é a 
diagonal do quadrado. Aplicando Pitágoras, se o lado 
do quadrado é , a diagonal do quadrado é √ . Logo, 
como , a diagonal é √ . Logo: 
 
 √ √ 
 
 √ 
 
A área do triângulo é: 
 
 
 
 
 
( √ )( √ )
 
 
 √ 
 
 
 
9. No item a), como o triângulo é retângulo 
isósceles, tem-se que ̂ , logo tem-se que 
 ̂ . E como o triângulo é 
isósceles, tem-se que ̂ ̂ . Além disso, 
 ̂ ̂ ̂ . Então, tem-se: 
 ̂ ̂ ̂ . No item b), 
note que (pois o triângulo é 
isósceles) e o ângulo ̂ vale Use a fórmula 
trigonométrica para calcular a área do triângulo 
10. No item a), use a fórmula trigonométrica para 
calcular a área do triângulo . No item b), note que 
os triângulos e são semelhantes e lembre-se 
que a razão entre as áreas dos triângulos e é 
o quadrado da razão de semelhança. 
 
11. Note que . Além 
disso, os triângulos e são semelhantes, logo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Use a fórmula de trapézio para calcular a área 
 
12. Seja . Então e , logo a 
área do terreno é e a área do quadrado 
é , o que representa do terreno. A área limite da 
residência é 
 
13. Note que . Use 
Pitágoras no triângulo e veja que √ . 
Portanto, √ √ √ . Por 
 , trace uma perpendicular ao segmento , que corta 
 em . Note que é a altura do trapézio. Além 
disso, como os triângulos e são 
semelhantes, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 √ 
 
 
Note que 
 , 
 
 
 e 
 
que 
 , logo a área 
 
total é . Como a escala é 
 , equivale a , logo equivale a 
 . 
 
14. Note que a área da região é 
 , a 
área da região é 
 , a 
área da região é 
 e a 
área da região é 
 
 
 . Logo o 
modelo A deve ser instalado nas regiões e e o 
modelo B deve ser instalado nas regiões e 
 
15. A primeira encomenda corresponde a 
 de tela e 
 de moldura, logo o valor dela é 
 reais. A segunda encomenda 
corresponde a de tela e 
 de mol-
dura, logo o valor dela é reais. 
 
16. A área inicial é e a área 
final é . A vazão inicial é 
 
 e a vazão inicial é . Como a 
velocidade da água não se altera tem-se que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASD Vestibulares Geometria 13 
 
17. Usando trigonometria no triângulo retângulo : 
 
 ̂ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̂ 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̂ , logo o triângulo é isósceles. Assim, 
tem-se: 
 
 
 
O triângulo tem base e altura . Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. Na figura 2, note que o lado do quadrado menor é 
 . Na figura 1, note que o lado do 
quadrado menor é um quarto da diagonal do quadrado 
maior. Logo essa diagonal vale . E se é o 
lado do quadrado maior, tem-se que essa diagonal é 
 √ , logo √ . Assim, a área total da figura 1 é 
 ( √ )
 
 . Note que a área da “casinha” na 
figura 3 é a mesma áreado quadrado maior na figura 
1, pois são usadas as mesmas peças. 
 
19. Note que o hexágono regular destacado em cinza 
pode ser dividido em triângulos equiláteros menores. 
Além disso, note que cada triângulo equilátero maior 
pode ser dividido em triângulos equiláteros menores.. 
Assim, a soma das áreas desses dois triângulos é a 
área de triângulos equiláteros menores, o que 
equivale ao triplo da área do hexágono. 
 
20. Seja um desses hexágonos, e seja o 
seu lado. Note que a distância entre os lados paralelos 
 e é a medida da diagonal . Como o hexágono 
é regular, o seu ângulo interno vale , logo 
 ̂ . Note que . Então, usando a 
lei dos cossenos no triângulo , tem-se que 
 √ . Como , tem-se: 
 
 √ √ 
 
√ 
 
 √ 
 
 
 
A área de cada hexágono é: 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
(
 √ 
 
)
 
 
 √ 
 
 
 
Assim, a área da piscina é 
 √ 
 
 
 √ 
 
 , o que 
é aproximadamente 
 
 
21. Note que a massa do triângulo é 
 . Além 
disso, como a espessura e a densidade do material da 
chapa são uniformes, a massa de uma região é 
diretamente proporcional à sua área. Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
)
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
22. No item a), note que ̂ é ângulo externo ao 
triângulo , logo ̂ . Além 
disso, e . Use a lei dos cossenos no 
triângulo para calcular . No item b), note que 
 é paralelo a , logo os triângulos e são 
semelhantes. E como : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No item c), note que ̂ ̂ ̂ 
 e que . Use a fórmula 
trigonométrica para calcular a área do triângulo 
 
23. No item a), como é paralelo a , logo os 
triângulos e são semelhantes, logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No item b), trace por uma perpendicular a que 
corta a reta ⃡ em . Logo . Seja . 
Então . Aplicando Pitágoras no 
triângulo retângulo : 
 
 
 
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo : 
 
 
 
Igualando em e em , tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 Geometria CASD Vestibulares 
24. No item a), note que o paralelogramo tem 
base e altura . No item b), note que o triângulo 
 tem base e altura igual ao dobro da 
altura do paralelogramo. No item c), note que os 
triângulos , e possuem base igual a um 
dos lados do paralelogramo e altura igual ao dobro da 
altura correspondente do paralelogramo. Assim, a área 
de cada um dos triângulos , e é igual à 
area do paralelogramo . Finalmente, note que o 
quadrilátero pode ser dividido no 
paralelogramo e nos quatro triângulos. 
 
25. Como a área do hexágono é √ , tem-se que 
a medida do segmento ̅̅ ̅̅ é √ . Seja a 
distância de ao segmento ̅̅ ̅̅ . Então, se a base do 
triângulo é ̅̅ ̅̅ , a sua altura é . Logo, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
√ 
 
 
26. Note que cada um dos triângulos claros , , 
 e possui base igual a e altura 
igual a , assim a área clara é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e a área sombreada é 
 
27. Como a resolução é de , há pontos por 
centímetro. Como as dimensões da foto são por 
 , a foto possui pontos em uma 
dimensão e pontos na outra dimensão, 
o que resulta em um total de pixels. 
 
28. No item a), note que a plantação de cana pode ser 
dividida em um trapézio de área , 
um retângulo de área e um trapézio de 
área . Logo a área total da 
plantação é . Para olher a cana em 
 dias, a área colhida em um dia deve ser 
 
No item b), note que a área que será ocupada pelos 
trabalhadores é , logo a área 
que será ocupada pelas colhedeiras mecânicas é 
 . Em um dia, cada colhedeira colhe 
 , logo as máquinas colhem . 
Assim, elas levam dias para fazer a 
colheita. Em um dia, um trabalhador colhe , 
logo ele levaria dias para colher a sua área. 
Assim, para fazer a colheita da área hachurada em 
dias, são necessários trabalhadores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
29. A área do filho é e a área total é . 
Como a área da reserva é da área total, a área do 
filho é da área total. Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
30. Seja o ponto em que e se cortam. Então 
 ̂ ̂ , logo o triângulo é isósceles e 
 . Seja . Além disso, note que 
 ̂ ̂ ̂ . Usando a lei dos 
cossenos no triângulo : 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
A área comum aos dois triângulos é a área do triângulo 
 , que é 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
31. No item a), note que ̂ . Logo: 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
Note que a área do triângulo é 
 
No item b), note que ̂ ̂ 
 ̂ ̂ . Além 
disso, note que ̂ , assim tem-se que ̂ 
 e o triângulo é equilátero. Além disso, 
 ̂ ̂ ̂ . 
 
Se também é reto, o triângulo é retângulo: 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
No triângulo retângulo , tem-se: 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
O triângulo é equilátero, logo : 
 
 
 
 
 
CASD Vestibulares Geometria 15 
 
32. No triângulo , sejam ̂ e ̂ . No 
triângulo , note que ̂ ̂ 
 . Então os triângulos e são semelhantes. 
Semelhança entre os triângulos e : 
 
 : é oposto aos lados (no ) e ℓ (no 
 ); 
 
 : é oposto aos lados (no ) e ℓ 
(no ). Então, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área do retângulo é 
 
Como a área do retângulo é cinco vezes a área 
do triângulo , a área do triângulo é 
 
No entanto, a área do triângulo é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
√ 
 
 
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
33. Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo : 
 
 
 
 
 
 é ponto médio de , logo 
 
No triângulo , sejam ̂ e ̂ . No 
triângulo , note que ̂ ̂ 
 . Logo os triângulos e são 
semelhantes. 
Semelhança entre os triângulos e : 
 
 : é oposto aos lados (no ) e 
(no ); 
 
 : é oposto aos lados (no ) e (no 
 ). Então, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área do triângulo é 
 e a área do triângulo é 
 . Logo, a área do quadrilátero 
 é: 
 
 
 
34. Trace por uma vertical que corta em e 
em . Note que ̂ ̂ e que ̂ ̂ 
(alternos internos), logo os triângulos e são 
semelhantes. Então, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trace por uma horizontal que corta emé paralelo a , logo os triângulos e são 
semelhantes. Então, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que a área do triângulo é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35. Note que a parte superior do sapo é formada por 
um retângulo de dimensões e (cuja área é 
 e um triângulo de base e altura 
 (cuja área é , logo a área da 
parte superior do sapo é : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Além disso, como a área da parte superior do sapo é 
 , tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36. A figura do problema é a seguinte: 
 
No item a), trace uma perpendicular a por que 
corta em . Então a altura relativa a é . 
Usando a relação fundamental da trigonometria, note 
que ̂ √ . Além disso, no triângulo retângulo 
 , note que 
 ̂ 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 No item b), use a lei dos cossenos no triângulo e 
calcule . Como , . Calcule 
 a partir de e a partir de . Note que o 
triângulo possui base e altura : use a 
fórmula clássica 
 
 
 
16 Geometria CASD Vestibulares 
GABARITO 
 
1. a) o lado é b) o lado é 
 
2. C 
 
3. A 
 
4. B 
 
5. B 
 
6. E 
 
7. D 
 
8. A 
9. a) O ângulo é b) 
 √ 
 
 
 
10. a) 
 √ 
 
 b) e 
 
11. B 
 
12. C 
 
13. E 
 
14. C 
 
15. B 
 
16. D 
 
17. C 
 
18. B 
 
19. C 
 
20. A 
 
21. D 
 
22. a) √ b) c) √ 
 
23. a) b) √ 
 
24. a) b) c) 
 
25. E 
 
26. B 
 
27. E 
 
28. a) trabalhadores b) trabalhadores 
 
29. D 
 
30. E 
31. 
 √ 
 
 b) O valor de é 
 
 
 
 
32. E 
 
33. C 
 
34. B 
 
35. As dimensões são e 
 
36. a) A altura é √ b) √