2018 1-AD2-MF-Gabarito

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AD 2- – MF - 2018/1 
Gabarito 
 
1) (1,8 pts.) Uma pessoa obteve um empréstimo de 2.000,00 R$ a uma taxa de juro simples de 
mês ao % 5 . Algum tempo depois conseguindo quem lhe emprestasse 3.000,00 R$ a uma taxa linear 
de mês ao % 4,5 , contrai esse novo empréstimo e, na mesma data liquida o débito anterior. Decorridos 
21 meses data do primeiro empréstimo, o devedor liquida o segundo empréstimo e observa que pagou nas 
duas operações, um total de juros de 2.555,00 R$ . Determine os juros e o prazo de cada um dos 
empréstimos. 
Solução: 
O juro 
1
J gerado por um empréstimo de 2.000,00 a uma taxa de juros simples de mês ao % 5 durante n 
meses, é dado por nJnJ 100
1
05,000,000.2
1
 . 
Sabe-se que após liquidar esse empréstimo um novo empréstimo no valor de 3.000,00 foi tomado e foi 
liquidado decorridos 21 meses do inicio do primeiro empréstimo, ou seja, a soma do prazo dos dois 
empréstimos é de 21 meses, portanto, o prazo do segundo empréstimo pode ser representado por n21 
meses. Logo, considerando a taxa de juro simples de mês ao % 4,5 o juro 
2
J gerado por essa operação 
será dado por   nJnJ 135835.2
2
21045,000,000.3
2
 . 
Por outro lado, sabe-se que 2.555,00 
21
 JJ , ou seja,    2555
1
1352835100 nn 
meses 8
35
280
28035  nnn . Logo o prazo do segundo empréstimo será de 13821  meses. 
O juro do primeiro empréstimo será dado por 00,800800,100  e o do segundo empréstimo será dado por 
00,755.18135835.2  . 
Resposta: 



juros de 1.755,00 R$ e meses 13 :emprestimo 2º
juros de 800,00 R$ e meses 8 :emprestimo 1º
 
 
 2
2) (1,6 pts.) Um investidor aplicou % 70 do seu capital numa instituição financeira a uma taxa de juro 
composto de ano ao % 18,0 capitalizada mensalmente. O restante aplicou em outra instituição 
financeira utilizando a mesma taxa de juro composto, porém capitalizada bimestralmente. Depois de 
cinco anos ele recebeu de rendimentos das duas instituições um total de 65,768.28 R$ . Determine o 
capital aplicado por este investidor. 
Solução: 
Seja C o capital aplicado pelo investidor. 
C70,0 foi aplicado pelo investidor durante cinco anos em uma instituição financeira a uma taxa de 
ano ao % 18,0 capitalizada mensalmente. Esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente do 
período de capitalização que é mensal, ou seja, a taxa efetiva dessa operação é mensal. Portanto, 
considerando a relação entre essas unidades de tempo, a taxa efetiva da operação é proporcional a taxa dada, 
isto é, como meses 12 ano 1  , então a taxa efetiva i será dada por mês ao % 5,1
12
0,18
i . 
 O prazo da aplicação é de meses 60125  . Portanto, o montante 
1
M dessa operação, será dado por 
  CMCM 710254,1
1
60015,0170,0
1
 . Logo o juro 
1
J obtido nessa operação será dado por 
CJCCJ 010254,1
1
70,0710254,1
1
 
O restante do capital, isto é, C30,0 foi aplicado pelo investidor em outra instituição financeira pelo mesmo 
prazo, ou seja, cinco anos, utilizando a mesma taxa de juro composto, isto é, ano ao % 18,0 , porém 
capitalizada bimestralmente. Portanto essa taxa é nominal, pois seu período que é anual e diferente do 
período de capitalização que é bimestral, ou seja, a taxa efetiva dessa operação é bimestral. Logo, 
considerando a relação entre essas unidades de tempo, a taxa efetiva bimestral da operação é proporcional a 
taxa dada, isto é, como bimestres 6 ano 1  , então a taxa efetiva i será dada por 
bimestre ao % 0,3
6
0,18
i . 
 O prazo da aplicação é de bimestres 301065  . Portanto, o montante 
2
M gerado nessa operação, será 
dado por   CMCM 728179,0
2
3003,0130,0
2
 . Logo o juro 
2
J obtido nessa operação será dado 
por CJCCJ 428179,0
2
30,0728179,0
2
 . 
Por outro lado, sabe-se que 65,768.28
21
 JJ . Temos então que: 

438433,1
65,768.28
65,768.28438433,165,768.28428179,0010254,1 CCCC 
00,000.20C . 
Resposta: R$ 20.000,00 
 
 3
3) (1,0 pt.) Uma empresa contrata um empréstimo no valor 60.000,00 R$ de para ser pago em cinco meses 
a uma taxa de juro simples de ano ao % 18 . Como forma de ajustar o seu fluxo de caixa ela propõe ao 
banco dois pagamentos iguais; o primeiro para daqui a dois meses o segundo para daqui a oito meses. 
Sabendo-se que a instituição financeira utiliza uma taxa linear de desconto de mês ao % 251, e que foi 
adotada na operação a data “cinco” como data focal, determine o valor dos pagamentos caso seja adotado 
o critério do: 
 a) desconto comercial; 
 b) desconto racional. 
Solução: 
A empresa contratou um empréstimo de 60.000,00 a uma taxa linear de ano ao % 18 para ser pago em 
cinco meses logo, ao final deste prazo, a empresa deverá pagar um montante M dado por 
00500645
12
180
10000060 ,.M
,
,.M 




  . 
 
 0050064 ,. 
 
dívida original 
 
 
proposta 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (meses) 
de paga- x x 
mento 
 
No diagrama acima, a seta para cima representa o conjunto formado pelo capital da dívida original e as setas 
para baixo o conjunto de capitais da nova proposta de pagamento. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam equivalentes. 
Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas deferentes, são equivalentes, 
em certa data de referência (“data focal”) , quando a soma dos seus valores nessa data for igual. 
Nesse problema o regime considerado é o de juro simples, a taxa de desconto é mês ao % 1,25 e a data de 
referência ou data focal é a data “cinco”. 
 
a) No desconto comercial simples a relação entre o valor atual A e o valor nominal N é dada pela equação 
   ni
A
NniNA


1
1 , onde n é prazo de antecipação e i é a taxa unitária da operação. 
Nesse caso então, a equação de equivalência será dada por: 
    

00500649625000038961100500643012501
3012501
,.x,x,,.,x
,
x
 
4522632
0014612
0050064
00500640014612 ,.x
,
,.
x,.x,  . 
 4
. 
b) No desconto racional simples a relação entre o valor atual A e o valor nominal N é dada pela equação 
 
 ni
N
AniAN


1
1 , onde n é prazo de antecipação e i é a taxa unitária da operação. 
Nesse caso então, a equação de equivalência será dada por: 
    

 0050064963855003750010050064
3012501
3012501 ,.x.x,,.
,
x
,x 
1622832
0013552
0050064
00500640013552 ,.x
,
,.
x,.x,  . 
Resposta: 



32.228,16 R$ b)
32.226,45 R$ a)
 
 
4) (0,8 pt.) Um débito de 00,000.35 R$ foi contraído a sessenta dias, a uma taxa de ano ao % 24 
capitalizada mensalmente. Ele está sendo amortizado com um pagamento de 00,500.4 R$ hoje, 
00,000.13 R$ de hoje a três meses e 00,500.8 R$ de hoje a oito meses. Determine o valor do pagamento 
que no fim de cinco meses contados de hoje, ainda será necessário ser feito, para liquidar a dívida. 
Solução: 
 35.000,00dívida original 
 
 (meses) 
proposta 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
de paga- 4.500,00 x 
mento 13.000,00 8.500,00 
 
No diagrama acima, a seta para cima representa o conjunto de capitais para pagamento à vista e as setas para 
baixo o conjunto de capitais para pagamento a prazo. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam equivalentes. 
Sabe-se que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas diferentes, são equivalentes, 
em certa data de referência (“data focal”), quando a soma dos seus valores nessa data for igual. 
Nesse problema o regime considerado é o de juros compostos a uma taxa de ano ao % 24 capitalizada 
mensalmente, portanto, esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de 
capitalização que é mensal logo, considerando a relação entre essas unidades de tempo, a taxa efetiva 
bimestral da operação é proporcional a taxa dada, isto é, como meses 12 ano 1  , então a taxa efetiva i será 
dada por mês ao % 0,2
12
0,24
i . 
 5
O problema não explicita o critério a ser utilizado na equivalência financeira, se o do desconto comercial ou 
o do desconto racional. Nesses casos convenciona-se que será feita simplesmente uma descapitalização ou 
capitalização levando em consideração a taxa informada, isto equivale a adotar o critério do desconto 
racional. 
Sabe-se que no desconto racional composto a relação entre o valor atual A e o valor nominal N é dada pela 
equação  
 ni
N
AniAN


1
1 onde, n é prazo de antecipação e i é a taxa unitária da operação. 
Portanto, considerando a data “sete” como data focal, então a equação de equivalência será dada por: 
   
 
  


7
0,02135.000,00 
 
3
0,021
00,500.82
0,02100,000.13
5
0,02100,500.4 x 
69,700.13x . 
Resposta: R$ 13.700,69 
 
5) (1,2 pts.) Um eletrodoméstico será pago por meio de uma entrada e o saldo devedor financiado em três 
anos através prestações mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a compra. Se 
cada prestação for igual a % 3,0 do valor à vista e considerando uma taxa de juro composto nominal de 
ano ao % 18 , qual o porcentual sobre o valor à vista que deverá ser pago como entrada? 
Solução: 
Seja x o valor à vista do eletrodoméstico. Se P é o valor financiado, então a entrada E será dada por 
.PxE  Como o prazo do financiamento é de três anos em prestações mensais, então o total de prestações 
será dado por 36123  . 
P é o valor atual de uma série uniforme modelo básico em que xR 03,0 e 36n . 
A taxa dada é nominal, e como as prestações são mensais, então a capitalização é mensal, ou seja, a taxa 
efetiva da operação é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa efetiva da 
operação é proporcional à taxa dada, ou seja, como meses 12 ano 1  , então a taxa efetiva i será dada por 
mês ao % 5,1
12
18
i . 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 P 
 
 
 
 
 0 1 2 3......... 34 35 36 (meses) 
 
 xRxR 03,0.......................................................03,0  
Como  n;iFVPRP  , então  36 : % 5,1 03,0 FVPxP  . 
 6
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
ni
n,iFVP


11
 , temos que 
      660684,2736 , % 5,1
015,0
36015,011
36 , % 5,1 

 FVPFVP . 
Logo, xPxP 83,0,0 660684,27 03,0  e, portanto xExxE 17,083,0  . 
Ou seja, a entrada corresponde aproximadamente a % 0,17 do valor à vista. 
Resposta: Aproximadamente 17 % 
 
6) (1,2 pts.) Na compra de um equipamento eletrônico, um cliente teve o saldo devedor financiado em 4 
prestações trimestrais de 1.426,40 R$ . Contudo, para evitar esta concentração de desembolso, o cliente 
solicitou a transformação do financiamento em 12 prestações mensais. Sendo a taxa de juro composto da 
loja de mês ao % 1,8 , qual deverá ser o valor das prestações? 
Solução: 
O financiamento inicial, constitui uma série uniforme modelo básico em que o valor atual P é o valor à 
vista do equipamento, os termos da série são iguais a 1.426,40 e o número de termos é igual a 4. A taxa 
efetiva da operação é de mês ao % 1,8 . Como os termos da série são trimestrais então a taxa efetiva dessa 
operação tem que ser trimestral e, portanto, será equivalente à taxa mensal dada. Logo a como 1 trimestre = 
3 meses, então a taxa trimestral i equivalente à taxa dada será obtida por 
     3018,0111 i 054978,0054978,11  ii ao trimestre ou trimestreao % 4978,5i . 
O diagrama abaixo representa o financiamento original do problema 
 P 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4 (trimestres) 
 
 
 1.426,40 1.426,40 1.426,40 1.426,40 
 
 
Sabemos que  niFVPRP ;  logo, nesse caso temos que  4 ;% 4978,5 1.426,40 FVPP  . Como 
   
i
ni
niFVP


11
; , temos então que: 
      505329,34 ;% 4978,5
054978,0
4054978,011
4 ;% 4978,5 

 FVPFVP . 
 Portanto, 00,000.5505329,3 1.426,40  PP . 
 7
Esta quantia será o valor atual de uma série uniforme modelo básico de 12 termos mensais em que a taxa é 
de mês ao % 1,8 . Queremos determinar o valor dos termos R dessa série. O diagrama abaixo representa 
essa série: 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 
00,000.5P 
 
 
 
 0 1 2 3......... 10 11 12 (meses) 
 
 RR ............................................................. 
 
Temos então que    12 %; 1,8 
00,000.5
12 %; 1,8 00,000.5
FVP
RFVPR  
      706412,1012 ;% 8,1
018,0
12018,011
12 ;% 8,1 

 FVPFVP . 
 Portanto, 00,467
706412,10
00,000.5
 RR . 
Resposta: R$ 467,00 
 
7) (0,8 pt.) Um investidor aplica hoje a quantia de 28.370,10 R$ no regime de juro composto e no final de 
quatro anos terá um montante 45.631,52 R$ . Ele deseja ter a mesma soma, ao final do mesmo prazo, à 
mesma taxa de juro composto, mas desembolsando vinte e quatro quantias bimestrais, iguais e 
consecutivas, efetuando o primeiro depósito em sessenta dias. De quanto devem ser esses depósitos? 
Solução: 
Se aplicar hoje o capital 28.370,10 C  o investidor terá no final de quatro anos, ou seja, 24 bimestres um 
montante 45.631,52M . 
A taxa de juro composto bimestral unitária i dessa operação será dada por 
     24
28.370,10
45.631,52
124128.370,1045.631,52 ii 
 bimestre ao % 0,2ou bimestre 02,0102,124 608437,11  iiii . 
 Considerando a mesma taxa de juro composto, investidor deseja fazer 24 depósitos bimestrais iguais e 
sucessivos começando em sessenta dias de modo a ter no final do último depósito o mesmo montante. Esta 
operação é uma série uniforme modelo básico da qual se conhece o montante S e se deseja determinar os 
termos R da série. O diagrama abaixo representa essa operação. 
 
 8
 
 45.631,52S 0 1 2 3............22 23 24(bimestres) 
 
 R R R ............ R R R 
 
Sabemos que      niFVF
SR
niFVF
S
RniFVFRS
 ;
1
 ;
 ;  . 
Logo, nesse caso temos que  24 ;% 0,2 
1
45.631,52
FVF
R  . 
Utilizando a equação    
i
ni
niFVF
11
 ;

 ou uma tabela financeira então, 
        032871,0
36;% 0,2 
1
421662,3036;% 0,2 
02,0
12402,01
24 ;% 0,2 


FVF
FVFFVF . 
Portanto 00,500.1032871,045.631,52  RR 
Resposta: R$ 1.500,00 
 
 8) (1,6 pts.) Na compra de um equipamento de valor à vista igual a 4.500,00 R$ , um cliente propôs pagar o valor 
da entrada no decorrer do prazo de financiamento e combinou que esse valor seria corrigido a uma taxa de juro 
composto de mês ao % 2,5 . O valor financiado será pago em dez prestações mensais, iguais e sucessivas de 
47,347 R$ , com dois meses de carência a uma taxa nominal de juro composto de ano ao % 24 . Sabendo-se 
que o valor da entrada será pago no momento do pagamento da última prestação, determine o valor a ser pago 
nesta data. 
Solução: 
Nesse problema, temos uma série de pagamentos uniforme de dez termos mensais, iguais e sucessivos de 47,347 
com dois meses de carência, isto é, o primeiro pagamento será realizado no mês três. Logo o valor atual dessa série 
estará referido no mês dois e será determinado pela capitalização do valor inicial 0P , que corresponde ao valor 
financiado. 
O diagrama abaixo representa a série de pagamentos desse problema: 
 
 
 
 
 
 
 9
 
 
2
P 
 0P 
 
 
 
 0. 1 2 3 4..................11 12 ( meses ) 
 
 
 47,347................................47,347  RR 
 
A taxa de juro composto de operação é de ano ao % 24 é nominal e como as prestações são mensais então a 
capitalização é mensal, ou seja, a taxa efetiva operação é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades 
dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada, ou seja, como meses 12 ano 1  , então 
que a taxa efetiva mensal i será dada por % 0,2
12
24
i . 
Temos então que  10 %; 2 47,3472 FVPP  . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
ni
n;iFVP
11
 

 , então: 
      982585,88 %; 2 
02,0
11002,01
10 ; % 2 

 FVPFVP . 
Portanto, 18,121.32982585,847,3472  PP . 
Logo, o valor financiado 0P será dado por  
 202,1
2
0
2
02,0102
P
PPP  , isto é, 
00,000.300404,1
18,121.3
0  PP . 
Como o valor a vista do equipamento era de 00,500.4 , então o valor da entrada será de 
00,500.100,000.300,500.4  . Este valor foi financiado a uma taxa de juro composto de mês ao % 2,5 e 
será pago junto com a última prestação mensal, ou seja, no décimo segundo mês após a compra. Logo o 
valor da entrada corrigido será dado por   33,017.212025,0100,500.1  . 
Portanto o valor pago no décimo segundo mês após a compra será dado por 80,364.247,34733,017.2  
Resposta: R$ 2.364,80