MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA 
 
Função: 
 
Conceito de função; 
 
Domínio, Contra domínio, Imagem de uma função; 
 
Análise gráfica de uma função; 
 
Função injetora, sobrejetora e bijetora; 
 
Função composta e inversa; 
 
Estudo completo da função afim; 
 
Estudo completo da função quadrática; 
 
Estudo completo da função modular. 
 
Progressão Aritmética; 
 
Progressão Geométrica; 
 
Juros simples e compostos; 
 
Análise combinatória; 
 
Probabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática
FUNÇÕES 
O conceito de função envolve três coisas: 
1ª Um conjunto não vazio de partida, A; 
2ª Um conjunto não vazio de chegada, B; 
3ª Uma regra, dada por uma relação definida em AB, que 
determina como encontrar um único y  B para cada x  A. 
Definição 
Dados dois conjuntos não vazios, A e B, chama‑ se função 
de A em B a qualquer relação de AB onde: 
 
cada um dos elementos do conjunto A 
corresponde pela relação dada a um 
único elemento do conjunto B. 
 
Exemplos: 
 
1. Dados os conjuntos: 
 
A = {1, 2, 3, 4} e B {1, 2, 3, 4, 5} 
E as quatro relações seguintes definidas em AB: 
R = {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5)} 
S = {(1,2), (2,2), (3,4), (4,4)} 
T = {(1,2), (1,3), (3,4), (4,5)} 
U = {(1,2), (2,3), (3,3)} 
 
Das quatro relações apresentadas acima temos que: 
As relações R e S são funções de A em B porque, nelas, 
cada um dos elementos do conjunto A foi associado a um 
único elemento do conjunto B. 
A relação T não é função de A em B porque o elemento 1 
do conjunto A foi associado mais de um elemento do conjunto 
B (2 e 3 como se pode ver nos dois primeiros pares ordenados). 
A relação U também não é função de A em B porque 
o elemento 4 do conjunto A não foi associado a qualquer 
dos elementos do conjunto B (deveria estar associado a um 
único elemento do conjunto B). 
 
2. O conceito de função não se aplica somente a nú‑ 
meros. Na verdade, o conceito de função é muito flexível 
podendo ser encontrado em qualquer situação em que seja 
possível comparar dois conjuntos. Assim, vamos chamar de 
P ao conjunto de todas as pessoas e de M ao conjunto de 
todas as mulheres que já existiram. Agora, vamos considerar 
a relação R que associa, a cada uma das pessoas, a mulher 
que é a mãe daquela pessoa. Podemos escrever isto como: 
 
R = {(x,y)  PM / y é mãe de x} 
Existem muitas funções importantes que recebem 
nomes especiais na Matemática e são representadas de 
maneira particular. A tabela abaixo mostra alguns exemplos: 
 
Nome da função Representação 
Polinomial P(x), Q(x), R(x), etc 
Logarítmica de base 10 log(x) 
Logarítmica de base e Ln(x) 
Fatorial n! 
Seno sen(x) 
Tangente tg(x) 
Domínio e Contradomínio 
Dada a função f : A  B o conjunto A é chamado domínio 
da função f e o conjunto B é o seu contradomínio. 
 
Domínio de f : D( f ) = A 
 
Contradomínio de f : CD( f ) = B 
 
Quando o domínio e o contradomínio de uma função são 
bem conhecidos, podemos indicar a função simplesmente 
pela letra ou nome que a representa. 
Assim, se uma particular função tem domínio e contra‑ 
domínio definidos tradicionalmente como o conjunto R dos 
números reais, poderemos nos referir a ela simplesmente 
como a função f em vez de f : R  R. 
 
Imagem 
Cada y que aparece num par ordenado (x,y) de uma 
função é denominado imagem do correspondente x na 
função dada. 
 
Exemplo: 
1. Na função g : A  B, definida nos domínio 
A = {1, 2, 3, 4} e contradomínio B {1, 2, 3, 4, 5} pela 
relação: 
 
g = {(1,2), (2,2), (3,4), (4,4)} 
 
Temos que y = 2 é imagem de x = 1 e de x = 2 enquanto 
y = 4 é imagem de x = 3 e também de x = 4. 
Notamos também que os valores 1, 3 e 5 não são ima‑ 
gens na função g porque não aparecem como y em qualquer 
dos pares ordenados pertencentes à função g. 
Quando um y é imagem de algum x numa função f, 
podemos escrever: 
 
Esta relação R é uma função porque a cada um dos ele‑ 
mentos x de P (cada pessoa) sempre corresponde um único 
elemento y de M (uma mulher) tal que y seja a mãe de x. 
 
Representações Usuais 
Quando uma relação é uma função, é comum represen‑ 
tá‑ la por uma letra minúscula. Assim, se a relação h é uma 
função de A em B podemos escrever: 
h : A  B 
ou 
y = h(x) 
y = f (x) 
(lê‑ se “y é igual a f de x”) 
 
Conjunto‑ Imagem 
Chamamos de conjunto‑ imagem de uma função o 
conjunto que reúne todos os y que são imagem de algum x 
na função dada. 
Exemplo: 
1. Na função g do exemplo anterior o conjunto‑ imagem 
é o conjunto {2, 4} e anotamos isto como: 
 
Im(g) = {2, 4} 
 
 
Lei de uma Função 
Para o nosso estudo, interessam principalmente as 
funções definidas para conjuntos numéricos cujas relações 
sejam determinadas por alguma regra matemática específica 
como uma operação ou uma expressão algébrica. 
Exemplos: 
1. Seja N o conjunto dos números naturais, a função f : 
N  N definida pela lei f(x) = 3x +2 associa a cada x 
 N o número y = 3x +2  N. Nessa função, imagem 
do elemento x = 5 será y = 17, pois este será o valor 
numérico da expressão 3x +2 para x = 5. 
y = f(x) 
f(x) = 3x +2 
f(5) = 3(5)+2 
f(5) = 15+2 
f(5) = 17 
(lê‑ se “f de 5 é igual a 17”) 
2. Na função g : Z  N definida por g(x) = 3x2+2, a ima‑ 
gem do elemento x = – 2 será 14, pois: 
y = g(x) 
g(x) = 3x2+2 
g(–2) = 3(–2) 2 +2 
g(–2) = 3×4+2 =14 
g(–2) = 14 
Gráfico de uma Função 
Considere todos os pares ordenados (x,y) pertencentes 
à função f : a  B. 
O gráfico cartesiano de uma função numérica f é a 
representação gráfica onde: 
1º o domínio da função é representado no eixo horizon‑ 
tal (eixo das abscissas ou eixo dos “x”) 
2º o contradomínio da função é representado no eixo 
vertical (eixo das ordenadas ou eixo dos “y”) 
3º cada um dos pares ordenados da função corresponde 
a um ponto do plano cartesiano. 
Exemplos: 
1. O gráfico cartesiano da função h : AB definida pela 
lei h(x) = x onde A ={1, 2, 3, 4} e B={1, 2, 3, 4, 5} é: 
 
h(x) = x 
2. A função f : RR, onde R é o conjunto dos números 
reais, definida pela lei f (x)  x
2 
 4x  3 tem o gráfico 
cartesiano ilustrado abaixo: 
 
f (x)  x
2 
 4x  3 
 
Teste da Linha Vertical 
 
Da definição de função decorre a seguinte regra prática 
para reconhecimento do gráfico cartesiano de uma função: 
 
 
Exemplos: 
 
1. O gráfico cartesiano abaixo apresenta dois pontos 
sobre uma mesma reta vertical. Logo, não pode ser 
gráfico de uma função. 
 
Não representa uma função 
O gráfico cartesiano de uma função y = 
f(x) nunca terá dois ou mais pontos 
quaisquer sobre uma mesma reta vertical. 
 
1 2 1 2 
 x1 2 1 2 
1 2 1 2 1 2 
1 2 1 2 1 2 
 
2. O gráfico cartesiano seguinte nunca tem dois ou mais 
pontos sobre uma mesma reta vertical. Portando, ele 
representa uma função. 
 
Representa uma função. 
 
Mais adiante discutiremos detalhes algumas funções 
de interesse para o nosso estudo, fazendo a análise de seus 
gráficos. 
 
Função Sobrejetora 
 
Uma função f: AB é dita sobrejetora se, e somente se, 
seu conjunto‑ imagem é igual ao seu contradomínio. 
 
f: AB é sobrejetora  Im( f ) = CD( f ) 
 
Função Injetora 
 
Uma função f: AB é dita injetora se, e somente se, 
quaisquer valores diferentes de x sempre tiverem imagens 
também diferentes. 
 
f: AB é injetora  x  x  f (x )  f (x ) 
 
Função Bijetora 
 
Uma função f: AB é dita bijetora se, e somente se, f 
é sobrejetora e também injetora. 
 
Im( f )  CD( f ) 
f: AB é injetora   
 x  f (x )  f (x )
 
 
Número de Funções Distintas 
 
Se os conjuntos A e B são, respectivamente, o domínio 
e contradomínio de uma função e têm a elementos e b ele‑ 
mentos, também respectivamente, então o total de funções 
distintas f: AB possíveis será #f = b a. 
Exemplo: 
Dados A={1, 2, 3} e B={1, 2}. 
O número de funções distintas possíveis f: AB é igual a: 
#f = 23 = 8 
O número de funções distintas possíveis g: BA é 
igual a: 
Função Par 
 
Uma função f: AB é dita par se, e somente se, quais‑ 
quer valores opostos dex sempre tiverem imagens iguais. 
 
f: AB é par   xD( f ), f (x)  f (x) 
 
O gráfico de uma função par é sempre simétrico em 
relação ao eixo das ordenadas (eixo Y). 
 
 
Função Ímpar 
 
Uma função f: AB é dita ímpar se, e somente se, 
quaisquer valores opostos de x sempre tiverem imagens 
também opostas. 
 
f: AB é par   xD( f ), f (x)  f (x) 
 
O gráfico de uma função ímpar não se altera quando é 
girado de 180º (virado de “cabeça para baixo”). 
 
 
Função Crescente 
Uma função f: AB é dita crescente se, e somente se: 
 
 x , x D( f ), x  x  f (x )  f (x ) 
 
Função Decrescente 
Uma função f: AB é dita decrescente se, e somente se: 
#f = 32 = 9  x , x D( f ), x  x  f (x )  f (x ) 
 
 
1 2 1 2 
1 2 1 2 1 2 
1 2 1 2 1 2 
f (x)  
g (x), se x  I ; 


Função Estritamente Crescente 
Uma função f: AB é dita estritamente crescente se, 
e somente se: 
 
 x , x D( f ), x < x  f (x ) < f (x ) 
 
Função Estritamente Decrescente 
 
Uma função f: AB é dita estritamente decrescente 
se, e somente se: 
 
 x , x D( f ), x < x  f (x ) > f (x ) 
 
Função Definida por Várias Sentenças 
 
Dizemos que uma função f: AB é definida por n 
sentenças (n  2) se, e somente se, existirem n fun‑ 
ções, g1(x), g2(x), ...., gn(x), definidas respectivamente em 
n intervalos de números reais, I1, I2, ..., In , com I1  I2  ... 
Exemplo: 
O gráfico da função constante definida por f(x) = 9 é: 
 
 
Funções Polinomiais 
Uma função f : R  R é dita polinomial de grau n se, 
e somente se, f é definida como: 
 
f(x) = a xn + a x n1 + a xn2 +...+a (com a  0) 
In = A de tal forma que: 
n 
 
Exemplos: 
n1 n2 0 n 
g1 (x), se x  I1 ; 

 2 2 

Algumas funções polinomiais são: 
 
f(x) = 2x+8 – polinomial de grau 1 ou do 1º grau. 



Exemplos: 
 gn (x), se x  In f(x) = 3x2 +5x7 – polinomial de grau 2 ou do 2º grau. 
 
f(x) = 12 – polinomial de grau zero ou constante. 
Observe o gráfico da função f: RR é definida por: 
Função do 1º Grau ou Função Afim 
 x  2, se x  2; 
f (x)  

x
2 
, se  2  x  2; 
 
Uma função do 1º grau, também chamada função afim, 
é qualquer função f : R  R tal que: 
 x  2, se x  2 
f(x) = ax + b (com a  0) 
 
O gráfico de uma função do 1o grau é sempre uma reta 
inclinada que encontra o eixo vertical quando y = b. 
A constante b da expressão ax+b é chamada coeficiente 
linear. 
O coeficiente a da expressão ax+b é chamado coeficien‑ 
te angular e está associado à inclinação que a reta do gráfico 
terá (na verdade o valor de a é igual à tangente de certo 
ângulo que a reta do gráfico forma com o eixo horizontal). 
Se a > 0 a função será crescente, ou seja, quanto maior 
for o valor de x, maior será também o valor correspondente 
de y e o gráfico vai ficando mais alto para a direita. 
 
x > x  f(x ) > f(x ) 
 
 
Função Constante 
 
Denominamos função constante a qualquer função f : 
R  R tal que: 
 
f(x) = b 
(onde b é uma constante qualquer) 
 
O gráfico de uma função constante é sempre uma reta 
horizontal que encontra o eixo vertical na altura de y = b. 
 
 
Se a < 0 a função será decrescente, ou seja, quanto maior 
for o valor de x, menor será o valor correspondente de y e 
o gráfico vai ficando mais baixo para a direita. 
 
 
x1 > x2  f(x1) < f(x2) 
 
 
 
Função Identidade 
 
Uma função do 1º grau, f : R  R, é chamada função 
identidade quando tem coeficiente angular b = 0 e coefi‑ 
ciente linear a = 1, ou seja: 
f(x) = x 
 
Função Identidade 
Função do 2O Grau ou Função Quadrática 
Uma função do 2º grau, ou função quadrática, é qual‑ 
quer função f : R  R tal que: 
f(x) = ax 2 + bx + c (com a  0) 
O gráfico de uma função do 2o grau é sempre uma 
parábola. 
O que é exatamente uma parábola? Embora nem sempre 
se diga, as parábolas são curvas especiais construídas de tal 
modo que cada um dos infinitos pontos que a formam fica 
à mesma distância de uma determinada reta (a diretriz da 
parábola) e de um determinado ponto (o foco da parábola) 
que está fora da reta diretriz. 
 
 
 
Discriminante da Função Quadrática 
 
O valor  = b2 – 4ac é chamado discriminante da função 
f(x) = ax 2 + bx + c. 
Dependendo dos sinais de  e do coeficiente do termo 
do segundo grau (também chamado termo principal), ocor‑ 
rerá sempre uma das três seguintes situações: 
 
1a :  > 0 
 
A equação f(x) = 0 terá duas raízes reais e a parábola 
encontrará o eixo horizontal (eixo do x) em dois pontos 
distintos. 
 
 
2a :  = 0 
 
A equação f(x) = 0 terá há uma só raiz real e a parábola 
encontrará o eixo horizontal em um único ponto. 
 
 
3a :  < 0 
 
A equação f(x) = 0 terá não há raízes reais e o gráfico 
não encontrará o eixo horizontal. 
 
 
 
v 
Vértice da Parábola 
 
O vértice de uma parábola é um ponto da parábola com 
várias características interessantes. Ele será o ponto mais 
alto (ponto de máximo) ou o ponto mais baixo (ponto de 
mínimo) da parábola. Além disto, o vértice da parábola divide 
a parábola em duas partes simétricas, sendo uma crescente 
e outra decrescente. 
 
 
Coordenadas do Vértice 
 
As coordenadas do vértice podem ser obtidas com as 
seguintes expressões: 
 
x  
 b 
v 
2a 
 
y  
 
v 
4a 
O gráfico de uma função recíproca é sempre formado 
por duas hipérboles. 
 
 
f(x) = 1/x 
 
Funções Compostas 
 
Dadas duas funções quaisquer, f e g, tais que f(x) exista 
para todos os valores possíveis de g(x), então define‑ se a 
função composta fg (lê‑ se ‘f composta com g’) como sendo: 
 
fg(x) = f(g(x)) 
 
Exercício resolvido 
Dadas as f(x) = 2x + 3 e g(x) = x2, determine as funções: 
I) fg(x); 
II) gf(x) 
III) ff(x). 
Uma forma alternativa de se conseguir estas coorde‑ 
nadas é: 
 
1o Conhecidas as raízes da função, o x do vértice pode 
ser calculado como a média aritmética das raízes da função; 
 
Solução: 
I) 
 
 
fg(x) = f(g(x)) 
 
fg(x) = 2(g(x)) + 3 
x  
r1  r2 
v
 2 fg(x) = 2(x2) +3 
2o conhecido o valor de x pode‑ se calcular o y do vértice 
como o valor que a função assume para x = xv : 
2 
II) 
fg(x) = 2x2 + 3 
gf(x) = g(f(x)) 
yv  a(xv )  b(xv )  c 
gf(x) = (2x+3)2 
Distância Entre as Raízes Reais gf(x) = 4x2 + 6x + 9 
 
Se a função do segundo grau f(x) = ax 2 +bx +c tem raízes 
reais, então a distância entre essas raízes, dr, será igual a: 
 
dr 

III) 
 
ff(x) = f(f(x)) 
ff(x) = 2(2x+3) + 3 
ff(x) = 4x+6 + 3 
(com   b2  4ac ) 
Função Recíproca 
 
 
Função Inversa 
ff(x) = 4x + 9 
 
Uma função recíproca é qualquer função f : R  R 
tal que: 
 
f(x) = 1/x 
Dada uma função bijetora, f, define‑ se como função 
inversa de f a função f – 1 (lê‑ se função inversa de f, e não “f 
elevado a menos um”) tal que: 
 
f – 1f (x) = x , para todo x do domínio de f. 

a 
 
 
Determinação da lei da função inversa 
Na prática pode‑ se procurar a lei da função inversa de 
uma função dada com o seguinte procedimento: 
1o escrevemos f(x) = y 
2o trocamos todo x por y e todo y por x 
3o representamos y em função de x 
 
Exemplo: 
 
Determinar a inversa da função f(x) = 2x + 6 
Considere a função y = f(x) cujo gráfico está representado 
abaixo: 
 
Solução: 
2x+6 = y (função f) 
2y+6 = x (função f – 1) 
2y = x – 6 
 
Nessas condições é correto afirmar que: 
6. f(0) = 0 
7. f(x1) = f(x3) = f(x5) = 0 
8. A função é crescente no intervalo de x a x . 
 1 3 5 
y  2 x  3 
 
1 1 
9. A função é decrescente no intervalo de x3 a x5. 
10. f(x2) = f(x4) = 0 
logo: f (x)  2 x  3 Julgue cada uma das afirmativas abaixo como Certa (C) ou 
Errada (E). 
 
Exercícios Propostos 
(Cespe) Nos exercícios 1 a 5 julgue cada uma das afirmativas 
dadas como Certa (C) ou Errada (E). 
 
1. A figura abaixo é o gráfico de uma função y = f(x). 
 
 
2. Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 4, 7, 9} então é correto afirmar 
que o total defunções de A em B distintas possíveis é 
igual a 34 = 81. 
3. Seja f(x) = ax5+bx3+cx+10, com a, b e c  R. Nessas 
condições se f(2) = 2 então f(2) = 18 
4. Se f(x) = x22x+1, então f(a+1) é igual a f(1a) para todo 
a pertencente ao domínio de f. 
5. Se f(x) = 4x+5, então para todo x1 e todo x2 pertencentes 
ao domínio de f vale 
 
f(x1+x2) = f(x1)+f(x2) 
11. A função f : R  R é definida por f(3x) = 3f(x) para todo 
x de seu domínio. Nessas condições, se f(9) = 45 então 
f(1) = 5 
12. Uma função f : R  R tem a seguinte propriedade: para 
toda constante real m f(mx) = mf(x) em todo o domínio 
de f. Assim sendo, o valor de f(0) é necessariamente 
igual a zero. 
13. Sejam V = {(X1,X2) / X1 e X2 são vértices distintos de 
um hexágono regular com lado medindo m} e f uma 
função que associa a cada par (X1,X2) de V a distância 
de X1 a X2. Assim sendo, o número de elementos do 
conjunto‑ imagem de f é superior a 5. 
14. Considere a função s = (5p+28)/4 onde p é o compri‑ 
mento do pé de um indivíduo, medido em centimetros, 
e s é o valor mais próximo do número do sapato que ela 
usa. Nessas condições, se o pé de uma pessoa tem 24 
cm de comprimento então o número do sapato que esta 
pessoa usa é 37. 
15. Com relação à função definida no item anterior, existe 
um número x tal que uma pessoa cujo comprimento do 
pé seja de x cm usará sapatos de número x. 
 
16. O gráfico da função f(x) = 3x – 9 encontra o eixo das 
abscissas (horizontal) quando x é igual a: 
a) –9 
b) –3 
c) 0 
d) 3 
e) 9 
 
17. O gráfico da função f(x) = – 2x – 14 encontra o eixo das 
ordenadas (vertical) quando y é igual a: 
a) –14 
b) –7 
c) 0 
d) 7 
e) 14 
 
18. A função do primeiro grau f(x) = ax +8 é crescente e 
encontra o eixo das abscissas (horizontal) quando x é 
igual a – 4. Então o valor de a é: 
a) – 4 b) – 2 c) 2 d) 4 e) 8 
 
 
19. Considere que a função do primeiro grau definida por 
f(x) = ax + 10 seja crescente. Assinale a opção que indica 
um valor impossível para a raiz desta função. 
a) – 25 b) – 4 c) – 3 d) – 2 e) 4 
 
20. (Cescem) Para que os pares (1; 3) e (3; – 1) pertençam 
ao gráfico da função dada por f (x) = ax + b, o valor de 
b – a deve ser: 
a) 7 b) 5 c) 3 d) –3 e) –7 
 
21. Uma função real f do 1º grau é tal que : 
 
f (0) = 1 + f (1) 
e 
f (–1) = 2 – f (0) 
 
Então, f (3) é: 
a) –3 b) – c) –1 d) 0 e) 7/2 
 
22. Para que a função do 1º grau dada por f (x) = (2 – 3k) x 
+ 2 seja crescente, é necessário que: 
a) k  2/3 
c) k  2/3 
e) k  – 2/3 
b) k  2/3 
d) k  – 2/3 
 
Um passageiro recebe de uma companhia aérea a seguinte 
informação em relação à bagagem a ser despachada: por 
passageiro, é permitido despachar gratuitamente uma baga‑ 
gem de até 20kg; para qualquer quantidade que ultrapasse 
os 20kg, será paga a quantia de R$ 8,00 por quilo excedente. 
 
23. (UnB/95‑STJ) Sendo P o valor pago pelo despacho da 
bagagem, em reais, e M a massa da bagagem, em kg, 
em que 
M > 20, então: 
a) P = 8M 
b) P = 8M – 20 
c) P = 20 – 8M 
d) P = 8(M – 20) 
e) P = 8(M + 20) 
 
24. (FCC/Nível Médio) Seja y =12,5x 2000 uma função 
descrevendo o lucro mensal y de um comerciante na 
venda de x unidades de um determinado produto. Se, 
em um determinado mês, o lucro auferido foi de R$ 20 
000,00, significa que a venda realizada foi, em número 
de unidades, de 
a) 1.440 
b) 1.500 
c) 1.600 
d)) 1.760 
e) 2.000 
 
25. A função do segundo grau f(x) = x 2 +bx +c encontra o 
eixo horizontal em x = 2 e em x = 5. Então os valores de 
b e de c são, respectivamente: 
a) –7 e – 10 
b) 7 e 10 
c) –7 e 10 
d) 7 e – 10 
e) 10 e 7 
 
26. O gráfico de f(x) = x2 +bx +9 encontra o eixo das abscissas 
em um único ponto. Então o valor de b é: 
a) 36 b) 6 c) 36 d) 6 e) –6 
O lucro de uma empresa é dado pela função L(x) = 120(12 
− x)(x − 40), em que x representa a quantidade de unidades 
de produtos vendidos. 
 
27. (UEG/Agente Legislativo) Assim, é correto afirmar que 
o lucro é 
a) positivo para qualquer quantidade de unidades ven‑ 
didas. 
b) positivo apenas para quantidades vendidas entre 12 
e 40. 
c) o maior possível se a quantidade vendida for exata‑ 
mente 28. 
d) positivo para qualquer quantidade vendida, desde 
que essa quantidade seja maior que 12. 
 
28. (FCC/Nível Médio) Depois de várias observações, um 
agricultor deduziu que a função que melhor descreve a 
produção (y) de um bem é uma função do segundo grau 
y = ax2 + bx +c, em que x corresponde à quantidade de 
adubo utilizada. O gráfico correspondente é dado pela 
figura abaixo. 
 
 
Tem‑ se, então, que: 
a) a = 3, b = 60 e c = 375 
b) a = 3, b = 75 e c = 300 
c) a = 4, b = 90 e c = 240 
d) a = 4, b = 105 e c = 180 
e) a = 6, b = 120 e c = 150 
 
29. (FCC/Nível Médio) Uma empresa, após vários anos de 
estudo, deduziu que o custo médio (y) em reais de sua 
produção e venda de x unidades de um determinado 
produto é uma função do segundo grau y = x2 + bx + c 
representada pelo gráfico a seguir: 
 
 
Tem‑ se, então, que: 
a)) b = 6 e m = 3 
b) b = 6 e m = 6 
c) b = 3 e m = 6 
d) b = 3 e m = 6 
e) b = 6 e m = 3 
 
30. Considere o gráfico da parábola da figura abaixo. 
 
 
 
A única equação que pode representar este gráfico é: 
a) y = x2 + 3x; 
b) y = x2 3x; 
c) y = x2; 
d) y = x2  3; 
e) y = x2 + 3; 
 
31. As raízes de f(x) = 2x 2 +bx +c têm sinais opostos. Nessas 
condições, julgue cada um dos itens abaixo como Certo 
ou Errado: 
a) b 2 – 8c pode ser igual a zero. 
b) b 2 – 8c não pode ser negativo. 
c) c < 0 
d) b < 0 
e) b < c 
 
32. As raízes de f(x) = – 3x 2 +bx +c são positivas e distintas. 
Assim sendo, julgue cada um dos itens abaixo como 
Certo ou Errado: 
a) b 2 – 12c pode ser igual a zero. 
b) b 2 – 12c pode ser negativo. 
c) c < 0 
d) b > 0 
e) b > c 
 
33. (Cespe) A demanda D por um produto que custa p re‑ 
ais é definida como a quantidade do produto que será 
vendida quando se praticar o preço p. A oferta O de um 
produto ao preço de p reais é a quantidade do produto 
que o produtor está disposto e apto a vender pelo preço 
p. O preço de equilíbrio de mercado ocorre quando a 
demanda e a oferta coincidem, e a quantidade vendida 
é chamada quantidade de equilíbrio. Com base nesses 
conceitos, considerando que a demanda por um produto 
seja dada pela função D(p) = 49 – p2 e que a oferta desse 
produto seja dada pela função O(p) = 11p – 11, julgue 
cada um dos itens seguintes em Certo ou Errado. 
a) Existem valores de p para os quais há mais demanda 
que oferta. 
b) O preço de equilíbrio ocorre para algum valor de p 
tal que 3 < p < 6. 
c) Para os valores de p maiores que o preço de equilí‑ 
brio, existe menos oferta que demanda. 
d) A quantidade de equilíbrio é inferior a 30 unidades. 
gabarito 
Funções 
 
1. E 18. c 
2. C 19. e 
3. C 20. a 
4. C 21. b 
5. E 22. b 
6. E 23. d 
7. C 24. d 
8. E 25. c 
9. E 26. b 
10. E 27. b 
11. C 28. a 
12. C 29. a 
13. E 30. a 
14. C 31. E, C, C, E, E 
15. E 32. E, E, C, C, C 
16. d 33. C, C, E, E 
17. a 
 
 
Exercícios propostos 
Composição de Funções 
 
1. Se f(x) = 3x + 1 e g(x) = x + 5, então a expressão que 
define a função composta fg(x) é: 
a) 3x + 6 
b) 3x + 16 
c) 4x + 6 
d) 3x + 5 
e) 5x + 3 
 
2. Se f(x) = 3x2 + 1 e g(x) = x – 1, então a expressão que 
define a função composta fg(x) é: 
a) 3x2 
b) 3x2 – 1 
c) 3x2 – 2x +1 
d) 3x2 – 6x +2 
e) 3x2 +6x +2 
 
3. Se f(x) = 4x +1 e g(x) = 2x , então o valor de fg(1) + 
gf(1) é: 
a) 25 b) 27 c) 41 d) 43 e) 52 
 
4. A função real f(x) = ax + b é tal que ff(x) = x +1 para 
todo x real. Nestas condições é correto afirmar: 
a) a = 1 e b = 0,5 
b) a = – 1 e b = 0,5 
c) a = 1 e b = 2 
d) a = 1 e b = – 2 
e) a = 1 e b = 1 
 
5. Sejam f e g duas funções reais tais que f(2x – 1) = 3x2 – x 
+25 e g(x – 1) = 2x +3. O valor de f(g(–1)) é: 
a) 27 b) 29 c) 31 d) 33 e) 35 
 
GaBaRItO 
 
1. b 2. d 3. c 4. a 5. e 
S 

30 H K 
Progressões aritméticas e 
geométricasProgressões Aritméticas 
Definição 
3º Numa P.A. de razão 6, o valor do 8º termo é 40 e o 
último termo vale 106. Pode‑se determinar o 
número de termos da P.A. como segue: 
R último termo: an = 106 T razão: 6 
dados oitavo termo: a8 = 40 
 
Dados os números reais a e r, denominamos progressão 
aritmética (P.A.) a toda sequência (a1 , a2 , a3 , ...) tal que: 
an = a8 + (n – 8)  r 
106 = 40 + (n – 8)  6 
66 = (n – 8)  6 
a1  a 
an1  an  r 
 
(para n  1) 
11 = n – 8  n = 19 
Soma de n termos consecutivos de uma P.A. (Sn) 
Onde r é chamado razão da P.A. 
 
Exemplos: 
 
1º) A sequência (3, 7, 11, 15, 19) é uma P.A. com 
5 termos onde a1 = 3, a2 = 7, a3 = 11, a4 = 15, 
Para calcularmos a soma de n termos consecutivos de 
uma P.A., devemos: 
 
1º Calcular a média aritmética dos dois extremos; 
2º Multiplicar a média pelo número de termos somados. 
S  
F a1  an I  n 
a5 = 19 e a razão é 4. 
 
2º) Numa P.A. de 20 termos onde a1 = 50 e r = –2, os 
quatro primeiros termos são a1 = 50, a2 = 48, a3 = 
46 e a4 = 44. 
Propriedades 
 
• A diferença entre um termo qualquer, a partir do 
segundo, e o termo anterior é igual à razão da P.A. 
 
an1  an  r 
 
• Qualquer termo, a partir do segundo, é a média 
aritmética dos termos vizinhos a ele (antecedente e 
sucessor). 
n H 2 K 
Exemplo: 
 
Numa P.A. com 30 termos o primeiro é 12 e o último, 
58. Qual o valor da soma de todos eles? 
 
Solução: 
S  
F 12  58I 
 30
 
30 H 2 K 
S  
F 70 I 
 30 
2 
S30  35  30  1.050 
S30  1.050 
a  
an1  an1 
n
 2 
 
• Considerando n termos consecutivos de uma P.A., a 
soma de dois termos equidistantes dos extremos é 
igual à soma dos termos extremos. 
 
Termo Geral de uma P.A. 
Numa P.A. de razão r, vale a seguinte igualdade: 
 
an  ak  (n  k)  r 
Exemplos: 
 
1º Numa P.A. de razão 3, cujo 8º termo vale 10, o valor 
do 15º termo é: 
a15 = a8 + (15 – 8)  3 
 
ExERcícIOS PROPOStOS 
1. Determine a razão de cada uma das seguintes pro‑ 
gressões aritméticas: 
a) (34, 41, 48, 55, 62) d) (‑30, ‑27, ‑24, ‑21) 
b) (78, 83, 88, 93, 98) e) (4/3, 5/3, 2, 7/3) 
c) (19, 17, 15, 13, 11) 
2. Determine o 10º termo de cada uma das progressões 
aritméticas do exercício anterior. 
3. Determine o termo indicado em cada uma das seguintes 
progressões aritméticas: 
a) a6 = 2, r = 2, a20 = ? d) a20 = 40, r = –10, a100 = ? 
b) a10 = 15, r = 3, a30 = ? e) a40 = 18, r = 20, a80 = ? 
c) a8 = 100, r = 5, a18 = ? f) a37 = 56, r = 12, a49 = ? 
4. Determine o primeiro termo das progressões aritméticas 
em cada caso: 
a15 = 10 + 7  3 
a15 = 10 + 21 a15 = 31 
a) a10 
b) a c) a 
= 190 e r = 8 e) a 
= 580 e r = 10 f) a = 120 e r = 5 g) a 
100 = 750 e r = –2 
= 280 e r = –2 = ‑30 e r = –3 15 46 
20 10 
2º Se o 5º termo de uma P.A. é 13 e o 9º termo é 45, 
pode‑se determinar a razão da seguinte forma: 
a9 = a5 + (9 – 5)  r 
d) a8 = 70 e r = 7 h) a8 = 0 e r = –5 
5. Determine a razão de cada P.A. seguinte: 
a) a = 5 e a = 85 e) a = 50 e a = 150 
1 11 5 15 
45 = 13 + 4  r b) a = 10 e a = 135 f) a = 105 e a = 135 
1 26 10 25 
45 – 13 = 4r 
32 = 4r  r = 8 
c) a1 = 100 e a16 = 40 g) a20 = 200 e a100 = 240 
d) a1 = 50 e a13 = –10 h) a45 = 300 e a100 = 190 
 
 
6. Determine o número de termos de cada uma das 
progressões aritméticas seguintes: 
a) (1, 7, 13, ..., 121) d) (108, 117, ... 999) 
b) (74, 95, ..., 200) e) (1, 3, 5, ..., 99) 
c) (‑3, 0, ..., 39) f) (2, 4, 6, ..., 100) 
 
7. Determine o quarto termo de cada sequência resultante 
nas seguintes interpolações aritméticas: 
a) Interpolar 3 meios aritméticos entre 12 e 28. 
b) Inserir 5 meios aritméticos entre 10 e 40. 
c) Interpolar 6 meios aritméticos entre 20 e 90. 
Progressões geométricas 
 
Definição 
 
Dados os números reais não nulos a e q, denominamos 
progressão geométrica (P.G.) a toda sequência (a1 , a2, a3 , ...) 
tal que: 
RSa1  a 
Tan1  an  q (para n  1) 
d) Inserir 10 meios aritméticos entre 10 e 109. 
e) Interpolar 5 meios aritméticos entre 40 e 10. 
 
8. Sabendo que os três primeiros termos de uma P.A. são, 
respectivamente, x – 1, x + 5 e 4x – 4, encontre o valor 
numérico do quarto termo. 
9. Determine a razão da P.A. (5 – x, x + 1, 3x – 3) em função 
de x. 
10. Determine o valor da soma dos 100 primeiros números 
inteiros positivos. 
11. Determine o valor da soma dos 30 primeiros números 
ímpares positivos. 
12. Determine o valor da soma dos 20 primeiros termos da 
sucessão (10, 13, 16, 19, ...). 
13. Determine o valor da soma de todos os múltiplos de 7 
compreendidos entre 10 e 100. 
14. Determine o valor da soma de todos os múltiplos de 11 
compreendidos entre 30 e 200. 
15. Numa urna há 1000 bolinhas. Retirando 3 bolinhas na 
primeira vez, 6 bolinhas na segunda, 9 na terceira, e 
assim por diante, quantas bolinhas restarão na urna 
após a vigésima retirada? 
 
gabarito 
Onde q é chamado razão da P.G. 
 
Exemplos: 
1º A sequência (3, 6, 12, 24) é uma P.G. onde a1 = 3, a2 
= 6, a3 = 12, a4 = 24 e a razão é q = 2. 
2º Numa P.G. onde a1 = 320 e , os quatro primeiros 
termos são a1 = 320, a2 = 160, a3 = 80 e a4 = 40 
Propriedades 
 
• o quociente entre um termo qualquer, a partir do 
segundo, e o termo anterior é igual à razão da P.G.; 
 
an1  q 
an 
• qualquer termo, a partir do segundo, é, em módulo, 
a média geométrica dos termos vizinhos a ele 
(antecedente e sucessor); 
 
an 

• considerando n termos consecutivos de uma P.G., o 
produto de dois termos equidistantes dos extremos 
é igual ao produto dos termos extremos. 
 
a1  an  a1k  ank 
Termo geral de uma P.G. 
 
Numa P.G. de razão q, vale a seguinte igualdade: 
 
an  ak  q 
 
Exemplo: 
 
Numa P.G. de razão 3, cujo 5º termo vale 8, o valor do 
9º termo é: 
a = a5 × q9 – 5 
9 4 
a9 = 8 × 3 = 648 
 
Soma de n termos consecutivos de uma P.G. 
 
A soma de n termos consecutivos de uma P.G. é dada 
pela seguinte expressão: 
 
n 
S  a  
q  1 
(para q  1) 
n 1 
q  1 
1. a) 7 2. a) 97 3. a) 30 4. a) 118 
b) 5 b) 123 b) 75 b) 440 
c) –2 c) 1 c) 150 c) 25 
d) 3 d) –3 d) –760 d) 21 
e) 1/3 e) 13/3 e) 818 e) 948 
f) 200 f) 370 
g) –3 
h) 35 
5. a) r = 8 
b) r = 5 
c) r = –4 
d) r = –5 
e) r = 10 
f) r = 2 
g) r = 1/2 
h) r = –2 
6. a) n = 21 
b) n = 7 
c) n = 15 
d) n = 100 
e) n = 50 
f) n = 50 
7. a) 24 
b) 2
5 
c) 50 
d) 3
7 
e) 25 
8. 22 
9. 2x – 4 (para todo x) 
10. 5050 
11. 900 
12. 770 
13. 728 
14. 1.848 
15. 370 
an1  an1 
nk 
 
2 
S 1 
Exemplo: 
 
Numa P.G. com 10 termos, o primeiro vale 25 e a razão 
é 2. Determinar a soma destes termos. 
 
Solução: 
 
2
10 
 1 
2. Determine o sétimo termo de cada uma das seguintes 
progressões geométricas: 
a) (4, 8, 16, 32, ...) 
b) (10, 30, 90, ...) 
c) (5, 20, 80, 320, ...) 
d) (10.000, 1.000, 100, ...) 
e) (128, 64, 32, ...) 
f) (1, ‑2, 4, ‑8, ...) 
S10  25  2  1 
 25 1023 
3. Determine o termo pedido de cada P.G., conhecendo a 
S10  25 1.023 razão e um de seus termos. 
a) a3 = 10, q = 2, a8 = ? 3 , a10 = ? 
S10  25.575 
b) a3 = 8, q = 
c) a6 = 12.500, q = ‑5, a1 = ? 
5 1 
Soma‑limite de uma P.G. infinita 
 
Numa P.G. onde o módulo da razão seja menor que 
1, a soma dos seus infinitos termos será um número finito 
dado por: 
 
S 
a1 
d) a12 = 8 
, q = 
2 
, a1 = ? 
4. Determine a razão de cada P.G. conhecendo dois de seus 
termos: 
a) a1 = 6 e a6 = 192 
b) a1 = 10 e a8 = ‑1.280 
c) a3 = 8 e a7 = 5.000   
1  q (para | q| < 1) d) a = 25 e a = 1.600 
1 7 
 
Exemplo: 
 
Determinar a soma‑ limite da expressão 
 
2  1  
1 
 
1 
 
1 
... 
2 4 8 
 
Solução: 
1º termo: 2 
1 
razão: 
2
 
a 
  
1  q 
S  
2 
 
2
 
 1 
1 1 
2 2 
S  2  2  4 
S  4 
e) a3 = ‑125 e a7 = ‑2.000 
f) a = 
2 
e a = 54 
5 3 9 
 
5. Determine o segundo termo de cada sequência resul‑ 
tante das interpolaçõesgeométricas indicadas. 
a) Inserir 4 meios geométricos entre 4 e 1/8. 
b) Interpolar 4 meios geométricos entre 3 e ‑96. 
c) Inserir 2 meios geométricos entre 2 e 10. 
d) Inserir 3 meios geométricos entre 2 e 32, de modo a 
obter uma P.G. alternante. 
e) Interpolar 3 meios geométricos entre 4 e 36, de modo 
a obter uma P.G. crescente. 
 
6. Determine o número de termos de cada P.G. indicada: 
a) (2/3, 2, 6, ..., 486) 
b) (1/9, 1/3, ..., 729) 
c) (100, 20, ..., 0,0064) 
d) (2, 8, 32, ..., 2.048) 
e) (1, 5, ..., 3.125) 
f) (0,125, 0,5, ..., 128) 
 
gabarito 
Exercícios propostos 
1. a) 2 2. a) 256 3. a) 320 
1. Identifique a razão de cada uma das seguintes pro‑ 
gressões geométricas: 
a) (3, 6, 12, 24) 
b) (24, 12, 6, 3) 
c) (1/2, ‑1, 2, ‑4, 8) 
d) (65, 0, 0, 0, 0) 
e) (4, ‑8, 16, ‑32, 64) 
f) (128, ‑64, 32, ‑16) 
b) 1/2 b) 7.290 b) 216 3 
c) –2 c) 20.480 c) –4 
d) 0 d) 0,01 d) 1.280 
e) –2 e) 2 
f) –1/2 f) 64 
g) 2 
h) 3 2 
i)  2 
4. a) 2 5. a) 2 6. a) 7 
b) –2 b) –6 b) 9 
g) (6, 6 , 12, 12 ) c) ±5 c) 23 5 c) 7 
h) (3, 33 2 , 3
3 4 , 6, 63 2 ) 
i) (‑1, 2 , ‑2, 2 2 , ‑4) 
d) ±2 d) –4 d) 6 
e) ±2 e) 4 3 e) 6 
f) ±3 f) 6 
2 
 
 
JUROS SIMPlES 
Conceito de Juros 
 
Quando um capital é emprestado a alguém durante al‑ 
gum tempo, o dono do capital tem direito, como pagamento 
pelo empréstimo, a uma quantia a qual denominamos juro. 
Ao capital acrescido de juros é comum chamarmos 
montante. 
 

(+ Juros) 
 
Assim, os juros são a variação entre o capital e o 
montante de uma operação financeira. 
 
(Juros) = (Montante) – (Capital) 
Regimes de Capitalização 
O resultado do cálculo dos juros de uma operação 
financeira dependerá, entre outros fatores, do modo como 
decidiremos que deve ocorrer a variação destes juros em 
relação ao prazo da operação. 
Denomina‑se regime de capitalização ao modo esco‑ 
lhido para a variação dos juros em relação ao prazo das 
operações consideradas. 
Existem basicamente três regimes de capitalização: 
– Capitalização Simples. 
– Capitalização Composta. 
– Capitalização Continua. 
Taxa de Juros 
A taxa de juros é aquela que indica a proporção entre 
os juros e o capital num dado intervalo de tempo. 
A taxa de juros deve, portanto, estar sempre associada 
a um período de tempo. 
Em muitos casos a indicação escrita do prazo de tempo 
associado às taxas será feita de forma abreviada, de modo 
que o prazo seja indicado por sua letra inicial. 
Assim teremos: 
 
x% a.d. = x% ao dia 
x% a.m. = x% ao mês 
x% a.b. = x% ao bimestre 
x% a.t. = x% ao trimestre 
x% a.q. = x% ao quadrimestre 
x% a.s. = x% ao semestre 
x% a.a. = x% ao ano 
Exemplo: 
 
Se um capital de R$2.000,00 rendeu R$300,00 de ju‑ 
ros ao fim de dois meses, então a taxa de juros para esse 
período será: 
 
100% + x % (100 + x) % 
Capital  Montante 
 (+ Juros) 
 
(Juros) = x% do (Capital) 
300 = x% de 2.000 
 
Uma vez que os resultados de uma operação financeira 
300  
x
 
100 
 2.000 
dependem do regime de capitalização escolhido, este deve 
ser sempre indicado de algum modo nos textos das questões 
de matemática financeira. Isso é feito, na maioria das vezes, 
usando‑se “simples” / “composto” / “continuo” como adjeti‑ 
vo ou de juros ou de desconto ou de taxa ou de capitalização. 
 
Exemplos: 
 
... calcular os juros simples ... 
... a juros compostos de ... 
... admitindo juros continuos ... 
... no regime de capitalização simples ... 
... determine o desconto composto ... 
 
Juros Simples 
 
Chamamos de juros simples àquele no qual se admite 
que o total de juros seja diretamente proporcional ao tempo 
da operação considerada. 
Como os juros são a variação entre o capital e o mon‑ 
tante e como esta variação, na prática, ocorre num dado 
intervalo de tempo, o valor dos juros deve estar sempre as‑ 
sociado ao período de tempo que foi necessário para gerá‑lo. 
 
Exemplo: 
Se dissermos que um empréstimo de R$1.000,00 cobra 
juros de R$2,00, isso representará uma variação grande ou 
pequena? Depende. Se ela ocorreu em um ano, podemos 
dizer que é bem pequena. Mas se ocorreu em um dia, já não 
teremos a mesma opinião. 
x  
300 100 
 15 
2000 
 
Logo, a taxa de juros é de 15% no bimestre. 
 
Taxas Proporcionais 
Duas taxas são proporcionais quando seus valores são 
diretamente proporcionais aos respectivos tempos, sendo 
estes considerados numa mesma unidade. 
 
Exemplo: 
 
As taxas de 72% ao ano e de 6% ao mês são propor‑ 
cionais. 
Isso pode ser comprovado verificando uma regra de três 
direta como a indicada a seguir: 
 
(%) 
72 
 

(prazos) 
12 (meses) 
6  1 (mês) 
 
72%1 = 6%12 
 
72% = 72% 
 
A igualdade obtida na última linha confirma que os 72% 
estão para 12 meses (1 ano) assim como os 6% para 1 mês. 
Ou seja, as taxas de 72% ao ano e de 6% ao mês são mesmo 
proporcionais. 
 
Capital Montante 
 
Exercício Resolvido 
Qual é a taxa trimestral proporcional à taxa quadrimes- 
tral de 20%? 
• Prazo comercial – Consideram‑se todos os meses 
com 30 dias (mês comercial) e o ano com 360 dias 
(ano comercial). Este é o caso mais frequente nos 
problemas de juros simples, e os juros calculados de 
acordo com esta convenção são chamados de juros 
comerciais ou juros ordinários. 
 
Exemplos: 
 
x%4 = 20%3 
 
x% = 60%  4 
 
x% = 15% 
 
Portanto, a taxa de 15% a.t. (15% ao trimestre) é pro‑ 
porcional à de 20% a.q. (20% ao quadrimestre). 
 
Taxas Equivalentes 
Duas taxas são equivalentes quando produzem juros 
iguais ao serem aplicadas a capitais iguais e por períodos 
de tempo também iguais. 
 
Exemplo: 
A aplicação de uma dada quantia qualquer, por certo 
período, à taxa de juros simples de 2% ao mês nos daria um 
total de juros igual àquele que obteríamos se aplicássemos 
a mesma quantia, durante o mesmo tempo, mas à taxa de 
juros simples de 6% ao trimestre. Então dizemos que a taxa 
de juros simples de 2% a.m. é equivalente à taxa de juros 
simples de 6% a.t. 
Notemos que 2% a.m. e 6% a.t. são também taxas pro‑ 
porcionais, pois: 
No regime de juros simples, taxas equivalentes serão 
sempre proporcionais e vice‑versa. 
 
Exercício Resolvido 
Qual é a taxa semestral equivalente à taxa quadrimestral 
de 7,5%? 
 
(%) 
7,5 
 

(prazos) 
4 (meses) 
x  6 (mês) 
x%4 = 7,5%6 
 
x% = 45%  4 
 
x% = 11,25% 
 
Portanto, a taxa de 7,5% a.s. (7,5% ao semestre) é pro‑ 
porcional à de 11,25% a.q. (11,25% ao quadrimestre). 
 
Juros Comerciais e Juros Exatos 
Existem situações onde o prazo de uma operação finan‑ 
ceira é contado em dias enquanto a taxa de juros é indicada 
em alguma outra unidade de tempo maior (mês, bimestre, 
quadrimestre, semestre ou ano). 
Em tais situações todos os prazos devem ser contados 
em dias. A contagem do número de dias envolvidos na 
operação (prazo da operação), entretanto, deve ser feita, 
na prática, de acordo com uma das seguintes convenções: 
 
Exercício Resolvido 
 
Qual a taxa de juros simples equivalente a 12% ao mês 
para um prazo de 3 meses e 10 dias, considerando a conven- 
ção do prazo comercial? 
 
Solução: 
1 mês = 30 dias 
3 meses e 10 dias = 330 dias + 10 dias = 100 dias 
 
Como as taxas equivalentes, a juros simples, devem ser 
proporcionais aos seus respectivos tempos, temos: 
 
(prazos) (%) 
30 dias ......................... 12% 
100 dias ......................... x% 
 
30x = 10012 
x = 40 
 
A taxa equivalente, para os 3 meses e 10 dias, é 40%. 
 
• Prazo exato – Considera‑se o total exato de dias trans‑ 
corridos no período da aplicação. Assim, contam‑se 
com 30 dias os meses de abril, junho, setembro e 
novembro, 28 dias para fevereiro (29 se o ano for 
bissexto) e com 31 dias os demais meses do ano. 
O ano terá um total de 365 dias (ou 366 dias se for 
bissexto). Os juros calculados de acordo com esta 
convenção são chamados juros exatos. 
 
Exemplos: 
 
Prazo dado Total de dias (prazo exato) 
Um ano 365 dias 
De 01/07/Xa 01/09/X 31 + 31 = 62 dias (conta‑se o dia 
inicial mas não o final) 
De 06/02/X a 06/03/X 28 dias (se nada for dito, 
presume‑se o ano não bissexto) 
 
obs.: Expressões como “dois meses e meio”, “três 
meses e vinte dias” etc. não fazem sentido na contagem 
de prazos exatos, pois o total dependeria de quais meses 
seriam considerados. 
 
Prazo dado Total de dias (prazo 
comercial) 
Dois meses e meio 2×30 + 15 = 75 dias 
Três meses e vinte dias 3×30 + 20 = 110 dias 
Um ano 12×30 = 360 dias 
De 01/07/X a 01/09/X 2×30 = 60 dias 
De 06/02/X a 06/03/X 1×30 = 30 dias 
 
(%) 
20 
 

(prazos) 
4 (meses) 
x  3 (mês) 
 
 
Exercício Resolvido 
Quantos dias, exatamente, durou uma aplicação que 
teve início em 18 de março de certo ano e término em 10 de 
setembro do mesmo ano? 
 
Solução: 
Quando esta situação ocorre no meio de um problema 
em provas de concursos, quase sempre somos obrigados a 
resolvê‑ la sem o auxílio da chamada “tabela para contagem 
de dias entre datas”. Entretanto, é possível resolvê‑ la com o 
seguinte procedimento: 
Se as datas de início e término da operação estiverem 
no mesmo ano, pode‑se determiná‑ la da seguinte forma: 
 
M = (mês final)  (mês inicial) 
D = (dia final)  (dia inicial) 
Ajustes = 
+1 dia para cada dia 31 compreendido entre as datas 
de início e fim; 
2 dias se o período da operação passar de fevereiro 
para março. 
 
Prazo exato = 30M + D + Ajustes 
 
Em nosso caso, temos: 
M = (mês final)  (mês inicial) = 9  3 = 6 
D = (dia final)  (dia inicial) = 10  18 = 8 
Ajustes = (31/mar.) + (31/maio) + (31/jul.) + (31/ago.) 
= 1 + 1 + 1 + 1 = 4 
 
Prazo exato = 30M + D + Ajustes 
Prazo exato = 30(6) + (8) + (4) 
Prazo exato = 180 8 + 4 
Prazo exato = 176 
 
obs.: O prazo comercial entre duas datas pode ser 
conseguido fazendo‑se: 
 
Prazo comercial = 30M + D 
Prazo comercial = 30(6) + (8) 
Prazo comercial = 180 8 
Prazo comercial = 172 
 
Exercício Resolvido 
Um capital de R$7.200,00 foi aplicado de 6 de fevereiro 
até 20 de abril do mesmo ano. Considerando uma taxa de 
juros simples de 10% a.a., qual o total de juros desta aplica- 
ção se considerarmos o prazo exato? E qual o total de juros 
se considerarmos o prazo comercial? 
 
Solução: 
M = (mês final)  (mês inicial) = 4  2 = 2 
D = (dia final)  (dia inicial) = 20  6 = 14 
Ajustes = (fev./mar.) + (31/mar.) = 2 + 1 = 1 
 
I – Considerando o prazo exato: 
Prazo exato = 30M + D + Ajustes 
Prazo exato = 30(2) + (14) + (1) 
Prazo exato = 60 + 14 1 
Prazo exato = 73 dias 
 
Juros exatos: 
JE = 10% de R$7.200,00 
JE = 720,00 (anual) 
x  
73 720 
 144
 
365 
 
O valor dos juros exatos é de R$144,00. 
 
II – Considerando o prazo comercial: 
Na contagem do prazo comercial os ajustes relativos ao 
número exato de dias não são considerados. 
 
Prazo comercial = 30M + D 
Prazo comercial = 30(2) + (14) 
Prazo comercial = 60 + 14 
Prazo comercial = 74 dias 
 
Juros comerciais: 
 
JC = 10% de R$7.200,00 
JC = 720,00 (anual) 
 
(prazos) ($$) 
360 dias .................... R$720,00 
74 dias .................... x 
 
360x = 74720 
 
x  
74  720 
 148
 
360 
 
O valor dos juros comerciais é de R$148,00. 
 
Prazo Médio e Taxa Média 
 
Considere um conjunto com duas ou mais aplicações a 
juros simples, cada qual com seus próprios valores de capital, 
suas taxas e seus prazos. 
Prazo médio é um prazo único tal que, substituindo 
os prazos de cada uma das aplicações dadas, produzirá o 
mesmo total de juros das aplicações originais. 
O prazo médio é sempre a média aritmética ponderada 
dos prazos, tendo como pesos os produtos das taxas e capi‑ 
tais a eles associados. 
 
Exercício Resolvido 
 
Três capitais de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00 
foram aplicados às taxas simples de 2%, 3% e 4% ao mês 
durante 3 meses, 2 meses e 1 mês, respectivamente. Qual 
seria o prazo médio para estas três aplicações? 
a B c B × c a × B × c 
PRaZOS caPItaIS taxaS PESOS PRaZOS  PESOS 
3 meses 1 2 1 x 2 = 2 3 x 1 x 2 = 6 
2 meses 2 3 2 x 3 = 6 2 x 2 x 3 = 12 
1 mês 3 4 3 x 4 = 12 1 x 3 x 4 = 12 
 
 
(prazos) 
365 dias 
 
............................ 
($$) 
R$720,00 
73 dias ............................ x 
 365x = 73720 
 
prazo médio  
(soma _ de _ prazos  pesos) 
(soma _ dos _ pesos) 
 
prazo médio  
6 12 12 
 
30 
 1, 5 (meses) 
2  6 12 20 
 
Portanto, o prazo médio seria de 1 mês e 15 dias. 
Isso significa que se nós trocássemos os prazos das três 
aplicações por 1 mês e 15 dias, o total de juros produzidos pe‑ 
las três aplicações, ao final desse prazo, continuaria inalterado. 
Taxa média é uma taxa única tal que, substituindo as taxas 
de cada uma das aplicações dadas, produzirá o mesmo 
total de juros das aplicações originais. 
A taxa média é sempre a média aritmética ponderada 
das taxas, tendo como pesos os produtos dos prazos e capi‑ 
tais a eles correspondentes. 
Exercício Resolvido 
Considerando as aplicações do exemplo anterior: 
R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00, às taxas de 2%, 3% 
e 4% ao mês, durante 3, 2 e 1 mês, respectivamente. Qual 
seria a taxa média para estas três aplicações? 
A 
TAXAS 
B 
CAPITAIS 
C 
PRAZOS 
B × C 
PESOS 
A × B × C 
TAXASPESOS 
2% a.m. 1 3 1 x 3 = 3 2 x 1 x 3 = 6 
3% a.m. 2 2 2 x 2 = 4 3 x 2 x 2 = 12 
4% a.m. 3 1 3 x 1 = 3 4 x 3 x 1 = 12 
Taxa média  
(soma _ de _ taxas  pesos) 
(soma _ dos _ pesos) 
Taxa média  
6 12 12 
 
30 
 3 
3  4  3 10 
Portanto, a taxa média seria de 3% ao mês. 
Isso significa que se nós trocássemos as três taxas (2%, 
3% e 4%) para 3% a.m., o total de juros produzidos pelas três 
aplicações continuaria inalterado. 
Exercícios Resolvidos 
1. Um capital de R$ 800,00 foi aplicado pelo prazo de 2 
meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor 
dos juros desta aplicação? 
Solução: 
 
Inicialmente, vemos que a taxa de juros é de 3% ao mês. 
Como o prazo de aplicação é de 2 meses, temos a se‑ 
guinte proporção: 
 
(prazos) (%) 
1 mês ......................... 3% 
2 meses ......................... x % 
1x = 23% 
x = 6% 
Assim, podemos montar o seguinte esquema: 
 
100% + 6% 106% 
 M = ? 
+ J = ? 
Neste esquema, poderíamos determinar quer os juros, 
quer o montante através de uma simples regra de três. Mas 
o problema pediu o valor dos juros. Logo, faremos: 
 
(%) ($$) 
100% ..................... 800 (capital) 
6% ..................... J = ? (juros) 
 
Resolvendo a regra de três, vem: 
100J = 6800 
 
J = 
6×800 
= 48
 
100 
 
Portanto, os juros da aplicação são de R$ 48,00. 
2. Um capital de R$ 23.500,00 foi aplicado durante 8 
meses à taxa simples de 9% a.a. Determine o montante 
desta aplicação. 
Solução: 
A taxa é de 9% ao ano, mas a aplicação durou 8 meses. 
 
(prazo) (%) 
12 meses ................... 9% 
8 meses ................... x 
 
Resolvendo a regra de três, vem: 
12x = 89% 
 
x  
8 9% 
 6% 
12 
Desse modo, podemos escrever: 
 
100% + 6% 106% 
C = 23.500  M = ? 
 + J = ? 
 
Veja que o montante é 106% do capital! 
106% de 23.500,00 = 24.910,00 
Portanto, o montante foi de R$ 24.910,00. 
3. Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 8 meses 
resultou num montante de R$ 66.000,00. Qual foi a taxa 
mensal de juros simples desta aplicação? 
Solução: 
Lembrando que os juros são a variação (diferença) do 
capital aplicado para o montante, teremos: 
 
100% +x% (8 meses) (100+x)% 

+ J = 16.000 
Pelo esquema vemos que: 
 
($$) (%) 
50.000 .................... 100% 
16.000 .................... x 
C = 50.000 M = 66.000 
C = 800 
 
 
Desse modo teremos: 
 
50.000  x = 16.000100% 
 
x = 
16.000×100% 
= 32%
 
50.000 
 
Como foi pedida uma taxa mensal, faremos: 
 
(prazo) (%) 
8 meses .................... 32% 
1 mês .................... x 
 
8x = 132% 
 
x = 
1×32% 
= 4%
 
8 
 
Portanto, a taxa é de 4% ao mês. 
 
4. De quanto será o juro produzidopor um capital de 
R$ 2.300,00, aplicado durante 3 meses e 10 dias, à taxa 
simples de 12% ao mês? 
 
Solução: 
 
O enunciado apresentou um prazo em meses e dias, mas 
não indicou se o juro deve ser comercial ou exato. Em casos 
como este, presume‑se que o juro desejado é o comercial. 
Pela convenção do prazo comercial, 3 meses e 10 dias 
nos dão: 
 
3 meses + 10 dias = (3×30) + 10 dias = 90 + 10 dias = 
100 dias 
 
Agora, calculamos a taxa equivalente para os 100 dias 
(regra de três). 
 
(prazo) (%) 
30 dias .................... 12% 
100 dias .................... x 
 
30x = 10012% 
 
x = 
100×12% 
= 40%
 
30 
360  x = 11536% 
 
x = 
115×36% 
=11,5% 
360 
 
J = 11,5% de R$2.000,00 = R$230,00 
 
Portanto, os juros comerciais serão de R$230,00. 
 
6. Um capital de R$ 5.300,00 foi aplicado no dia 25 de 
março de certo ano, à taxa anual de 10%. Considerando o 
critério de juros simples exatos, qual o valor do montante 
desta aplicação em 6 de junho do mesmo ano? 
 
Solução: 
 
M = (mês final)  (mês inicial) = 63 = 3 
D = (dia final)  (dia inicial) = 625 = 19 
Ajustes = (31/mar.) + (31/maio) = 1+1 = 2 
 
Prazo exato: 
Prazo exato = 30M + D +Ajustes 
Prazo exato = 30(3)+(19)+(2) 
Prazo exato = 9019+2 
Prazo exato = 73 dias 
 
Juros exatos: 
JE = 10% de R$5.300,00 
JE = 530,00 (anual) 
 
(prazo) ($$) 
365 dias .................... 530,00 
73 dias .................... x 
365x = 73530,00 
 
x = 
73×530% 
=106
 
365 
 
Juros exatos: R$106,00. 
 
Exercícios propostos 
Juros Simples 
Taxas proporcionais e equivalentes 
 
1. A alternativa que indica a taxa mensal proporcional à 
taxa de 24% a.a. é: 
Finalmente, determinamos o juro pedido: 
 
40% de R$ 2.300,00 = R$920,00 
a) 1% a.m. 
b) 2% a.m. 
c) 4% a.m. 
d) 6% a.m. 
e) 12% a.m. 
Portanto, o juro é de R$920,00. 
 
5. Aplicando R$2.000,00 à taxa de juros simples comer- 
ciais de 36% a.a., qual o total de juros ao fim de 115 dias? 
 
Solução: 
 
(prazo) (%) 
360 dias .................... 36% 
115 dias .................... x 
 
2. A taxa bimestral que é proporcional à taxa de 18% a.a. é 
a) 1% a.b. 
b) 2% a.b. 
c) 3% a.b. 
d) 6% a.b. 
e) 9% a.b. 
 
3. A alternativa que indica a taxa trimestral equivalente à 
taxa de 20% a.a. é: 
a) 1% a.t. 
b) 2% a.t. 
 
 
c) 4% a.t. 
d) 5% a.t. 
e) 10% a.t. 
 
4. A taxa semestral que equivale à taxa de 24% a.a. é 
12. De 4 de janeiro a 10 de maio do mesmo ano, segundo 
o critério de contagem de prazo exato, temos 
a) 126 dias. 
b) 127 dias. 
c) 125 dias. 
a) 12% a.s. 
b) 6% a.s. 
c) 4% a.s. 
d) 3% a.s. 
e) 2% a.s. 
d) 128 dias. 
e) 124 dias. 
 
Juros simples comerciais 
5. A alternativa que indica a taxa mensal que é proporcio‑ 
nal à taxa de 12% a.s. é: 
a) 1% a.m. 
b) 2% a.m. 
c) 3% a.m. 
d) 4% a.m. 
e) 6% a.m. 
 
6. A taxa bimestral que é equivalente à taxa de 12% a.t. é 
a) 10% a.b. 
b) 9% a.b. 
c) 8% a.b. 
d) 6% a.b. 
e) 4% a.b. 
 
Contagens de prazos comerciais e exatos 
 
7. O total de dias que correspondem a quatro meses e dez 
dias, de acordo com o prazo comercial, é 
a) 100 dias. 
b) 110 dias. 
c) 120 dias. 
d) 130 dias. 
e) 140 dias. 
 
8. O total de dias que correspondem a cinco meses e meio, 
de acordo com o prazo comercial, é 
a) 150 dias. 
b) 165 dias. 
c) 170 dias. 
d) 175 dias. 
e) 180 dias. 
 
9. O total de dias que correspondem a três meses e vinte 
e dois dias, de acordo com o prazo comercial, é 
a) 102 dias. 
b) 106 dias. 
c) 108 dias. 
d) 110 dias. 
e) 112 dias. 
 
10. O número de dias que se contam de 5 de julho a 10 
de setembro do mesmo ano, pelo critério do prazo 
comercial, é 
a) 65 dias. 
b) 70 dias. 
c) 75 dias. 
d) 80 dias. 
e) 85 dias. 
 
11. O número de dias contados de 12 de julho a 6 de ou‑ 
tubro do mesmo ano, segundo a convenção do prazo 
comercial, é 
a) 82 dias. 
b) 84 dias. 
c) 86 dias. 
d) 88 dias. 
e) 90 dias. 
 
13. O valor dos juros simples comerciais produzidos em 
três meses pela aplicação de um capital de R$1.200,00 
à taxa de 4% a.m. é 
a) R$120,00. 
b) R$124,00. 
c) R$140,00. 
d) R$144,00. 
e) R$148,00. 
 
14. Um capital de R$2.200,00 foi aplicado à taxa de juros 
simples de 60% a.a. Qual o total dos juros ao fim de 7 
meses? 
a) R$250,00 
b) R$350,00 
c) R$530,00 
d) R$700,00 
e) R$770,00 
 
15. Aplicando R$1.500,00 por 1 mês e 10 dias, à taxa sim‑ 
ples de 6% a.b., qual será o montante obtido? 
a) R$1.530,00 
b) R$1.560,00 
c) R$1.580,00 
d) R$1.610,00 
e) R$1.620,00 
 
16. Qual o capital necessário para produzir R$196,00 de 
juros após 2 meses e 10 dias se a taxa trimestral de 
juros simples comerciais é de 18%? 
a) R$2.800,00 
b) R$2.020,00 
c) R$1.400,00 
d) R$1.202,00 
e) R$1.196,00 
 
17. Um investidor aplicou R$3.000,00 no dia 10/7/2000 a 
juros simples comerciais de 72% a.a. Qual o montante 
desta aplicação em 15/9/2000? 
a) R$3.270,00 
b) R$3.390,00 
c) R$3.720,00 
d) R$3.930,00 
e) R$3.980,00 
 
18. Que taxa anual de juros simples seria necessária para 
gerar um montante de R$2.880,00 após 8 meses de 
aplicação se o capital aplicado fosse de R$2.400,00? 
a) 10% b) 16% c) 20% d) 26% e) 30% 
 
19. Se um capital de R$3.100,00 resultou, ao fim de 2 meses 
e 20 dias, num montante de R$3.348,00 ao ser aplicado 
a juros simples, qual a taxa mensal? 
a) 3,0% 
b) 3,5% 
c) 4,0% 
d) 4,5% 
e) 5,0% 
 
 
20. Se R$4.200,00, aplicados à taxa simples de 6% a.m., re‑ 
sultaram num montante de R$4.368,00, então quantos 
dias durou a aplicação? 
a) 10 dias 
b) 15 dias 
c) 20 dias 
d) 25 dias 
e) 40 dias 
 
Juros simples exatos 
 
21. Um capital de R$2.700,00 foi aplicado em 13/3/2009 à 
taxa anual de 36,5% e resgatado em 01/6/2009. Qual o 
total de juros simples exatos obtidos nesta operação? 
a) R$216,00 
b) R$228,00 
c) R$236,00 
d) R$238,00 
e) R$246,00 
 
22. Qual o montante de uma aplicação de R$5.400,00 feita 
no período de 13/4/2009 a 7/6/2009 se a taxa foi de 
73% a.a. e os juros foram calculados com prazos exatos? 
a) R$5.972,00 
b) R$5.994,00 
c) R$6.134,00 
d) R$6.172,00 
e) R$6.224,00 
 
23. Um capital de R$2.000,00 investido em 22/2/2000 
totalizava R$2.520,00 em 17/7/2000. Considerando os 
juros exatos, qual a taxa anual de juros desta operação? 
a) 63% c) 65% e) 67% 
b) 64% d) 66% 
 
24. Um capital de R$4.320,00 aplicado em 10/4/2001 
foi aplicado à taxa de 36,5% a.a., rendendo juros de 
R$432,00. Considerando os juros exatos, qual a data 
do final desta aplicação? 
a) 16/7/2001 
b) 17/7/2001 
c) 18/7/2001 
d) 19/7/2001 
e) 20/7/2001 
 
Prazo médio e taxa média 
 
25. Três capitais iguais são aplicados por prazos também 
iguais às taxas de juros simples mensais de 3%, 5% e 
10%. Qual a taxa única (taxa média) que proporcionaria 
um mesmo total de juros das três aplicações reunidas 
sendo mantidos os mesmos capitais e prazos? 
a) 3%a.m. d) 6%a.m. 
b) 4%a.m. e) 7%a.m. 
c) 5%a.m. 
 
26. Três capitais iguais são aplicados a uma mesma taxa 
de juros simples, um deles por três meses e os outros 
dois por seis meses. Qual o prazo único (prazo médio) 
que proporcionaria um mesmo total de juros das três 
aplicações reunidas sendo mantidos os mesmos capitais 
e as mesmas taxas? 
a) 3 meses e 20 dias. 
b) 4 meses. 
c) 4 meses e 10 dias. 
d) 4 meses e 20 dias. 
e) 5 meses. 
27. Considere o total dos juros simples obtidos pelas aplica‑ 
ções de R$300,00 por 1 mês à taxa de 2% a.m., R$100,00 
por 3 meses à taxa de 4% a.m. e R$200,00 por 2 meses 
à taxa de 3% a.m. Qual a taxa única que resultaria o 
mesmo total de juros se as demais condições de capitais 
e prazos fossem mantidas nas três aplicações? 
a) 3,0% a.m. 
b) 2,9% a.m. 
c) 2,8% a.m. 
d) 2,7% a.m. 
e) 2,6% a.m. 
 
gabarito 
 
 
Testes – Juros Simples 
 
1. (TTN/1985) Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta 
mesma quantia de juros em 4 anos, qual é a taxa apli‑ 
cada? 
a) 20% ao ano d) 200% ao ano 
b) 125% ao ano e) 10% ao ano 
c) 12,5% ao ano 
 
2. (TTN/1985) Um capital de $ 14.400 aplicado a 22% 
ao ano rendeu $ 880 de juros. Durante quanto tempo 
esteve empregado?a) 3 meses e 3 dias d) 3 meses e 10 dias 
b) 3 meses e 8 dias e) 27 dias 
c) 2 meses e 23 dias 
 
3. (TTN/1989) Calcular os juros simples que um capital de 
$ 10.000,00 rende em um ano e meio aplicado à taxa 
de 6% a.a. Os juros são de: 
a) $ 700,00 d) $ 600,00 
b) $ 1.000,00 e) $ 900,00 
c) $ 1.600,00 
 
4. (AFTN/1991) Um capital no valor de 50, aplicado a juro 
simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, 
um montante de: 
a) 51 c) 52 e) 68 
b) 51,2 d) 53,6 
 
5. (TTN/1994) Qual é o capital que diminuído dos seus 
juros simples de 18 meses, à taxa de 6% a.a., reduz‑se 
a R$ 8.736,00? 
a) R$ 9.800,00 d) R$ 10.308,48 
b) R$ 9.760,66 e) R$ 9.522,24 
c) R$ 9.600,00 
 
6. (TTN/1989) O capital que, investido hoje a juros simples 
de 12% a.a., se elevará a $ 1.296,00 no fim de 8 meses, 
é de: 
a) $ 1.100,00 d) $ 1.200,00 
b) $ 1.000,00 e) $ 1.399,68 
c) $ 1.392,00 
 
1. b 
2. c 
3. d 
4. a 
5. b 
6. c 
7. d 
8. b 
9. e 
10. a 
11. b 
12. a 
13. d 
14. e 
15. b 
16. c 
17. b 
18. e 
19. a 
20. c 
21. a 
22. b 
23. c 
24. d 
25. d 
26. e 
27. a 
 
7. (TTN/1992) Se em 5 meses o capital de $ 250.000,00 
rende $ 200.000,00 de juros simples à taxa de 16% ao 
mês, qual o tempo necessário para se ganhar os mes‑ 
mos juros se a taxa fosse de 160% ao ano? 
a) 6m c) 8m e) 10m 
b) 7m d) 9m 
 
8. (Ag.Seg./TRT‑ ES/1990) Obtendo‑se, em 10 meses, $ 
120.000,00 de juros simples pelo empréstimo de um 
capital de $ 200.000,00 à taxa de 6% a.m. Determine o 
tempo necessário para se ganharem os mesmos juros, 
caso a taxa seja de 60% a.a. 
a) 8 meses. d) 10 meses. 
b) 1 ano e 3 meses. e) 13 meses. 
c) 1 ano. 
 
9. (Ag.Seg./TRT‑ ES/1990) Em março de 1990, o governo 
brasileiro, numa tentativa de acabar com a inflação, 
reteve o dinheiro do povo. Uma pessoa verificou que, 
ao final de 45 dias, à taxa de 4,2% ao mês obteve, de 
acordo com seu saldo em cruzados novos, juros de 
$ 630,00. Qual foi a quantia retida? 
a) $ 18.000,00 d) $ 5.000,00 
b) $ 20.000,00 e) $ 10.000,00 
c) $ 36.000,00 
 
10. (Ag.Seg./TRT‑ ES/1990) Emprestei 1/4 do meu capital, a 
8% ao ano, 2/3 a 9% ao ano, e o restante a 6% ao ano. 
No fim de um ano recebi $ 102,00 de juros. Determine 
o capital. 
a) $ 680,00 d) $ 2.530,00 
b) $ 840,00 e) $ 12.600,00 
c) $ 1.200,00 
 
11. (Ag.Seg./TRT‑ES/1990) A que taxa mensal deverá a firma 
“O Dura” aplicar seu capital de $ 300.000,00, para que, 
em 2 anos e 4 meses, renda juros equivalentes a 98% 
de si mesmo? 
a) 42% a.m. c) 35% a.m. e) 18% a.m. 
b) 3,5% a.m. d) 4,2% a.m. 
 
12. (At.Jud./TRT‑ GO/1990) Calcule o capital que se deve 
empregar à taxa de 6% a.m., a juros simples, para se 
obter $ 6.000,00 de juros em 4 meses. 
a) $ 10.000,00 d) $ 180.000,00 
b) $ 25.000,00 e) $ 250.000,00 
c) $ 100.000,00 
 
13. (At.Jud./TRT‑GO/1990) Se uma pessoa deseja obter um 
rendimento de $ 27.000,00, dispondo de $ 90.000,00 de 
capital, a que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro 
deverá ser aplicado no prazo de 5 meses? 
a) 10% c) 3% e) 5,5% 
b) 5% d) 8% 
 
14. (At.Jud./TST‑ ES/1990) Qual a taxa necessária para que 
um capital, colocado a juros simples, decuplique de 
valor em 7 anos? 
a) 50% a.a. d) 1 2/7% a.m. 
b) 128 4/7% a.a. e) 12% a.m. 
c) 142 6/7% a.a. 
 
15. (At.Jud./TST‑ ES/1990) Depositei certa importância em 
um Banco e, depois de algum tempo, retirei os juros de 
$ 1.600.000,00, que representavam 80% do capital. 
Calcular o tempo em que o capital esteve empregado, 
se a taxa contratada foi de 16% a.m. 
a) 5 meses e 20 dias. d) 4 meses. 
b) 5 meses. e) 6 meses e 5 dias. 
c) 4 meses e 10 dias. 
 
16. (At.Jud./TST‑ ES/1990) O capital de $ 1.200.000,00 está 
para seus juros assim como 4 está para 3. Determinar 
a taxa de juros, considerando que o capital esteve em‑ 
pregado 1 ano e 3 meses. 
a) 6% a.m. c) 5% a.a. e) 50% a.a. 
b) 60% a.a. d) 66% a.a. 
 
17. (AFC/TCU/1992) Um investidor aplicou $ 2.000.000,00, 
no dia 6/1/86, a uma taxa de 22,5% ao mês. Esse capital 
terá um montante de $ 2.195.000,00 
a) 5 dias após sua aplicação 
b) após 130 dias de aplicação 
c) aos 15/5/86 
d) aos 19/1/86 
e) após 52 dias de sua aplicação 
 
18. (Aux.Proc./PG ‑ RJ/1990) Certo investidor aplicou 
$ 870,00 à taxa de 12% ao mês. Qual o montante, no 
final de 3 anos? 
a) $ 4.628,40 d) $ 35.780,40 
b) $ 35.078,40 e) $ 4.860,40 
c) $ 4.800,40 
 
19. (Aux.Proc./PG ‑ RJ/1990) Um imposto no valor de 
$ 488,00 esta sendo pago com atraso de 3 meses. Se a 
Prefeitura cobrar juros de 25% ao ano, o contribuinte 
terá de pagar um acréscimo de: 
a) $ 30,20 d) $ 30,50 
b) $ 30,30 e) $ 30,60 
c) $ 30,40 
 
20. (Aux.Proc./PG‑RJ/1990) Certo capital, aplicado durante 
9 meses à taxa de 35% ao ano, rendeu $ 191,63 de juros. 
O valor desse capital era de: 
a) $ 690,00 d) $ 720,00 
b) $ 700,00 e) $ 730,00 
c) $ 710,00 
 
21. (TTN‑RJ/1992) Um fogão é vendido por $ 600.000,00 à 
vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamen‑ 
to de $ 542.880,00, após 32 dias. Qual a taxa de juros 
mensal envolvida na operação? 
a) 5% c) 15% e) 20% 
b) 12% d) 16% 
 
22. (TTN/1992) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para 
que se obtenha os mesmos juros simples que os pro‑ 
duzidos por $ 400.000,00 emprestados a 15% ao mês, 
durante o mesmo período? 
a) $ 420.000,00 d) $ 520.000,00 
b) $ 450.000,00 e) $ 500.000,00 
c) $ 480.000,00 
 
23. (TTN/1992) Se em 5 meses o capital de $ 250.000,00 
rende $ 200.000,00 de juros simples à taxa de 16% ao 
mês, qual o tempo necessário para se ganhar os mes‑ 
mos juros se a taxa fosse de 160% ao ano? 
a) 6m c) 8m e) 10m 
b) 7m d) 9m 
 
24. (TTN/1992) Três capitais são colocados a juros simples: 
o primeiro a 25% a.a., durante 4 anos; o segundo a 24% 
a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20% a.a., 
 
 
durante 2 anos e 4 meses. Juntos renderam um juro de 
$ 27.591,80. Sabendo que o segundo capital é o dobro 
do primeiro e que o terceiro é o triplo do segundo, o 
valor do terceiro capital é de: 
a) $ 30.210,00 d) $ 20.140,00 
b) $ 10.070,00 e) $ 5.035,00 
c) $ 15.105,00 
 
25. (TTN/1994) Mário aplicou suas economias, a juros sim‑ 
ples comerciais, em um banco, a juros de 15% a.a., 
durante 2 anos. Findo o prazo reaplicou o montante e 
mais R$ 2.000,00 de suas novas economias, por mais 
4 anos, à taxa de 20% a.a., sob mesmo regime de capi‑ 
talização. Admitindo‑se que os juros das 3 aplicações 
somaram R$ 18.216,00, o capital inicial da primeira 
aplicação era de R$: 
a) 11.200,00 d) 12.700,00 
b) 13.200,00 e) 12.400,00 
c) 13.500,00 
 
26. (TTN/1994) Carlos aplicou 1/4 de seu capital a juros 
simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, 
e o restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo 
mesmo prazo e regime de capitalização. Sabendo‑se 
que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros a 
mais do que a outra, o capital inicial era de R$: 
Descontos simples 
Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívi‑ 
da quando ela é negociada antes da data do seu vencimento. 
O documento que atesta a dívida é denominado gene‑ 
ricamente por titulo de crédito. 
São exemplos de titulos de crédito as notas promissó- 
rias, as duplicatas e as letras de câmbio. 
Valor nominal, ou valor de face, é o valor do titulo de 
crédito, ou seja, aquele que está escrito no titulo e que seria 
pago na data de vencimento do titulo. 
Valor líquido é o valor pelo qual o titulo acabou sendo 
negociado antes de sua data de vencimento. É sempre me- 
nor que o valor nominal, pois o titulo sofreu um desconto. 
O valor líquido também é chamado de valor atual, valor 
descontado (que sofreu desconto – não confundir com “valor 
do desconto’’), valor pago. 
Prazo de antecipação é o intervalo de tempo entre a 
data em que o titulo é negociado e a data de vencimento 
do mesmo. 
Vamos resumir o que temos até agora num esquema: 
a) 4.600,00 
b) 4.400,00 
c) 4.200,00 
d) 4.800,00 
e) 4.900,00 Observe que o desconto sempre é a diferença entre o valor 
nominal e o valor líquido. 
 
27. (AFTN/1985) O preço à vista deuma mercadoria é de $ 
100.000. O comprador pode, entretanto, pagar 20% de 
entrada no ato e o restante em uma única parcela de $ 
100.160, vencível em 90 dias. Admitindo‑se o regime de 
juros simples comerciais, a taxa de juros anuais cobrada 
na venda a prazo é de: 
a) 98,4% c) 100,8% e) 103,2% 
b) 99,6% d) 102,0% 
 
28. (AFTN/1985) João colocou metade de seu capital a juros 
simples pelo prazo de 6 meses e o restante, nas mes‑ 
mas condições, pelo período de 4 meses. Sabendo‑ se 
que, ao final das aplicações, os montantes eram de $ 
117.000 e $ 108.000, respectivamente, o capital inicial 
do capitalista era de: 
Estudaremos dois tipos de desconto: 
 
1º) Desconto “por dentro”, ou desconto racional, é aquele 
onde a referência para o cálculo porcentual do desconto 
é o valor líquido. 
 
Nesse caso, o nosso esquema será 
 
100% (100 + d)% 
+ d% 
 
DESCONTO 
a) $ 150.000 
b) $ 160.000 
c) $ 170.000 
d) $ 180.000 
e) $ 200.000 
 
atenção: O valor do desconto é sempre diretamente 
proporcional ao prazo de antecipação do titulo. 
29. (AFTN/1985) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de 
72% a.a., sob regime de juros simples. O primeiro pelo 
prazo de 4 meses e o segundo por 5 meses. Sabendo‑se 
que a soma dos juros totalizaram $ 39.540 e que os juros 
do segundo capital excederam os juros do primeiro em 
$ 12.660, a soma dos dois capitais iniciais era de: 
 
2º) Desconto “por fora”, ou desconto comercial, é aquele 
onde a referência para o cálculo porcentual do desconto 
é o valor nominal. 
a) $ 140.000 
b) $ 143.000 
c) $ 145.000 
 
gabarito 
d) $ 147.000 
e) $ 115.000 
 
Nesse caso, o nosso esquema será 
 
(100 – d)% + d% 100% 
 
DESCONTO 
 
Para resolver um problema de desconto simples, tudo que 
temos a fazer é: 
1º identificar qual o tipo do desconto no problema; 
2º procurar preencher o “esquema” correspondente de 
acordo com os dados do problema; 
 
Desconto por dentro ou 
racional  100% é o valor líquido 
VALOR LÍQUIDO VALOR NOMINAL 
Desconto por fora ou comercial  100% é o valor nominal 
VALOR LÍQUIDO VALOR NOMINAL 
 
(ANTES DO VENCIMENTO) (VENCIMENTO) 
(PRAZO DE ANTECIPAÇÃO) 
VALOR LÍQUIDO + DESCONTO VALOR NOMINAL 
 
1.c 6. d 11. b 16. b 21. c 26. b 
2. d 7. a 12. b 17. d 22. e 27. c 
3. e 8. c 13. c 18. a 23. a 28. d 
4. b 9. e 14. b 19. d 24. a 29. b 
5. c 10. c 15. b 20. e 25. e 
 
3º calcular o valor de que precisarmos, no esquema, usando 
regra de três. 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. Determinar o desconto por dentro sofrido por um titulo 
de R$ 650,00, descontado 2 meses antes do vencimento 
à taxa de 15% a.m. 
 
Solução: 
Primeiramente, devemos determinar, pelo tipo do des‑ 
conto, qual valor será a referência (100%). 
Como o problema pede desconto por dentro, o 100% 
será o valor líquido. Nosso esquema, portanto, será 
 
100% (2 meses) 130% 
 + 30% 

DESCONTO = ? 
 
(observe a taxa 
ajustada para 2 
meses) 
 
Agora, é só resolver a regra de três. 
Se 130% correspondem a $ 650,00 (valor nominal), então 
30% correspondem a D (valor do desconto). 
 
D  
650  30 
 150,00 
130 
 
Portanto, o desconto foi de R$ 150,00. 
 
2. Determinar o valor nominal de um titulo que, descontado 
comercialmente, 60 dias antes do vencimento e à taxa 
de 12% ao mês, resultou em um valor descontado de R$ 
608,00. 
 
Solução: 
A expressão “descontado comercialmente” indica que 
o desconto é comercial, ou por fora. Logo, o 100% é o 
valor nominal, e o nosso esquema será 
Resolvendo a regra de três: 
Se 76% correspondem a $ 608,00 (valor líquido), 
então 100% correspondem a N (valor nominal). 
N  
608  100 
 800,00 
76 
 
Então, o valor nominal foi de R$ 800,00. 
Equivalência entre as taxas de descontos simples 
3. Uma nota promissória foi descontada comercialmente 
à taxa simples de 5% a.m. 15 meses antes do seu venci- 
mento. Se o desconto fosse racional simples, qual deveria 
ser a taxa adotada para produzir um desconto de igual 
valor? 
1ª solução: 
Consideremos N = $ 100,00 
5% a.m. dariam, em 15 meses: 15 × 5% = 75%. 
Então, o esquema para o desconto comercial seria 
 
 
Agora consideremos os valores encontrados sendo apli‑ 
cados a um esquema de desconto racional. 
 
Temos a seguinte regra de três: 
25,00 100% 
75,00 15x% 
15x  
75  100 
 300 
25 
 
15x = 300  x = 20% (é a taxa racional) 
 
2ª solução: 
 
Sejam 
C% = taxa comercial simples por período (C = 5) 
R% = taxa racional simples por período (R = ?) 
n = número de períodos de antecipação (n = 15) 
 
Pode‑se provar que vale sempre a relação 
100 100 
(100 – 24)% Logo   15 
5 R 
 
20  
100 
 15  
100 
 5  R  20  20% a. m. 
76% (60 dias = 2 meses) 100% R R 
+ 24% 
 
 
(pelos 2 meses, a taxa ficou em 24%.) 
Relação entre os descontos comercial (Dc) e racional (DR) 
Sejam DC e DR os valores dos descontos comercial e ra‑ 
cional, respectivamente, ambos calculados para um mesmo 
Macete 
Pense numa garrafa: 
O que há dentro dela? O líquido! 
(por dentro: 100% é o líquido) 
O que há fora dela? O nome! 
(por fora: 100% é o nominal) 
VALOR LÍQUIDO R$ 650,00 
100 
 
100 
 n 
C R 
608,00 VALOR NOMINAL 
 
 
titulo, a uma mesma taxa de d% ao período, e ambos nego‑ 
ciados com um mesmo prazo de antecipação de p períodos. 
Nessas condições, teremos que: 
 
100% (100 + pd)% 
+ (p.d)% 
 
 
Ou, algebricamente: 
 
DR + (p.d%) . DR = DC 
Exercícios propostos 
Descontos Simples 
1. Um titulo com valor nominal de R$ 3.200,00 foi res‑ 
gatado dois meses antes do seu vencimento, com um 
desconto racional simples à taxa de 30% a.m. De quanto 
foi o valor pago pelo titulo? 
a) R$2.000,00 d) R$1.200,00 
b) R$1.920,00 e) R$1.180,00 
c) R$1.280,00 
 
2. Qual o valor do desconto por dentro sofrido por uma 
nota promissória de R$ 4.160,00, descontada 8 meses 
antes do seu vencimento, à taxa de 6% a.a.? 
a) R$166,40 d) R$146,60 
b) R$164,00 e) R$140,00 
c) R$160,00 
 
3. Qual o prazo de antecipação de um titulo que, desconta‑ 
do racionalmente, à taxa de juros de 4% a.m., produziu 
um desconto de R$300,00, se o seu valor nominal era 
de R$1.800,00? 
a) 4 meses e 5 dias. 
b) 5 meses. 
c) 5meses e 10 dias. 
d) 5 meses e 15 dias. 
e) 5 meses e 20 dias. 
 
4. O valor atual racional de um titulo é igual a 4/5 de seu 
valor nominal. Sabendo‑ se que o pagamento desse 
titulo foi antecipado de 6 meses, qual é a taxa anual de 
desconto? 
a) 15% b) 20% c) 25% d) 35% e) 50% 
 
5. Tendo sido descontado por dentro a 9% a.a., uma dupli‑ 
cata teve um desconto de R$ 1.000,00. Qual era o valor 
nominal da duplicata se ela foi paga 1 ano, 1 mês e 10 
dias antes do vencimento? 
a) R$ 9.320,00 d) R$11.000,00 
b) R$10.000,00 e) R$11.152,77 
c) R$10.138,88 
 
6. Qual é o valor do desconto bancário (comercial) sofrido 
por uma promissória de R$ 3.000,00, à taxa de 8% a.m., 
3 meses antes do seu vencimento? 
a) R$ 270,00 d) R$ 720,00 
b) R$ 384,42 e) R$ 765,46 
c) R$ 580,65 
7. A que taxa anual, um titulo de R$ 2.000,00 dá um des‑ 
conto por fora igual a R$ 400,00 se for antecipado em 6 
meses? 
a) 40% b) 30% c) 20% d) 10% e) 5% 
 
8. Descontado por fora, à taxa de 4% a.m., três meses 
antes do vencimento, um titulo sofreu um desconto de 
R$2.400,00. Qual era o valor nominal desse titulo? 
a) R$ 18.400,00 d) R$ 22.400,00 
b) R$ 19.600,00 e) R$ 24.200,00 
c) R$ 20.000,00 
 
9. Uma nota promissória foi descontada, por fora, três 
meses e dez dias antes do seu vencimento, à taxa de 
10% a.m., produzindo um desconto de R$ 400,00. Qual 
era o valor de face da promissória? 
a) R$ 1.120,00 d) R$ 1.320,00 
b) R$ 1.200,00 e) R$ 1.330,00 
c) R$ 1.230,00 
 
10. A diferença entre os descontos comercial e racional in‑ 
cidentes sobre um mesmo titulo é de R$ 3,00. Sabendo 
que ambos foram calculados à taxa de 15% a.a. e 4 meses 
antes do vencimento, qual o valor nominal deste titulo? 
a) R$ 1.060,00 d) R$ 1.200,00 
b) R$ 1.120,00 e) R$ 1.260,00 
c) R$ 1.160,00 
 
11. Qual o prazo de antecipação parao qual uma taxa de 
desconto comercial simples quadrimestral de 12,5% é 
equivalente a uma taxa de desconto racional simples 
quadrimestral de 20%? 
a) 2 meses d) 8 meses 
b) 4 meses e) 12 meses 
c) 6 meses 
 
12. (AFTN/1996) Você possui uma duplicata cujo valor de 
face é $ 150,00. Esta duplicata vence em 3 meses. O ban‑ 
co com o qual você normalmente opera, além da taxa 
normal de desconto mensal (simples por fora), também 
fará uma retenção de 15% do valor de face da duplicata, 
a titulo de saldo médio, permanecendo bloqueado em 
sua conta este valor desde a data do desconto até a 
data do vencimento da duplicata. Caso você desconte 
a duplicata no banco, você receberá líquidos, hoje, $ 
105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima da 
taxa praticada por este banco é 
a) 4,2%. b) 4,6%. c) 4,8%. d) 5,0%. e) 5,2%. 
 
13. (AFTN/1998) O desconto comercial simples de um titulo, 
quatro meses antes do seu vencimento, é de R$ 600,00. 
Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor 
correspondente no caso de um desconto racional sim‑ 
ples. 
a) R$ 400,00 
b) R$ 600,00 
c) R$ 800,00 
d) R$ 700,00 
e) R$ 500,00 
 
gabarito 
 
$ DC $ DR 
O valor do desconto racional (DR) acrescido de d% ao 
período sobre seu valor é igual ao valor do desconto 
comercial (DC). 
1. a 
2. c 
3. b 
4. e 
5. d 
6. d 
7. a 
8. c 
9. b 
10. e 
11. e 
12. d 
13. e 
 
H C K 
n 
Juros compostos 
 
Chamamos de regime de juros compostos aquele em que 
os juros de cada período são calculados sobre o montante 
do período anterior. 
Ou seja, os juros produzidos ao fim de cada período 
passam a integrar o valor do capital ou montante que serviu 
de base para o seu cálculo de modo que o total assim conse‑ 
guido será a base do cálculo dos juros do próximo período. 
 
Exemplo: 
 
Vamos acompanhar os montantes, mês a mês, de uma 
aplicação de R$ 1.000,00 à taxa de 10% a.m. por um período 
de 4 meses no regime de juros compostos: 
 
Período Juros no fim do período Montante 
1º mês 10% de R$ 1.000,00 = R$ 100,00 R$ 1.100,00 
2º mês 10% de R$ 1.100,00 = R$ 110,00 R$ 1.210,00 
3º mês 10% de R$ 1.210,00 = R$ 121,00 R$ 1.331,00 
4º mês 10% de R$ 1.331,00 = R$ 133,10 R$ 1.464,10 
 
Observe que: 
• os juros e o montante, no fim do 1º mês, são iguais 
aos que seriam produzidos no regime de juros 
simples; 
• cada novo montante é obtido calculando‑ se um 
aumento de 10% sobre o montante anterior, o que 
resulta em aumentos sucessivos a uma taxa fixa de 
10%; 
• os juros vão se tornando maiores a cada mês, de 
modo que, após o 1º mês, a diferença entre um 
• taxa de X% a.a. capitalizados semestralmente – indi‑ 
cando juros compostos e capitalização semestral; 
• capitalização composta, montante composto – indi‑ 
cando o regime de juros compostos. 
 
Montante no Regime de Juros Compostos 
 
Como vimos anteriormente, no regime de juros compos‑ 
tos, o montante ao fim de um determinado período resulta 
de um cálculo de aumentos sucessivos. Então, sejam: 
 
C = Capital aplicado 
M = Montante da aplicação ao fim de n períodos 
i = forma unitária da taxa efetiva da aplicação 
n = número de períodos de capitalizações 
 
Poderemos expressar o montante (M) em função dos 
outros três elementos do seguinte modo: 
 
M  C  (1  i)  (1  i)...(1  i)  C  (1  i)
n
 
, , 
n fatores 
 
ou seja: M  C  (1  i)n (fórmula fundamental) 
Na fórmula apresentada acima, o montante está isolado. 
Mas poderemos calcular qualquer um dos quatro elemen‑ 
tos nela envolvidos desde que conheçamos os outros três 
e isolemos convenientemente o elemento a ser calculado 
em cada caso. 
Para poupar o trabalho algébrico necessário para isolar 
cada um dos outros três elementos da fórmula básica dada 
acima, apresentamos a seguir os outros elementos também 
isolados: 
montante calculado no regime de juros compostos ( Mc ) e o correspondente valor no regime de juros C 
M 
 F MI log 
F MI 
 
simples ( Ms ) vai se tornando cada vez maior (ver 
gráfico abaixo). 

(1  i)n i  H C K  1 n  log(1  i) 
(convenção exponencial) 
 
 
 
Dá‑se o nome de capitalização ao processo de incor‑ 
poração dos juros ao capital ou montante de uma operação 
financeira. Contudo, é comum encontrarmos as expressões 
regime de capitalização simples e regime de capitalização 
composta no lugar de regime de juros simples e regime de 
juros compostos, respectivamente. 
Frequentemente encontraremos, nos enunciados dos 
problemas, outras expressões usadas para indicar o regime 
de juros compostos: 
• taxa composta de X% a.m. – indicando juros compos‑ 
tos com capitalização mensal; 
Se as duas últimas fórmulas lhe parecem assustadoras, 
não se desespere, pois felizmente existem as chamadas ta- 
belas financeiras que foram desenvolvidas justamente para 
livrá‑ lo das contas mais complicadas. Assim, nós aprendere‑ 
mos a consultar estas tabelas e poderemos trocar o trabalho 
mais pesado por umas poucas multiplicações e divisões. 
 
Exercícios resolvidos 
1. Um capital de R$ 200,00 foi aplicado em regime de 
juros compostos a uma taxa de 20% ao mês. Calcular o 
montante desta aplicação após três meses. 
 
Solução: 
Resumindo os dados do problema, temos: 
 
Capital ‑ c = 200 
Taxa ‑ i = 20% = 0,2 
Períodos de Capitalização ‑ n = 3 
 
Devemos calcular o montante: 
 
M  C  (1  i)
n
 
Substituindo os elementos dados na fórmula do mon‑ 
tante, obteremos: 
 
 
M  200 (1  0, 2)
3
 
M  200 (1, 2)
3
 
M  200 1, 728  345, 60 
 
Ou seja, o montante da aplicação, após os três meses, 
será de R$ 345,60. 
 
2. Um comerciante consegue um empréstimo de 
R$ 60.000,00 que deverão ser pagos, ao fim de um ano, 
acrescidos de juros compostos de 2% ao mês. Quanto o co- 
merciante deverá pagar ao fim do prazo combinado? 
 
Solução: 
São dados no enunciado: 
 
c = 60.000 
i = 2% = 0,02 
n = 12 
 
Substituindo estes elementos na fórmula do montante, 
teremos: 
 
M  60.000  (1  0,02)12 
,_ _, 
consultar tabela 
 
A tabela 1 (ver no final desta matéria) nos mostra os re‑ 
sultados do cálculo de (1  i)n , para diversos valores de i 
(que varia a cada coluna) e de n (que varia a cada linha). 
 
Em nosso caso, procuramos o resultado da potência no 
cruzamento da coluna que indica i = 2% com a linha que 
indica n = 12, encontrando 1,26824. 
Solução: 
 
Primeiramente observaremos que o número de perío- 
dos não é inteiro. 
 
8 anos e 4 meses = 8 anos + 1/3 de ano 
 
Nesta situação, o cálculo será feito usando‑se uma 
técnica denominada de convenção linear que nos 
dará uma aproximação bem razoável para o valor do 
montante composto procurado. 
 
A técnica consiste em calcular o montante em duas 
etapas: 
 
1ª etapa – Calcular o montante composto para o maior 
número possível de períodos inteiros; 
2ª etapa – Acrescentar ao resultado da 1ª etapa 
os juros simples proporcionais à parte 
fracionária restante do tempo de aplicação, 
calculados sobre o montante obtido na 1ª 
etapa do cálculo. 
 
Assim, no nosso problema teremos: 
 
1º ‑ Cálculo do montante composto, à taxa de 6% a.a., 
após os 8 anos: 
 
M = 10.000 × (1,06)8 (o resultado da potên‑ 
M = 10.000 × 1,59385 cia foi encontrado na 
M = 15.938,50 tabela 1) 
 
2º ‑ Acréscimo dos juros simples proporcionais a 1 
valores de i 
 
valores de i 
de ano: 3 
Se em 1 ano.................... temos 6% de juros, 
1 
 
 
então, em 
3 
de ano.............. teremos 2% de juros. 
(regra de três) 
 
Portanto, o acréscimo de juros simples deverá ser 
de 2% sobre o montante da 1ª etapa e o montante 
final será: 
 
M = 15.938,50 × (1,02) = 16.257,27 
 
O montante procurado é, portanto, de R$ 16.257,27. 
 
Assim, a expressão do montante será dada por: 
 
M = 60.000 x 1,26824 = 76.094,40 
observação: 
 
• Se calculássemos o mesmo montante como 
O comerciante deverá pagar, ao fim do prazo combinado, 
R$ 76.094,40. 
 
Convenção linear 
 
3. Calcular o montante para um capital inicial