matematica material-154

Prévia do material em texto

35. Problema: Determine os pontos críticos da função \( f(x) = x^4 - 8x^3 + 12x^2 \). 
 Resposta: O ponto crítico é \( x = 2 \). Calculamos a derivada primeira e igualamos a 
zero. 
 
36. Problema: Encontre a inclinação da reta tangente à curva \( y = \frac{1}{x} \) no ponto 
onde \( x = 2 \). 
 Resposta: A inclinação da reta tangente é \( m = -\frac{1}{4} \). Calculamos a derivada da 
função e substituímos \( x = 2 \). 
 
37. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^4 - 2x^3 - 
3x^2 \). 
 Resposta: O ponto de máximo é \( x = 0 \) e o ponto de mínimo é \( x = 1 \). Calculamos a 
derivada primeira e segunda para encontrar os pontos críticos. 
 
38. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x\ln(x)} \, dx \). 
 
 
 Resposta: A integral é \( \ln(\ln(x)) + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
Utilizamos substituição trigonométrica. 
 
39. Problema: Encontre os pontos de interseção entre as curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \). 
 Resposta: Os pontos de interseção são \( \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \) e \( 
\left(\frac{5\pi}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \). Igualamos as duas equações e resolvemos 
para \( x \). 
 
40. Problema: Determine os valores de \( a \) para os quais a função \( f(x) = ax^4 - 6x^2 + 1 
\) tem um ponto de inflexão. 
 Resposta: A função tem um ponto de inflexão para \( a \neq 0 \). Calculamos a segunda 
derivada e igualamos a zero. 
 
41. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2} \). Utilizamos a regra do quociente e a 
regra do produto para encontrar a derivada.