matematica material-160

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80. Problema: Determine os valores de \( a \) para os quais a função \( f(x) = ax^4 - 4x^2 + 1 
\) tem um ponto de inflexão. 
 Resposta: A função tem um ponto de inflexão para \( a \neq 0 \). Calculamos a segunda 
derivada e igualamos a zero. 
 
81. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x} \). 
 Resposta: \( f'(x) = -\frac{\sin(x)}{x} - \frac{\cos(x)}{x^2} \). Utilizamos a regra do quociente 
e a regra do produto para encontrar a derivada. 
 
82. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) no intervalo \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \). 
 Resposta: A área é \( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \) unidades quadradas. Calculamos a integral 
da função que representa a diferença entre as duas curvas. 
 
83. Problema: Determine os pontos de interseção entre as curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = x^3 
\). 
 Resposta: O ponto de interseção é \( (\sqrt[3]{\sin^{-1}(1)}, 1) \). Igualamos as duas 
equações e resolvemos para \( x \). 
 
84. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{1} \ln(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( -1 \). Usamos a propriedade da integral definida para 
calcular a área sob a curva. 
 
85. Problema: Determine os pontos críticos da função \( f(x) = \tan(x) + x^2 \). 
 Resposta: Os pontos críticos são aproximadamente \( (-1.205, -1.697) \), \( (0, 0) \), e \( 
(1.205, 1.697) \). Calculamos a derivada primeira e igualamos a zero. 
 
86. Problema: Encontre a inclinação da reta tangente à curva \( y = \frac{1}{x} \) no ponto 
onde \( x = 1 \). 
 Resposta: A inclinação da reta tangente é \( m = -1 \). Calculamos a derivada da função 
e substituímos \( x = 1 \). 
 
87. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^4 - 2x^3 + 
x^2 \). 
 Resposta: O ponto de máximo é \( x = 0 \) e o ponto de mínimo é \( x = \frac{2}{3} \). 
Calculamos a derivada primeira e segunda para encontrar os pontos críticos.