Cálculos de Áreas e Massas

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV – EP7 – Tutor
Exerc´ıcio 1: O telhado de uma construc¸a˜o tem sua altura acima do solo dada pela func¸a˜o
z = f(x, y) = 1 +
1
4
x e uma de suas paredes foi constru´ıda ao longo da curva y =
4
3
x3/2.
Encontre a a´rea da superf´ıcie da parede se 0 ≤ x ≤ 2.
Soluc¸a˜o: Denotemos por S a superf´ıcie da parede que fica sobre a curva C : y =
4
3
x3/2, com
0 ≤ x ≤ 2. Enta˜o, a a´rea de S e´ dada por:
A(S) =
∫
C
f(x, y) ds
onde f(x, y) = 1 +
1
4
x representa a altura da parede em (x, y) ∈ C. Logo:
A(S) =
∫
C
(
1 +
1
4
x
)
ds .
Uma parametrizac¸a˜o de C e´ dada por γ(t) =
(
t,
4
3
t3/2
)
, com 0 ≤ t ≤ 2. Logo,
γ′(t) =
(
1,
4
3
· 3
2
t1/2
)
=
(
1, 2t1/2
)
donde
ds = ‖γ′(t)‖ dt = √1 + 4t dt .
e
A(S) =
∫
2
0
(
1 +
1
4
t
)√
1 + 4t dt =
1
4
∫
2
0
(4 + t)
√
1 + 4t dt .
Fazendo u = 1 + 4t, temos du = 4 dt donde dt =
du
4
e t =
u− 1
4
. Para t = 0, temos u = 1 e para
t = 2 temos u = 9. Enta˜o:
A(S) =
1
4
∫
9
1
(
4 +
u− 1
4
)
u1/2
du
4
=
1
16
∫
9
1
(16 + u− 1)
4
u1/2 du =
1
64
∫
9
1
(15 + u)u1/2du =
=
1
64
∫
9
1
(
15u1/2 + u3/2
)
du =
1
64
[[
15 · 2
3
u3/2
]9
1
+
[
2
5
u5/2
]9
1
]
=
1
64
[
(10 · 27− 10) + 2
5
(
35 − 1)] =
=
1
64
(
10 · 26 + 2
5
· 242
)
=
1
16 · 5 (25 · 13 + 121) =
446
80
=
223
40
u.a.
Ca´lculo IV EP7 – Tutor 2
Exerc´ıcio 2: Determine a massa e o centro de massa de um arame com formato da he´lice x = t,
y = cos t e z = sen t, com 0 ≤ t ≤ 2pi, se a densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da
distaˆncia do ponto a` origem.
Soluc¸a˜o: Temos C : γ(t) = (t, cos t, sen t), com 0 ≤ t ≤ 2pi donde γ′(t) = (1,− sen t, cos t) e
‖γ′(t)‖ = √1 + sen2 t + cos2 t = √2 . Logo, ds = ‖γ′(t)‖ dt = √2 dt. Como a distaˆncia de um
ponto (x, y, z) a` origem e´
√
x2 + y2 + z2, enta˜o δ(x, y, z) =
(√
x2 + y2 + z2
)2
= x2 + y2 + z2.
A massa de C e´ dada por:
M =
∫
C
δ(x, y, z) ds
=
∫
C
(
x2 + y2 + z2
)
ds
=
∫
2pi
0
(
t2 + cos2 t + sen2 t
)√
2 dt
=
√
2
∫
2pi
0
(
t2 + 1
)
dt
=
√
2
[
t3
3
+ t
]2pi
0
=
√
2
(
8pi3
3
+ 2pi
)
= 2
√
2pi
(
4pi2
3
+ 1
)
u.m.
O centro de massa (x, y, z) e´ dado por:
Mx =
∫
C
xδ(x, y, z)ds =
∫
C
x
(
x2 + y2 + z2
)
ds
My =
∫
C
yδ(x, y, z)ds =
∫
C
y
(
x2 + y2 + z2
)
ds
Mz =
∫
C
zδ(x, y, z)ds =
∫
C
z
(
x2 + y2 + z2
)
ds .
Ca´lculo de
∫
C
x
(
x2 + y2 + z2
)
ds
Temos que:∫
C
x
(
x2 + y2 + z2
)
ds =
∫
2pi
0
t
(
t2 + 1
)√
2 dt =
√
2
∫
2pi
0
(
t3 + t
)
dt =
√
2
[
t4
4
+
t2
2
]2pi
0
=
=
√
2 (4pi4 + 2pi2) = 2
√
2pi2 (2pi2 + 1).
Logo:
2
√
2pi
(
4pi2
3
+ 1
)
x = 2
√
2pi2
(
2pi2 + 1
)
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP7 – Tutor 3
donde
x =
3pi(2pi2 + 1)
4pi2 + 3
.
Ca´lculo de
∫
C
y
(
x2 + y2 + z2
)
ds
Temos que: ∫
C
y
(
x2 + y2 + z2
)
ds =
∫
2pi
0
cos t
(
t2 + 1
)√
2 dt
=
√
2


∫
2pi
0
t2 cos t dt+
∫
2pi
0
cos t dt︸ ︷︷ ︸
=0


=
√
2
∫
2pi
0
t2 cos t dt .
Fazendo u = t2 e dv = cos t dt temos du = 2t dt e v = sen t. Enta˜o:∫
2pi
0
t2 cos t dt =
[
uv
]2pi
0
−
∫
2pi
0
v du
=
[
t2 sen t
]2pi
0︸ ︷︷ ︸
=0
−2
∫
2pi
0
t sen t dt
= −2

[− t cos t]2pi0︸ ︷︷ ︸
=0
+
∫
2pi
0
cos t dt︸ ︷︷ ︸
=0


= 0 .
Enta˜o: ∫
C
y
(
x2 + y2 + z2
)
ds = 0
donde My = 0 ou y = 0.
Ca´lculo de
∫
C
z
(
x2 + y2 + z2
)
ds
Analogamente, mostra-se que: ∫
C
z
(
x2 + y2 + z2
)
ds = 0 .
Assim, o centro de massa localiza-se em:(
3pi
(
2pi2 + 1
)
4pi2 + 3
, 0, 0
)
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP7 – Tutor 4
Exerc´ıcio 3: Um arame tem a forma de um semic´ırculo de raio 4. Determine seu momento de
ine´rcia em relac¸a˜o ao diaˆmetro que passa pelos extremos do arame, se a densidade no ponto (x, y)
e´ δ(x, y) = x + y.
Soluc¸a˜o: Sem perda de generalidade podemos considerar o centro do semic´ırculo C na origem do
sistema de eixos coordenados. Temos enta˜o:
x
y
C
4
4
−4
Temos que C : x2+y2 = 16, com y ≥ 0 onde uma parametrizac¸a˜o e´ dada por γ(t) = (4 cos t, 4 sen t),
com 0 ≤ t ≤ pi. Logo, γ′(t) = (−4 sen t, 4 cos t) e ds = ‖γ′(t)‖ dt = √16 sen2 t + cos2 t dt = 4 dt.
Como o diaˆmetro que passa pelos extremos do arame e´ o eixo x, calculemos Ix. Temos:
Ix =
∫
C
y2δ(x, y) ds
=
∫
C
y2(x + y) ds
=
∫ pi
0
(4 sen t)2(4 cos t+ 4 sen t)4 dt
= 162
∫ pi
0
sen2 t(cos t + sen t) dt
= 256
∫ pi
0
(
sen2 t cos t + sen3 t
)
dt
= 256
∫ pi
0
[
sen2 t cos t +
(
1− cos2 t) sen t] dt
= 256
∫ pi
0
(
sen2 t cos t + sen t− sen t cos2 t) dt
= 256
[
sen3 t
3
− cos t+ cos
3 t
3
]pi
0
= 256
[(
0 + 1− 1
3
)
−
(
0− 1 + 1
3
)]
= 256
(
2− 2
3
)
=
1024
3
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP7 – Tutor 5
Exerc´ıcio 4: Determine a massa de um fio delgado com o formato da intersec¸a˜o das superf´ıcies
x2
16
+
y2
9
+
z2
16
= 1 e y = 2, se a densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da distaˆncia do
ponto a` origem.
Soluc¸a˜o: De
x2
16
+
y2
9
+
z2
16
= 1 e y = 2, temos:
x2
16
+
z2
16
= 1− 4
9
ou x2 + z2 =
80
9
=
(√
80
3
)2
.
Logo, a projec¸a˜o de C no plano xz e´ a circunfereˆncia x2 + z2 =
(√
80
3
)2
. Enta˜o x =
√
80
3
cos t e
z =
√
80
3
sen t, com 0 ≤ t ≤ 2pi. Assim, uma parametrizac¸a˜o de C e´ dada por:
γ(t) =
(√
80
3
cos t, 2,
√
80
3
sen t
)
com 0 ≤ t ≤ 2pi.
Temos γ′(t) =
(
−√80
3
sen t, 0,
√
80
3
cos t
)
donde ds = ‖γ′(t)‖ dt =
√
80
3
dt. A massa do fio C e´
dada por
M =
∫
C
δ(x, y, z) ds
onde
δ(x, y, z) =
(√
x2 + y2 + z2
)2
= x2 + y2 + z2 .
Enta˜o:
M =
∫
C
(
x2 + y2 + z2
)
ds
=
∫
2pi
0
(
80
9
cos2 t + 4 +
80
9
sen2 t
) √
80
3
dt
=
√
80
3
∫
2pi
0
(
80
9
+ 4
)
dt
=
116
√
80
27
∫
2pi
0
dt
=
928
√
5
27
pi u.m.
Exerc´ıcio 5: Calcule a massa, o centro de massa e os momentos de ine´rcia em relac¸a˜o aos ei-
xos coordenados de um arame cuja forma e´ dada pelo arco da curva intersec¸a˜o das superf´ıcies
x2 + y2 + z2 = 4 e y = z que liga o ponto (2, 0, 0) ao ponto (
√
2, 1, 1), sabendo que sua densidade
e´ constante.
Soluc¸a˜o: De x2 + y2 + z2 = 4 e y = z temos x2 + 2z2 = 4 ou
x2
4
+
z2
2
= 1 (elipse no plano xz).
Logo, x = 2 cos t e z =
√
2 sen t. Como y = z, enta˜o y =
√
2 sen t.
Se (x, y, z) = (2, 0, 0) enta˜o 2 cos t = 2 e
√
2 sen t = 0 donde t = 0. Se (x, y, z) = (
√
2, 1, 1) enta˜o
2 cos t =
√
2 e
√
2 sen t = 1 donde t = pi/4. Logo, 0 ≤ t ≤ pi/4. Assim, uma parametrizac¸a˜o de C
e´ dada por γ(t) =
(
2 cos t,
√
2 sen t,
√
2 sen t
)
, com 0 ≤ t ≤ pi/4.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP7 – Tutor 6
Logo:
γ′(t) =
(
−2 sen t,
√
2 cos t,
√
2 cos t
)
e
ds = ‖γ′(t)‖ ds =
√
4 sen2 t + 2 cos2 t + 2 cos2 t dt =
√
4 cos2 t + 4 cos2 t dt = 2 dt .
A massa de C e´ dada porM =
∫
C
δ(x, y, z) ds
onde δ(x, y, z) = k (constante). Enta˜o:
M = k
∫
C
ds = k
∫ pi/4
0
2dt = 2k
pi
4
=
kpi
2
u.m.
O centro de massa (x, y, z) e´ tal que:
Mx =
∫
C
kx ds
My =
∫
C
ky ds
Mz =
∫
C
kz ds .
Ca´lculo de
∫
C
kx ds
Temos que: ∫
C
kx ds = k
∫ pi/4
0
(2 cos t)2 dt = 4k
[
sen t
]pi/4
0
= 2k
√
2 .
Logo:
x =
2k
√
2
kpi
2
=
4
√
2
pi
.
Ca´lculo de
∫
C
ky ds
Temos que: ∫
C
ky ds = k
∫ pi/4
0
(
√
2 sen t)2 dt
= 2k
√
2
[− cos t]pi/4
0
= 2k
√
2
(
1−
√
2
2
)
= k
√
2
(
2−√2)
= k
(
2
√
2− 2)
= 2k
(√
2− 1) .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP7 – Tutor 7
Logo:
y =
2k
(√
2− 1)
kpi
2
=
4
(√
2− 1)
pi
.
Ca´lculo de
∫
C
kz ds
Temos que: ∫
C
kz ds = k
∫ pi/4
0
(
√
2 sen t)2 dt = 2k
(√
2− 1
)
donde
z = 4
(√
2− 1)
pi
.
Assim:
(x, y, z) =
(
4
√
2
pi
,
4
(√
2− 1)
pi
,
4
(√
2− 1)
pi
)
.
O momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo x e´:
Ix =
∫
C
(
y2 + z2
)
δ(x, y, z) ds
= k
∫
C
(
y2 + z2
)
ds
= k
∫ pi/4
0
(
2 sen2 t + 2 sen2 t
)
2 dt
= 8k
∫ pi/4
0
sen2 t dt
= 8k · 1
2
[
t− sen 2t
2
]pi/4
0
= 4k
(
pi
4
− 1
2
)
= k(pi − 2) .
O momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo y e´:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP7 – Tutor 8
Iy =
∫
C
(
x2 + z2
)
δ(x, y, z) ds
= k
∫
C
(
x2 + z2
)
ds
= k
∫ pi/4
0
(
4 cos2 t + 2 sen2 t
)
2 dt
= 2k
∫ pi/4
0
(
2 + 2 cos2 t
)
dt
= 4k
∫ pi/4
0
(
1 + cos2 t
)
dt
= 4k
[
t +
1
2
(
t +
sen 2t
2
)]pi/4
0
= 4k
(
pi
4
+
pi
8
+
1
2
)
=
k
2
(3pi + 4) .
O momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo z e´:
Iz =
∫
C
(
x2 + y2
)
δ(x, y, z) ds
= k
∫
C
(
x2 + y2
)
ds
= k
∫ pi/4
0
(
4 cos2 t + 2 sen2 t
)
2 dt
=
k
2
(3pi + 4) .
Exerc´ıcio 6: Calcule a massa de um arame fino com o formato da curva x = 2t, y = ln t e z = 4
√
t ,
com 1 ≤ t ≤ 4, se a func¸a˜o densidade for proporcional a` distaˆncia acima do plano xy.
Soluc¸a˜o: Temos C : γ(t) =
(
2t, ln t, 4
√
t
)
, com 1 ≤ t ≤ 4. Logo:
γ′(t) =
(
2,
1
t
,
4
2
√
t
)
=
(
2,
1
t
,
2√
t
)
e
‖γ′(t)‖ =
√
4 +
1
t2
+
4
t
=
√(
2 +
1
t
)2
= 2 +
1
t
e
ds = ‖γ′(t)‖ dt =
(
2 +
1
t
)
dt .
Como a distaˆncia de (x, y, z) ao plano xy e´ |z| = z pois, z > 0, enta˜o a densidade em (x, y, z) e´
dada por δ(x, y, z) = kz onde k > 0. Como M =
∫
C
δ(x, y, z) ds enta˜o:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP7 – Tutor 9
M = k
∫
C
z ds
= k
∫
4
1
4
√
t
(
2 +
1
t
)
dt
= 4k
∫
4
1
(
2t1/2 + t−1/2
)
dt
= 4k
[
2 · 2
3
t3/2 + 2t1/2
]4
1
= 4k
[
4
3
· (23 − 1) + 2(2− 1)
]
= 4k
(
28
3
+ 2
)
=
4k
3
· 34
=
136
3
k u.m.
Exerc´ıcio 7: Calcule div
−→
F e rot
−→
F sendo
−→
F (x, y, z) =
1√
x2 + y2 + z2
(
x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k
)
.
Soluc¸a˜o: Temos que:
−→
F (x, y, z) =
x√
x2 + y2 + z2︸ ︷︷ ︸
P
−→
i +
y√
x2 + y2 + z2︸ ︷︷ ︸
Q
−→
j +
z√
x2 + y2 + z2︸ ︷︷ ︸
R
−→
k .
Enta˜o:
∂P
∂x
=
√
x2 + y2 + z2 − x · 2x
2
√
x2 + y2 + z2
x2 + y2 + z2
=
x2 + y2 + z2 − x2
(x2 + y2 + z2)
3/2
=
y2 + z2
(x2 + y2 + z2)
3/2
.
Analogamente, temos:
∂Q
∂y
=
x2 + z2
(x2 + y2 + z2)
3/2
,
∂R
∂z
=
x2 + y2
(x2 + y2 + z2)
3/2
.
Como
div
−→
F =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
enta˜o:
div
−→
F =
2
(
x2 + y2 + z2
)
(x2 + y2 + z2)
3/2
=
2√
x2 + y2 + z2
.
Por outro lado:
rot
−→
F =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
,
∂P
∂z
− ∂R
∂x
,
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV EP7 – Tutor 10
Temos:
∂P
∂y
=
−x · 2y
2
√
x2 + y2 + z2
x2 + y2 + z2
=
−xy
(x2 + y2 + z2)
3/2
.
Analogamente:
∂Q
∂x
=
−xy
(x2 + y2 + z2)
3/2
∂P
∂z
=
−xz
(x2 + y2 + z2)
3/2
∂R
∂x
=
−xz
(x2 + y2 + z2)
3/2
∂R
∂y
=
−yz
(x2 + y2 + z2)
3/2
∂Q
∂z
=
−yz
(x2 + y2 + z2)
3/2
.
Assim:
rot
−→
F =
−→
0 .
Exerc´ıcio 8: Calcule
∇ ·
(−→
F ×−→G
)
sendo −→
F (x, y, z) = 2x
−→
i +
−→
j + 4
−→
k
e −→
G(x, y, z) = x
−→
i + y
−→
j − z−→k .
Soluc¸a˜o: Temos:
−→
F ×−→G =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
2x 1 4
x y −z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (−z − 4y, 4x + 2xz, 2xy − x) .
Enta˜o:
∇ ·
(−→
F ×−→G
)
=
∂
∂x
(−z − 4y) + ∂
∂y
(4x + 2xz) +
∂
∂z
(2xy − x) = 0 + 0 + 0 = 0 .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ