3Atv Avaliativa

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01/04/2024 Processamento Digital de Sinal Atividade Avl. 3
3° Atividade – OCTAVE
¹Thiago da costa Molina
RGM: 33291659
3° Atividade Avaliativa para compor nota na avaliação A2 
Entrega: 01/04/2024
😊
Atividade voltada para a observação de ondas digitais a partir do 
software OCTAVE
 Sumário 
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Thiago da costa Molina– Email: costamthiago013@gmail.com 
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→ Gráficos Autorais (OCTAVE)
Imagem 1 - Gráficos Autoral (OCTAVE) – Página ------------------------------------------ 4 
Imagem 2 - Gráficos Autoral (OCTAVE) – Página ------------------------------------------ 4 
Imagem 3 - Gráficos Autoral (OCTAVE) – Página ------------------------------------------ 5 
Imagem 4 - Gráficos Autoral (OCTAVE) – Página ------------------------------------------ 6 
Imagem 5 - Gráficos Autoral (OCTAVE) – Página ------------------------------------------ 6 
Imagem 6 - Gráficos Autoral (OCTAVE) – Página ------------------------------------------ 8 
Imagem 7 - Gráficos Autoral (OCTAVE) – Página ------------------------------------------ 8 
Imagem 8 - Gráficos Autoral (OCTAVE) – Página ---------------------------------------- 10
Imagem 9 - Gráficos Autoral (OCTAVE) – Página ---------------------------------------- 11
Imagem 10 - Gráficos Autoral (OCTAVE) – Página --------------------------------------- 11 
 
 
→ Gráficos Disponibilizados (Arquivo)
Imagem 1 - Gráficos Disponibilizado (Arquivo) – Página ---------------------------------- 3 
Imagem 2 - Gráficos Disponibilizado (Arquivo) – Página ---------------------------------- 5 
Imagem 3 - Gráficos Disponibilizado (Arquivo) – Página ---------------------------------- 6 
Imagem 4 - Gráficos Disponibilizado (Arquivo) – Página ---------------------------------- 7 
Imagem 5 - Gráficos Disponibilizado (Arquivo) – Página ---------------------------------- 9 
Imagem 6 - Gráficos Disponibilizado (Arquivo) – Página -------------------------------- 12 
Imagem 7 - Gráficos Disponibilizado (Arquivo) – Página -------------------------------- 13 
 
 Objetivo Geral
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Usar o software OCTAVE disponibilizado no BlackBoard (BB) pelo professor, com isso 
implementar os devidos códigos também disponibilizados pelo professor no 
BlackBoard anexados no arquivo do Prof. Eduardo Parente Ribeiro.
-------------------- // --------------------
 Visualizando a exponencial complexa
» n=0:99; % define um vetor n indo de 0 a 99
» w=0.3; % define a frequência digital
» d=exp(j*w*n);
Para visualizar utilize o comando subplot:
» subplot(4,1,1) % divide a tela em 4 linhas x 1 coluna e seleciona o primeiro 
gráfico
» plot(real(d))
» subplot(4,1,2) % selecione o segundo gráfico
» plot(imag(d))
» subplot(4,1,3)
» plot(abs(d))
» subplot(4,1,4) 
» plot(angle(d)) % ou então plot(unwrap(angle(d)))
Imagem 1 – Arquivo Disponibilizado (Arquivo)
→ Questão: Verifique agora outras frequências: w=0.6; w=0.3+2*pi;
a) w = 0.6;
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Imagem 1 – Gráfico Autoral (OCTAVE)
b) w = 0.3+2*pi;
Imagem 2 – Gráfico Autoral (OCTAVE)
 Visualizando a FFT
defina um sinal x:
» t = 0:31;
» w = 2*pi/32;
» x = sin(w*t);
» X = fft(x);
» subplot(2,1,1); stem(t,x)
» subplot(2,1,2); stem(t,abs(X))
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Imagem 2 – Arquivo Disponibilizado (Arquivo)
» figure (2)
» w = 4*pi/32; 
» x = sin(w*t);
» X = fft(x);
» subplot(2,1,1); stem(t,x)
» subplot(2,1,2); stem(t,abs(X))
→ Questão: Agora crie outra para plotar a frequência w = 4*pi/32;
a) w = 4*pi/32;
 
Imagem 3 – Gráfico Autoral (OCTAVE)
→ Questões: Interprete o resultado. Porque o impulso que aparece em 
frequência caminhou para a direita? Experimente outras frequências: w = 
15*2*pi/32; na terceira tela. E w = 4.5*pi/32; na quarta tela. Por que o espectro 
da última senoide não é apenas um impulso, mas um impulso ‘contaminado’?
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Imagem 3 – Arquivo Disponibilizado (Arquivo)
a) Porque o impulso que aparece em frequência caminhou para a direita?
b) Experimente outras frequências: w = 15*2*pi/32; na terceira tela.
Imagem 4 – Gráfico Autoral (OCTAVE)
c) E w = 4.5*pi/32; na quarta tela.
Imagem 5 – Gráfico Autoral (OCTAVE)
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d) Por que o espectro da última senoide não é apenas um impulso, mas um 
impulso ‘contaminado’?
 Efeito do Janelamento
Agora complete o sinal x com 64 zeros e plote a FFT:
» n = 0:31;
» x = [sin(4*pi*n/32) zeros(1,64)];
» nn = 0:95;
» X = fft(x);
» subplot(2,1,1); plot(nn,x)
» subplot(2,1,2); plot(nn,abs(X), nn,abs(X), ‘o’)
Imagem 4 – Arquivo Disponibilizado (Arquivo)
Interprete o resultado. Qual é a transformada de Fourier da janela retangular? O 
que diz o teorema da convolução?
→ Questões: Qual é a transformada de Fourier da janela retangular? O que 
diz o teorema da convolução?
a) Qual é a transformada de Fourier da janela retangular?
b) O que diz o teorema da convolução?
 Transforam da Janelas
Verifique a transformada de Fourier de algumas janelas e plote-as no mesmo 
gráfico:
» j1 = [zeros(1,32) hamming(64)’ zeros(1,32)];
» j2 = [zeros(1,32) hamming(64)’ zeros(1,32)];
» j3 = [zeros(1,32) hamming(64)’ zeros(1,32)];
» J1 = fft(j1); J2 = fft(j2); J3 = fft(j3); 
» n = 0:127;
» subplot(2,1,1)
» plot(n,j1,n,j2,n,j3);
» subplot(2,1,2)
» plot(n,abs(J1),n,abs(J2),n,abs(J3));
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Imagem 6 – Gráfico Autoral (OCTAVE)
Depois, dê um zoom, visualizando os pontos 1 a 10:
» n = 0:9;
» plot(n,abs(J1(1:10)),n,abs(J2(1:10)),n,abs(J3(1:10)));
Imagem 7 – Gráfico Autoral (OCTAVE)
 Decimação e Interpolação
Vamos imaginar um sinal que foi amostrado com uma taxa bem superior à sua 
frequência máxima e que foram coletados Na = 160 pontos. Depois deseja-se 
decimar o sinal (M=5) e em seguida interpolar (L=5).
» Na = 160;
» na = 0(Na-1);
» xa = sin(2.3*pi*na/20);
» Nd = Na/5
» nd = 0:(Nd-1);
» xd = xa(nd*5+1);
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» Ni = Nd*5;
» ni = 0:(Ni-1);
» xz(nd*5+1) = xd(nd+1);
» [b a] =ellip(4,1,40,0,2);
» xi = filter(b,a,xz);
» subplot(4,1,1)
» stem(xa)
» subplot(4,1,2)
» stem(xd)
» subplot(4,1,3)
» stem(xz)
» subplot(4,1,4)
» stem(xi)
Imagem 5 – Arquivo Disponibilizado (Arquivo)
 Linearidade
Verifique a propriedade de linearidade da fft, somando duas senoides (32 
pontos) e verificando o espectro. w1 = 2*pi/32; e w2 = 10*pi/32; Ex. 
x3=x2+x1; X3 = fft(x3); Depois faça o mesmo, mas usando w2 = 10.5*pi/32;.
Interprete o gráfico.
→ Questões: Verifique a propriedade de linearidade da fft, somando duas 
senoides (32 pontos) e verificando o espectro. w1 = 2*pi/32; e w2 = 10*pi/32; 
Ex. x3=x2+x1; X3 = fft(x3); Depois faça o mesmo, mas usando w2 = 
10.5*pi/32;.
a) w1 = 2*pi/32; e w2 = 10*pi/32; Ex. x3=x2+x1; X3 = fft(x3);
Usei estes códigos 
» t = 0:31;
» w = 2*pi/32;
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» x = sin(w*t);
» X = fft(x);
» subplot(2,1,1); stem(t,x)
» subplot(2,1,2); stem(t,abs(X))
Modificações/Acréscimos nos códigos
» t = 0:31;
» w1 = 2*pi/32;
» w2 = 10*pi/32;
» x3 = sin(w1*w2*t);
» X3 = fft(x3);
» subplot(2,1,1); stem(t,x3)
» subplot(2,1,2);stem(t,abs(X3))
Imagem 8 – Gráfico Autoral (OCTAVE)
b) w1 = 2*pi/32 e w2 = 10.5*pi/32; Ex. x3=x2+x1; X3 = fft(x3);
Usei estes códigos 
» t = 0:31;
» w = 2*pi/32;
» x = sin(w*t);
» X = fft(x);
» subplot(2,1,1); stem(t,x)
» subplot(2,1,2); stem(t,abs(X))
Modificações/Acréscimos nos códigos
» t = 0:31;
» w1 = 2*pi/32;
» w2 = 10.5*pi/32;
» x3 = sin(w1*w2*t);
» X3 = fft(x3);
» subplot(2,1,1); stem(t,x3)
» subplot(2,1,2); stem(t,abs(X3))
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Imagem 9 – Gráfico Autoral (OCTAVE)
 Filtragem Digital
Veja s função filter():
» help filter
Considere o sinal x1 uma senoide de baixa frequência e o sinal x2 uma senoide 
de alta frequência e o sinal x sendo a some destes dois:
» n = 0:31;
» x1 = sin(4*pi*n/32);
» x2 = sin(12*pi*n/32);
» x = x1+x2;
Visualize o sinal x e seu espectro;
» subplot(2,1,1); plot(x)
» X = fft(x);
» subplot(2,1,1); stem(abs(X))
Imagem 10 – Gráfico Autoral (OCTAVE)
Agora considere obtenha os coeficientes de um filtro elíptico de quarta ordem 
com frequência normalizada de corte igual a 0,25.
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» [b a] = ellip(4,1,40,0,25);
Visualize a resposta em frequência do filtro e o espectro do sinal x no mesmo 
eixo:
» [H w] = freqz(b,a);
» 22 = n82*pi/32;
» plot(w,abs(H), ww,abs9X);16)
Imagem 6 – Arquivo Disponibilizado (Arquivo)
Vamos obter o sinal filtrado y de três maneiras distintas:
1) Usando a equação recursiva: função filter()
» y1 = filter(b,a,x);
2) Fazendo a convolução com a resposta ao impulso
» d = [1 zeros(1,511)];
» h = filter(b,a,d);
» y2 = conv(x,h);
3) A partir da multiplicação das transformadas
» H = fft(h);
» xx = [x zeros(1,512-32)];
» XX = fft(xx);
» Y3 = XX.*H;
» y3 = real(ifft(Y3));
Agora visualize as três respostas no mesmo eixo:
» plot(n,y1,n,y2(n+1),n,y3(n+1))
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Imagem 7 – Arquivo Disponibilizado
O resultado é coincidente e apenas uma curva aparece. Se quiser ter certeza, 
experimente:
» plot(n,y1,n,y2(n+1)+0.1,n,y3(n+1)+0.2)
 Outras Funções Importantes
» zplane(): traça o diagrama de pólos e zeros
» roots(): calcula as raízes do polinômio
» conv2(): convolução em 2 diemensões
» fft2(): fft em 2 dimensões
» filtdemo(): demonstração de proj. filtro
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