Problemas de Cálculo e Álgebra

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56. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \arccos(x) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \). Explicação: A 
derivada da função arco cosseno \( \arccos(x) \) é \( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \). 
 
57. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \arccos(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( x\arccos(x) + \sqrt{1 - x^2} + C \), onde \( C \) é a 
constante de integração. Explicação: Podemos usar a integração por partes para resolver 
essa integral. 
 
58. Problema: Resolva a equação \( \arccos(x) = \frac{\pi}{3} \) no intervalo \( -1 \leq x \leq 1 
\). 
 Resposta: A solução é \( x = \frac{1}{2} \). Explicação: Para encontrar a solução, usamos 
a definição de arco cosseno. 
 
59. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \arccos(x) \) no ponto \( 
\left(\frac{1}{2}, \frac{\pi}{3}\right) \). 
 Resposta: A equação é \( y = -\sqrt{3}(x - \frac{1}{2}) + \frac{\pi}{3} \). Explicação: Para 
encontrar a equação da reta tangente, calculamos a derivada da função em \( x = 
\frac{1}{2} \), que é \( -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2}} = -\sqrt{3} \), então usamos a forma 
ponto-inclinação da equação da reta. 
 
60. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \arccos(x) \) e \( y = 
\arctan(x) \) no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \) unidades quadradas. Explicação: Para 
encontrar a área entre duas curvas, integramos a diferença entre 
 
 as duas funções no intervalo de interseção. 
 
61. Problema: Resolva o sistema de equações: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 3x - y = 1 \\ 
 2x + y = 5 
 \end{cases} 
 \]