Problemas de Cálculo Matemático

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41. Problema: Determine a derivada de \( y = \ln(\sec(x)) \). 
 Resposta: A derivada de \( y \) é \( y' = \tan(x) \). 
 Explicação: Utilizei a regra da cadeia para encontrar a derivada. 
 
42. Problema: Calcule a soma dos termos da série \( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} 
+ \ldots \). 
 Resposta: A soma dos termos é \( \frac{\pi}{4} \). 
 Explicação: Esta é a série alternada de Leibniz, cuja soma é conhecida como \( 
\frac{\pi}{4} \). 
 
43. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sqrt{x} \) e o eixo \( x 
\) entre \( x = 0 \) e \( x = 4 \). 
 Resposta: A área é \( \frac{8}{3} \) unidades quadradas. 
 Explicação: A área é dada pela integral da função \( \sqrt{x} \) no intervalo de interesse. 
 
44. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + y = \sin(x) \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) - \frac{1}{2}\cos(x) \), onde \( C_1 
\) e \( C_2 \) são constantes. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com 
termo não homogêneo. 
 
45. Problema: Encontre a derivada de \( y = \ln(\tan(x)) \). 
 Resposta: A derivada de \( y \) é \( y' = \frac{1}{\cos^2(x)} \). 
 Explicação: Utilizei a regra da cadeia para encontrar a derivada. 
 
46. Problema: Calcule o limite \( \lim_{{x \to 0}} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{1}{2} \). 
 Explicação: Utilizei a identidade \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \) para resolver o 
limite. 
 
47. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \cos(x) \) e o eixo \( x 
\) entre \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 Resposta: A área é \( 1 \) unidade quadrada.