Distância entre Pontos no Plano

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Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos A (x A , y A) e B (xB , yB) , situados num plano cartesiano, pode ser 
determinada em função das suas coordenadas.
Caso o segmentos AB seja paralelo ao eixo Ox, temos:
* A distância d AB é diferença entre abscissas:
d AB=xB−x A
Caso o segmento AB seja paralelo ao eixo Oy, temos:
* A distância d AB é diferença entre ordenadas:
d AB= y B− y A
Caso o segmento AB seja qualquer, temos:
* A distância d AB depende da diferença entre abscissas e entre ordenadas, de tal forma que, ao aplicarmos o 
teorema de Pitágoras no Δ ABC , temos:
 
(dAB) ² = (d AC)
2 + (dBC )
2
(d AB)² = (x B−x A)
2 + ( yB− y A)
2
d AB = √(xB−x A)
2 + ( yB− y A)
2
Exemplos:
x
y
y A
x A
xB
A
B
0
d AB
yB
C
x
y
y A≡ yB
x A
xB
A B
0
d AB
x
y
y A
x A=xB
yB
A
0
d AB
B
1) Determinar a distância entre os pontos A(8, 3) e B(-4, 8):
2) Determinar o perímetro do triângulo cujos vértices A, B e C têm as seguintes coordenadas A(1, 5), B(-2, 1) 
e C(4, 1):
3) Sabendo que o ponto P pertence ao eixo das abscissas e está equidistante dos pontos A(4, 2) e B(8, -2), 
determinar suas coordenadas.
Como o ponto P está no eixo das abscissas, então y=0;
P(x ,0)
Como ele é equidistante, então a distância dele para A ou B é a mesma, temos;
dAP=dPB
sendo;
A (4, 2) , B (8, −2) e P(x ,0)
dAP=dPB
Escrevemos as duas fórmulas da distância;
√(xP−x A)
2+( yP− yA)
2=√(xB−xP)
2+( yB− yP)
2
Operação inversa de radiciação é a potenciação, fazendo isso a fórmula fica
mais simples;
(√(xP−x A)
2+( yP− y A)
2)
2
=(√(x B−xP)
2+( y B− y P)
2)
2
A (8, 3) e B (−4, 8)
d AB=√( xB−x A)
2+( y B− y A)
2
d AB=√(−4−8)2+(8−3)2
d AB=√(−12)2+(5)2
d AB=√(144)+(+25)
d AB=√144+25
d AB=√169
d AB=13
A (1, 5) e B(−2, 1)
d AB=√( xB−x A)
2+( y B− y A)
2
d AB=√(−2−1)2+(1−5)2
d AB=√(−3)2+(−4 )2
d AB=√(+9)2+(+16)
d AB=√9+16
d AB=√25
d AB=5
A (1, 5) e C (4, 1)
d AC=√(xC−x A)
2+( yC− y A)
2
d AC=√(4−1)2+(1−5)2
d AC=√(3)2+(−4)2
d AC=√(9)+(+16)
d AC=√9+16
d AC=√25
d AC=5
B (−2, 1) e C(4, 1)
dBC=√(xC−xB)
2+( yC− yB)
2
dBC=√(4−(−2))2+(1−1)2
dBC=√(4+2)2+(0)2
dBC=√(6)2+(0)
dBC=√36+0
dBC=√36
dBC=6
-2
A(1 ,5)
x
y
5
1 4
1
B(-2, 1)
C(4, 1)
0
O perímetro é : d AB+d AC+dBC
O perímetro é : 5+5+6
O perímetro é : 16
Pronto;
(xP−xA)
2+( yP− y A)
2=(x B−xP)
2+( y B− y P)
2
(x−4)2+(0−2)2=(8−x)2+(−2−0)2
Temos que resolver o produtos notáveis(x−4 )2
e (8−x)2
;
(x2−8x+16)+(−2)2=(64−16x+ x
2)+(−2)2
x
2−8x+16+(+4 )=(64−16x+x
2)+(+4)
x
2−8x+16+4=64−16x+x
2+4
Agrupamos os semelhantes; 
x
2−8x−x
2+16x=64+4−4−16
8x=48
x=
48
8
x=6
Logo : P(6, 0)
Exercícios
1) Determine a distância entre os seguintes pares de pontos:
a) A (0, −2) e B(−6, −10) ; c) E(−3, 7 ) e F (5, 1) ;
b) C(−3, −1) e D(9, 4); d) G(−2, 5) e H (4, −3);
2) Obtenha o valor de m sabendo que a distância entre os pares de pontos seguintes é d:
a) A (6, m) , B (1, −2) e d=13
b) C(1, −2), D(m , −2) e d=5
3) Calcule o perímetro dos triângulos formados pelos vértices, cujas coordenadas são as seguintes:
a) A (6, 8) , B(1, −4) e C (6, −4)
b) D(0, 0) , B(6, 8) e C(8, 6)
4) Determine as coordenadas do ponto P, sabendo que ele pertence ao eixo das abscissas e está equidistante dos 
pontos A(2, 4) e B(-2, 0).
5) Verifique se o triângulo formado pelos vértices A(6, 0), B(4, 2) e C(8, -2) é isósceles.
6) Obtenha o valor de m para que o triângulo ABC seja retângulo em B. Considere A(m, -4), B(-2, 0) e C(7, 1).
7) A distância entre os pontos B(-2b, b) e C(3, 1) é √5 . Determine as coordenadas do ponto B.
8) Qual é a distância entre os pontos C(4√5 , 5) e B(6√3 , 3) .