Exercicío I - Concreto Armado I

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Disciplina: CE3 – Concreto Armado I 
Professor: Marcello Cherem 
Exercícios 
4ª feira – 07h30min 
Data: 22/05/2019 
 
EXERCÍCIO 1 
 
Parte da planta de fôrmas de um edifício, desenhada em centímetros, está representada abaixo. 
Para a mesma, pede-se: 
 
 
 
Altura piso a piso: 
hpp = 3,00 m 
 
 
Pesos específicos: 
ALVENARIA = 13 kN/m³ 
CONCRETO = 25 kN/m³ 
GESSO = 12,5 kN/m³ 
CERÂMICA = 18 kN/m³ 
CONTRAPISO = 21 kN/m³ 
ARG. COLANTE = 20 kN/m³ 
 
 
 
Detalhe do revestimento: 
 
 
 
a) Sabendo que as lajes L1 e L5 tem carga permanente gk = 4,5 kN/m² e carga acidental/variável qk = 2,0 
kN/m², determine os momentos fletores de cálculo para as duas lajes, indicando suas direções no 
desenho; 
 
b) Faça o levantamento das cargas permanentes para a laje L6; 
 
 
 
Disciplina: CE3 – Concreto Armado I 
Professor: Marcello Cherem 
Exercícios 
4ª feira – 07h30min 
Data: 22/05/2019 
 
a) Momentos fletores nas lajes L1 e L5 
 
pd = g ∙ gK + q ∙ qK = 1,4 ∙ 4,5 + 1,4 ∙ 2,0 = 9,1 KN/m² 
 
Laje L1 
 
Relação: 
X
Y
L
L
= 
cm 215
cm 387
= 1,80 
 
MX
POS = 
X
2
Xd
α
Lp 
= 
16,8
2,159,1 2
= 2,50 KN ∙ m/m 
 
MY
POS = 
Y
2
Xd
α
Lp 
= 
42,5
2,159,1 2
= 0,99 KN ∙ m/m 
 
MX
NEG = 
X
2
Xd
β
Lp 
= 
8,4
2,159,1 2
= 5,01 KN ∙ m/m 
 
MY
NEG = 
Y
2
Xd
β
Lp 
= 0 KN ∙ m/m 
Laje L5 
 
Relação: 
X
Y
L
L
= 
cm 387
cm 422
= 1,09 
 
MX
POS = 
X
2
Xd
α
Lp 
= 
38,1
3,879,1 2
= 3,58 KN ∙ m/m 
 
MY
POS = 
Y
2
Xd
α
Lp 
= 
36,7
3,879,1 2
= 3,71 KN ∙ m/m 
 
MX
NEG = 
X
2
Xd
β
Lp 
= 
15,4
3,879,1 2
= 8,85 KN ∙ m/m 
 
MY
NEG = 
Y
2
Xd
β
Lp 
= 
14,8
3,879,1 2
= 9,21 KN ∙ m/m 
 
 
b) Levantamento das cargas permanentes na laje L6 
 
Peso próprio: 
 
gpp,K = CONCRETO ∙ h 
gpp,K = 25 KN/m³ ∙ 0,09 m 
 gpp,K = 2,25 KN/m² 
 
Revestimento: 
 
grev,K =  i ∙ hi 
grev,K = 12,5 ∙ 0,015 + 21 ∙ 0,03 + 20 ∙ 0,01 + 18 ∙ 0,01 
 grev,K = 1,20 KN/m² 
 
Alvenaria: 
 
galv,K = 
YX
ALVALVALVALV
LL
Lhe


 
galv,K = 
3mm 4,22
1,20m)(3m0,09m)(3m0,15m13KN/m³


 
 
 galv,K = 1,88 KN/m² 
Peso Permanente Total: 
 
gK = g1K + g2K + g3K 
gK = 2,25 + 1,20 + 1,88 
 gK = 5,33 KN/m² 
 
 
 
 
Disciplina: CE3 – Concreto Armado I 
Professor: Marcello Cherem 
Exercícios 
4ª feira – 07h30min 
Data: 22/05/2019 
 
EXERCÍCIO 2: 
Parte da planta de um edifício, com os respectivos momentos fletores de cálculo (MSd), está 
representada abaixo. Para a mesma, pede-se: 
 
 
Classe do 
concreto: 
C25 
 
Tipo de aço: 
CA-50 
 
Classe de 
agressividade: 
II 
 
Para a laje L13: 
x
y
L
L
 = 1,5 
 
Momentos 
fletores de cálculo 
(MSd) 
[ kN ∙ m /m ] 
 
a) Qual o valor dos vãos Lx e Ly da laje L13; 
b) Realize a compatibilização dos momentos negativos da laje L13 com as lajes adjacentes; 
c) Realize a correção, se necessária, dos momentos positivos da laje L13; 
d) Utilizando os coeficientes k6 e k3, dimensione a armadura negativa entre as lajes L8 e L14; 
e) Utilizando o método simplificado do bloco uniforme de tensões, dimensione as armaduras positivas 
da laje L14; 
 
 
Disciplina: CE3 – Concreto Armado I 
Professor: Marcello Cherem 
Exercícios 
4ª feira – 07h30min 
Data: 22/05/2019 
 
a) Vãos LX e LY da laje L13 
 
pd = g ∙ gK + q ∙ qK 
pd = 1,4 ∙ 5,0 + 1,4 ∙ 4,0 
pd = 12,6 KN/m² Relação 
X
Y
L
L
= 1,50 











12,7β
10,6β
38,3α
23,1α
y
x
y
x
 
 
MX-NEG = 
X
2
Xd
β
Lp 
 
10,698 = 
10,6
L12,6 2
X
 
 LX = 3,00 m 
 
X
Y
L
L
= 1,50 
 
LY = 1,5 ∙ 3,00 
 
 LY = 4,50 m 
 
b) Compatibilização dos momentos negativos na L13 
 
Entre L12-L13: 
MNEG = 
2
8,9299,545
= 9,24 KN ∙ m/m 
 MNEG = 9,24 KN ∙ m/m 
 
MNEG = 0,8 ∙ 9,545 = 7,64 KN ∙ m/m 
 
Entre L13-L14: 
MNEG = 
2
9,0808,929
= 9,00 KN ∙ m/m 
 MNEG = 9,00 KN ∙ m/m 
 
MNEG = 0,8 ∙ 9,080 = 7,26 KN ∙ m/m 
 
Entre L13-L19: 
MNEG = 
2
10,6988,058
= 9,34 KN ∙ m/m 
 MNEG = 9,34 KN ∙ m/m 
 
MNEG = 0,8 ∙ 10,698 = 8,56 KN ∙ m/m 
 
 
c) Correção dos momentos positivos da laje L13 
 
MX
POS = 4,909 + 
2
9,3410,698
 = 5,59 KN ∙ m/m 
MY
POS = 2,961 + 
2
9,248,929
+ 
2
9,008,929
 = 2,77 KN ∙ m/m (Não considerar, pois reduziu o valor) 
d) Armadura negativa entre L8 e L14 
 
Altura Útil: d = h – d’ = 12 cm – 4 cm = 8 cm 
Resistência de cálculo do concreto: fcd = 
c
ckf
γ
=
1,4
KN/m² 25.000
= 17.857,14 KN/m² 
Resistência de cálculo do Aço: fyd = 
s
ykf
γ
=
1,4
KN/cm² 50
= 43,48 KN/cm² 
 
Disciplina: CE3 – Concreto Armado I 
Professor: Marcello Cherem 
Exercícios 
4ª feira – 07h30min 
Data: 22/05/2019 
 
Posições da LN: xLIM = 0,45 ∙ d = 0,5 ∙ 8 = 3, 6 cm 
 
Armadura mínima negativa: AS,min = MIN ∙ bw ∙ h = 





100
0,15
∙ 100 cm ∙ 12 cm = 1,8 cm²/m 
K6 = 
Sd
2
M
db 
= 
7,60100
8100 2


= 8,421 
 
 
K3 = 0,02424 (Sub-domínio 2a) 
AS = K3 ∙
d
100MSd 
 
AS = 0,02424 ∙
8
7,60100
 
 
AS = 2,30 cm²/m ( 6,3 c/ 13 cm ou  8 c/ 20 cm) 
 
e) Armadura positiva da Laje L14 
 
Armadura mínima positiva: AS,min = 
3
2
∙ MIN ∙ bw ∙ h = 
3
2
∙ 





100
0,15
∙ 100 cm ∙ 12 cm = 1,2 cm²/m 
Direção Horizontal: 
 
x = 1,25 ∙ d 










cd
2
w
Sd
fdb0,425
M
11 
 
x = 1,25 ∙ 0,08 










17.857,140,0810,425
6,43
11
2
 
 
x = 0,006854 m (Domínio 2) 
AS = 





 x0,4d
MSd ∙
ydf
1
 
 
AS = 





 0,013240,40,08
6,43
∙
43,48
1
 
 
AS = 1,91 cm²/m ( 6,3 c/ 16m) 
 
Direção Vertical: 
 
x = 1,25 ∙ d 










cd
2
w
Sd
fdb0,425
M
11 
 
x = 1,25 ∙ 0,08 










17.857,140,0810,425
5,95
11
2
 
 
x = 0,006325 m (Domínio 2) 
AS = 





 x0,4d
MSd ∙
ydf
1
 
 
AS = 





 0,0063250,40,08
5,95
∙
43,48
1
 
 
AS = 1,77 cm²/m ( 6,3 c/ 17 cm)