Saneamento - Exercício I

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CH3_ex_avaliacao_1_19_gab 1 
CH3 - SANEAMENTO Exercícios de avaliação Nº1 Data: 22/02/2019 
Nome: ___________________________________ Matric.: ____________Turma:_T6G (noturno) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
1º Exercício 
A tabela abaixo apresenta os resultados dos recenseamentos de uma cidade (colunas 1 e 2) e 
cálculos parciais para elaborar um estudo de crescimento populacional. 
(1) (2) (3) (4)
Ano (x ) Pop. (y ) xi.yi xi
2
1950 20.787 40.534.650 3.802.500
1960 35.248 69.086.080 3.841.600
1970 45.851 90.326.470 3.880.900
1980 65.220 129.135.600 3.920.400
1991 82.741 164.737.331 3.964.081
1996 95.242 190.103.032 3.984.016
Soma 11.847 345.089 683.923.163 23.393.497
Média 1.974,50 57.514,83 
a) Determine a equação da reta y (pop.) = a.x (ano) + b, ajustada aos seis pontos pelo método 
dos mínimos quadrados; 
b) Determine a população para o horizonte de projeto de 20 anos (2016). 
Dados: 







n
i
i
n
i
ii
xnx
yxnyx
a
1
22
1
.
..
; xayb . 
2º Exercício 
Na cidade do exercício anterior, obtêm-se, pela interpolação, as seguintes populações: 
1976 - 57.472 = P0 
1986 - 74.777 = P1 
1996 - 95.242 = P2 
a) Determine a equação da curva logística aplicada aos anos de 1976, 1986 e 1996; 
b) Determine a população para o horizonte de 20 anos (2016); 
c) Determine o ponto de inflexão (ano que vai ocorrer). 
Dados: 
Equação da curva logística: 
tbae
K
P


1
 
 
2
120
20
2
12102
PPP
PPPPPP
K


 = 299.484 





 

0
0ln
P
PK
a ; 








)(
)(
ln
1
10
01
PKP
PKP
d
b ; Ponto de inflexão: 
b
a
t  
 
CH3_ex_avaliacao_1_19_gab 2 
GABARITO 
1º Exercício 
a) Determinar a equação da reta y (pop.) = a.x (ano) + b, ajustada aos seis pontos pelo método 
dos mínimos quadrados 
Ano (x ) Pop. (y ) xi.yi xi
2
1950 20.787 40.534.650 3.802.500
1960 35.248 69.086.080 3.841.600
1970 45.851 90.326.470 3.880.900
1980 65.220 129.135.600 3.920.400
1991 82.741 164.737.331 3.964.081
1996 95.242 190.103.032 3.984.016
Soma 11.847 345.089 683.923.163 23.393.497
Média 1.974,50 57.514,83 











5,595.1
99,971.544.2
)5,974.1(6497.393.23
83,514.575,974.16163.923.683
.
..
2
1
22
1
n
i
i
n
i
ii
xnx
yxnyx
a 1.595,09 
 5,197409,595.183,514.57.xayb -3.091.990 
Equação da reta obtida: y (pop.) = 1.595,09.x (ano) – 3.091.990 
 
 
b) População para o horizonte de projeto de 20 anos (2016) 
(Pop)2016 = 1.595,09.x 2016 – 3.091.990 = 123.711  (Pop)2016 = 123.711 hab. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2º Exercício 
a) Equação da curva logística aplicada aos anos de 1976, 1986 e 1996 
1976 - 57.472 = P0 
1986 - 74.777 = P1 d = 10 anos 
1996 - 95.242 = P2 
Verificação da aplicabilidade: 
CH3_ex_avaliacao_1_19_gab 3 
20.PP 57.472 x 95.242 = 5.473.748.224 
2
1P (74.777)2 = 5.591599.729 
2
120. PPP   A fórmula é aplicável 
Equação da curva logística: tbae
K
P


1
 
 
2
120
20
2
12102
PPP
PPPPPP
K


 = 299.484 
4377,1
472.57
472.57484.299
lnln
0
0 




 





 

P
PK
a  a = 1,4377 
0337,0
)777.74484.299(472.57
)472.57484.299(777.74
ln
10
1
)(
)(
ln
1
10
01 
















PKP
PKP
d
b  b = 0,0337 
Equação da curva logística obtida:  te
P


0337,04377,11
484.299
 
b) População para o horizonte de 20 anos (2016) 
Na equação da curva logística, t = 2016 – 1976 = 40 anos 
    



 400337,04377,10337,04377,1 1
484.299
1
484.299
ee
P
t
143.030  P = 143.030 hab. 
c) Ponto de inflexão (ano que vai ocorrer) 
anos 7,42
0337,0
4377,1

b
a
t 
O ponto de inflexão ocorrerá em 1976 + 42,7  2019