Problemas Matemáticos Resolvidos

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Resposta: \( 8\pi \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilize a fórmula da área da superfície de revolução. 
 
23. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + 4y = 2e^{-4x} \). 
 Resposta: \( y(x) = Ce^{-4x} + \frac{1}{2}e^{-4x} \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
 Explicação: Resolva a equação diferencial homogênea associada e use o método da 
variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular. 
 
24. Problema: Determine os limites laterais de \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{|x-2|} \) quando \( x \) 
se aproxima de \( 2 \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = -4 \) e \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 \). 
 Explicação: Avalie a função para \( x \) ligeiramente menor e ligeiramente maior que 2. 
 
25. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{4} \). 
 Explicação: Calcule a integral indefinida e aplique os limites de integração. 
 
26. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + y = \cos(x) \). 
 Resposta: \( y(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) + \frac{1}{2}\cos(x) \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) 
são constantes arbitrárias. 
 Explicação: Resolva a equação diferencial homogênea associada e use o método dos 
coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. 
 
27. Problema: Calcule o valor da série infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \). 
 Resposta: \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 Explicação: Utilize o teste de convergência para séries ou a série de Fourier para 
calcular a soma. 
 
28. Problema: Encontre a derivada direcional da função \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) no ponto \( 
(1, 2) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = (-1, 1) \). 
 Resposta: \( D_{\mathbf{v}} f(1, 2) = 1 \). 
 Explicação: Utilize a definição de derivada direcional para calcular a taxa de variação de 
\( f \) na direção de \( \mathbf{v} \) no ponto dado.